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삼각비를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요.

삼각형의 넓이 공식 모르는 사람 없죠? ½ × (밑변) × (높이)에요.

물론 이건 높이를 알고 있을 때 쓰는 공식이에요. 예각삼각형의 높이, 둔각삼각형의 높이에서도 해봤지만, 삼각비에는 변의 길이와 내각의 크기를 알려주지, 삼각형의 높이는 알려주지 않거든요. 주어진 내용을 가지고 삼각형의 높이를 구해서 위 공식에 대입해야 합니다.

두 변의 길이와 끼인각을 알려줬을 때 높이를 구하는 것부터 넓이를 구하는 것까지 해보고 공식으로 정리해보죠.

예각삼각형의 넓이

아래 △ABC에서 b, c와 ∠A의 크기를 알려줬다고 해보죠. 넓이를 구하려면 높이 h를 구해야 해요.

예각삼각형의 높이에서 예각삼각형의 높이를 구할 때는 길이를 알고 있는 한 변과 크기를 알고 있는 각이 같은 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요.

예각삼각형의 넓이

△ACH에서

높이 h를 구했으니까 삼각형 넓이 공식에 대입해보죠.

문제에서 알려준 걸 다 곱하면 되는 겁니다. 두 변의 길이를 곱하고, 거기에 크기를 알려준 각의 sin값을 곱해요. 삼각형의 넓이니까 그 절반으로 하는 거죠.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.
예각삼각형의 넓이 예제

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 예각삼각형의 넓이는 에요.

둔각삼각형의 넓이

아래 △ABC에서 b, c와 ∠A의 크기를 알려줬다고 해보죠. 넓이를 구하려면 높이 h를 구해야 해요

둔각삼각형의 높이에서는 크기를 모르는 각에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내려서 높이를 구한다고 했어요.

둔각삼각형의 넓이

△ACH만 보세요. sin을 이용해서 높이를 구해야 하는데, 기준각인 CAH는 180° - ∠A에요. 따라서 높이는 아래처럼 구할 수 있어요.

높이 h를 구했으니까 삼각형 넓이 공식에 대입해보죠.

예각삼각형의 넓이 구하는 공식과 같아요. 차이가 있다면 A가 아니라 180° - ∠A라는 거지요.

삼각형의 넓이는 알려준 길이 두 개와 각을 곱해요. 각은 그대로 곱하지 않고 sin값을 곱하죠. 그런데 우리는 0° ~ 90°까지의 삼각비밖에 안 배웠어요. 그러니까 sin을 구할 각의 크기는 예각이어야 해요. 예각이 아니라면(둔각이면) 180°에서 각을 빼서 예각을 만들어서 공식에 넣으면 돼요.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 둔각삼각형의 넓이는 에요.

정리해볼까요

두 변의 길이가 b, c이고, 끼인각이 A인 삼각형의 넓이

A < 90°일 때:
A > 90°일 때:

둔각삼각형의 높이 <<

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그리드형

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삼각비의 활용 - 예각삼각형의 높이에 이어 둔각삼각형의 높이 구하기입니다.

둔각삼각형의 높이 구하기도 예각삼각형의 높이 구하기와 크게 차이는 없어요. 높이를 구할 수 있는 조건도 같아요. 두 변의 길이와 끼인각을 알 때와 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때지요.

특히, 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때는 수선이 삼각형의 바깥쪽에 그려지는 것만 빼면 예각삼각형의 높이를 구하는 방법과 완전히 같아요.

이 글에서는 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때에 주의해서 보시면 됩니다.

둔각삼각형의 높이

두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때는 수선을 내리는데, 수선은 삼각형의 바깥쪽에 그어지게 됩니다. 크기를 모르는 각 중 하나에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내리면 돼요. 이때 생기는 작은 직각삼각형을 이용해서 삼각형의 높이를 구할 거예요.

둔각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

둔각삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때에요. 각의 크기를 모르는 점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠.

둔각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

가 △ABC의 높이에요.

를 구하려면, 원래 있던 △ABC는 볼 필요 없고요. 새로 그은 수선 때문에 생긴 △ABH만 보면 돼요. △ABH에서는 c와 h가 들어있는 삼각비를 이용하면 되겠죠?

대신 기준각이 원래 있던 각이 아니라 새로 생긴 각이에요. ∠ABH죠. ∠CBH가 평각이므로 ∠ABH = 180° - ∠B로 구할 수 있어요.

다음 그림에서 a = 5cm, c = 6cm, ∠B = 120°일 때, △ABC의 높이를 구하여라.
둔각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 위 그림을 보세요. 가 높이에요. ∠ABH = 180° - 120° = 60° 고요.

△ABH에서

한 변의 길이와 양 끝각을 알 때

여기서도 마찬가지로 보조선을 그어야 해요. 수선을 그어야하는데 어디에 그어야 하나면 각의 크기를 모르는 꼭짓점에서 길이를 아는 변의 연장선으로 수선을 내려요. 그러면 작은 직각삼각형 한 개와 큰 직각삼각형 한 개가 만들어져요. 이 두 직각삼각형의 내각의 크기를 구해서 tan를 이용하면 높이를 구할 수 있어요.

한 변의 길이와 양 끝각을 알려줬네요. 점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형 두 개가 보이죠? 새로 생긴 큰 직각삼각형의 밑변에서 새로 생긴 작은 직각삼각형의 밑변을 빼면 원래 삼각형의 한 변의 길이가 되는 걸 알 수 있어요. 이걸 이용합니다.

둔각삼각형의 높이 - 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때

이제부터 원래 있던 △ABC는 생각하지 마세요. 큰 직각삼각형 △ACH와 작은 직각삼각형 △ABH만 생각하면 됩니다.

먼저 큰 직각삼각형 △ACH를 보세요. 삼각형 내각의 합에 의해서 ∠CAH = 180° - 90° - ∠C = 90° - ∠C에요.

이제 작은 직각삼각형 △ABH를 보세요. ∠ABH = 180° - ∠B에요. 그리고 ∠BAH = 180° - 90° - (180° - ∠B) = ∠B - 90°죠.

에 위에서 구한 와 처음에 알려준 의 값을 대입하면 높이 를 구할 수 있어요.

아래 그림에서 = 4cm, ∠B = 120°, ∠C = 45°일 때 ABC의 높이를 구하여라.

점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 하지요. (위 그림 참조.)

△ACH에서 ∠CAH = 180° - 90° - 45° = 45°이므로

△ABH를 보세요. ∠ABH = 180° - 120° = 60°, ∠BAH = 90° - 60° = 30° 이므로

정리해볼까요

둔각삼각형의 높이

두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때
크기를 모르는 각에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내려서 만들어진 작은 직각삼각형에 삼각비 적용
한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때
크기를 모르는 각에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내려서, 만들어진 작은 직각삼각형과 큰 직각삼각형에 삼각비를 적용하여 밑변의 길이의 차를 이용

예각삼각형의 높이 <<

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삼각형은 각의 크기에 따라 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형으로 나눠요.

삼각형의 세 각의 크기가 주어지지 않더라도, 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 피타고라스 정리의 역을 이용하면 직각삼각형인지 아닌지 알 수 있죠?

직각삼각형이 아니면 예각삼각형인지 둔각삼각형인지 알 수도 있을까요? 물론 알 수 있어요. 피타고라스의 정리의 역을 이용할 건데, 이걸 그대로 이용하는 게 아니라 아주 살짝 모양을 바꿔서 이용하면 알 수 있어요.

삼각형 세 변의 길이와 각의 크기

물론 다들 알고 있겠지만, 피타고라스의 정리의 역을 확인해보죠.

피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.
피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a² + b² = c²이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.

△ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c라고 놓고 위 피타고라스 정리의 역을 이용해보죠.

세 변의 길이가 3cm, 4cm, 5cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 5cm에요. 5² = 3² + 4²이 성립하므로 이 삼각형은 직각삼각형이에요.

세 변의 길이가 3cm, 4cm, 6cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 6cm네요. 6² ≠ 3² + 4²이므로 이 삼각형은 직각삼각형이 아니에요. 직각삼각형이 아니니까 예각삼각형이거나 둔각삼각형일 거예요. 어떻게 알 수 있을까요?

아래 그림을 보세요.

삼각형 세 변의 길이와 각의 크기

첫 번째 그림은 예각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 왼쪽으로 살짝 돌렸더니 예각삼각형이 되었어요. 이 예각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 줄어들었죠? 따라서 a²과 b²은 그대로이고, c²은 줄었어요. 직각삼각형에서는 a² + b² = c²이었는데, 예각삼각형에서는 a² + b² > c²가 된 거죠.

이걸 거꾸로 얘기하면 a² + b² > c²이면 이 삼각형은 예각삼각형인 거예요.

세 번째 그림은 둔각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 오른쪽으로 살짝 돌렸더니 둔각삼각형이 되었어요. 이 둔각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 늘어났죠? 따라서 a²과 b²은 그대로이고, c²은 늘었어요. 직각삼각형에서는 a² + b² = c²이었는데, 둔각삼각형에서는 a² + b² < c²가 된 거죠.

이걸 거꾸로 얘기하면 a² + b² < c²이면 이 삼각형은 둔각삼각형인 거예요.

△ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 a, b라고 할 때
a² + b² > c² ↔ ∠C < 90°인 예각삼각형
a² + b² = c² ↔ ∠C = 90°인 직각삼각형
a² + b² < c² ↔ ∠C > 90°인 둔각삼각형

가장 긴 변의 길이를 c로 하는 것에 주의하세요.

세 변의 길이가 5cm, 12cm, xcm 인 삼각형이 둔각삼각형이 될 x의 범위를 구하여라. (단 x가 가장 긴 변)

삼각형의 세 변의 길이가 주어졌으니까 가장 긴 변의 길이를 c로 놓고 위 내용을 적용해보죠. 문제 마지막에 x가 가장 긴 변이라고 했네요.

5² + 12² < x²
169 < x²
13² < x²
13 < x

여기서 끝내면 안 돼요. 삼각형의 조건 중에서 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 작아야 하는 거 알고 있죠? 따라서 x < 5 + 12가 되어야 해요. x < 17이죠.

따라서 x의 범위는 13cm < x < 17cm입니다.

정리해볼까요

△ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 a, b라고 할 때

a² + b² > c² → c < 90° ↔ 예각삼각형
a² + b² = c² → c = 90° ↔ 직각삼각형
a² + b² < c² → c > 90° ↔ 둔각삼각형

유클리드의 증명, 가필드의 증명- 피타고라스의 정리 증명

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사각형과 피타고라스의 정리

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이번에는 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심이 어디에 있는지 알아볼 거예요. 또 삼각형의 외심을 여러 가지 활용하는 방법도 알아볼 거고요.

먼저 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질을 간단히 정리해보죠.

다각형의 꼭짓점을 모두 지나는 원을 외접원이라고 하고, 외접원의 중심을 외심이라고 해요. 삼각형에서 외심은 각 변의 수직이등분선의 교점이고, 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같지요.

삼각형 외심의 위치

예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형에서 외심의 위치

삼각형은 세 내각이 모두 예각이면 예각삼각형, 한 각이 둔각이면 둔각삼각형, 한 각이 직각이면 직각삼각형으로 나눠요.

예각삼각형은 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질에서 본 것처럼 삼각형의 외심이 삼각형의 내부에 있어요. 둔각삼각형은 삼각형의 외부에 외심이 있고요. 정확하게 말하면 둔각의 대변, 길이가 가장 긴 변의 바깥쪽에 외심이 있어요.

직각삼각형은 외심이 빗변에 있는데, 바로 빗변의 중점이 외심이 됩니다. 따라서 외접원의 반지름의 길이는 빗변 길이의 절반이죠.

삼각형의 외심의 위치

△ABC가 직각삼각형이고, 일 때, ∠DBC의 크기를 구하여라.

직각삼각형에서 빗변의 중점은 삼각형의 외심이에요. 따라서 이죠. 즉 △DBC는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형에서 밑각의 크기는 같으니까 ∠DBC = ∠DCB = 20°네요.

삼각형 외심의 활용

점 O가 △ABC의 외심일 때, ∠x + ∠y + ∠z = 90°

점 O가 삼각형의 외심이니까 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같아요. = = 니까 △OAB, △OBC, △OCA는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따라서 ∠OAB = ∠OBA = ∠x, ∠OBC = ∠OCB = ∠y, ∠OCA = ∠OAC = ∠z가 되죠.