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현에 대한 두 번째로 현의 길이에 대한 내용입니다.

현의 수직이등분선에서 두 가지 성질을 알아봤는데, 첫 번째는 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다였죠. 두 번째는 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다였고요. 이 글에서도 이 두 가지 성질을 그대로 이용합니다. 따라서 잘 기억하고 있어야 해요.

이 글에서 배울 내용도 그다지 어렵지 않아요. 증명도 쉬울 뿐 아니라 증명만 제대로 이해한다면 문제도 쉽게 풀 수 있어요. 그냥 쭉 한 번 읽어만 봐도 쉽게 알 수 있을 겁니다.

현의 길이

현의 길이도 두 가지 성질이 있어요. 하나는 명제이고 다른 하나는 그 명제의 역이에요. (명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역)

하나라고 해도 상관없으니까 한 가지만 제대로 알면 다른 건 그냥 자연스럽게 따라서 이해하게 되어 있어요.

한 원에서 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다.

원의 중심에서 현까지의 거리가 같으면 두 현의 길이가 같아요.

점 O에서 점 A와 점 C에 선을 그어보죠.

직각삼각형이 두 개 생겼어요.

△OMA와 △ONC에서

=     (원의 중심에서 같은 거리에 있는 현, 가정)
∠AMO = ∠CNO = 90°
= = 반지름 r

직각삼각형에서 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △OMA ≡ △ONC

대응변의 길이는 같으므로  = 죠. 현의 수직이등분선에서 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다고 했어요. = 2, = 2

따라서  =      (증명 끝.)

다음 그림을 보고 △OCD의 넓이를 구하여라.

삼각형의 넓이를 구하려면 밑변의 길이, 높이를 알아야 하는데, 높이는 4cm라고 나와 있네요.

밑변의 길이는 인데, 는 이 원의 현이고, 원의 중심으로부터 거리가 4cm에요. 도 원의 중심에서 4cm 떨어진 현이고요. 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같으므로  = 에요. 의 길이를 구해보죠.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분하므로  = 이에요.  = 2 = 8cm이죠.

△OCD = ½ × 4 × 8 = 16cm²

한 원에서 길이가 같은 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있다.

이번에는 위와 반대에요. 현의 길이가 같으면 원의 중심으로부터의 거리가 같아요.

점 O에서 점 A와 점 B에 선을 그어보죠.

△OMA와 △ONC에서

 =     (가정에서  = 이고, = 2, = 2현의 수직이등분선)
∠AMO = ∠CNO = 90°
= = 반지름 r

직각삼각형에서 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △OMA ≡ △ONC

대응변의 길이는 같으므로 =      (증명 끝.)

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평행사변형에 대해서 공부하고 있는데요. 이번에는 평행사변형의 넓이에 대해서 알아볼 거예요.

평행사변형도 사각형이니까 넓이를 구하는 건 알고 있을 거예요.

여기서는 평행사변형을 여러 개의 삼각형으로 나누고, 그 삼각형들의 넓이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 또 그 삼각형들의 넓이와 평행사변형의 넓이 사이의 관계도 알아볼 거고요.

삼각형의 넓이를 비교할 때, 평행사변형의 성질을 이용하니까 앞의 내용에 대한 이해가 있어야 해요.

평행사변형과 넓이

대각선을 하나만 그었을 때

평행사변형 □ABCD에 대각선을 하나 그으면 아래 그림처럼 두 개의 삼각형으로 나뉘어요. 두 삼각형의 넓이를 알아보죠.

평행사변형의 성질에서 두 대변의 길이가 각각 같다고 했으니,  = 입니다. △ABC에서 밑변은 , 높이는 점 A에서 까지의 거리죠. △CDA에서 밑변은 , 높이는 점 C에서 까지의 거리에요.

두 삼각형 △ABC와 △CDA에서 밑변의 길이와 높이가 같으므로 두 삼각형의 넓이는 같아요. S₁ = S₂. 두 삼각형 넓이의 합이 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 두 삼각형은 서로 넓이가 같으므로 삼각형 한 개의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이죠.

대각선을 두 개 그었을 때

이번에는 □ABCD에 대각선을 두 개 그었어요. 네 개의 삼각형이 생겼네요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠. 평행사변형의 성질에서 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다고 했어요. 따라서  = ,  = 입니다.

△OAB와 △OCD를 볼까요?  = ,  = 이고, 맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD에요. 두 삼각형은 SAS합동이죠. 합동이니까 넓이가 같아요. S₁ = S₃

△OAD와 △OCB도 SAS 합동이므로 넓이가 같죠. S₂ = S₄

△OAB와 △OAD를 보세요. 두 삼각형은 밑변의 길이가 같고( = ), 높이도 점 A에서 까지의 거리로 같아요. 따라서 넓이도 같죠. S₁ = S₄

결국 S₁ = S₂ = S₃= S₄가 됩니다. 네 삼각형 넓이의 합은 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 네 삼각형의 넓이가 서로 모두 같으니 삼각형 하나의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이 되겠죠?

평행사변형 □ABCD의 넓이가 60cm²일 때 색칠한 △OAB의 넓이를 구하여라.

평행사변형에 대각선을 그어서 생기는 네 개의 삼각형은 모두 넓이가 같아요. 또 전체 평행사변형의 넓이의 입니다.

△OAB =  × 60

△OAB = 15(cm²)

임의의 점에서 꼭짓점으로 선을 그었을 때

이번에는 평행사변형 □ABCD 내부에 대각선의 교점이 아닌 임의의 점 P를 잡아요. 점 P에서 네 꼭짓점에 선을 그으면 네 개의 삼각형이 생기죠. 이 네 삼각형의 넓이 관계에 대해서 알아볼까요?

, 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그어보죠. 또 , 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그려보죠.

두 직선 때문에 □ABCD에 총 네 개의 평행사변형이 만들어졌어요. 이 글 처음에 나온 것처럼 평행사변형을 구성하는 두 개의 삼각형은 넓이가 같잖아요. 작은 평행사변형에서 넓이가 같은 삼각형끼리 번호를 붙였어요.

그림에서 같은 색으로 칠해진 삼각형의 넓이를 구해보죠. 노란색으로 된 부분은 (△PAB의 넓이) + (△PCD의 넓이) = S₁ + S₃  = ① + ② + ③ + ④에요. 연두색으로 된 부분은 (△PAD의 넓이) + (△PBC의 넓이) = S₂ + S₄ = ① + ② + ③ + ④죠. 따라서 S₁ + S₃ = S₂ + S₄가 성립하죠.

평행사변형 내부에 임의의 점 P에서 네 꼭짓점으로 선을 그었을 때, 마주 보는 삼각형의 넓이의 합이 서로 같아요. 이 두 부분의 넓이가 같으므로 각 영역은 전체 사각형 넓이의 절반이 되죠.

여기는 S₁, S₂, S₃, S₄의 넓이가 같지 않아요. 이 점에 주의하세요.

평행사변형 □ABCD의 내부에 임의의 점 P를 잡고, 꼭짓점에 선을 그었더니 네 개의 사각형이 생겼다. 평행사변형 □ABCD의 넓이가 100cm²이고, △PAB의 넓이가 30cm²일 때, △PCD의 넓이를 구하여라.

위 그림에서 △PAB + △PCD = □ABCD이므로

30 + △PCD =  × 100

△PCD = 20(cm²)

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삼각형의 외심에 이어 삼각형의 내심입니다. 외심은 외접원의 중심이에요. 그럼 내심은 뭔지 추측할 수 있겠죠? 내심과 외심은 상당히 비슷해요. 그러니까 헷갈리기 쉽죠. 둘의 차이점을 잘 이해하고, 구분할 줄 알아야 해요.

삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질

삼각형의 내심에서도 작은 삼각형과 변, 각 등의 알파벳이 많이 나와요. 하나하나 짚어가면서 그림과 잘 비교해서 보세요.

그럼, 삼각형의 내심이 뭔지 어떤 특징이 있는지 알아보죠.

삼각형의 내심

삼각형 내심의 증명

삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이 외심이에요. 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같았죠?

그럼 이번에는 세 각의 이등분선의 교점을 알아볼까요? 세 각의 이등분선이 한 점에서 만나는지부터 알아보죠.

△ABC가 있어요.

∠A의 이등분선과 ∠B의 이등분선의 교점을 점 I라고 해보죠. 그리고 점 I에서 변 AB, BC, CA에 수선의 발을 내리고 각각 D, E, F라고 해봐요.

세 각의 이등분선이 한 점에서 만나는지를 증명하려면 매우 복잡해요. 그래서 일단 두 각(∠A, ∠B)의 이등분선의 교점(I)과 다른 한 점(C)을 지나는 선()이 한 각(∠C)을 이등분하는지 확인하는 방법으로 증명할 거예요.

∠A의 이등분선과 ∠B의 이등분선의 교점을 점 I라고 하면 ∠IAD = ∠IAF, ∠IBD = ∠IBE죠. 여기에 에 의해 나눠지는 두 각 ∠ICE = ∠ICF가 성립하는지만 확인하면 삼각형 세 각의 이등분선이 한 점에서 만난다는 걸 증명할 수 있다는 얘기예요.

△IAD와 △IAF를 보세요. ∠IDA = ∠IFA = 90°이고요. 빗변는 공통이에요. ∠A를 이등분한 각이므로 ∠IAD = ∠IAF이고요. RHA 합동에 의해서 △IAD ≡ △IAF가 됩니다. 대응변인 (1)  = 가 성립하죠.

이번에는 △IBD와 △IBE를 보세요. ∠IDB = ∠IEB = 90°이고요. 빗변는 공통이에요. ∠B를 이등분한 각이므로 ∠IBD = ∠IBE에요. RHA합동에 의해서 △IBD ≡ △IBE가 됩니다. 대응변인 (2)  = 가 성립하죠.

(1), (2)에 의해서  =  = 가 됩니다.

이번에는 △ICE, △ICF를 보세요. ∠IEC = ∠IFC = 90°, 는 공통,  = 이므로 RHS 합동에 의해서 △ICE ≡ △ICF가 되죠. 따라서 대응각인 ∠ICE = ∠ICF가 성립합니다.

결국 가 ∠C의 이등분선으로 세 각의 이등분선이 점 I에서 만난다는 걸 알 수 있지요.

세 쌍의 합동인 삼각형

RHA합동에 의해서 △IAD ≡ △IAF, △IBD ≡ △IBE, △ICE ≡ △ICF 라는 합동인 삼각형이 세 쌍이 생겨요.

삼각형의 외심과 달리 이등변삼각형은 없습니다.

삼각형의 내심의 성질 - 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.

세 각의 이등분선이 한 점에서 만나는지를 증명하는 과정에서  =  = 가 나와요. 즉 점 I에서 세 변에 이르는 거리가 같다는 얘기죠.

점 I를 중심으로 하고, 를 반지름으로 하는 원을 그린다고 해볼까요? 이 원은 삼각형의 세 변에 모두 접하고 삼각형의 내부에 있어요. 이처럼 삼각형의 세 변에 접하는 원을 내접원 (Inner circle)이라고 해요. 그리고 내접원의 중심을 내심이라고 하고 I로 표시해요.

삼각형 내심의 성질: 내심에서 세 변에 이르는 길이는 같다.
 =  = 

내접원은 그 의미상 삼각형의 종류와 상관없이 삼각형의 내부에 있을 수밖에 없어요. 따라서 삼각형의 내심도 무조건 삼각형의 내부에 있어요.

각의 이등분선에 대해서 알죠? 1학년 때 각의 이등분선의 작도, 직각의 삼등분선의 작도에서 봤던 기억이 날 거예요.

이제는 그리는 것을 넘어서 각의 이등분선이 어떤 특징이 있는지 알아보죠. 그리는 것보다는 이게 더 쉬울 수 있어요.

각의 이등분선의 특징을 알아보려면 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건을 알아야 해요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

각의 이등분선

각의 이등분선은 이름 그대로 어떤 각을 똑같은 크기로 둘로 나누는 선이에요. 이등분선 위의 한 점과 각의 두 변 사이에 어떤 특징이 있을까요?

각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각의 두 변에 이르는 거리는 같다.

수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리에서 점과 직선 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 배웠어요. 점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 점에서 직선에 수선을 내려서 만나는 점, 즉 수선의 발과의 거리를 구하죠.

각의 이등분선 위의 한 점에서 각 변에 수선의 발을 내리게 되면 각의 꼭짓점과 수선의 발, 이등분선위 점으로 이루어진 삼각형을 만들 수 있어요. 그런데 이게 직각삼각형이에요.

직각삼각형이 나오면 직각삼각형의 합동 조건을 이용한다는 걸 눈치채야 해요

아래 그림을 보세요.

∠AOB가 있어요. 이 각의 이등분선을 긋고 이등분선 위의 점 P에서 각의 변 OA와 변 OB에 수선을 내렸더니, △AOP와 △BOP가 생겨요.

일단 여기까지 해놓고, 위 성질을 증명해보죠.

가정: ∠AOP = ∠BOP(각의 이등분선), ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론:

증명: (1) ∠AOP = ∠BOP (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

두 직각삼각형이 있는데, 빗변은 공통이고 한 예각의 크기가 같아요. RHA 합동이죠? △AOP ≡ △BOP

따라서 가 됩니다.    (증명 끝.)

각의 두 변에서 같은 거리에 있는 점은 각의 이등분선 위에 있다.

이 성질은 위의 성질을 거꾸로 뒤집은 거예요. 마찬가지로 점과 직선 사이의 거리를 구해야 하니 수선의 발을 내려야 해요.

가정: , ∠OAP = ∠OBP = 90°(수선)

결론: ∠AOP = ∠BOP

증명: (1) (가정)

(2) ∠OAP = ∠OBP = 90° (가정)

(3) 는 공통

(1), (2), (3)에 의해서 빗변은 공통이고, 한 변의 길이가 같은 두 직각삼각형이기 때문에 RHS 합동이에요. △AOP ≡ △BOP

따라서 대응각인 ∠AOP = ∠BOP이 되죠.     (증명 끝.)

직각삼각형의 합동 조건을 이용해서 각의 이등분선의 성질을 알아봤어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

△ABC가 직각삼각형인데, 그 안에 △ABD와 △AED, △CDE라는 직각삼각형 세 개 가 더 있네요.

△ABD에서 한 각은 직각, 다른 각은 60°니까 남은 ∠BAD는 30°겠죠?

△ABD와 △AED는 빗변 가 공통이고 한 변의 길이가 같은 () 직각삼각형으로 RHS 합동이에요. 따라서 ∠BAD와 ∠EAD는 같아요. ∠BAD = ∠EAD = 30°

따라서 ∠BAE = ∠BAD + ∠EAD = 60°죠.

큰 삼각형 △ABC에서 ∠A는 60°, ∠B는 90°니까 x = 30°이 되겠네요.

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이번 글에서는 직각삼각형에 대해서 공부할 거예요. 직각삼각형이란 무엇인지 두 직각삼각형이 합동이 되려면 어떤 조건이 있는지요.

먼저 삼각형의 합동 조건을 혹시 기억하고 있나요? 삼각형의 합동조건은 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도와 같아요.

SSS 합동: 세 변의 길이가 같은 두 삼각형은 합동이다.
SAS 합동: 두 변의 길이와 사이에 끼인각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.
ASA 합동: 한 변의 길이와 양 끝각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.

직각삼각형

직각삼각형은 삼각형의 세 내각 중에서 한 각이 직각(90°)인 삼각형을 말해요. 한 각이 직각이면 나머지 두 각은 모두 예각이 되겠죠? 삼각형 내각의 합은 180°인데, 한 각이 90도면 나머지 두 각을 더해서 90°가 되어야 하잖아요.

직각삼각형에서 직각인 각은 영어 Right Angle의 첫 글자를 따서 R이라고 씁니다. 직각이 아닌 두 예각은 그냥 Angle의 A를 따서 쓰고요. 직각의 대변인 변을 빗변이라고 하는데, 알파벳 H(Hypotenuse)로 쓰고요. 빗변이 아닌 다른 두 변은 S(Side)라고 해요.

직각삼각형의 합동조건

직각삼각형도 삼각형이기 때문에 삼각형의 합동조건을 그대로 따릅니다. 하지만 이름에서 알 수 있듯이 한 각이 직각이에요. 그래서 일반적인 삼각형의 합동 조건에 추가로 두 가지 경우가 더 있어요.

삼각형의 합동을 SSS, SAS, ASA합동이라고 불렀던 것처럼 직각삼각형에도 이런 이름으로 합동 조건을 불러요.

직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

일단 직각이 있고, 빗변의 길이는 같아요.(RH) 거기에 추가로 다른 한 변의 길이가 같은지 예각의 크기가 같은지 보는 거죠.

RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동

가정: ∠C = ∠F = 90°, , ∠B = ∠E

결론: △ABC ≡ △DEF

증명: 삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 ∠A = ∠D에요.

빗변의 길이가 같고(가정) 빗변의 양쪽 끝각의 크기가 같은 ASA 합동입니다.

따라서 △ABC ≡ △DEF     (증명 끝.)

RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동

가정: ∠C = ∠F = 90°, ,

결론: △ABC ≡ △DEF

증명: △DEF를 빗변이 왼쪽에 있는데, 오른쪽으로 오게 반 바퀴만 돌려보죠.  니까 두 변이 겹치게 해서 △ABC와 △DEF를 하나로 합쳐볼까요?

그러면 인 이등변삼각형이 돼요. 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에서 이등변삼각형은 밑각의 크기가 같다고 했잖아요. 그럼 ∠B = ∠E가 돼요.

삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 (1) ∠A = ∠D에요.

빗변의 길이와 한 변의 길이가 같고(가정) 그 사이에 끼인각의 크기가 같은 SAS 합동이에요.

△ABC ≡ △DEF     (증명 끝.)

다음 그림에서 ∠BAC = 90°이고, 이다. 선분 AD의 길이를 구하여라.

△ABD를 보세요. 삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데 ∠ADB가 90°니까 다른 두 각의 합은 90°에요. ∠BAD + ∠ABD = 90°
∠DAE는 평각이라서 180°인데, ∠BAC가 90°니까 ∠BAD + ∠CAE = 90°가 되어야겠죠?

∠BAD + ∠ABD = 90°
∠BAD + ∠CAE = 90°
두 식을 빼면, ∠ABD = ∠CAE가 돼요.

, 한 각은 직각이고, 예각 중 하나가 같으니까 △ABD와 △ACE는 RHA합동이에요.

변 AE의 길이는 대응변인 변 BD의 길이와 같아요. 5cm죠? 선분 DE의 길이가 8cm이고 선분 AE의 길이가 5cm이므로 선분 AD의 길이는 3cm가 됩니다.

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이제 도형의 기초 단원의 마지막이에요

양이 상당히 많았네요. 점, 선, 면부터 시작해서 위치관계, 작도까지

직접 그림을 그려보지 않으면 이해가 잘되지 않아서 어렵긴 하지만 몸으로 익힌 거라서 한 번 이해하면 머리에 조금 더 오래 남는 단원이기도 해요.

이제 마지막이니까 앞에서 했던 내용을 잘 기억해보세요. 오늘 할 내용의 절반은 앞에서 했던 내용과 같아요. 절반은 거저 먹는 거예요.

도형의 합동

합동이에요. 합동은 함께 모여서 일을 하는 걸 말하는데, 여기서 말하는 합동은 그게 아니에요

도형을 모양이나 크기를 바꾸지 않고 옮겨서 다른 도형에 완전히 포갤 수 있을 때 두 도형을 합동이라고 해요. 쉽게 말해서 도형을 뒤집고 돌려봐서 두 도형이 똑같으면 합동인 거예요.

기호로는 ≡로 표시해요. 작대기가 세 개예요. =에 -을 하나 더 해서 -가 총 세 개입니다.

모양과 크기를 바꾸지 않고 위치만 바꾼 거니까 두 도형의 모양과 크기는 같겠죠? 넓이도 같아요.

합동인 두 도형에서 꼭짓점도 각도 변도 모두 포개지겠죠? 이렇게 포개지는 걸 대응한다고 하는데 포개지는 변을 대응변, 포개지는 각을 대응각, 포개지는 꼭짓점을 대응점이라고 해요.

삼각형을 이용해서 조금 더 설명할게요

아래 △ABC와 △DEF가 있어요. 이 두 삼각형은 서로 합동이에요. △DEF를 180° 돌리면 △ABC와 포개지거든요.

대응점을 찾아보죠. 대응점은 도형을 포갰을 때 서로 겹치는 점이에요. 서로가 서로에게 대응점이에요.

점 A - 대응점 - 점 D
점 B - 대응점 - 점 E
점 C - 대응점 - 점 F

이번에는 대응변을 찾아볼까요? 변 AB와 변 DE가 서로 포개져요. 그러니까 변 AB의 대응변은 변 DE이죠. 대응변의 길이는 서로 같아요. 당연하죠. 서로 포개지는 거니까요.

변 AB - 대응변 - 변 DE
변 BC - 대응변 - 변 EF
변 CA - 대응변 - 변 FD

∠A와 ∠D도 서로 포개지죠. 그러니까 서로가 서로의 대응각이에요. 대응각의 크기도 서로 같아요.

∠A - 대응각 - ∠D
∠B - 대응각 - ∠E
∠C - 대응각 - ∠F

도형의 합동을 기호로 ≡로 표시한다고 했으니 두 △ABC, △DEF가 합동이면 △ABC ≡ △DEF로 표시할 수 있어요. 이때 꼭 기억해야하는 한 가지가 있는데요. 바로 두 삼각형을 적을 때, 대응점의 순서가 같아야한다는 거예요.

△ABC는 이름을 적을 때, A, B, C의 순서로 적었어요. 그러니까 그와 합동인 삼각형은 A의 대응점인 D, B의 대응점인 E, C의 대응점인 F의 순서로 적은 △DEF라는 거예요

△DEF와 △DFE, △EDF, △EFD, △FDE, △FED는 하나의 삼각형을 부르는 여러 이름이에요. 하지만 △ABC에 합동인 삼각형을 부를 때는 꼭 △DEF라는 이름을 써야 해요.

그럼 △CBA과 합동인 삼각형은 뭐라고 불러야 할까요? 각 C, B, A의 대응점을 순서대로 붙인 △FED죠.

이거 중요해요. 그림을 봐서 대응점을 잘 못 찾을 때 이름만 보고도 금방 알 수 있어야 해요.

삼각형의 합동조건

위의 내용은 모든 평면도형에 적용되는 내용이에요. 삼각형이든 사각형이든 오각형이든 상관없어요.

삼각형의 합동조건은 삼각형에만 적용되는 거예요. 다만 새로운 건 아니에요. 이미 공부했던 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도의 연장선이거든요.

삼각형을 작도할 수 있는 조건은 세 가지가 있었어요. 세 변의 길이가 주어졌을 때, 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어졌을 때, 한 변의 길이와 양 끝각이 주어졌을 때죠?

삼각형의 합동 조건도 세 가지가 있어요. 뭘까요? 차이가 있다면 두 삼각형 사이에서 생기는 조건이므로 하나 또는 둘이 아니라 한 쌍, 두 쌍이라고 쓰는 거죠.

• SSS 합동: 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때
• SAS 합동: 두 쌍의 대응변의 길이와 끼인각의 크기가 같을 때
• ASA 합동: 한 쌍의 대응변의 길이와 양쪽 끝각의 크기가 같을 때

S는 변을 나타내는 side, A는 각을 나타내는 angle의 첫 글자를 딴 거예요. SSS는 세 변, SAS는 두 변과 끼인 각, ASA 는 한 변과 양 끝각이라는 걸 조금 더 쉽게 기억할 수 있어요.

삼각형의 작도, 삼각형의 합동의 세 조건이 모두 같아요. 따로 외울 필요 없겠죠?

아래 두 삼각형은 서로 합동이다. 그림을 보고 물음에 답하시오.
(1) 두 삼각형은 삼각형의 합동 조건 중 어디에 해당하는가?
(2) 변 BA의 대응변은?
(3) ∠F와 포개지는 각은?
(4) 점 E에 대응하는 점은?

(1)번, 숫자는 쓰여 있지 않지만 그림을 보면 아랫변에 길이가 같다는 표시가 되어 있고, 양 끝각에 각 표시가 되어 있는 걸로 봐서 삼각형의 합동조건 중 세 번째인 한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때에 해당하는 걸 알 수 있어요.

(2)번, 두 삼각형이 합동이니까 기호로 표시하면 △ABC ≡ △DEF로 쓸 수 있지요? 변 BA의 대응변을 물어봤어요. 그러면 변 DE가 되겠죠? 그런데 우리 삼각형의 이름을 부를 때 어떻게 하기로 했어요? 대응점의 순서대로 부르기로 했잖아요. 그러니까 변을 말할 때도 대응점의 순서대로 하면 변 DE가 아니라 변 ED가 되어야겠죠? 사실 변이나 각에서는 이름을 대응점 순서대로 하지 않아도 상관없어요. 하지만 삼각형과의 통일성을 위해서 이렇게 연습하세요.

(3) ∠F와 포개지는 각은 ∠F의 대응각을 찾으라는 얘기죠? ∠F의 대응각은 ∠C네요.

(4) 점 E에 대응하는 점은 점 E의 대응점 즉, 점 B네요.

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