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제곱근의 뜻과 표현, 성질을 알아봤어요.

이번 글에서는 제곱근의 크기를 비교하는 걸 해볼꺼에요. 제곱근끼리의 크기비교도 해볼꺼고요. 제곱근과 제곱근이 아닌 수와의 크기 비교도 해볼꺼에요.

제곱근도 하나의 수이므로 대소비교를 하는데, 기존에 해봤던 정수의 대소관계나 유리수의 대소관계의 성질과 별로 다르지 않아요. 정수와 유리수는 음수, 0, 양수의 세 수로 나눌 수 있었어요. 음수는 숫자가 작을수록 크고, 양수는 숫자가 클수록 크죠? 이것만 기억하고 있으면 돼요.

제곱근의 대소관계

넓이가 3cm², 5cm², 7cm²인 정사각형이 세 개가 있어요. 정사각형의 넓이는 한 변의 길이를 제곱해서 구하니까 정사각형 한 변의 길이는 각각 에요.

정사각형 한 변의 길이의 순서는 넓이의 순서와 같죠? 따라서 작은 것부터 순서대로 쓰면 에요.

정수의 대소관계나 유리수의 대소관계에서 수직선에서 오른쪽에 있을수록 크기가 크다고 했죠? 제곱근도 마찬가지로 수직선으로 나타냈을 때 오른쪽에 있을수록 크기가 더 커요. 음수, 0, 양수의 순서죠.

정수, 유리수에서 대소비교할 때 양수는 숫자가 크면 크고, 음수는 숫자가 작아야 크잖아요. 제곱근의 대소관계에서는 그냥 숫자가 아니라 근호 안의 숫자의 크기를 가지고 얘기해요.

제곱근이 양수일 때는 근호 안의 숫자가 클수록 크고
제곱근이 음수일 때는 근호 안의 숫자가 작을수록 커요.

제곱근과 유리수의 대소관계

제곱근끼리의 대소비교는 근호 밖의 부호(음수, 0, 양수)와 근호안의 숫자 크기를 비교하면 알 수 있어요. 그러면 제곱근과 유리수의 크기 비교는 어떻게 할까요? 유리수는 근호가 없어서 바로 비교할 수가 없잖아요.

제곱근의 근호를 없앨 수 있으면 근호를 없애서 유리수와 비교하면 되는데, 제곱근을 없애고싶다고 없앨 수 있는 건 아니에요.

그래서 반대로 유리수를 근호안에 넣어서 제곱근으로 모양을 바꾼 다음 비교를 해요. 근호 밖의 유리수를 제곱해서 근호 안으로 넣는 거죠. 이렇게 하면 모두 제곱근이 되고, 위에서 했던 것처럼 근호 안의 숫자의 크기를 비교해서 제곱근과 유리수의 크기를 비교할 수 있어요.

다음을 크기가 작은 순서대로 나열하여라.

몇 개는 정수로 되어있네요. 정수로 되어있는 건 근호 안에 넣어줘야 해요. 근호 안에 넣어줄 때는 숫자를 제곱해서 넣어야 하죠.

정수든 유리수든 제곱근이든 대소비교를 할 때 가장 먼저 해야할 건 부호에 따라서 크기를 나누는 거예요. 음수, 0, 양수로 나눠볼까요?

음수는 근호 안의 숫자가 큰 게 작아요. 양수는 근호 안의 숫자가 큰 게 크지요. 16 < 5, ½ < 3 < 4 이므로

순서대로 배열했으니까 처음 문제에서 줬던 숫자로 다시 써보면

을 만족하는 자연수 x를 모두 구하여라.

2, 3이 근호 밖에 있으니까 근호 안에 넣어서 크기를 비교해야 해요.

따라서 x가 될 수 있는 자연수는 5, 6, 7, 8 네 개네요.

이런 문제를 조금 더 쉽게 풀기 위해서는 2, 3을 근호 안에 넣는 것도 좋지만 각 항을 모두 제곱해버리는 게 좋아요. 각 항을 제곱하면 4 < x < 9가 바로 나오지요?

제곱근의 뜻과 표현에서 새로운 용어와 새로운 기호를 공부했어요. 의미가 헷갈리니까 잘 이해할 수 있도록 하시고요.

이 글에서는 제곱근의 성질과 근호를 없애는 방법에 대해서 공부할 거예요. 제곱근의 성질을 알아야만 제곱근 기호(근호)를 없앨 수 있어요. 그러니까 처음부터 차분히 잘 따라오세요.

무작정 근호를 없애려고 하면 안 돼요. 원리와 방법이 어렵지 않으니까 잘 읽어보면 쉽게 계산할 수 있어요. 근호를 없애는 건 나중에 제곱근의 사칙연산할 때 아주 중요하니까 연습을 많이 해두세요.

제곱근의 성질

제곱근과 제곱은 서로 반대의 의미를 지녀요.

어떤 수의 제곱근을 제곱하면 원래 수가 돼요. 4의 제곱근은 ±2인데 이걸 제곱하면 2² = (-2)² = 4가 되잖아요.

이때 어떤 수는 제곱근을 구할 수 있는 수니까 양수거나 0이에요. 제곱근의 뜻과 표현에서 음수의 제곱근은 생각하지 않는다고 했었죠?

반대의 경우를 생각해보죠.

어떤 양수를 제곱해서 근호를 씌우면 원래 수가 돼요. 2² = 4에 근호를 씌우면 잖아요.

어떤 음수를 제곱해도 같은지 해볼까요? (-2)를 제곱해서 근호를 씌워보면 (-2)² = 4고, 에요. 원래 수와 다르네요.

근호를 씌우는 건 그냥 제곱근을 구하는 게 아니라 양의 제곱근을 구하는 거예요. 그러니까 결과는 무조건 양수로 나올 수밖에 없어요. 음수를 제곱해서 양의 제곱근을 구하니까 원래 수와 부호가 다른 건 당연하지요.

근호를 씌운다 = 양의 제곱근을 구한다.
근호를 씌운다 ≠ 제곱근을 구한다

정리해보면 어떤 수를 제곱해서 근호를 씌웠을 때, 어떤 수가 양수면 원래 수 그대로, 어떤 수가 음수면 원래 수에서 부호만 바뀐 수가 나와요.

근호 풀기

근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때를 보죠. 위 제곱근의 성질을 이용하면 근호와 제곱을 지울 수 있어요. 마치 약분하는 것처럼요.

일단 제곱과 근호를 지우고 나면 숫자는 그대로 쓰니까 상관없어요. 문제는 부호에요. 부호는 위의 성질을 이용해서 구하는데 이게 정말 헷갈리거든요.

하나만 기억하세요. 근호 앞의 부호와 같게 만들어 주면 돼요. 근호 앞에 부호가 (+) 또는 생략이면 근호를 없앤 결과도 (+), 근호 앞의 부호가 (-)면 근호를 없앤 결과도 (-)에요.

위에서 a > 0일 때 에서 근호 앞의 부호가 생략되어 있으므로 는 양수예요. 그래서 근호를 없앤 결과도 양수인 a가 되는 거고요.

b < 0일 때 의 근호 앞에도 부호가 생략되어 있으므로 는 양수예요. 근호를 없앤 결과도 양수가 되어야 하는데, b < 0이니까 -b가 되는 거예요.

근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때 근호 풀기 → 숫자는 그대로, 부호는 근호 앞의 부호

다음을 간단히 하여라.

근호 안에 제곱인 수가 있을 때 일단 숫자는 그대로 쓰고, 근호 앞의 부호가 양수이면 결과도 양수, 근호 앞의 부호가 음수이면 결과도 음수에요.

(1) 근호 앞의 부호가 양수네요. 25 = 5²이므로 

(2) 근호 앞의 부호가 음수네요.

(3) 근호 앞의 부호가 양수예요.

(4) 근호 앞의 부호가 음수예요.

다음을 간단히 하여라.

각 항을 하나씩 따라 떼서 생각하면 쉬워요.

(1)에서는 두 항 모두 근호 앞의 부호가 양수네요.

(2)에서는 근호 앞의 부호가 하나는 양수, 하나는 음수네요.

3학년 첫단원이네요. 첫시간부터 정말 중요한 걸 배울거에요. 제곱근이라는 용어와 이를 나타내는 새로운 기호죠. 이 기호는 1학기 내내 사용할 거에요.

제곱근이라는 용어는 언뜻 이해한 것 같기도 한데, 막상 문제를 풀려고 하면 이해가 안되는 참 이상한 내용이에요. 숫자가 앞에 있는 지 제곱근이라는 단어가 앞에 있는 지에 따라서 뜻이 달라지는데, 이게 참 헷갈리거든요.

언제나 그렇듯 첫시간에 공부하는 개념 정리가 잘 되어있어야 다음 내용으로 넘어갈 수 있으니까 정독해서 잘 이해하셔야 해요.

제곱근의 뜻

1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25.....에요.
(-1)² = 1, (-2)² = 4, (-3)² = 9, (-4)² = 16, (-5)² = 25고요.

이걸 거듭제곱이라고 하죠? 이번에는 거꾸로 생각해볼까요? 어떤 수 a를 제곱했더니 9가 됐어요. 그럼 a는 얼마일까요? 위에서 보면 a = 3 또는 a = -3이에요. 제곱해서 16이 되는 수는 4, -4고요.

이처럼 제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 해요. 제곱해서 9가 되는 수는 9의 제곱근, 제곱해서 16이 되는 수는 16의 제곱근이요.

위의 경우에서 보면 하나의 수에 대해서 절댓값은 같고 부호가 다른 제곱근이 2개씩 있어요. 양수인 제곱근을 양의 제곱근, 음수인 제곱근을 음의 제곱근이라고 해요. 3은 9의 양의 제곱근, -3은 9의 음의 제곱근이 되는 거지요. 4는 16의 양의 제곱근이고, -4는 16의 음의 제곱근이에요.

0은 제곱근이 몇 개일까요? 제곱해서 0이 되는 수는 0밖에 없어요. 그런데 0은 부호가 없지요. 따라서 0의 제곱근은 그냥 0이에요. 이 때는 다른 경우와 달리 제곱근이 하나밖에 없어요.

이번에는 제곱해서 -9가 되는 수를 찾아볼까요? 제곱해서 -9가 되는 수가 뭐가 있나요? -3이면 될까요? -3을 제곱하면 9가 되는데요. 어떤 수를 제곱하면 0이거나 양수가 되지 음수가 될 수는 없어요. 따라서 음수의 제곱근은 생각하지 마세요.

제곱근: 제곱의 반대
a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수, a ≥ 0
a > 0 이면 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개. 양의 제곱근과 음의 제곱근은 절댓값 같고 부호 반대.
a = 0 이면 제곱근은 0 하나
a < 0 이면 생각하지 않음.

다음 수의 제곱근을 구하여라.
(1) 25      (2)  (-3)²
(3) 0.01    (4)

제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개가 있는데, 이 둘은 절댓값이 같고 부호만 반대에요.

(1) 25의 제곱근은 5, -5

(2) 거듭제곱이 있는데, 이럴 때는 계산을 모두 한 결과에서 제곱근을 구해요. (-3)² = 9 이므로 9의 제곱근은 3, -3

(3) 0.01의 제곱근은 0.1, -0.1

(4) 분수도 다르지 않아요. 의 제곱근은

제곱근의 표현

수학은 말을 기호로 나타내야 해요. 따라서 제곱근도 기호로 나타내죠. 제곱근을 나타낼 때는 근호()를 사용하고 제곱근 또는 루트라고 읽어요.

근호 안에 들어가는 a는 제곱이 된 수니까 무조건 0보다 크거나 같아야 해요.

제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근이 있잖아요. 그래서 양의 제곱근 앞에는 +를, 음의 제곱근 앞에는 -를 붙이는데, 양수에서 +는 생략하죠? 그래서 양의 제곱근 앞의 +로 생략해요. 결국 음의 제곱근에만 -만 붙여요.

a의 양의 제곱근 =
a의 음의 제곱근 =

a의 양의 제곱근과 음의 제곱근을 한번에 라고 쓰기도 하는데, "플러스 마이너스 루트 a"라고 읽어요.

어떤 수의 제곱근을 나타낼 때는 루트를 씌워주는데, 부호도 꼭 함께 써줘야 해요. 9의 제곱근을 나타내라고 하면 로만 쓰기 쉬운데, 그러면 안돼요. 9 제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개가 있으니까 처럼 부호와 함께 써줘야 합니다.

부호없이 그냥 쓴 는 제곱근 a(루트 a)에요. a의 양의 제곱근도 같은 모양이죠? 문제에 제곱근 a와 a의 양의 제곱근이라는 표현이 나오는데, 결국 같은 거니까 헷갈리지 마세요.

 = 제곱근 a = a의 양의 제곱근

이 둘보다 더 헷갈리는 게 바로 제곱근 a와 a의 제곱근이라는 표현인데 잘 구별하세요.
제곱근 a: a에 루트 기호를 씌운 것 = = a의 양의 제곱근
a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수 = = a의 양의 제곱근과 음의 제곱근

다음을 구하여라.
(1) 5의 제곱근
(2) 제곱근 5

a의 제곱근과 제곱근 a의 차이를 제대로 이해하고 있어야 풀 수 있는 문제에요.

(1) 5의 제곱근은 제곱해서 5가 되는 수로 양수와 음수 2개가 있어요.

(2) 제곱근 5는 5에 제곱근 기호를 씌운 것으로 5의 양의 제곱근과 같지요.

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2를 네 번 더하면 2 + 2 + 2 + 2고 이걸 곱하기 기호를 쓰면 2 × 4로 쓸 수 있어요. 곱하기는 똑같은 수를 여러 번 더하는 걸 간단히 표현할 수 있지요.

2 + 2 = 2 × 2
2 + 2 + 2 = 2 × 3
2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4

그러면 2를 네 번 곱한다고 생각해보죠. 2 × 2 × 2 × 2예요. 이것도 간단하게 표현할 방법이 있으면 좋겠죠? 물론 쉽게 쓰는 방법이 있어요.

이 글에서는 곱하기를 여러 번 했을 때 좀 더 쉽고 간단하게 표시하는 방법인 거듭제곱에 대해서 공부할 거예요.

거듭제곱

거듭제곱

우선, 2를 4번 곱한 걸 부르는 이름이 있겠죠? 똑같은 수나 문자를 여러 번 곱한 걸 거듭제곱이라고 해요. 3을 3번 곱하거나 4를 10번 곱하는 것도 거듭제곱이라고 하지요.

2 × 2 = 2²
2 × 2 × 2 = 2³
2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴

위 단락의 마지막 줄 오른쪽을 보면 4는 2보다 조금 더 위에 작게 썼지요? 거듭제곱은 이렇게 표현합니다.

(곱하는 수)는 보통 크기로 쓰고, (곱한 횟수)는 (곱하는 수)의 오른쪽 위에 작게 써요.

거듭제곱: 같은 수나 문자를 거듭하여 곱한 것
같은 수를 여러 번 더하기 → (더하는 수) × (더한 횟수)
같은 수를 여러 번 곱하기 → (곱하는 수)^{(곱한 횟수)}

만약에 3을 5번 곱하면 3 × 3 × 3 × 3 × 3이죠. 이걸 거듭제곱으로 써보면 3이 곱하는 수고, 5가 곱한 횟수니까 3⁵으로 쓸 수 있는 거예요.

숫자를 여러 번 곱한 것뿐 아니라 문자를 여러 번 곱한 것도 표시할 수 있어요. a라는 문자를 10번 곱해볼까요? 여기서 곱하는 문자는 a이고, 곱한 횟수는 10이니까 a¹⁰이라고 쓸 수 있어요.

거듭제곱으로 표시했을 때 아래에 있는 (곱한 숫자)를 밑이라고 부르고, 오른쪽 위에 있는 (곱한 횟수)를 지수라고 불러요.

(곱하는 수)^{(곱한 횟수)} → 밑^지수

위 그림에서는 밑이 2고 지수가 4죠.

3⁵에서는 밑이 3이고, 지수가 5예요.

2⁴은 2의 4제곱이라고 읽어요. 3¹⁰은 3의 10제곱이라고 읽고요. 그리고 5², 6²처럼 2제곱은 5의 2제곱, 6의 2제곱이 아니라 2를 빼고 그냥 5의 제곱, 6의 제곱이라고 읽어요.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.
(1) 5 × 5 × 5 × 5
(2) 10 × 10 × 10 × 10 × 10

(1)번은 5를 4번 곱했으니까 5⁴이고, (2)번은 10을 5번 곱했으니까 10⁵이에요.

분수와 소수의 거듭제곱

분수와 소수의 거듭제곱에서는 괄호를 사용해요.

예를 들어서 로 쓰면 마치 분자인 2만 3번 곱하고 분모 5는 곱하지 않은 거라고 오해할 수 있어요. 그래서 괄호로 묶어서 으로 써야 합니다.

소수도 마찬가지예요. 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.1³으로 쓸 수 있어요. 소수에서는 괄호를 쓰지 않아도 틀린 건 아니에요. 하지만 괄호를 쳐주면 식이 조금 더 명확해지죠. 0.1³으로 쓰지 말고, (0.1)³으로 쓰도록 버릇을 들이세요.

여러 수의 거듭제곱

하나의 수만 여러 번 곱한 게 아니라 여러 수가 여러 번 곱해져 있는 경우를 볼까요? 여러 수가 섞여 있을 때는 같은 수끼리만 거듭제곱으로 표시해요. 서로 다른 숫자끼리는 거듭제곱으로 표현할 수 없어요. 거듭제곱은 같은 수나 문자를 거듭 곱한 것을 말하니까 당연한 얘기죠.

3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5에서 3이 곱해진 부분과 5가 곱해진 부분을 나눠보죠. 그러면 3을 4번 곱한 부분과 5를 2번 곱한 부분으로 나눌 수 있죠? 각각을 거듭제곱으로 표현해서 3⁴ × 5²으로 쓸 수 있어요.

주의해야 해요. 3과 5가 곱해져 있다고 3⁵ 이렇게 쓰면 안 돼요.

a × a × a × b × b = a³ × b²으로 쓸 수 있지요.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.
(1) 4 × 4 × 4 × 4 × 10 × 10 × 10
(2)

(1)번은 4가 4번, 10이 3번 곱해져 있으니까 4⁴ × 10³

(2)번은 가 3번, 0.5가 2번 곱해져 있으니까