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부등식의 성질은 자주 해왔던 거니까 잊어버리지 않았을 거예요. 여기서는 부등식의 성질을 한 번 더 정리할게요. 부등식의 성질을 이용해서 계산하는 문제보다는 개념을 이해하고 있는지 물어보는 문제가 많이 나오니까 내용을 완전히 이해하지 못하면 문제를 풀 수가 없어요. 잘 정리해놓으세요.

그리고 방정식의 해를 구할 때 방정식의 양변을 서로 더하고 뺐었죠? 부등식에서도 양변을 서로 더하거나 뺄 수 있어요. 방정식에서의 가감법과 차이가 있는데, 부등식끼리의 사칙연산을 어떻게 하는지 알아보죠.

부등식의 성질

중학교 때 부등식의 성질에 대해서 공부했어요. 고등학교에서의 부등식의 성질도 똑같아요.

허수와 허수단위에서는 대소관계를 얘기할 수 없으니까 부등식의 성질에서 사용하는 수는 모두 실수에요. 그래서 부등식의 성질은 실수의 대소관계에 대한 기본 성질과도 같아요.

세 실수 a, b, c에 대해서 아래와 같은 성질이 있어요.

1. a > b, b > c ⇔ a > c
2. a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
3. a > b이고 c > 0 ⇔ ac > bc,
4. a > b이고 c < 0 ⇔ ac < bc,

이해 안 되는 건 없죠?

부등식의 성질에서 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나눌 때만 부등호의 방향이 바뀌고 나머지는 부등호의 방향이 바뀌지 않아요.

부등호의 방향이 바뀌는 경우가 또 있는데요. 부호가 같은 두 수의 역수를 취할 때 부등호의 방향이 바꿔요. 하나는 양수고 하나는 음수라면 바뀌지 않아요. 양수인 쪽이 무조건 크니까요.

또 음수인 양변을 제곱할 때도 부등호의 방향이 바뀌어요.
-2 > -3 → (-2)² < (-3)²

부등식끼리의 덧셈과 뺄셈

방정식의 양변을 더하거나 뺄 수 있죠? 부등식에서도 양변을 더하거나 빼요.

a < x < b, c < y < d 두 부등식을 볼까요?

먼저 덧셈부터 알아보죠.

두 부등식의 왼쪽에 있는 a < x, c < y만 보죠.

a < x 의 양변에 y를 더하면 a + y < x + y
c < y의 양변에 a를 더하면 a + c < a + y
따라서 a + c < x + y (∵ 부등식의 성질 1번)

이번에는 부등식의 오른쪽 x < b, y < d를 보죠.

x < b 의 양변에 y를 더하면 x + y < b + y
y < d의 양변에 b를 더하면 y + b < d + b
따라서 x + y < b + d (∵ 부등식의 성질 1번)

정리해보면 a < x < b, c < y < d를 더하면 a + c < x + y < b + d 가 돼요. 부등식끼리 더할 때는 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하는 거죠.

부등식끼리의 차를 볼까요? x - y = x + (-y)로 바꿔서 계산할 수 있죠?

c < y < d 에 (-1)을 곱하면 부등호의 방향이 반대로 바뀌어요. -d < -y < -c

a < x < b와 -d < -y < -c를 더하면 a - d < x - y < b - c가 돼요.

두 부등식을 세로로 놓고 계산하면 편해요. 덧셈은 그냥 아래로 더하고, 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠.

1 ≤ x < 3, 5 < y ≤ 10일 때 다음의 범위를 구하여라.
(1) x + y
(2) x - y

여기서 주의해야 할 건 등호가 있는 것과 등호가 없는 걸을 잘 보세요. 1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있어요. 따라서 이 두 개를 연산한 결과에만 등호를 넣어주고 다른 경우에는 등호를 쓰면 안 돼요.

(1) 덧셈은 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하면 돼요.

1 + 5 < x + y < 3 + 10
6 < x + y < 13

(2) 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠?

1 - 10 ≤ x - y < 3 - 5
-9 ≤ x - y < -2

1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있으니까 이 둘을 연산한 결과에 등호를 넣어줬어요.

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실수라는 수를 알아봈으니까 두 실수중에 어떤 것이 더 큰지 알수도 있어야겠죠? 기본적으로 실수 = 유리수 + 무리수이므로 실수의 대소관계 = 유리수의 대소관계 + 무리수의 대소관계에요. 여기까지는 알고있죠?

거기에 새로운 걸 하나 추가할꺼에요. 새로운 방법이긴 하지만 그게 별로 어렵지는 않아요. 아주 간단히 뺄셈을 하면 되거든요.

어떻게 하면 뺄셈으로 실수의 대소관계를 알 수 있는 지와 뺄셈으로 안될 때는 또 어떤 방법을 이용하는지도 공부해보죠. 참고로 뺄셈으로 할 수는 있는데, 현재 단계에서는 뺄셈 자체가 안되는 경우가 있어서 다른 방법을 사용하는 거에요.

실수의 대소관계

실수의 대소관계는 유리수의 대소관계 + 제곱근의 대소관계에요.

실수의 대소관계에서 제일 먼저 해야할 일은 부호를 비교하는 거예요. 음수 < 0 < 양수의 순서죠. 숫자를 볼 필요도 없이 부호만 가지고도 대소를 알 수 있어요.

만약에 부호가 양수라면 숫자가 큰 게 커요. 무리수라면 근호안의 숫자가 큰 게 크죠. 부호가 모두 음수라면 숫자가 작은 게 크죠. 무리수는 근호안의 숫자가 작은 음수가 더 커요.

이게 우리가 알고 있는 수의 크기 비교죠.

이번에는 다른 방식으로 접근해 볼꺼에요.

a, b가 실수일 때
a - b > 0 이면 a > b
a - b = 0 이면 a = b
a - b < 0 이면 a < b

간단한 내용이에요. a - b > 0 은 부등호가 있는 부등식이잖아요. -b를 이항하면 a > b가 되죠?  반대로 a > b에서 b를 좌변으로 이항하며 a - b > 0이 되고요. 둘이 왜 같은 뜻인지 알겠죠?

두 수의 차를 이용해서 실수의 대소관계를 알아볼 수 있어요. 어떤 두 수가 있다면 한 수에서 다른 수를 빼서 결과의 부호를 보는 거죠. 결과가 양수이면 앞의 수가 크고, 0이면 둘이 같고, 음수이면 뒤의 수가 더 커요.

5와 3이 있어요. 5 - 3 > 0이므로 앞에 있는 5가 뒤에 있는 3보다 큰 걸 알 수 있지요. 5와 8에서는 5 - 8 < 0이므로 뒤에 있는 8이 더 크죠.

제곱근의 근삿값을 이용하는 방법도 있어요. 다른 근삿값은 상관없지만 가장 많이 사용하는 아래 세 가지 경우는 외워두는 게 편리해요. 

1 + 와 의 크기를 비교해볼까요? 차를 이용하면 (1 + ) - 이 되는데 이거는 0보다 큰 지 작은 지 알 수가 없어요. 이 때 근삿값을 이용하세요.
1 +  ≒ 1 + 1.414 = 2. 414
 ≒ 2.236
따라서 1 + 가 더 크네요.

한 실수에서 다른 실수를 뺏을 때, 실수의 유리수 부분이 없어지거나 무리수 부분(제곱근)이 없어질 때는 차를 이용하면 좋고, 그렇지 않은 경우에는 근삿값을 대입해서 대소관계를 알아보는 게 좋아요. 제곱근의 뺄셈은 나중에 공부할 텐데, 그 때까지 덮어두죠.

실수의 대소관계
실수의 부호를 보고 판단
두 실수의 차의 부호를 이용
제곱근의 근삿값을 대입

다음 괄호 안에 알맞는 부등호를 넣어라.
(1) 3 - (  )   - 3
(2) 2 +  (  )  + 2
(3) 5 (  ) 3 +

실수의 대소관계를 파악할 때 첫번째는 두 실수의 부호를 먼저 살펴보는 거에요. 두 번째는 한 실수에서 다른 실수를 빼서 그 결과의 부호를 보고 실수의 대소관계를 알 수 있어요. 결과가 양수이면 앞에 게 큰 거, 결과가 음수이면 뒤에 것이 큰 거에요. 세번째는 근삿값을 직접 대입해서 그 결과를 보고 알 수도 있고요.

(1)번은 두 실수를 빼도 유리수 부분이 없어지지않으니까 대신 근삿값을 대입해보죠.

3 -  ≒ 3 - 1.732 = 1.268
 - 3 ≒ 1.732 - 3 = -1.268

3 -  >  - 3

(2)번은 차를 이용해보죠.

2 + - ( + 2)
= 2 +  -  - 2
=  -
≒ 1.732 - 1.414
= 0.318 > 0

따라서 2 + >  + 2

(3)번도 빼보죠.

5 - (3 + )
= 5 - 3 -
= 2 -
≒ 2 - 1.414
= 0.586 > 0

따라서 5 > 3 +