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삼각형의 무게중심은 매우 중요한 내용입니다. 꼭 알고 있어야 해요.

이번에는 삼각형의 무게중심과 삼각형 넓이의 관계를 알아볼 거예요. 언제나 그랬듯이 설명은 거창하지만, 결론은 쉬워요. 이 글에서는 딱 하나의 결론만 나와요.

그렇다고 결론만 보지 말고 설명도 잘 보세요. 설명을 잘 이해하지 못하면 응용문제를 풀 수 없거든요.

삼각형의 외심과 내심에서는 넓이와 관련된 내용이 없었으니 헷갈리지는 않을 거예요.

삼각형의 중선과 넓이

먼저 삼각형의 중선과 삼각형의 넓이에 대해서 알아보지요.

삼각형의 중선은 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선이에요.

△ABC에 중선을 그어서 △ABD, △ACD의 두 삼각형으로 나눴어요.

평행선과 삼각형의 넓이, 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비에서 두 삼각형의 높이가 같으면 밑변의 길이의 비와 넓이의 비가 같다고 했어요. 여기서는 밑변의 길이도 같으니 넓이도 같겠죠.

위 그림에서는 로 밑변의 길이가 같아요. 높이도 같고요. 따라서 두 삼각형 △ABD, △ACD의 넓이는 같아요. 즉, 중선으로 나누어진 두 삼각형의 넓이가 같은 거죠.

△ABC의 중선
△ABD = △ACD = △ABC

삼각형의 무게 중심과 넓이

△ABC에 세 중선을 그 교점을 G라고 해보죠. G는 삼각형의 무게중심이에요.

위에서 봤던 것처럼 중선으로 나누어진 삼각형은 넓이가 같아요.

△ABC의 중선 → △ABD  = △ACD ……… ①

이번에는 무게중심 G와 B, C로 이루어진 삼각형을 보죠.

△GBC의 중선  → △GBD = △GCD ……… ②

연립방정식의 풀이법 - 가감법처럼 ① - ②를 해보면

△ABD - △GBD = △ACD - △GCD
△GAB = △GCA

같은 방법으로 계산하면 결국 △GAB, △GBC, △GCA 세 삼각형의 넓이가 모두 같음을 알 수 있어요.

△ABC에서 삼각형의 무게중심이 G일 때,
△GAB = △GBC  = △GCA = △ABC

조금 더 들어가 볼까요?

△GBC의 중선  → △GBD = △GCD = △GBC

△GCA의 중선  → △GCE  = △GAE = △GCA

△GAB의 중선  → △GAF = △GBF = △GAB

△GAB = △ABC이므로 결국 △GAF = △GBF = △GAB = △ABC이에요. 다른 모든 삼각형에서도 똑같아요.

△ABC에서 삼각형의 무게중심이 G이고 각 변의 중점이 D, E, F일 때
△GBD = △GCD  = △GCE  = △GAE = △GAF = △GBF
= △GAB = △GBC = △GCA
= △ABC

다음 평행사변형 ABCD에서 점 O는 두 대각선 와 의 교점, 점 F는 의 중점, 점 E는 와 의 교점이다. □ABCD의 넓이가 30cm²일 때, □OEFC의 넓이를 구하여라.

평행사변형의 성질에 따르면 두 대각선은 서로를 이등분해요. 따라서 죠. 도 △ABC의 중선이라는 거죠. 점 E는 두 중선 , 의 교점이므로 무게중심이에요.

를 그어보세요. □OEFC는 넓이가 같은 두 개의 삼각형으로 나누어지는데, 여기서 하나의 삼각형은 전체 삼각형 △ABC의 넓이의 이에요.

□OEFC = △EFC + △EOC= △ABC + △ABC = △ABC에요.

평행사변형과 넓이에서 평행사변형의 대각선으로 나누어진 두 삼각형의 넓이는 평행사변형의 넓이의 절반이에요. △ABC = □ABCD

자 이제 이 식을 위 식에 대입해보죠.

□OEFC = △EFC + △EOC = △ABC = × □ABCD = × 30 = 5(cm²)

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삼각형의 내심과 외심 기억하고 있죠? 오늘은 또 다른 삼각형의 중심을 공부할 거예요. 바로 삼각형의 무게중심이에요. 너무도 당연한 얘기지만 삼각형의 무게중심은 이름 그대로 무게의 중심입니다.

삼각형의 무게중심은 삼각형의 외심, 삼각형의 내심보다 복잡하지 않고, 내용도 더 적어요. 그래서 더 쉽게 공부할 수 있죠.

무게중심의 정의와 성질을 잘 이해하고, 외심과 내심과 구별할 줄 알아야 합니다.

삼각형의 중선

삼각형의 중선은 이름에서 유추할 수 있어요. 가운데 선이라는 뜻이죠.

삼각형의 중선은 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선을 말해요. 삼각형에는 꼭짓점이 세 개니까 중선은 세 개가 있어요.

삼각형의 무게중심

삼각형에는 세 개의 중선이 있죠. 이 세 개의 중선은 한 점에서 만나게 되는데, 이 교점이 바로 삼각형의 무게중심이에요. 보통은 Gravity의 첫 글자를 따서 G라고 써요. (삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유)

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이고, 무게중심은 그냥 이등분선의 교점이에요. 둘의 차이를 잘 구별하세요.

삼각형의 중점에는 중요한 성질이 하나 있어요. 삼각형의 한 중선에는 꼭짓점, 무게중심, 대변의 중점의 세 점이 있죠? 이 세 점 사이의 거리에 관한 성질이에요.

꼭짓점 ~ 무게중심 : 무게중심 ~ 대변의 중점 = 2 : 1

왜 그런지 알아볼까요?

의 중점 점 E와 점 F를 연결하면, 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 가 됩니다.

△GEF와 △GBC를 보세요.

∠GEF = ∠GBC (이므로 평행선에서 엇각)
∠GFE = ∠GCB (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △GEF ∽와 △GBC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠.

점 F와 점 D를 연결해서 같은 방법을 이용하면 도 구할 수 있지요.

결국, 꼭짓점에서 무게중심에 이르는 거리와 무게중심에서 대변의 중점까지의 거리는 2 : 1이 성립함을 알 수 있어요.

△ABC의 무게중심이 점 G이고, △GBC의 무게중심이 점 G'다. = 18cm일 때 를 구하여라.

꼭짓점 ~ 삼각형의 무게중심 : 무게중심 ~ 대변의 중점 = 2 : 1이므로 무게중심에서 대변의 꼭짓점까지의 거리는 중선의 1/3이죠.

꼭짓점에서 무게중심까지의 거리는 중선의 2/3이니까

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