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분수함수에서 ad - bc ≠ 0인 이유

2025.06.08
분수함수의 역함수, 분수함수의 역함수 구하는 방법
20

2013.10.15
유리함수 2, 분수함수
11

2013.10.13
유리함수, 다항함수, 분수함수, 점근선
21

2013.10.12

분수함수 중에 $y\quad =\quad \frac{cx \quad + \quad d}{ax \quad + \quad b} $꼴의 함수가 있어요. 이 함수는 분자에서 일차항의 계수인 a ≠ 0이어야 하고, 식에 사용된 계수들이 ad - bc ≠ 0이어야 해요.

분자에서 일차항의 계수 a = 0이면 $y \quad = \quad \frac{c}{b}x\quad + \quad \frac{d}{b}$꼴로 계수가 유리수인 다항함수예요. 그래서 a ≠ 0이어야 해요.

ad - bc = 0이면 안되는 이유를 알아보죠.

$$ \begin{align}ad \quad - \quad bc \quad & = \quad 0\\ \\ ad \quad & = \quad bc\\ \\ d \quad & = \quad \frac{bc}{a} \end{align}$$

ad - bc = 0일 때, 먼저 bc를 이항해요. 그리고 앞에서 본 것처럼 a ≠ 0이니까 양변을 a로 나눴더니 d = $\frac{bc}{a}$가 됐어요.

이번에는 위에서 얻은 d = $\frac{bc}{a}$를 원래의 분수함수 $y\quad = \quad \frac{cx \quad + \quad d}{ax \quad + \quad b} $에 대입하고 분자, 분모를 각각 일차항의 계수로 묶어보죠.

$$ \begin{align} y \quad & = \quad \frac{cx \quad + \quad d}{ax \quad + \quad b} \\ \\ y \quad & = \quad \frac{cx \quad + \quad \frac{bc}{a}}{ax \quad + \quad b}\\ \\ y \quad & = \quad \frac{c \left(x\quad + \quad \frac{b}{a}\right)}{a \left(x \quad + \quad \frac{b}{a} \right)} \\ \\ y \quad & = \quad \frac{c}{a} \end{align}$$

괄호 부분을 약분했더니 y = $\frac{c}{a}$가 되었고, 이건 상수함수예요.

분모에 문자가 있어야 분수식이라고 하고, 함수식이 분수식이어야 분수함수인데, 이건 그냥 상수함수라서 다항함수예요. 그래서 분수함수에서는 ad - bc ≠ 0이라는 조건이 있어요.

유리함수 2 - 분수함수

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분수함수의 역함수

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분수함수의 역함수를 구하는 방법이에요. 분수함수에 대해서 공부했고요, 역함수에 대해서도 공부했어요. 분수함수의 역함수는 이 두 가지를 섞으면 돼요. 새로울 건 없어요.

분수식이기 때문에 계산이 조금 복잡할 수 있는데, 이를 해결하기 위한 공식도 있어요. 공식을 외우면 계산을 하지 않고 역함수를 구할 수 있죠. 어려운 공식은 아니니까 금방 외울 거예요.

분수함수의 역함수도 분수함수인 경우가 많으니까 이 역함수에서 분수함수의 특징인 점근선을 찾는 것, 정의역과 치역을 구하는 것도 해볼 거예요.

분수함수의 역함수

역함수를 구하는 방법은 일반적인 역함수 구하는 법과 같아요.

함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.

다만 문제에서 알려주는 함수는 모두 일대일대응이기 때문에 따로 확인할 필요는 없으니 1단계는 그냥 건너뛰어도 되죠.

의 역함수를 한 번 구해볼까요?

2단계인 y = f(x)를 x = f^-1(y)로 풀어보죠.

3단계는 x, y를 서로 바꾸는 거예요.

4단계는 정의역과 치역을 서로 바꾸는 거죠.

y = f(x)의 정의역은 {x|x ≠ 인 모든 실수}, 치역은 {y|y ≠ 인 모든 실수}
→ y = f^-1(x)의 정의역은 {x|x ≠ 인 모든 실수}, 치역은 {y|y ≠ 인 모든 실수}

원래 함수와 역함수를 잘 비교해보세요.

잘 보면 분모의 상수항인 b와 분자의 일차항인 c가 자리를 바꿨고 부호도 반대로 바뀌었어요. 공식처럼 사용하면 되겠죠?

다음 분수함수의 역함수와 역함수의 점근선의 방정식을 구하여라.

(1) 번부터 해볼까요?

공식으로 한번 해보죠. 분모의 상수항과 분자의 일차항의 계수의 자리를 바꾸고 부호도 반대로 해볼게요.

결과가 같네요.

점근선은 x = (분모 = 0인 x값), y = (일차항의 계수비)니까 역함수의 점근선은 x = 3, y = -2가 되겠네요.

(2) 번은 바로 공식으로 역함수를 구해보죠.

점근선의 방정식은 x = 1, y = -1이네요.

정리해볼까요

분수함수 의 역함수

역함수 구하는 방법 이용
1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
3. x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.
공식이용
- 분모의 상수항과 분자의 일차항의 자리를 바꾼 후 부호를 반대로

유리함수 2. 분수함수

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무리함수

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유리함수 두 번째로 좀 더 어려운 분수함수를 공부해보죠. 분수함수는 분수식이 나오기 때문에 식이 복잡해요. 따라서 원리를 잘 이해해야 복잡한 식을 조금이라도 더 쉽게 파악할 수 있어요. 그리고 마지막에 나오는 결론을 공식처럼 외워두세요. 그래야 답을 구하기 편합니다.

그래프의 특징에 대해서 알아볼 건데, 이건 평행이동으로 이해하면 쉬워요. 평행이동, 점과 도형의 평행이동에서 했던 핵심을 잘 기억하고 있으면 좋지요.

분수함수

분수함수 의 그래프

점과 도형의 평행이동에서 x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q를 대입한다고 했어요.

의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동해보죠. x대신 x - p, y 대신 y - q를 대입하고 정리하면 가 돼요.

분수함수의 그래프 1

의 그래프는 어떤 특징이 있을까요?

중학교 때 공부했던 이차함수 그래프, y = (x-p)² + q에서 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y = ax²의 특징 중 x와 관련된 모든 항목은 p로, y와 관련된 모든 항목은 q로 바뀐다고 했어요. 여기서도 마찬가지예요.

의 그래프

점근선	x축 (y = 0), y축 (x = 0)	x = p, y = q
대칭점	(0, 0)	(p, q)
정의역	{x\|x ≠ 0인 모든 실수}	{x\|x ≠ p인 모든 실수}
치역	{y\|y ≠ 0인 모든 실수}	{y\|y ≠ q인 모든 실수}
	\|k\|가 커질수록 대칭점에서 멀어진다.

분모가 0이 되는 수를 제외한 모든 실수가 정의역이죠. k ≠ 0이니까 y = q가 될 수 없어요. 따라서 치역은 y ≠ q인 모든 실수가 되는 거고요.

분수함수 의 그래프

a = 0이면 가 되죠. 이건 분수함수가 아니라 다항함수예요. 그래서 a ≠ 0이라는 조건이 붙어요. 또 ad - bc = 0이 되면 분수함수가 아니라 그냥 상수함수가 되어버리기 때문에 ad - bc ≠ 0이라는 조건이 붙습니다.

의 그래프는 꼴로 바꿔서 풀어요.

의 모양을 바꿔보면 가 되는데, 의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 만큼 평행이동한 걸 알 수 있어요. 여기서 는 분모 = 0이 되게하는 x값이고, 는 일차항의 계수의 비예요.

의 점근선은 x = , y = 가 되죠. 대칭점은 (, )이에요.

의 그래프
꼴로 바꾼다.
점근선: x = (분모가 0이 되는 x값), y = (일차항의 계수비)
대칭점: (분모가 0이 되는 x값, 일차항의 계수비)

분수함수의 그래프 2

함수 의 점근선의 방정식을 구하여라.

의 점근선은 x = (분모가 0이 되는 x값), y = (일차항의 계수비)에요.

정리해볼까요

의 그래프

점근선은 x = p, y = q
점 (p, q)에 대하여 대칭
정의역 = {x|x ≠ p인 모든 실수}
치역 = {y|y ≠ 0인 모든 실수}

의 그래프

꼴로 바꾼다.
점근선: x = (분모가 0이 되는 x값), y = (일차항의 계수비)
대칭점: (분모가 0이 되는 x값, 일차항의 계수비)

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숫자를 공부할 때 정수 다음에 유리수를 공부했어요. 식을 공부할 때는 다항식 다음에 유리식을 공부했고요. 함수를 공부할 때는 어떨까요? 다항함수를 공부한 다음에 유리함수를 공부해요. 다항함수라는 용어는 들어본 적이 없지만 다항함수를 모르는 건 아니에요. 이제까지 우리가 다뤄왔던 함수가 바로 다항함수니까요.

이 글에서는 유리함수의 뜻과 종류에 대해서 공부할 거예요. 분수함수, 점근선, 직각쌍곡선 등 새로운 용어들이 몇 개 나옵니다.

또 라는 함수의 그래프의 특징에 대해서도 공부할 거고요.

유리함수

유리식은 의 꼴로 생긴 식을 말해요. 그럼 유리함수는 뭘까요? 간단히 말하면꼴로 생긴 함수를 말해요. y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식인 함수를 유리함수라고 합니다.

유리식에서 분모가 상수인 식을 다항식이라고 하고, 분모가 상수가 아니면 분수식이라고 했어요. 마찬가지로 함수 y = f(x)에서 f(x)의 분모가 상수이면 즉, f(x)가 x에 대한 다항식이면 함수 y = f(x)를 다항함수라고 해요. 함수 y = f(x)에서 f(x)의 분모가 다항식이면 즉, f(x)가 x에 대한 분수식이면 함수 y = f(x)를 분수함수라고 하지요.

이제까지 공부했던 함수가 바로 다항함수예요.