분수함수 중에 $y\quad =\quad \frac{cx \quad + \quad d}{ax \quad + \quad b} $꼴의 함수가 있어요. 이 함수는 분자에서 일차항의 계수인 a ≠ 0이어야 하고, 식에 사용된 계수들이 ad - bc ≠ 0이어야 해요.
분자에서 일차항의 계수 a = 0이면 $y \quad = \quad \frac{c}{b}x\quad + \quad \frac{d}{b}$꼴로 계수가 유리수인 다항함수예요. 그래서 a ≠ 0이어야 해요.
ad - bc = 0이면 안되는 이유를 알아보죠.
$$ \begin{align}ad \quad - \quad bc \quad & = \quad 0\\ \\ ad \quad & = \quad bc\\ \\ d \quad & = \quad \frac{bc}{a} \end{align}$$
ad - bc = 0일 때, 먼저 bc를 이항해요. 그리고 앞에서 본 것처럼 a ≠ 0이니까 양변을 a로 나눴더니 d = $\frac{bc}{a}$가 됐어요.
이번에는 위에서 얻은 d = $\frac{bc}{a}$를 원래의 분수함수 $y\quad = \quad \frac{cx \quad + \quad d}{ax \quad + \quad b} $에 대입하고 분자, 분모를 각각 일차항의 계수로 묶어보죠.
$$ \begin{align} y \quad & = \quad \frac{cx \quad + \quad d}{ax \quad + \quad b} \\ \\ y \quad & = \quad \frac{cx \quad + \quad \frac{bc}{a}}{ax \quad + \quad b}\\ \\ y \quad & = \quad \frac{c \left(x\quad + \quad \frac{b}{a}\right)}{a \left(x \quad + \quad \frac{b}{a} \right)} \\ \\ y \quad & = \quad \frac{c}{a} \end{align}$$
괄호 부분을 약분했더니 y = $\frac{c}{a}$가 되었고, 이건 상수함수예요.
분모에 문자가 있어야 분수식이라고 하고, 함수식이 분수식이어야 분수함수인데, 이건 그냥 상수함수라서 다항함수예요. 그래서 분수함수에서는 ad - bc ≠ 0이라는 조건이 있어요.