분모의 유리화
무리식, 무리식의 연산
유리수 다음에 뭐 공부했죠? 무리수 공부했죠? 그럼 유리식 다음에는 뭘까요? 바로 무리식을 공부할 거예요.
무리식은 무리수와 비슷해요. 생긴 것도 비슷하고, 계산 방법도 비슷하죠. 무리수에서 분모에 무리수가 있을 때, 분모의 유리화를 했었죠? 여기에서도 분모에 무리식이 있으면 유리화를 합니다.
무리식의 덧셈과 뺄셈은 유리화를 한 후에 통분해서 계산을 해요. 곱셈과 나눗셈은 곱셈공식을 이용해서 계산하면 됩니다. 약분도 이제까지 해왔던 방법대로 할 수 있어요.
무리식
무리수는 유리수의 반대예요. 그러니까 무리식도 유리식의 반대예요. 무리식은 근호 안에 문자가 있는데, 근호를 없앨 수 없는 식을 말합니다. 근호를 없앨 수 있으면 유리식이 되는 거죠.
예를 들어 
무리식이 실수 값을 가지려면 근호 안의 숫자는 0보다 크거나 같아야 하죠. 근호 안이 음수이면 허수잖아요. 위 보기에서 x ≥ -1이어야 해요. 문제에서 특별한 언급이 없는 한 무리식의 값은 실수입니다.
또 무리식이 분수꼴로 나오는 경우도 있는데, 이때 분모는 0이 아니어야 해요.
무리식: 근호 안에 문자가 있고 근호를 없앨 수 없는 식
무리식에서 분모의 유리화
무리수의 계산을 할 때, 분모가 무리수이면 분모의 유리화를 했었죠? 복소수 계산할 때는 분모의 실수화를 했었고요. 분모에 무리식이 들어있으면 유리화를 해요. 유리화를 해야만 통분을 할 수 있거든요. 분모의 유리화는 무리수에서 했던 방법과 똑같아요.
분모의 가운데 부호를 바꿔서 분자, 분모에 곱하는 거요. 이때 주의해야 할 게 근호 안의 부호를 반대로 바꿔서 곱하는 실수를 자주 하는데, 근호 안의 부호가 아니라 근호 바깥의 부호를 반대로 하는 거예요.
분모에 무리식이 하나일 수도 있고, 두 개일 수도 있는데 그건 상관없어요. 유리화하는 방법은 똑같아요.
다음을 간단히 하여라.
(1)번에서 유리화는 분모의 가운데 부호를 바꾼 걸, 분자, 분모에 곱하는 거예요.
(2) 번은 분모에 무리식이 두 개가 있고, 가운데 부호는 (-)네요.
(3)번은 단순히 유리화가 아니라 뺄셈을 하는 거네요. 유리화를 한 후에 통분하고 계산을 해야 하는데, 유리화를 하면 동시에 통분이 되네요.
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분모의 유리화
제곱근의 나눗셈을 하다보면 필연적으로 나오는 게 분수에요. 분수에서 분모에 제곱근이 들어있을 때 제곱근을 처리하는 방법을 분모의 유리화라고 하고 이 글에서는 그 방법을 알아볼 거예요.
분모의 유리화는 분모에 제곱근이 하나만 있을 때와 두 개의 제곱근의 합/차로 되어 있을 때의 두 가지가 있어요. 두 가지에서 사용하는 방법을 다 알아야합니다.
분모의 유리화는 분수꼴의 제곱근 계산에서 필수 과정으로 유리수의 덧셈과 뺄셈에서 분모를 통분하고 약분하는 것처럼 아주 기본적인 과정이에요. 이걸 못하면 제곱근의 덧셈과 뺄셈은 못한다고 봐야죠. 꼭 이해하고 넘어가야 해요.
분모의 유리화
분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모를 유리수로 바꾸는 걸 분모의 유리화라고 해요. 일반적인 분수를 더하거나 뺄 때 분모를 통분해서 계산하죠? 그런데 분모가 무리수라면 통분하기가 어려워요. 그래서 분모를 유리수로 바꾸고, 그 다음에 통분해서 계산을 하는 거죠.
분모에 근호를 포함한 분수는 무리수에요. 무리수인 분수에서 분모가 유리화됐다고 해서 분수가 유리수가 되는 건 아니에요. 분수는 그대로 무리수고, 분모만 유리수가 되는 거예요.
분모의 유리화에서 분자는 아무런 영향을 미치지 않아요. 분자가 유리수든 무리수든 1이든 아니든 상관없어요. 전혀 고려하지 마세요.
분모를 제곱하는 거예요. 통분할 때, 분모에 어떤 수를 곱해주면 같은 수를 분자에도 곱해주죠? 분모는 제곱, 분모에 곱해지는 수를 분자에도 곱해주는 거예요.
분자, 분모에 분모인 
이게 끝이 아니에요. 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 근호안에 제곱인 수가 있으면 근호 앞으로 꺼내는 걸 했어요. 
분자의 근호 안에 제곱인 수가 있어서 꺼냈는데, 이걸 분모에 있을 때 미리 꺼내면 어떻게 되는 지 해보죠.
분모에 정수와 제곱근이 곱해져있을 때는 제곱근만 곱해주면 돼요. 정수는 이미 유리수니까 유리화할 필요가 없잖아요. 계산이 조금 더 간단해 졌죠? 순서를 잘 기억하세요.
제일 마지막 과정에서 약분을 했는데, 두 번째 줄에 보면 분자의 3과 분모의 6을 약분할 수 있어요. 약분은 계산 중에 아무데서나 해도 상관없어요.
분모의 유리화: 분모에 근호를 포함한 수가 들어있을 때, 분자, 분모에 같은 수를 곱해서 분모를 유리수로 만드는 것
분모가 제곱근: 분모와 같은 수를 분자, 분모에 곱
분모가 정수와 제곱근의 곱: 분모의 제곱근 부분을 분자, 분모에 곱
분모가 무리수의 합과 차로 되어있을 때
분모가 두 무리수의 합과 차로 되어 있을 때는 방법이 조금 달라져요.
분모의 유리화는 분모의 제곱근을 없애려고 하는 건데, 없어지지 않았죠? 그래서 이 때는 분모를 제곱해도 소용이 없다는 걸 알 수 있어요. 완전제곱식이 아니라 곱셈공식의 합차공식을 이용해볼까요?
합차공식을 이용했더니 분모가 유리수가 되었죠? 합차공식은 숫자는 같지만 둘 사이의 부호만 다른 걸 곱하는 공식이에요.
정리해보죠. 분모에서 제곱근은 그대로 두고, 부호만 반대인 수를 분자, 분모에 곱해요.
다음 분수의 분모를 유리화하여라.
(1)은 분모에 제곱근이 하나만 있네요. 분모와 같은 수를 분자, 분모에 곱해서 유리화를 하죠.
(2)도 분모에 제곱근 하나만 있으니 이걸 분자, 분모에 곱해주면 되겠네요.
마지막에 3이 약분이 되네요. 분수니까 약분까지 하셔야 해요.
(3) 분모의 근호 안에 제곱인 수가 들어있으니까 이걸 근호 앞으로 꺼내고, 근호 안의 숫자만 분자, 분모에 곱해줘요.
두 번째에서 세 번째로 갈 때 근호 앞의 2와 분자의 2를 약분했어요. 약분을 미리하면 계산이 편리해져요.
(4) 분모에 근호를 포함한 수가 2개 있어요. 이럴 때는 부호를 반대로 해서 분자, 분모에 곱해야 하죠.
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