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그냥 부등식이라고만 되어 있다면 이 부등식의 계수가 0일 수도 있고, 아닐 수도 있어요. 그래서 일반적인 부등식의 풀이 방법으로는 풀면 안 돼요. 우리가 공부한 부등식은 일차부등식이었으니까요.

여기서 공부할 부등식 ax > b의 풀이에는 일차부등식일 때와 일차부등식이 아닐 때의 풀이를 모두 함께 적용해야 해서 아주 까다롭죠. 하지만 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능에서 했던 것과 비슷하니까 아주 생소한 내용은 아니에요. 여기에서도 부정과 불능이라는 용어도 그대로 사용해요. 두 가지를 비교하면서 공부하는 것도 좋을 것 같군요.

부등식 ax > b의 풀이

부등식의 해를 구할 때 양변을 미지수의 계수로 나누죠? 그런데 부등식 ax > b에서는 a = 0일 수도 있고 a ≠ 0일 수도 있어요. a ≠ 0이면 알고 있던 대로 양변을 a로 나눠서 풀면 되는데, a = 0이면 양변을 a로 나눠서 계산하면 안 돼요. 그래서 a = 0일 때와 a ≠ 0일 때를 나눠서 구해야 해요

a ≠ 0일 때

ax > 0에서 a ≠ 0이면 그냥 일차부등식이므로 일차부등식의 풀이에 따라 양변을 a로 나눠서 해를 구하면 돼요. 부등식의 성질에서 부등식의 양변을 어떤 수로 나눌 때 양수인지 음수인지에 따라 부등호의 방향이 바뀐다고 했어요. 그래서 a > 0, a < 0일 때 두 가지 경우를 모두 구해야 하죠.

• a > 0이면
  ax > b
  x >
• a < 0이면
  ax > b
  x <

a = 0일 때

a = 0이면 양변을 a로 나눌 수 없어요. 이때는 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능에서 했던 것처럼 b의 부호를 따져서 구해요. 다만 부등식이니까 b > 0, b = 0, b < 0일 때로 나눠요.

• b > 0일 때
  ax > b
  0x > b
  좌변 ax = 0인데, 우변 b > 0이므로 우변이 더 커요. 그런데 좌변이 더 크다고 되어 있으므로 만족하는 해가 없죠. (불능)
• b = 0일 때
  ax > b
  0x > b
  좌변 ax = 0인데, 우변 b = 0이므로 양변이 같아요. 그런데 좌변이 더 크다고 되어 있으므로 만족하는 해가 없어요. (불능)
• b < 0일 때
  ax > b
  0x > b
  좌변 ax = 0이고, 우변 b < 0이므로 x와 상관없이 좌변이 더 커요. 따라서 해는 모든 실수(부정)

b > 0일 때와 b = 0일 때가 해가 모두 불능으로 같네요.

x에 대한 부등식 ax + 9 < a² + 3x를 풀어라.

먼저 Ax > B의 꼴로 정리한 다음에 A ≠ 0일 때(A > 0, A < 0)와 A = 0일 때(B > 0, B = 0, B < 0)를 나누어 구해야 해요.

ax + 9 < a² + 3x
(a - 3)x < a² - 9
(a - 3)x < (a + 3)(a - 3)

1. a - 3 ≠ 0일 때 → a ≠ 3일 때
   • a - 3 > 0이면 a > 3
     (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
     x < a + 3
   • a - 3 < 0이면 a < 3
     (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
     x > a + 3
2. a - 3 = 0일 때 → a = 3일 때
   a = 3이면 우변 (a + 3)(a - 3) = 0으로 양수, 음수일 때는 해보지 않아도 되네요.
   (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
   0x < 0
   해가 없다.(불능)

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우리가 지금까지 공부했던 방정식에서는 미지수의 개수와 식의 개수가 같았어요. 차수와 상관없이 미지수가 x 하나이면 식은 한 개만 있어도 됐어요. 연립방정식에서 미지수가 x, y 두 개면 식은 두 개, 미지수가 x, y, z 세 개였다면 식은 세 개였고요. 식이 더 많은 건 상관없어요. 식을 골라서 사용하면 되니까요.

그런데 이글에서 공부할 부정방정식은 미지수의 개수가 식의 개수보다 많아요. 미지수는 x, y 두 개인데, 식은 한 개밖에 없지요. 이처럼 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 부정방정식을 어떻게 풀어야하는지 알아보죠.

부정방정식

부정방정식은 미지수의 개수보다 식의 개수가 적어 근이 무수히 많아 근을 정할 수 없는 방정식을 말해요. 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정과 불능에서 부정은 근이 무수히 많을 때라고 했어요.

해가 무수히 많으면 딱 찍어서 '이게 해입니다.' 할 수 없잖아요. 부정방정식의 부정은 '아니다'는 뜻의 부정(不正)이 아니라 '일정하지 않다'는 뜻의 부정(不定)이라는 거 잊지 마세요.

따라서 부정방정식의 해를 딱 정해서 얘기하려면 식이 아닌 다른 조건이 더 주어져야 하는데 그게 바로 근의 종류예요. 근이 실수인지 정수인지 알려주는 거죠.

부정방정식
(식의 개수) < (미지수의 개수)
근에 대한 자연수, 정수, 실수 조건

정수 조건이 주어진 부정방정식

방정식이 주어지고, 해가 정수라는 조건이 있다면 그 방정식을 (일차식) × (일차식) = (정수) 꼴로 바꿔서 풀어요. 어떤 두 수를 곱해서 정수가 되는 경우를 순서쌍으로 나타내고 각 일차식이 순서쌍의 숫자에 해당할 때 미지수의 값을 구하는 거죠.

곱의 형태로 바꿀 때는 대부분 인수분해를 이용하면 돼요. 하지만 때에 따라서는 주어진 식을 그대로 이용하면 안 되고, 숫자를 더하거나 빼서 변형해야 하는 경우도 있어요. 인수분해가 바로 되지 않을 때는 이런 것도 고려하세요.

정수 조건이 주어진 부정방정식
(일차식) × (일차식) = (정수)로 변형
순서쌍을 만들어 미지수의 값을 구함

다음 식을 만족하는 정수 x, y를 구하여라.
(1) xy = 1
(2) xy + x + y + 1 = 2
(3) xy + x + y = 1

(1)은 이미 곱의 형태로 되어 있네요. 어떤 두 수를 곱해서 1이 되는 순서쌍은 (1, 1), (-1, -1)이에요. 따라서 해는 x = 1, y = 1 or x = -1, y = -1이에요.

(2)번은 곱의 꼴로 바꿔야 해요. 인수분해를 해보죠.
xy + x + y + 1 = 2
x(y + 1) + y + 1 = 2
(x + 1)(y + 1) = 2

순서쌍을 구해보면 아래 표처럼 나타낼 수 있어요.

x + 1 = 1일 때, y + 1 = 2이므로 x = 0, y = 1이에요.

이런 식으로 구해보면 (0, 1), (-2, -3), (1, 0), (-3, -2)가 해입니다.

(3)은 좌변이 인수분해가 되지 않아요. 그래서 인수분해가 되도록 숫자를 더해주거나 빼줘야 하죠.

xy + x + y = 1
x(y + 1) + y = 1
x(y + 1) + y + 1 = 2   (∵ 양변 + 1)
(x + 1)(y + 1) = 2

(2)번과 똑같죠? 여기서는 숫자를 더해주고 빼주고 하는 게 중요해요. 하나 더 해보죠.

xy - 3x + y - 10 = 0
x(y - 3) + y - 10 = 0
x(y - 3) + (y - 3) - 7 = 0  (∵ -10 = -3 - 7)
(x + 1)(y - 3) = 7

이렇게 바꾸는 연습을 좀 많이 하세요.

실수 조건이 주어진 부정방정식

실수 조건이 주어진 경우에는 단순 곱으로는 해결이 안 되요. xy = 1을 만족하는 실수는 너무 많아요. 그래서 단순히 곱이 아닌 제곱의 합으로 나타내야 해요.

실수 조건이 주어진 부정방정식
a² + b² = 0의 꼴로 변형
a = 0, b = 0을 만족하는 미지수 구하기

실수는 제곱하면 무조건 0보다 크거나 같아요. 순허수는 제곱하면 0보다 작죠. 이걸 이용하는 거예요. 어떤 실수를 제곱해서 더했더니 0이 되었다는 말은 두 실수가 모두 0이라는 거예요. 0보다 크거나 같은 두 수를 더해서 0이 되려면 둘 다 0일 때 빼고는 없으니까요.

a, b는 숫자일 수도 있고, 완전제곱식일 수도 있어요.

a² + b² = 0 ⇔ a = 0 and b = 0

다음 식을 만족하는 실수 x, y를 구하여라.
(1) (x - 2)² + y² = 0
(2) x² + 5y² - 4xy - 2y + 1 = 0

실수 조건이 주어진 부정방정식은 문제를 완전제곱식 또는 숫자의 제곱의 합으로 바꿔서 풀어야 해요.

(1) 이미 완전제곱식의 합꼴로 되어 있네요.
x - 2 = 0이므로 x = 2
y = 0

(2)번은 식이 조금 복잡한데요. x에 대해서 내림차순으로 정리해보죠.
x² + 5y² - 4xy - 2y + 1 = 0
x² - 4xy + 5y² - 2y + 1 = 0
x² - 4xy + 4y² + y² - 2y + 1 = 0     (∵ 5y² = 4y² + y²)
(x - 2y)² + (y - 1)² = 0

x - 2y = 0, y - 1 = 0에서 x = 2, y = 1

여기서는 5y² = 4y² + y²으로 나누는 게 중요하네요.

다음 식을 만족하는 정수 x, y를 구하여라.
x² - 2x + y² - 4y + 5 = 10

좌변을 정리해보죠.
x² - 2x + y² - 4y + 5 = 10
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 10     (∵ 5 = 1 + 4)
(x - 1)² + (y - 2)² = 10

일단 5 = 1 + 4로 나누어 완전제곱식의 상수로 이용했어요.

그런데, 좌변은 완전제곱식의 합이 되었는데 우변이 0이 아니에요. 우변 = 0이어야 (완전제곱식) = 0으로 해를 구할 수 있잖아요.

문제에서 x, y가 정수라고 했어요. (정수)²은 자연수죠? 어떤 두 자연수를 더해서 10이 되어야하는데, 이 두 자연수는 제곱인 수예요. 따라서 이 두 자연수는 1, 9일 수밖에 없어요.

(x - 1)² = 1, (y - 2)² = 9 or (x - 1)² = 9, (y - 2)² = 1이에요.

x - 1 = ±1, y - 2 = ±3 or x - 1 = ±3, y - 2 = ±1

x - 1 = 1 일 때, y - 2 = 3이므로 x = 2, y = 5

이렇게 다 풀어보면 (2, 5), (2, -1), (0, 5), (0, -1), (4, 3), (4, 1), (-2, 3), (-2, 1)이 되네요.

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이제부터는 방정식에 대해서 공부할 거예요.

방정식은 미지수가 있어서 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠. 방정식은 미지수의 차수에 따라 일차방정식, 이차방정식으로 나눠요. 문제에서는 "일차방정식 …을 풀어라" 혹은 "이차방정식 …을 풀어라" 이런 식으로 나오는데, 가끔 그렇지 않은 경우가 있어요.

이 글에서는 차수를 알려주지 않은 그냥 방정식 ax + b = 0의 해를 구하는 방법과 부정, 불능이라는 용어에 대해서 알아볼 거예요.

방정식 ax + b = 0의 풀이

ax + b = 0에서 b를 이항하면 ax = -b가 되죠.

이때, a ≠ 0이면, x가 남게 되어서 x에 대한 일차방정식이 되고, 해는 양변을 a로 나눠서 x = 죠.

그런데, a = 0이면 어떻게 될까요? a = 0이면 미지수 x가 없어지니까 일차식은 아니에요. a = 0으로는 양변을 나눌 수 없으니까 일반적인 방법과 다르게 해를 구해야 해요. 두 가지 경우로 나눠서 생각해보죠.

a = 0이고 b = 0일 때에요. 이때는 0·x = 0이 되어서 좌변과 우변이 모두 0으로 같아요. x에 어떤 수가 들어가도 식이 성립하는 항등식이 되죠. 이 경우를 해가 너무 많아서 정의할 수 없기 때문에 부정이라고 합니다.

a = 0이고 b ≠ 0일 때는 0·x = b가 되어서 좌변은 0인데, 우변은 0이 아닌 수가 돼요. x에 어떤 수가 들어가도 성립하지 않게 되고, 해가 하나도 없어요. 이런 경우를 불능이라고 합니다.

문제에서 방정식의 차수를 알려주지 않았을 때는 x의 계수가 0인지 아닌지 확인하고, x의 계수가 0이면 상수항이 0일 때와 아닐 때 두 가지 경우를 모두 알아봐야 해요.

해가 특수한 연립방정식에서 해가 무수히 많은 경우와 해가 하나도 없는 경우를 봤는데, 그거랑 비슷하다고 생각하면 돼요.

방정식 a²x + 1 - ax - a = 0의 해를 구하여라.

문제에 일차방정식이 아니라 그냥 방정식이라고 했으니 x의 계수가 0일 수도 있고, 아닐 수도 있어요. 두 가지 경우를 모두 생각해야 합니다. 또 x의 계수가 0일 경우에는 상수항이 0인지 아닌지도 알아봐야 하고요.

a²x + 1 - ax - a = 0
a²x - ax = a - 1
(a² - a)x = a - 1
a(a - 1)x = a - 1

• x의 계수 a(a - 1) ≠ 0 일 때, 즉 a ≠ 0이고 a ≠ 1일 때
  a(a - 1)x = a - 1
  x =
• x의 계수 a(a - 1) = 0일 때, 즉 a = 0 or a = 1일 때
  • a = 0이면 상수항 a - 1 ≠ 0 이므로
    0·x = -1
    해가 하나도 없다. 불능
  • a = 1이면 상수항 a - 1 = 0이므로
    0·x = 0
    해가 무수히 많다. 부정

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지금까지 배운 연립방정식은 일차식이라서 기본적으로 해는 (x, y)의 한 쌍만 존재해요. 그런데 그렇지 않은 경우가 있어요. 아주 특이하게 해가 무수히 많은 경우도 있고 해가 하나도 없는 경우가 있거든요.

어떤 경우에 해가 무수히 많고, 어떤 경우에 해가 하나도 없는지 알아볼까요?

해가 무수히 많은 경우

해가 무수히 많다는 건 일차방정식 두 개를 공통으로 만족하게 하는 해가 많다는 뜻이죠. 즉 두 방정식을 참이 되게 하는 (x, y) 순서쌍이 무수히 많다는 얘기에요.

위 연립방정식을 가감법으로 풀어볼까요?

위의 식을 ①식이라고 하면 ①식에 2를 곱해서 x의 계수의 절댓값을 똑같게 만들어 주면 어떻게 되나요? 4x + 2y = 16이 돼서 ②식과 같은 식이 되어 버려요.

① x 2 - ②을 해보면 좌변은 0, 우변도 0이 되서 0x + 0y = 0이라는 식이 만들어져버리죠. x, y의 값을 구할 수가 없어요.

이렇게 생각해보세요. 정수, 자연수 등의 특별한 조건이 없는 한 미지수가 2개인 일차방정식의 해의 개수는 무수히 많아요. ①식에 2를 곱했더니 ②식과 같아졌어요. 결국, 같은 식이라는 얘기죠. 두 식이 같으니까 해도 당연히 같겠죠. 그래서 공통으로 만족하게 하는 해도 무수히 많은 거죠.

해가 무수히 많은지 알아보려면 직접 계산해서 0 = 0 꼴이 나오는 경우를 찾아도 되지만 계수를 비교해서 알아내는 간단한 방법이 있어요.

①식과 ②식에서 x의 계수끼리, y의 계수끼리, 상수항끼리의 비를 구해서 비교해보는 거예요. 위 예제에서 x 계수의 비는 , y 계수의 비는 , 상수항의 비는 으로 모두 로 같아요.

연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 식의 x, y의 계수비와 상수항의 비가 모두 같아야 해요.

주의. 계수를 비교할 때는 계수의 부호까지도 포함해야 해요.

계수비는 이 아니라 이 되는 거예요.

해가 하나도 없는 경우

이와는 반대로 해가 하나도 없을 때도 있어요.

가감법으로 풀기 위해서 ①식에 2를 곱해서 ②식을 빼보죠.

0x + 0y = 2

위처럼 나오는 군요. 좌변은 0인데, 우변은 2에요. 말이 안 되죠. 0과 2가 같을 수는 없잖아요.

①식에 2를 곱했더니 어떻게 바뀌었나요? 2x - 2y = 18이 되었죠? ②식과 비교해보면 좌변은 같아요. 그런데 우변이 다르죠. x, y에 똑같은 값을 넣었는데 결과가 다르게 나온다는 거예요. 결국 무슨 말이냐면 두 식을 동시에 만족하는 해가 없다는 거죠.

해가 없을 때도 두 식의 계수비를 비교해서 알아낼 수 있어요. x와 y의 계수비는 같지만 상수항의 비는 다를 때 해가 하나도 없답니다.

기타

혹시 x 계수와 상수항의 비는 같은데 y 계수의 비가 다를 때는 어떻게 될지 궁금하지 않나요? 아래 예제 문제를 풀어보시면 궁금증을 해결할 수 있을 거예요.

제대로 풀었다면 이전에 우리가 봤던 것처럼 x, y의 한 쌍의 해가 나올 거예요. 특히 계수비가 다른 y = 0이고요.

y 계수의 비와 상수항의 비는 같고 x 계수의 비만 다를 때도 해를 한 개 구할 수 있어요.