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평행사변형에 이어 사각형 두 번째입니다. 바로 직사각형이에요. 직사각형이 어떤 건지는 모두 알고 있을 거예요. 직각으로 이루어진 사각형이죠.

이 글에서는 직사각형의 성질과 어떤 조건을 만족해야 직사각형이 되는지 알아볼 거예요.

직사각형의 성질과 조건은 평행사변형의 성질과 조건의 연장선에 있어요. 둘의 내용이 많이 다르지 않으니까 이해하기도 쉽지만, 헷갈리지 않게 잘 보세요.

직사각형의 정의

직사각형은 네 개의 내각의 크기가 모두 같은 사각형으로 정의합니다. 다각형 내각의 크기의 합에서 사각형 내각의 크기의 합은 360°이기 때문에 한 내각의 크기는 360° ÷ 4 = 90°가 되겠죠.

네 내각의 크기가 90°로 모두 같으니까 마주보는 두 쌍의 대각의 크기가 서로 같아요. 따라서 직사각형은 평행사변형의 한 종류라고 할 수 있어요.

직사각형을 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형이라고 정의하기도 합니다. 한 내각의 크기가 90°이면 평행사변형의 성질 중 대각의 크기가 서로 같다는 성질에 의해서 마주 보는 각의 크기도 90°가 돼요. 나머지 두 각의 크기의 합이 180°가 되어야 하는데, 이 두 각의 크기도 같으니까 각각 90°가 되어서 결국 네 각의 크기가 모두 90°로 같아지는 거죠.

직사각형의 성질

직사각형은 평행사변형의 한 종류이기 때문에 평행사변형의 성질을 모두 갖고 있어요. 여기에 하나가 더 추가됩니다.

먼저 평행사변형의 성질을 정리해볼까요?

• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 상의 대각의 크기가 각각 같다.
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

위 세 가지 성질에 추가되는 게 두 "대각선의 길이가 같다."입니다.

대각선의 길이가 같다

직사각형에 대각선을 두 개 그었어요. △ABC와 △DCB를 보세요.

평행사변형의 성질에 의해 두 대변의 길이가 같으니까 = 에요. …… (1)

또 직사각형은 내각의 크기가 모두 90°니까 ∠ABC = ∠DCB = 90°죠. …… (2)

는 공통이고요. …… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SAS합동이에요. △ABC ≡ △DCB

대응변이라서 가 되는 거죠.     (증명 끝.)

직사각형: 내각의 크기가 모두 같은 사각형 or 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형
직사각형의 성질: (평행사변형의 성질) + 대각선의 길이가 같다.

평행사변형이 직사각형이 되는 조건

한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각이 크기가 같다.

평행사변형의 한 내각의 크기가 90°면 직사각형이 될 수 있어요. 평행사변형은 두 대각의 크기가 같아요. 직사각형의 정의에서 설명한 것처럼 한 내각의 크기가 90°가 되면 마주 보는 각도 90°가 되고, 나머지 두 각도 90°가 되기 때문에 모든 내각의 크기가 90°가 돼요.

평행사변형의 이웃하는 두 내각의 크기가 같으면 직사각형이 될 수 있어요. 평행사변형의 성질에서 이웃하는 두 내각의 크기는 180°라는 걸 알고 있어요. 두 각의 크기가 같은데 더했더니 180°가 되려면 한 내각의 크기가 90°라는 말이 되죠? 한 내각의 크기가 90°면 직사각형이 되는 건 바로 윗줄에서 설명했어요.

대각선의 길이가 같다.

평행사변형이 되는 조건에서도 평행사변형의 성질을 거꾸로 해서 평행사변형이 되는 조건이 되는 걸 봤어요. 여기서도 마찬가지로 직사각형의 성질을 거꾸로 하면 직사각형이 되는 조건이 되는 거예요.

직사각형의 성질 중에 두 대각선의 길이가 같다는 성질이 있었어요. 이 성질을 거꾸로 해서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 되는 거죠.

△ABC와 △DCB를 보세요.

두 대각선의 길이가 같으니까 에요.…… (1)

평행사변형의 성질에 의해 두 대변의 길이가 같으니까 = 에요. …… (2)

는 공통이고요. …… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SSS합동이에요. △ABC ≡ △DCB

합동이니까 대응각의 크기가 같겠죠? ∠B = ∠C가 됩니다. 그런데 ∠B와 ∠C는 이웃하는 두 내각이에요. 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180°인데, 크기가 같으니까 ∠B = ∠C = 90°가 되죠. 대각의 크기도 서로 같으므로 평행사변형의 내각이 모두 90°가 되요.

따라서 평행사변형에서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 돼요.     (증명 끝.)

평행사변형이 직사각형이 되는 조건
1. 한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각이 크기가 같다.
2. 대각선의 길이가 같다.

아래 그림에서 평행사변형 ABCD가 직사각형이 되는 조건이 아닌 것을 고르시오.

(1)           (2) ∠C = 90°          (3)
(4) ∠B = ∠C        (5)

평행사변형이 직사각형이 되는 조건들을 쭉 나열해보죠.

첫 번째는 한 내각의 크기가 90°일 때에요. (2)가 여기에 해당하네요.
두 번째는 이웃한 두 내각의 크기가 같을 때에요. (4)가 해당하고요.
세 번째는 두 대각선의 길이가 같아야 해요. (1)이 해당하네요.

남은 건 (3)번과 (5)번인데요. 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분해요. 따라서 라는 말은 라는 얘기죠. 즉 가 된다는 것과 같은 말이에요. (5) 번도 맞는 얘기입니다.

(3) 번은 그냥 평행사변형의 조건 중 하나일 뿐이에요. 따라서 조건이 아닌 것은 (3)번이네요.

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평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에서 평행사변형이 어떤 특징을 가지고 있는지 알아봤어요. 대변과 대각, 대각선에 관한 내용이었지요.

이 글에서는 어떤 사각형이 평행사변형이 되는지 알아볼 거예요. 그리고 왜 그렇게 되는지 증명도 해볼거고요.

평행사변형이 되는 조건은 총 다섯 가지인데, 그중에 네 가지가 평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에 나오는 내용이에요. 평행사변형의 성질과 조건이 깊은 관계가 있으니까 잘 비교해보세요.

새로운 내용은 하나밖에 없으니까 그것만 주의 깊게 보면 되겠네요.

평행사변형이 되는 조건

평행사변형이 되는 조건 중에 네 가지가 평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에 나오는 거라고 했으니까, 평행사변형의 성질을 다시 정리해보죠.

• 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이라고 정의
• 평행사변형에서 두 쌍의 대변은 길이가 각각 같다.
• 평행사변형에서 두 쌍의 대각은 크기가 각각 같다.
• 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

평행사변형이 되는 조건은 바로 위 성질을 거꾸로 하면 돼요. 위 성질의 역이 바로 조건이 되는 거죠.

변의 길이가 같거나 각의 크기가 같은 건 합동을 이용해서 증명했어요. 평행사변형이 되는 걸 증명하려면 네 변이 각각 평행하다는 것을 증명해야 하잖아요? 이때는 어떤 성질을 이용해야 할까요? 평행하다는 것을 증명하려면 평행선에서 동위각과 엇각에서 배웠던 것처럼 동위각과 엇각의 크기가 같다는 것을 보여주면 돼요.

두 쌍의 대변이 평행하다.

평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에서 평행사변형은 두 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형이라고 정의했어요. 이 정의에 따라서 두 쌍의 대변이 평행한 사각형은 평행사변형이 되는 거예요.

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

□ABCD에서 점 A와 점 C에 선을 그어보세요. ∠BAC와 ∠DCA가 엇각의 위치에 있어요.

조건에서 두 쌍의 대변의 길이가 같다고 했으니까  = , = 에요. 거기에 는 공통이죠. 세 변의 길이가 같으니까 SSS합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응각인 ∠BAC와 ∠DCA의 크기는 같은 거죠. 즉, 엇각인 ∠BAC와 ∠DCA가 크기가 같으므로 와 는 평행이에요.

∠BCA와 ∠DAC도 같은 방법으로 증명하면 와 가 평행인 걸 알 수 있어요.

따라서 □ABCD에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으면 두 쌍의 대변이 평행하니까 그 사각형은 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

두 쌍의 대각의 크기가 같다고 했으니까 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2(∠A + ∠B) = 360°가 돼요. 즉 ∠A + ∠B = 180°죠. 다시 말해 이웃하는 두 각의 크기의 합은 180°라는 새로운(?) 성질을 알 수 있어요.

□ABCD에서 의 연장선을 긋고, 그 위에 임의의 점 E를 잡아요.

∠EAD와 ∠B는 동위각의 위치에 있어요. 그런데 이웃하는 두 각의 합에 따라 ∠BAD + ∠B = 180°이고, 평각인 ∠EAB = ∠BAD + ∠EAD = 180°에요. ∠BAD + ∠B = ∠BAD + ∠EAD에서 ∠EAD = ∠B임을 알 수 있죠.

∠EAD와 ∠B는 동위각의 위치에 있으면서 크기가 같으니까 와 는 서로 평행이에요.

의 연장선 위에 임의의 점 F를 잡아서 위와 같은 방법을 이용하면 와 도 평행인 걸 증명할 수 있어요.

따라서 □ABCD에서 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으면 두 쌍의 대변이 평행하니까 그 사각형은 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.

두 대각선의 교점을 점 O라고 할게요. △OAB와 △OCD를 보세요. 대각선이 서로를 이등분한다고 했으니  = ,  = 에요.

맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD죠. (맞꼭지각, 동위각, 엇각)

그러면 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △OAB ≡ △OCD

대응변인  = 가 되죠.

△OAD와 △OCB에서도 같은 방법을 이용하면  = 임을 알 수 있어요.

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 □ABCD는 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

이건 평행사변형의 성질과 직접적인 관련은 없는 거예요. 일단, 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다고 했으니  = ,  //  라고 해보죠.

□ABCD에서 점 A와 점 C에 선을 그어요.

△ABC와 △CDA에서  // 이고 엇각이므로 ∠ACB와 ∠CAD는 크기가 같아요.

 = 이고 는 공통이므로 SAS 합동이죠. △ABC ≡ △CDA

대응변인  = 가 됩니다.

따라서 두 쌍의 대변의 길이가 같으므로 □ABCD는 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

평행사변형이 되는 조건
두 쌍의 대변이 평행하다. - 평행사변형의 정의
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
두 대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

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삼각형의 성질에 이어 사각형의 성질입니다.

그 첫 번째로 평행사변형의 성질인데요. 평행사변형이 어떻게 생겼는지는 알고 있을 거예요.

이 글에서는 평행사변형을 어떻게 정의하는지 그리고 평행사변형은 어떤 성질을 가졌는지 알아보고, 그 성질들을 증명해볼 거예요. 증명은 어렵지 않아요. 모든 성질이 하나의 증명방법으로 증명되거든요.

여러 사각형이 나오고 사각형 별로 비슷하면서도 다른 성질을 가지고 있으니 잘 구별할 줄 알아야 합니다.

평행사변형이란?

평행사변형이라는 이름을 잘 들여다보세요. 평행은 두 직선이 서로 만나지 않은 걸 말하죠? 사변은 네 개의 변을 말해요. 즉 네 개의 변이 있는데 이게 평행하다는 거예요. 네 개가 다 평행한 게 아니고 이 중 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 말하는 거죠.

삼각형의 정의, 대변, 대각에서 대변과 대각의 정의에 대해서 공부했었어요. 대변은 마주 보는 변이고, 대각은 마주 보는 각이죠.

평행사변형의 성질

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그으면 △ABC와 △CDA가 생기죠?

평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
와 가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응각인 ∠B = ∠D이 되죠.
또 ∠A = ∠BAC + ∠DAC = ∠DCA + ∠BCA = ∠C가 됩니다.

따라서 ∠B = ∠D, ∠A = ∠C입니다.       (증명 끝.)

이 성질에서 나온 다른 성질이 하나 있는데, 알아두면 좋을 겁니다.

∠B = ∠D, ∠A = ∠C이므로 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2∠A + 2∠B = 360°가 돼요.

∠A + ∠B = 180°라는 결론이 나오죠. ∠A = ∠C니까 A와 C를 바꿔도 되겠죠? 또 ∠B = ∠D니까 B와 D를 바꿔도 되고요.

결국, 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°가 되는 겁니다.

아래 그림을 보고 x + y를 구하여라.

이웃한 두 각의 크기의 합은 180°에요. x° + 80° = 180°이므로 x = 100가 됩니다. 마주 보는 두 각, 즉 대각은 크기가 같으므로 2y° = 80°에서 y = 40이 되고요.

따라서 x + y = 100 + 40 = 140

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그어 △ABC와 △CDA를 만듭니다.

평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
와 가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

다음 그림을 보고 평행사변형 ABCD의 둘레의 길이를 구하여라.

두 대변의 길이는 같으므로 2x + 4 = 3x + 1이에요. x = 3이네요. x = 3을 대입하면,  = = 10cm이고요. = = 14cm죠.

따라서 평행사변형 ABCD의 둘레는 2 × (14 + 10) = 48(cm)입니다.

두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

대각선을 긋고 대각선의 교점을 점 O라고 하죠.

△OAB와 △OCD를 볼게요. 위 평행사변형의 성질 증명에서 = 임을 알 수 있어요. … (1)
평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠OAB = ∠OCD (엇각) … (2)
와 가 평행하므로 ∠OBA = ∠ODC (엇각) … (3)
(1), (2), (3)에 의해서 △OAB ≡ △OCD (ASA 합동)

따라서 대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

점 O가 평행사변형 ABCD의 대각선의 교점일 때 △OAB의 둘레의 길이를 구하여라.

평행사변형에서 두 대변의 길이는 같으므로 = = 6cm

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로  =  =  × = 5cm

마찬가지로 =  =  × = 4cm

삼각형 △OAB의 둘레는 6 + 4 + 5 = 15(cm)

평행사변형의 성질
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

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직선과 각에 이어서 이번에는 직선과 각들로 이루어진 도형에 대해서 알아볼 거예요.

도형 중에 가장 먼저 배우는 건 역시 가장 간단한 삼각형이죠.

삼각형에서 적용되는 성질 대부분이 사각형, 오각형에도 그대로 적용되니까 첫 단계인 삼각형에 대해서 제대로 공부해야 해요.

이 글에서는 삼각형의 의미와 삼각형에서 사용하는 용어들에 대해서 알아보죠.

삼각형의 정의, 대변, 대각

삼각형은 이름 그대로 각이 세 개 있는 도형이죠? 각이 세 개인 것은 꼭짓점이 세 개라는 말과 같아요. 삼각형을 좀 더 멋있게 정의해 볼까요? 세 점 A, B, C를 선분으로 연결한 도형을 삼각형 ABC라고 정의해요. 기호로는 △ABC로 표시하고요. △ 기호 뒤에 세 점을 모두 쓰는 거죠.

삼각형은 꼭짓점과 변, 각으로 이루어져 있어요.

꼭짓점: 점 A, 점 B, 점 C
변: 변 AB, 변 BC, 변 CA
각: ∠ABC (= ∠B), ∠BCA (= ∠C), ∠CAB (= ∠A)

변 AB는 점 A와 점 B를 연결하는 선이잖아요. 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분에서 알아봤던 것처럼 변 AB는 선분 AB니까 기호로 로 나타낼 수 있어요. 변 BC와 변 CA도 마찬가지로 로 나타낼 수 있고요.

삼각형에 대변과 대각이라는 게 있어요. 똥 아니에요. 대변은 한 각과 마주보고 있는 변을 말하고, 대각은 한 변과 마주보는 각을 말해요.

△ABC에서 ∠A와 마주 보는 변은 변 BC죠? 그래서 ∠A의 대변은 변 BC입니다. 대변의 길이는 각의 알파벳을 소문자로 쓴 것으로 표현해요. 그러니까 ∠A의 대변의 길이는 a로, ∠B의 대변의 길이는 b로 나타내는 거지요.

삼각형의 대변은 찾기 쉬워요. 이름에 그 각의 알파벳이 들어있지 않은 변이 대변이에요. ∠B의 대변은 이름에 B가 없는 변, 즉 변 CA가 되는 거죠.

∠A의 대변: 변 BC = a
∠B의 대변: 변 CA = b
∠C의 대변: 변 AB = c

대각은 마주 보는 각인데, 변이 마주 보는 각이에요. 대변과 대각은 서로 반대겠죠? 대각도 마찬가지로 이름에 변에 있는 알파벳이 없는 각이 대각이에요. 변 AB의 대각은 A, B가 없는 ∠C가 되는 거죠.

변 AB의 대각: ∠C
변 BC의 대각: ∠A
변 CA의 대각: ∠B

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