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중2 수학 마지막 글입니다. 벌써 끝이라니 ㅠㅠ. 2학년 과정을 다 마친 다음에는 중3 수학을 미리 예습해보세요.

닮은 도형의 활용에서 제일 중요한 건 닮음비에요. 닮음비는 비니까 계산할 때도 비례식을 세워서 계산하는 게 핵심이죠. 비례식 세우는 건 그렇게 어려운 일은 아니잖아요. 계산도 그렇고요.

그런 면에서 닮은 도형의 활용은 다른 단원에서 나오는 활용문제보다 조금은 쉬운 편이라고 할 수 있어요.

문제 유형에 따라 조금 더 쉬운 방법이 있을 수는 있겠지만, 굳이 유형별 문제 풀이법을 따로 익히기보다는 쉽고 공통으로 사용할 수 있는 비례식을 사용하는 게 제일 좋아요.

닮은 도형의 활용

지도에서 거리 구하기

지도는 실제 지형을 작게 표시해서 평면에 나타낸 거예요. 작게 표시할 때 그냥 작게 표시하는 게 아니라 실제 거리를 일정한 비율로 줄이죠. 작게 줄일 때 사용하는 일정한 비율을 바로 축척이라고 하고요. 바로 이 축척이 닮은 도형의 닮음비에 해당합니다.

지도의 축척은 보통 비례식이나 분수로 나타내요. 1 : 50,000이나 으로요. 여기서 1은 지도상에서의 거리, 50,000은 실제 거리로 지도의 1cm는 실제 50,000cm라는 걸 의미해요.

지도의 축척을 주고, 지도상의 거리가 실제로는 몇 m인지 구하거나 반대로 실제 거리가 지도에는 몇 cm로 표시되는지 묻는 문제가 많이 나와요. 실제 거리를 구할 때와 지도상의 거리를 구할 때 모두 공식으로 외워서 문제를 풀기도 하지만 딱히 추천하지는 않아요. ", 지도상의 거리 = 실제 거리 × 축척"이라는 공식이 있는데, 외우려면 헷갈려요.

축척은 비례니까 계산할 때도 "1 : 50,000 = 지도상의 거리 : 실제 거리"처럼 비례식을 세우는 게 더 나은 방법이에요. 좌변은 축척, 우변에는 거리를 쓰는 거죠. 물론 위 공식은 이 비례식을 계산해서 나온 것이긴 하지만 보다 확실하고 안전한 게 좋죠.

축척이 주어진 지도에서 실제 거리 구하기
축척 = 닮음비
공식을 이용하기보다는 비례식을 세워서 계산
문제에서 요구하는 단위에 맞게 숫자 변환

단위를 변환할 때, 가지 주의해야 할 게 있어요.

1m = 100cm, 1km = 1,000m = 100,000cm인 건 다 알고 있을 거예요. 거리를 하는 건 별로 어렵지 않아요. 넓이를 변환하는 게 문제죠.

1m² = 10,000cm², 1km² = 1,000,000m²이에요. 단위만 제곱하는 게 아니라 숫자도 제곱을 해줘야 해요.

축척이 인 지도에서 다음을 구하여라.
(1) 두 지점 사이의 거리가 10cm일 때 실제 두 지점 사이의 거리는 몇 km인지 구하여라.
(2) 지도에서 넓이가 2cm²인 부분의 실제 넓이는 몇 m²인지 구하여라.

(1) 은 비례식으로 나타내면 1 : 50,000이에요. 지도에서 1cm는 실제 거리로는 50,000cm라는 거지요. 문제에서 구하는 건 10cm가 실제로 몇 km인지를 구하는 거잖아요. 구하라고 하는 값을 x라고 놓고 비례식으로 써보면 1 : 50,000 = 10cm : x cm라는 비례식을 세울 수 있어요.

1 : 50,000 = 10cm : x cm
x = 50,000 × 10 = 500,000(cm)

문제에서는 몇 km냐고 물어봤으니 단위에 맞게 숫자를 고쳐줘야겠죠?

500,000cm = 5,000m = 5km네요.

(2) 넓이에요. 일단 비례식을 세워보죠. 실제 넓이를 ycm²이라고 놓죠.

닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1에서 넓이의 비는 닮음비의 제곱이라고 했어요. 따라서 1 : 50,000이 아니라 1² : (50,000)²라는 비를 사용해야 해요. (50,000)² = (5 × 10⁴)² = 25 × 10⁸이네요.

1 : 25 × 10⁸ = 2cm² : ycm²
y = 2 × 25 × 10⁸ = 50 × 10⁸ = 5 × 10⁹(cm²)

우리가 구한 값은 단위가 cm²이고, 문제에서 요구하는 단위는 m²이에요. 변환할 때 주의하세요.
1m² = 10,000cm²이니까 5,000,000,000cm² = 500,000m²입니다.

높이 구하기

건물, 나무의 높이 구하기는 축척 문제보다 조금 더 쉬워요. 그림이 함께 있으니까요. 나무 그림을 그려주고 그 옆에는 닮은 도형인 삼각형이 함께 나와요.

이런 유형은 나무가 있는 그림에서 삼각형을 찾아서 옆의 삼각형과 닮음비를 이용해서 높이를 구하면 돼요.

높이 구하기
닮은 삼각형을 찾아서 대응변의 비례식을 세워서 계산

죠스 나무의 높이를 구하기 위해 삼각형을 그리고, 그 삼각형을 축소하여 오른쪽에 나타내었다. 죠스 나무의 높이를 구하여라.

축소해서 그렸으니까 두 삼각형은 닮은 도형이에요. 죠스나무의 높이를 x m라고 하지요. 그리고 m 단위를 사용할 거니까 오른쪽 삼각형의 높이도 m로 바꿔줘야 해요. 80cm = 0.8m네요

5m : xm = 1m : 0.8m
x = 5 × 0.8 = 4(m)

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닮은 도형의 겉넓이비와 부피비예요. 겉넓이와 부피를 구하는 거니까 당연히 입체도형이라는 얘기죠.

입체도형에서 닮은 도형의 성질을 먼저 정리해볼까요? 입체도형에서는 대응하는 모서리의 길이의 비가 모두 일정해요. 이 일정한 비가 바로 닮음비지요. 그리고 대응하는 면은 서로 닮은 도형이고요.

닮은 도형의 겉넓이의 비, 닮은 도형의 부피의 비와 대응하는 모서리의 길이의 비, 즉 닮음비 사이에 어떤 관계가 있는지 알아볼까요?

닮은 도형의 겉넓이의 비

두 직육면체가 있어요. 두 입체도형에서 대응하는 모서리의 길이의 비는 m : n이죠.

왼쪽 직육면체의 겉넓이를 구해보죠. 각기둥의 부피와 겉넓이 공식에 따라서 구해보면
S₁ = 2 × ma × mb + 2 × (ma + mb) × mc
   = 2m²ab + 2m²ac + 2m²bc

여기서 세 항에 모두 2m²이 들어있으니까 이걸 앞으로 빼고 나머지 부분을 전부 괄호로 넣어볼게요. 그러면 2m²(ab + bc + ca)가 되는데, 이걸 분배법칙으로 풀어보면 위 식과 같아지죠?
2m²(ab + bc + ca) = 2m²ab + 2m²bc + 2m²ca

이번에는 오른쪽 직육면체의 겉넓이를 구해보죠. 각기둥의 부피와 겉넓이 공식에 따라서 구해보면
S₂ = 2 × na × nb + 2 × (na + nb) × nc
   = 2n²ab + 2n²ac + 2n²bc

여기서 세 항에 모두 2n²이 들어있으니까 이걸 앞으로 빼고 나머지 부분을 전부 괄호로 넣어볼게요. 그러면 2n²(ab + bc + ca)가 되는데, 이걸 분배법칙으로 풀어보면 위 식과 같아져요.
2n²(ab + bc + ca) = 2n²ab + 2n²bc + 2n²ca

두 직육면체의 겉넓이의 비를 구해보죠.
S₁ : S₂ = 2m²(ab + bc + ca) : 2n²(ab + bc + ca) = m² : n²

닮음비가 m : n → 겉넓이 비는 m² : n²

새로운 건 아니죠? 닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1에서 닮은 도형의 넓이의 비는 닮음비의 각 항을 제곱한 거라는 걸 이미 공부했잖아요. 겉넓이도 넓이니까 똑같은 거예요.

닮은 도형의 부피의 비

왼쪽 직육면체의 부피를 구해보죠. 각기둥의 부피와 겉넓이 공식에 따라서 구해보면 V₁ = ma × mb × mc = m³abc죠.

오른쪽 직육면체의 부피 V₂ = na × nb × nc = n³abc고요.

V₁ : V₂ = m³abc : n³abc = m³ : n³

닮음비가 m : n → 부피의 비는 m³ : n³

이 내용은 직육면체 뿐 아니라 원기둥, 각뿔, 원뿔, 구 등 모든 입체도형의 부피에 똑같이 적용돼요.

닮음비, 겉넓이의 비, 부피의 비

이 세 비의 관계는 단위를 생각해보면 쉽게 이해할 수 있어요. 길이의 단위, 겉넓이의 단위, 부피의 단위를 잘 보세요. 단위가 제곱이면 해당 항목도 제곱, 단위가 세제곱이면 그 항목도 세제곱이에요.

반지름이 3cm인 쇠구슬을 녹여서 반지름이 1cm인 쇠구슬을 몇 개 만들 수 있는지 구하시오.

큰 구슬을 녹여서 작은 구슬을 만든다고 했으니까 겉넓이가 아닌 부피의 비를 구해야 하는 문제예요.

작은 쇠구슬의 반지름 : 큰 쇠구슬의 반지름 = 1 : 3이에요. 이게 바로 닮음비죠. 부피의 비는 닮음비를 세제곱하는 거니까 1 : 3의 각 항을 세제곱한 1³ : 3³ = 1 : 27이네요.

작은 구슬 27개와 큰 구슬 1개의 부피가 같으니까 큰 구슬 1개로 작은 구슬 27개를 만들 수 있어요.

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이번에는 닮은 도형의 기본으로 다시 돌아가서 두 닮은 도형 사이의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

닮은 도형은 대응변의 길이의 비가 같아요. 이 비를 닮음비라고 하며 모든 대응변에서 같죠. 닮은 도형에서는 대응변의 길이뿐 아니라 둘레의 길이와 넓이에도 일정한 비가 성립해요.

닮은 도형의 길이의 비(=닮음비), 닮은 도형의 둘레의 비, 닮은 도형의 넓이의 비가 서로 어떤 관계가 있는지 알아볼까요?

닮은 도형의 둘레의 길이의 비

닮음비가 m : n인 두 삼각형 △ABC, △DEF가 있어요.

△ABC의 둘레의 길이를 구해보죠. ma + mb + mc인데, 여기서 m을 앞에 쓰고 m을 뺀 나머지 것들을 모두 괄호 안에 넣어서 쓰면 m(a + b + c)이에요. 이걸 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀면 ma + mb + mc가 되죠? 그러니까 둘을 같은 거죠?

m(a + b + c) = ma + mb + mc

이번에는 △DEF의 둘레의 길이를 구해보죠. na + nb + nc인데, 여기서 n을 앞에 쓰고 n을 뺀 나머지 것들을 모두 괄호 안에 넣어서 쓰면 n(a + b + c)이에요. 이걸 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀면 na + nb + nc가 되니까 둘을 같은 거예요.

n(a + b + c) = na + nb + nc

두 삼각형의 둘레의 길이의 비는 m(a + b + c) : n(a + b + c) 인데, (a + b + c)가 모두 들어있으니까 지우고 나면 m : n이에요. 닮음비와 같아요.

닮은 도형의 닮음비 = 닮은 도형의 둘레의 길이의 비
닮음비가 m : n → 둘레의 길이의 비도 m : n

닮은 도형의 넓이의 비

이번에는 닮은 도형의 넓이의 비를 구해보죠.

□ABCD와 □EFGH가 있어요. 두 도형의 닮음비는 m : n이에요.

□ABCD의 넓이 = ma × mb = m²ab
□EFGH의 넓이 = na × nb = n²ab

□ABCD : □EFGH = m²ab : n²ab

두 항 모두에 ab가 들어있으니까 약분하면 m²ab : n²ab = m² : n²가 되죠.

닮은 도형의 넓이의 비
닮음비가 m : n → 넓이의 비 m² : n²

두 원이 있다. 큰 원의 반지름은 작은 원의 반지름의 3배이고, 작은 원의 반지름이 2cm일 때, 큰 원의 넓이를 구하여라.

닮은 도형, 도형의 닮음에서 정다각형, 원 등은 항상 닮은 도형이라고 했어요. 따라서 별다른 얘기가 없어도 이런 도형들은 닮은 도형이라는 걸 전제로 하고 문제를 풀어야 해요. 그리고 원에서는 변의 길이 대신에 반지름의 길이의 비를 닮음비로 한다고 했어요.

닮음비가 1 : 3이니까 넓이의 비는 1 : 3² = 1 : 9가 되겠죠?

작은 원의 반지름이 2cm니까 넓이는 πr² = 4π(cm²)이군요.

큰 원의 넓이는 작은 원 넓이의 9배니까 4π × 9 = 36π(cm²)입니다.

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닮은 도형을 계속 공부하고 있는데요. 이번에는 조금 응용된 과정이에요. 삼각형의 내각과 외각의 이등분선을 이용해서 변의 길이를 구하는 내용이지요.

이번 내용은 그림이 살짝 이상하게 생겨서 조금은 낯설 수 있어요. 하지만 어차피 도형의 닮음이므로 이상하게(?) 생각할 필요는 없어요.

닮은 삼각형이 눈에 바로 보이지는 않지만, 공식을 유도하는 과정이 아니면 닮은 삼각형을 찾지 못해도 문제를 푸는 데는 전혀 지장이 없어요. 혹시, 유도하는 과정이 이해가 안 되더라도 공식은 꼭 외우길 바랍니다.

삼각형 내각의 이등분선과 닮음

△ABC에서 ∠A의 이등분선과 가 만나는 점을 점 D라고 했을 때 아래 그림과 같은 길이의 비가 성립해요.

∠A의 이등분선은 에요. 이등분선의 한쪽 끝인 점 A에서 시작하는 두 변의 길이의 비와 다른 쪽 끝인 점 D에서 시작하는 두 변의 길이의 비가 같지요.

증명해볼까요?

에 평행하고, 점 C를 지나는 선과 의 연장선이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.

여기서 가 없다고 생각해보세요. 어떤 그림이죠? 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서 봤던 그림이죠?

△ABD와 △ECD가 서로 닮음이에요. △ABD ∽ △ECD (AA 닮음). 두 삼각형 사이에는 길이의 비가 성립하죠. 전부 쓰지 않고 필요한 것만 써볼게요.

이제 가 다시 있다고 생각해 보죠. △ABC에서 는 ∠A의 이등분선이니까 ∠BAD = ∠CAD죠. 그리고 ∠BAD와 ∠CED는 평행선의 엇각으로 크기가 같아요. ∠BAD = ∠CED

∠BAD = ∠CAD = ∠CED로 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이 되는 조건에 의해 △CAE는 이등변삼각형이에요. △CAE가 이등변삼각형이므로  = 가 됩니다.

△ABD와 △ECD의 닮음비로 만들었던 공식에  = 를 대입하면 가 되는 걸 증명할 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

바로 공식에 대입해보죠.

10 : 15 = 4 : x
10x = 60
x = 6 (cm)

삼각형 외각의 이등분선과 닮음

이번에는 △ABC에서 ∠A의 외각의 이등분선과 의 연장선이 만나는 점을 점 D라고 했을 때 아래 그림과 같은 길이의 비가 성립해요.

∠A의 외각의 이등분선은 에요. 이등분선의 한쪽 끝인 점 A에서 시작하는 두 변의 길이의 비와 다른 쪽 끝인 점 D에서 시작하는 두 변의 길이의 비가 같지요.

에 평행하고, 점 C를 지나는 선과 가 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고  의 연장선 위의 임의의 점 F를 잡아요.

△ABD와 △ECD는 서로 닮음이에요. △ABD ∽ △ECD. 두 삼각형 사이에는 길이의 비가 성립하죠. 전부 쓰지 않고 필요한 것만 써볼게요.

는 ∠A의 외각의 이등분선이니까 ∠CAE = ∠FAE에요. ∠FAE와 ∠CEA는 평행선의 엇각으로 크기가 같아요. ∠FAE = ∠CEA

따라서 ∠FAE = ∠CAE = ∠CEA죠. △CAE에서 ∠CAE = ∠CEA로 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이 되는 조건에 의해 △CAE는 이등변삼각형이에요. △CAE가 이등변삼각형이므로  = 가 됩니다.

△ABD와 △ECD의 닮음비로 만들었던 공식에  = 를 대입하면 가 되는 걸 증명할 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

그림에 보면 한 가지 함정이 있어요. △ABC에서 한 외각의 크기의 이등분선이 주어졌는데, 이때 우리가 쓸 수 있는 공식은 에요. 그런데 문제에서는 가 아니라 를 알려줬어요.  = (x - 4)cm에요.

공식에 대입해보죠.

10 : 8 = x : x - 4
8x = 10x - 40
2x = 40
x = 20 (cm)

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평행선 사이의 선분의 길이의 비

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 두 번째입니다. 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서는 평행선을 그었을 때 생기는 새로운 삼각형과 원래 삼각형이 닮았다는 걸 중심으로 해서 각 길이의 관계를 알아봤는데요.

이 글에서는 새로운 삼각형과의 관계가 아니라 다른 내용의 길이의 비에 관한 내용이에요.

두 내용에 차이가 있으니까 잘 구별하세요.

이 글의 내용도 마찬가지로 공식으로 외우기보다는 그림으로 외워야 합니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2

△ABC에서 밑변에 평행한 선을 그어요. 그러면 두 부분으로 나뉘죠? 보라색 변의 길이 비는 파란색 변의 길이 비와 같아요.

증명해볼까요?

△ABC에서 와 평행한 선을 그어서 와 만나는 점을 점 D, 와 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고 와 평행하고, 점 E를 지나는 선을 그어요. 와 만나는 점을 점 F라고 하면 △EFC가 생기죠? 이 삼각형과 △ADE의 관계를 알아봐요.

∠ADE = ∠ABC = ∠EFC (평행선에서 동위각)

∠AED = ∠ECF (평행선에서 동위각)

두 각의 크기가 같으므로 △ADE ∽ △EFC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이니까 길이의 비에 관한 식을 세울 수 있어요. 

□DBFE는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이에요. 평행사변형의 성질에 따라 대변의 길이는 같으므로 죠. 이걸 위 비례식에 대입하면 가 성립함을 알 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

6 : 3 = 8 : x이므로
x = 4 (cm)

이번에는 △ABC에서 밑변의 평행선을 꼭짓점보다 더 위에 그렸을 때에요. 삼각형 한 변의 길이와 연장선 길이의 비 사이의 관계죠. 이 그림에서도 마찬가지로 파란색 선과 보라색 선 사이에 길이의 비가 성립해요.

증명해 볼까요?

△ABC에서 점 A위에 와 평행한 선을 그어서 의 연장선과 만나는 점을 점 D, 의 연장선과 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고 점 D를 지나고 에 평행한 선을 긋고, 의 연장선과 만나는 점을 점 F라고 해보죠. △ADE와 △DBF의 관계를 알아볼 거예요.

∠ADE = ∠DBF (평행선에서 엇각)
∠AED = ∠DFB (평행사변형에서 대각)

두 각의 크기가 같으므로 △ADE와 △DBF는 AA 닮음이에요. △ADE ∽ △DBF

변의 길이를 이용해서 비례식을 세워보죠.

□EDFC는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이에요. 평행사변형의 성질에 따라 대변의 길이는 같으므로 죠. 이걸 위 비례식에 대입하면 가 성립함을 알 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

삼각형의 한 변의 길이와 그 연장선 사이의 비가 같으므로,

x : 12 = 6 : 9
x = 8 (cm)

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닮은 도형은 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소해서 얻은 도형을 말해요. 두 닮은 도형의 위치에 따라서 또 다른 특징이 있는데, 이 글에서는 닮은 도형의 위치에 따른 성질을 알아볼 거예요.

이 성질을 잘 안다면 두 도형의 위치만 보고도 닮은 도형인지 아닌지 파악할 수 있어요. 또 그림이 그려져 있지 않아도 설명만 듣고도 닮은 도형인지 아닌지 알 수 있죠. 새로운 방법으로 닮음비도 구할 수 있고, 대응변의 길이도 구할 수 있고, 여러 가지 장점이 있어요.

닮음의 위치와 닮음의 중심

두 도형이 있어요. 이 도형에서 대응점을 연결하는 직선을 그으면 한 점에서 만나게 되는데, 이때 두 도형을 닮음의 위치에 있다고 얘기합니다. 그 연결선들이 만나는 한 점을 바로 닮음의 중심이라고 하고요.

△ABC와 △DEF에서 대응점을 연결하는 직선이 한 점 O에서 만나요. 따라서 두 삼각형은 닮음의 위치에 있다고 하고, 점 O를 닮음의 중심이라고 하지요.

닮은 도형이라고 해서 모두 닮음의 위치에 있는 건 아니에요.

두 도형은 닮은 도형이지만 대응점을 연결했을 때 연결선이 한 점에서 만나지 않죠.

닮음의 중심의 위치

닮음의 중심은 상황에 따라 여러 위치에 있을 수 있어요. 여러 경우가 있겠지만 크게 보면 세 가지 경우로 나누죠. 처음 그림에서는 닮음의 중심이 두 도형의 왼쪽에 있지요? 왼쪽이든 오른쪽이든 상관없이 두 도형의 외부에 있다고 얘기합니다.

왼쪽 그림에서는 닮음의 중심은 두 도형의 사이에 있지요? 이 경우에도 마찬가지로 외부에 있다고 얘기합니다.

가운데 그림에서 닮음의 중심은 도형의 내부에 있어요.

오른쪽 그림에서는 도형의 꼭짓점에 있죠. 도형의 한 변에 있는 경우를 포함해서 이때를 도형의 위에 있다고 얘기해요.

닮음의 위치에 있는 두 도형의 성질

대응점을 연결한 직선이 한 점에서 만나면 닮음의 위치에 있다고 했으니 거꾸로 닮음의 위치에 있으면 대응점을 연결한 직선이 한 점에서 만난다고 할 수 있죠.

닮음의 중심에서 대응점에 이르는 거리비는 닮음비와 같아요. 라면 도 성립한다는 거예요.

또 대응변은 서로 평행이에요. △OAB와 △ODE는 세 변의 길이의 비가 같은 닮은 도형이죠. 닮은 도형에서 대응각은 크기가 같아요. ∠OAB = ∠ODE이므로 평행선의 성질에 따라 동위각의 크기가 같으므로 가 됩니다. 다른 대응변들도 마찬가지고요.

닮음의 위치에 있는 도형의 성질
1. 대응점끼리 연결한 직선은 한 점에서 만난다. → 닮음의 중심
2. 닮음의 중심에서 대응점까지의 거리의 비는 일정 = 닮음비
3. 대응변은 서로 평행

닮은 위치에 있는 도형의 성질을 이용하면 두 도형이 닮은 도형의 위치에 있는지 아닌지 알 수 있겠죠?

아래 그림에서 □ABCD와 □EFGH는 서로 닮은 관계에 있고, 일 때, 의 길이를 구하여라.

이므로 이예요. 이 비는 닮음비와 같죠. 닮음비는 변의 길이의 비와 같으므로 의 비례식을 풀어보면,  = 6cm라는 걸 알 수 있어요.

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합동과 닮은 도형의 같은 점과 차이점에 대해서 이해하셨나요? 이제 닮은 도형의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

합동에서는 대응변의 길이가 같고, 대응각의 크기도 같았어요. 닮은 도형에서도 대응변과 대응각의 크기가 어떻게 되는지 알아볼 거예요. 평면도형과 입체도형에서도 어떤 차이가 있는 지 알아볼 거고요.

닮은 도형은 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소해서 얻어진 도형을 말하니까 이것만 잘 기억하시면 이 글의 내용은 어렵지 않을 겁니다.

평면도형에서 닮은 도형의 성질

두 삼각형이 있는데, 서로 닮음 관계에 있어요. △ABC ∽ △DEF

도형을 확대했다는 얘기는 모든 변을 확대했다는 거예요. 키가 커지면 팔도 다리도 같이 길어져야 정상이죠? 는 확대했는데, 는 확대하지 않으면 그건 닮은 도형에서 말하는 확대가 아니에요.

또 일정한 비율로 확대했다는 건 를 2배 확대하면 도 2배 확대하는 거지요. 를 확대한 비율과 를 확대한 비율이 다른 건 일정한 게 아니잖아요.

이번에는 거꾸로 얘기해보죠. 를 로 확대한 비율과 를 로 확대한 비율은 서로 같아요. 이 확대한 비는 어떤 변이든 같아요. 일정하다는 거죠. 대응하는 변의 길이의 비는 일정한데, 이 일정한 비를 닮음비라고 해요. 닮음비는 모든 변에서 같아서 하나의 대응변에서만 구해도 상관없어요.

변의 길이가 아니라 각을 한 번 보죠. 도형을 2배 확대하면 변의 길이가 2배로 늘어나요. 그렇다면 각도 2배로 늘어날까요? 아니에요. 삼각형의 크기를 2배로 늘렸다고 해도 모양은 삼각형 그대로에요. 따라서 내각의 크기는 확대 전후에 모두 180°죠. 각의 크기는 변하지 않는 걸 알 수 있어요.

평면도형에서 닮은 도형의 성질
1. 대응하는 변의 길이의 비는 일정하다. → 닮음비 
2. 대응각의 크기는 같다.

참고로, 원에는 변이 없는데, 닮음비를 어떻게 구할까요? 원에서는 반지름의 비를 닮음비로 합니다.

다음 그림에서 △ABC ∽ △DEF일 때, 물음에 답하여라.
(1) 두 도형의 닮음비를 구하여라.
(2) 의 길이를 구하여라.
(3) x + y 의 값을 구하여라.

(1) 닮음비는 두 도형의 대응변 중 길이가 둘 다 나와 있는 변의 길이를 이용하므로

(2) 닮음비가 2 : 3인데, 이 닮음비는 모든 변에서 같으므로

(3) 닮은 도형에서 대응각의 크기는 같아요. ∠A = ∠D이므로 삼각형 내각의 합에 의해서 x + y + 50° = 180°
x + y = 130°

입체도형에서 닮은 도형의 성질

입체도형에는 변이 아니라 모서리라고 부르지요? 평면도형에서 대응변의 길이의 비는 일정해요. 마찬가지로 입체도형에서 대응하는 모서리의 비는 일정해요. 일정한 대응하는 모서리의 길이의 비를 닮음비라고 하지요.

입체도형에서 면 하나만 따로 떼서 볼까요? 대응하는 모서리의 길이의 비가 같으므로 와 의 비, 와 의 비도 일정해요. 면BCGF와 면JKON의 네 변의 길이는 모두 일정한 닮음비를 가져요. 따라서 두 면은 서로 닮은 도형이에요. 결국, 입체도형에서 대응하는 면은 서로 닮은 도형이에요.

입체도형에서 닮은 도형의 성질
1. 대응하는 모서리의 비는 일정하다. → 닮음비
2. 대응하는 면은 닮은 도형이다.

원에서와 마찬가지로 구의 닮음비는 반지름의 비로 구합니다.

다음 그림에 두 직육면체가 서로 닮음 관계에 있을 때, 물음에 답하시오.
(1) 두 도형의 닮음비는 얼마인가?
(2) x와 y를 구하여라.

(1) 길이가 나와 있는 제일 아래 모서리의 길이의 비로 구해보죠. 6 : 9 = 2 : 3이네요.

(2) 2 : 3 = x : 6 이므로 x = 4(cm)
2 : 3 = 6 : y 이므로 y = 9(cm)

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