곱셈공식의 변형
여러가지 유리식의 풀이
유리식은 종류가 많아요. 부분분수 공식, 번분수, 가비의 리, 비례식 등이 있지요. 그 외도 여러 가지 분수식이 있는데, 여기서 다뤄볼게요.
여러 가지 유리식의 풀이에서는 그 전에 공부했던 곱셈공식, 인수분해 공식 등을 활용해야 합니다. 다 기억하고 있어야겠죠? 문제에 조건식과 답을 구해야 하는 식 두 가지가 나오는데, 조건식을 여러 공식을 이용해서 모양을 바꾸어 문제의 식에 대입해서 답을 구합니다.
모양을 바꾸는 방법은 몇 가지 유형이 있으니까 유형만 잘 알고 있으면 돼요. 문제의 유형과 풀이법을 알아보죠.
유리식의 계산
조건식이 방정식일 때
조건이 방정식일 때는 방정식의 모양을 바꿔서 분수식으로 만드는데 이때 곱셈공식이나 곱셈공식의 변형을 이용해요. 가장 많이 나오는 게 분수꼴 곱셈 공식의 변형이에요.
아래 공식을 잘 기억해두세요. 유도하는 과정은 곱셈공식의 변형에 나와 있어요.
x2 + x + 1 = 0일 때 다음을 구하여라.
(1) x3
(2) x3 +
(1) 인수분해 공식 중에 a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ), a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)이 있어요.
x2 + x + 1 = 0의 양변에 (x - 1)을 곱해보죠.
x2 + x + 1 = 0
(x - 1)(x2 + x + 1) = 0·(x - 1)
x3 - 1 = 0
x3 = 1
x2 - x + 1 = 0이었다면 양변에 x + 1을 곱해서 같은 방법으로 풀면 돼요.
(2) 
x2 + x + 1 = 0
x2 + 1 = -x
x +
좌변에 x = 0을 대입하면 식이 성립하지 않으므로 x = 0이 아니에요. 따라서 양변을 x로 나눌 수 있어요. 양변을 x로 나누면 분수꼴이 돼요.
= (-1)3 - 3(-1)
= -1 + 3
= 2
이차방정식이 조건식으로 주어졌을 때, 일차항을 이항하고 양변을 x로 나누는 방법은 자주 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.
조건식이 두 문자가 있는 등식일 때
이번에도 조건식을 문제에 맞게 변형해야 해요. 조건식이 등식이면 한 문자에 대하여 정리합니다. 정리한 문자를 식에 대입해서 한 문자에 관한 식으로 바꾸면 문자는 약분돼 없어지고 숫자만 남아요.
조건식이 방정식일 때: 곱셈공식, 곱셈공식의 변형을 이용하여 방정식을 변형
조건식이 등식일 때: 한 문자에 관해 정리한 후 문제에 대입
4x = 2y일 때 
4x = 2y이므로 y에 대하여 정리하면
y = 2x
y= 2x를 문제에 대입
x = 2y = 3z일 때, 
x = 2y
y = 
x = 3z
z = 
y와 z에 대하여 정리했으니까 이걸 문제에 대입해보죠.
마지막에는 번분수의 성질을 이용해서 약분도 하고, 분수로 바꾼 겁니다.
함께 보면 좋은 글
유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산
부분분수 공식, 번분수
가비의 리, 비례식 푸는 법
곱셈공식, 곱셈공식 유도
곱셈공식의 변형, 곱셈공식의 변형 유도
고1 곱셈공식의 변형, 곱셈공식의 변형 유도
고1 곱셈공식의 변형은 고1 곱셈공식에서 항을 이항시켜서 만든 거예요. 솔직히 말해서 이항을 잘 한다면 곱셈공식의 변형을 외울 필요는 없어요. 괜히 외우려다가 원래의 곱셈공식과 헷갈리기만 할 뿐이죠.
원래의 곱셈공식에서 이항을 해서 만든 게 곱셈공식의 변형이라서 기본적으로 두 개는 같은 거예요. 2 + 3 = 5와 2 = 5 - 3이 같은 거잖아요. 실제로 문제에서는 원래의 곱셈공식에 대입해서 풀다가 필요할 때 숫자를 이항시키는 게 훨씬 쉬워요.
그렇다고 모든 변형 공식이 필요없는 게 아니에요. 그 중에는 꼭 외워야하는 곱셈공식의 변형도 있으니 설명을 잘 보세요. 이 글에서는 곱셈공식의 변형을 외우려고 하지 말고, 어떻게 만들어지는 지 잘 이해해야해요.
곱셈공식의 변형
곱셈공색의 변형에서 가장 핵심은 이항이에요. 항의 부호를 바꿔서 반대 변으로 넘기는 걸 이항이라고 하죠? 아래는 중학교 때 공부했던 곱셈공식의 변형이에요.
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
= (a - b)2 + 2ab
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
세 번째 줄이 어떻게 만들어지는지 이해하고, 외우세요.
고1 곱셈공식의 변형을 알아보죠. 앞서 공부했던 곱셈공식에서 몇몇 항을 이항해서 여러가지 곱셈공식의 변형을 만들 수 있어요.
(1) a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
(2) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
(3) a3 + b3 + c3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
(4) a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 
마지막 (4)은 (3)번의 가운데에 있는 괄호안을 정리한 거예요. 어떻게 위 공식들이 변형되었는지 확인해보죠.
(1) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
(2) (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
(3) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc
a3 + b3 + c3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
(4) a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca
=
=
=
=
곱셈공식의 변형은 기본 곱셈공식에서 항을 이항한 것에 지나지 않기때문에 굳이 외울 필요는 없어요. 오히려 원형과 헷갈리기만 할 뿐이거든요. 계산할 때 숫자를 대입한 다음에 이항해도 문제는 풀 수 있어요. 단, 마지막에 있는 (4)번은 곱셈공식에 없는거니까 외워두세요.
x + y + z = 6, x2 + y2 + z2 = 14, xyz = 6일 때, x3 + y3 + z3를 구하여라.
곱셈공식의 변형을 이용하지 않고 곱셈공식 원형을 이용해서 문제를 풀어보죠.
곱셈공식 중에서 세 제곱인 세 항이 들어있는 공식은 (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = x3 + y3 + z3 - 3xyz에요. 그런데, -xy - yz - zx의 값을 모르니 이 공식에 대입할 수 없어요.
-xy - yz - zx = -(xy + yz + zx)의 값을 구할 수 있는 공식은 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)네요. 대입해보죠.
62 = 14 + 2(xy + yz + zx)
2(xy + yz + zx) = 36 - 14
xy + yz + zx = 11
-(xy + yz + zx) = -11
(x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = x3 + y3 + z3 - 3xyz
6(14 - 11) = x3 + y3 + z3 - 3 × 6
18 = x3 + y3 + z3 - 18
x3 + y3 + z3 = 36
곱셈공식 원형을 이용해서 문제를 풀어도 아무런 지장없이 풀 수 있어요.
분수꼴 곱셈공식의 변형
분수 형태의 곱셈공식이에요. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2에서 a = x, b =
(x +
x2 + 
(x -
x2 +
x2 +
= (x -
우 변 두 개를 같다고 놓고, -2와 +2를 한 번씩 이항해보죠.
(x +
(x +
(x -
x +
(1) x2 +
(2) x3 +
(1) (x +
x2 +
= 32 - 2
= 7
(2) (x +
x3 + 
= 33 - 3·3
= 27 - 9
= 18
함께 보면 좋은 글
곱셈공식, 곱셈공식 유도
[중등수학/중1 수학] - 일차방정식의 뜻, 이항
[중등수학/중2 수학] - 곱셈공식의 변형
곱셈공식의 변형
곰셈공식의 변형은 곱셈공식과 등식의 변형을 하나로 합친 내용이에요.
곱셈공식은 다섯 가지가 있었는데, 모두 외우고 있죠? 필수공식이니까 반드시 외워야 해요. 그리고 등식의 변형에서 가장 기본이 되는 건 이항이었어요. 이 두 가지만 잘 알고 있으면 이번 글은 비교적 쉽게 넘어갈 수 있는 내용이에요.
곱셈공식의 모양을 바꾸면 새로운 공식이 나오는데, 외우면 좋아요. 하지만 헷갈려서 외우기가 어렵다면 외우지 않아도 돼요. 단 원리는 꼭 이해해야 하고, 곱셈공식을 변형할 수 있어야 해요.
곱셈공식의 변형
곱셈공식의 변형 - 제곱의 합
곱셈공식(완전제곱식, 합차공식 외)은 총 다섯 가지가 있었는데, 그중 완전제곱식 두 가지 있었죠?
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
이 두 공식의 우변에서 2ab를 이항해서 모양을 바꿀 거예요.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 - 2ab = a2 + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a - b)2 + 2ab = a2 + b2
첫 번째 곱셈공식은 두 수의 합(a + b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a2 + b2)으로 이루어져 있어요. 두 번째 곱셈공식은 두 수의 차(a - b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a2 + b2)으로 되어 있고요. 그러니까 두 수의 합/차, 곱, 제곱한 것의 합 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있는 거죠. 두 수가 무엇인지는 구할 필요가 없어요.
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
= (a - b)2 + 2ab
곱셈공식의 변형 공식은 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않는다면 굳이 외우지 말고, 변형하는 방법만 알아두세요. 문제 푸는 데 전혀 지장이 없으니까요.
변형된 곱셈공식을 이용해서 문제를 풀 때는 문제에서 구하라고 하는 것과 문제에서 주어진 것들이 들어있는 공식을 사용해야 해요. x + y를 구하라고 하는 문제에서 엉뚱하게 (x - y)가 들어있는 공식을 사용해서는 안 되겠죠?
어떤 두 수 x, y의 합이 5이고, 곱이 10일 때 x2 + y2을 구하여라.
합과 곱을 주고 제곱한 것의 합을 구하는 문제예요. 세 가지가 들어있는 공식은 (a + b)2 = a2+ 2ab + b2이네요. 각 자리에 수를 대입해볼까요?
52 = x2 + 20 + y2
x2 + y2 = 25 - 20
x2 + y2 = 5
곱셈공식의 변형 - 합의 제곱, 차의 제곱
변형된 곱셈 공식을 보면 둘 다 좌변이 a2 + b2예요. 그러니까 두 공식의 우변을 서로 같다고 놓을 수도 있겠죠? 그런 다음 2ab를 이항해보죠.
(a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
합의 제곱, 차의 제곱, 두 수의 곱 중 두 가지를 알면 나머지를 구할 수 있는 공식이에요. 두 수가 어떤 수인지 몰라도 상관없는 거죠. 두 수의 합이 아니라 합의 제곱, 두 수의 차가 아니라 차의 제곱이라는 걸 주의하세요.
새로운 공식들이 만들어졌어요. 외우면 좋겠지만 외우지 못하겠다면 변형하는 방법을 잘 이해하면 돼요.
x + y = 4, x2 + y2 = 10일 때 다음을 구하여라.
(1) xy
(2) (x - y)2
두 수의 합과 제곱의 합이 주어졌어요. 두 가지가 들어있는 공식은 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2이에요. 여기서 모르는 xy를 구할 수 있어요.
(1) 42 = 10 + 2xy
2xy = 6
xy = 3
(2)는 차의 제곱을 구하라고 했어요. 차의 제곱이 들어있는 공식은 (x - y)2 = x2 - 2xy + y2이죠. 대입하면
(x - y)2 = 10 - 2 × 3
(x - y)2 = 10 - 6
(x - y)2 = 4
함께보면 좋은 글
곱셈공식 - 완전제곱식
곱셈공식 - 합차공식 외
등식의 변형