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평행사변형에 이어 사각형 두 번째입니다. 바로 직사각형이에요. 직사각형이 어떤 건지는 모두 알고 있을 거예요. 직각으로 이루어진 사각형이죠.

이 글에서는 직사각형의 성질과 어떤 조건을 만족해야 직사각형이 되는지 알아볼 거예요.

직사각형의 성질과 조건은 평행사변형의 성질과 조건의 연장선에 있어요. 둘의 내용이 많이 다르지 않으니까 이해하기도 쉽지만, 헷갈리지 않게 잘 보세요.

직사각형의 정의

직사각형은 네 개의 내각의 크기가 모두 같은 사각형으로 정의합니다. 다각형 내각의 크기의 합에서 사각형 내각의 크기의 합은 360°이기 때문에 한 내각의 크기는 360° ÷ 4 = 90°가 되겠죠.

네 내각의 크기가 90°로 모두 같으니까 마주보는 두 쌍의 대각의 크기가 서로 같아요. 따라서 직사각형은 평행사변형의 한 종류라고 할 수 있어요.

직사각형을 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형이라고 정의하기도 합니다. 한 내각의 크기가 90°이면 평행사변형의 성질 중 대각의 크기가 서로 같다는 성질에 의해서 마주 보는 각의 크기도 90°가 돼요. 나머지 두 각의 크기의 합이 180°가 되어야 하는데, 이 두 각의 크기도 같으니까 각각 90°가 되어서 결국 네 각의 크기가 모두 90°로 같아지는 거죠.

직사각형의 성질

직사각형은 평행사변형의 한 종류이기 때문에 평행사변형의 성질을 모두 갖고 있어요. 여기에 하나가 더 추가됩니다.

먼저 평행사변형의 성질을 정리해볼까요?

• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 상의 대각의 크기가 각각 같다.
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

위 세 가지 성질에 추가되는 게 두 "대각선의 길이가 같다."입니다.

대각선의 길이가 같다

직사각형에 대각선을 두 개 그었어요. △ABC와 △DCB를 보세요.

평행사변형의 성질에 의해 두 대변의 길이가 같으니까 = 에요. …… (1)

또 직사각형은 내각의 크기가 모두 90°니까 ∠ABC = ∠DCB = 90°죠. …… (2)

는 공통이고요. …… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SAS합동이에요. △ABC ≡ △DCB

대응변이라서 가 되는 거죠.     (증명 끝.)

직사각형: 내각의 크기가 모두 같은 사각형 or 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형
직사각형의 성질: (평행사변형의 성질) + 대각선의 길이가 같다.

평행사변형이 직사각형이 되는 조건

한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각이 크기가 같다.

평행사변형의 한 내각의 크기가 90°면 직사각형이 될 수 있어요. 평행사변형은 두 대각의 크기가 같아요. 직사각형의 정의에서 설명한 것처럼 한 내각의 크기가 90°가 되면 마주 보는 각도 90°가 되고, 나머지 두 각도 90°가 되기 때문에 모든 내각의 크기가 90°가 돼요.

평행사변형의 이웃하는 두 내각의 크기가 같으면 직사각형이 될 수 있어요. 평행사변형의 성질에서 이웃하는 두 내각의 크기는 180°라는 걸 알고 있어요. 두 각의 크기가 같은데 더했더니 180°가 되려면 한 내각의 크기가 90°라는 말이 되죠? 한 내각의 크기가 90°면 직사각형이 되는 건 바로 윗줄에서 설명했어요.

대각선의 길이가 같다.

평행사변형이 되는 조건에서도 평행사변형의 성질을 거꾸로 해서 평행사변형이 되는 조건이 되는 걸 봤어요. 여기서도 마찬가지로 직사각형의 성질을 거꾸로 하면 직사각형이 되는 조건이 되는 거예요.

직사각형의 성질 중에 두 대각선의 길이가 같다는 성질이 있었어요. 이 성질을 거꾸로 해서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 되는 거죠.

△ABC와 △DCB를 보세요.

두 대각선의 길이가 같으니까 에요.…… (1)

평행사변형의 성질에 의해 두 대변의 길이가 같으니까 = 에요. …… (2)

는 공통이고요. …… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SSS합동이에요. △ABC ≡ △DCB

합동이니까 대응각의 크기가 같겠죠? ∠B = ∠C가 됩니다. 그런데 ∠B와 ∠C는 이웃하는 두 내각이에요. 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180°인데, 크기가 같으니까 ∠B = ∠C = 90°가 되죠. 대각의 크기도 서로 같으므로 평행사변형의 내각이 모두 90°가 되요.

따라서 평행사변형에서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 돼요.     (증명 끝.)

평행사변형이 직사각형이 되는 조건
1. 한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각이 크기가 같다.
2. 대각선의 길이가 같다.

아래 그림에서 평행사변형 ABCD가 직사각형이 되는 조건이 아닌 것을 고르시오.

(1)           (2) ∠C = 90°          (3)
(4) ∠B = ∠C        (5)

평행사변형이 직사각형이 되는 조건들을 쭉 나열해보죠.

첫 번째는 한 내각의 크기가 90°일 때에요. (2)가 여기에 해당하네요.
두 번째는 이웃한 두 내각의 크기가 같을 때에요. (4)가 해당하고요.
세 번째는 두 대각선의 길이가 같아야 해요. (1)이 해당하네요.

남은 건 (3)번과 (5)번인데요. 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분해요. 따라서 라는 말은 라는 얘기죠. 즉 가 된다는 것과 같은 말이에요. (5) 번도 맞는 얘기입니다.

(3) 번은 그냥 평행사변형의 조건 중 하나일 뿐이에요. 따라서 조건이 아닌 것은 (3)번이네요.

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평행사변형에 대해서 공부하고 있는데요. 이번에는 평행사변형의 넓이에 대해서 알아볼 거예요.

평행사변형도 사각형이니까 넓이를 구하는 건 알고 있을 거예요.

여기서는 평행사변형을 여러 개의 삼각형으로 나누고, 그 삼각형들의 넓이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 또 그 삼각형들의 넓이와 평행사변형의 넓이 사이의 관계도 알아볼 거고요.

삼각형의 넓이를 비교할 때, 평행사변형의 성질을 이용하니까 앞의 내용에 대한 이해가 있어야 해요.

평행사변형과 넓이

대각선을 하나만 그었을 때

평행사변형 □ABCD에 대각선을 하나 그으면 아래 그림처럼 두 개의 삼각형으로 나뉘어요. 두 삼각형의 넓이를 알아보죠.

평행사변형의 성질에서 두 대변의 길이가 각각 같다고 했으니,  = 입니다. △ABC에서 밑변은 , 높이는 점 A에서 까지의 거리죠. △CDA에서 밑변은 , 높이는 점 C에서 까지의 거리에요.

두 삼각형 △ABC와 △CDA에서 밑변의 길이와 높이가 같으므로 두 삼각형의 넓이는 같아요. S₁ = S₂. 두 삼각형 넓이의 합이 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 두 삼각형은 서로 넓이가 같으므로 삼각형 한 개의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이죠.

대각선을 두 개 그었을 때

이번에는 □ABCD에 대각선을 두 개 그었어요. 네 개의 삼각형이 생겼네요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠. 평행사변형의 성질에서 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다고 했어요. 따라서  = ,  = 입니다.

△OAB와 △OCD를 볼까요?  = ,  = 이고, 맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD에요. 두 삼각형은 SAS합동이죠. 합동이니까 넓이가 같아요. S₁ = S₃

△OAD와 △OCB도 SAS 합동이므로 넓이가 같죠. S₂ = S₄

△OAB와 △OAD를 보세요. 두 삼각형은 밑변의 길이가 같고( = ), 높이도 점 A에서 까지의 거리로 같아요. 따라서 넓이도 같죠. S₁ = S₄

결국 S₁ = S₂ = S₃= S₄가 됩니다. 네 삼각형 넓이의 합은 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 네 삼각형의 넓이가 서로 모두 같으니 삼각형 하나의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이 되겠죠?

평행사변형 □ABCD의 넓이가 60cm²일 때 색칠한 △OAB의 넓이를 구하여라.

평행사변형에 대각선을 그어서 생기는 네 개의 삼각형은 모두 넓이가 같아요. 또 전체 평행사변형의 넓이의 입니다.

△OAB =  × 60

△OAB = 15(cm²)

임의의 점에서 꼭짓점으로 선을 그었을 때

이번에는 평행사변형 □ABCD 내부에 대각선의 교점이 아닌 임의의 점 P를 잡아요. 점 P에서 네 꼭짓점에 선을 그으면 네 개의 삼각형이 생기죠. 이 네 삼각형의 넓이 관계에 대해서 알아볼까요?

, 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그어보죠. 또 , 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그려보죠.

두 직선 때문에 □ABCD에 총 네 개의 평행사변형이 만들어졌어요. 이 글 처음에 나온 것처럼 평행사변형을 구성하는 두 개의 삼각형은 넓이가 같잖아요. 작은 평행사변형에서 넓이가 같은 삼각형끼리 번호를 붙였어요.

그림에서 같은 색으로 칠해진 삼각형의 넓이를 구해보죠. 노란색으로 된 부분은 (△PAB의 넓이) + (△PCD의 넓이) = S₁ + S₃  = ① + ② + ③ + ④에요. 연두색으로 된 부분은 (△PAD의 넓이) + (△PBC의 넓이) = S₂ + S₄ = ① + ② + ③ + ④죠. 따라서 S₁ + S₃ = S₂ + S₄가 성립하죠.

평행사변형 내부에 임의의 점 P에서 네 꼭짓점으로 선을 그었을 때, 마주 보는 삼각형의 넓이의 합이 서로 같아요. 이 두 부분의 넓이가 같으므로 각 영역은 전체 사각형 넓이의 절반이 되죠.

여기는 S₁, S₂, S₃, S₄의 넓이가 같지 않아요. 이 점에 주의하세요.

평행사변형 □ABCD의 내부에 임의의 점 P를 잡고, 꼭짓점에 선을 그었더니 네 개의 사각형이 생겼다. 평행사변형 □ABCD의 넓이가 100cm²이고, △PAB의 넓이가 30cm²일 때, △PCD의 넓이를 구하여라.

위 그림에서 △PAB + △PCD = □ABCD이므로

30 + △PCD =  × 100

△PCD = 20(cm²)

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평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에서 평행사변형이 어떤 특징을 가지고 있는지 알아봤어요. 대변과 대각, 대각선에 관한 내용이었지요.

이 글에서는 어떤 사각형이 평행사변형이 되는지 알아볼 거예요. 그리고 왜 그렇게 되는지 증명도 해볼거고요.

평행사변형이 되는 조건은 총 다섯 가지인데, 그중에 네 가지가 평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에 나오는 내용이에요. 평행사변형의 성질과 조건이 깊은 관계가 있으니까 잘 비교해보세요.

새로운 내용은 하나밖에 없으니까 그것만 주의 깊게 보면 되겠네요.

평행사변형이 되는 조건

평행사변형이 되는 조건 중에 네 가지가 평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에 나오는 거라고 했으니까, 평행사변형의 성질을 다시 정리해보죠.

• 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이라고 정의
• 평행사변형에서 두 쌍의 대변은 길이가 각각 같다.
• 평행사변형에서 두 쌍의 대각은 크기가 각각 같다.
• 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

평행사변형이 되는 조건은 바로 위 성질을 거꾸로 하면 돼요. 위 성질의 역이 바로 조건이 되는 거죠.

변의 길이가 같거나 각의 크기가 같은 건 합동을 이용해서 증명했어요. 평행사변형이 되는 걸 증명하려면 네 변이 각각 평행하다는 것을 증명해야 하잖아요? 이때는 어떤 성질을 이용해야 할까요? 평행하다는 것을 증명하려면 평행선에서 동위각과 엇각에서 배웠던 것처럼 동위각과 엇각의 크기가 같다는 것을 보여주면 돼요.

두 쌍의 대변이 평행하다.

평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에서 평행사변형은 두 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형이라고 정의했어요. 이 정의에 따라서 두 쌍의 대변이 평행한 사각형은 평행사변형이 되는 거예요.

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

□ABCD에서 점 A와 점 C에 선을 그어보세요. ∠BAC와 ∠DCA가 엇각의 위치에 있어요.

조건에서 두 쌍의 대변의 길이가 같다고 했으니까  = , = 에요. 거기에 는 공통이죠. 세 변의 길이가 같으니까 SSS합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응각인 ∠BAC와 ∠DCA의 크기는 같은 거죠. 즉, 엇각인 ∠BAC와 ∠DCA가 크기가 같으므로 와 는 평행이에요.

∠BCA와 ∠DAC도 같은 방법으로 증명하면 와 가 평행인 걸 알 수 있어요.

따라서 □ABCD에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으면 두 쌍의 대변이 평행하니까 그 사각형은 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

두 쌍의 대각의 크기가 같다고 했으니까 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2(∠A + ∠B) = 360°가 돼요. 즉 ∠A + ∠B = 180°죠. 다시 말해 이웃하는 두 각의 크기의 합은 180°라는 새로운(?) 성질을 알 수 있어요.

□ABCD에서 의 연장선을 긋고, 그 위에 임의의 점 E를 잡아요.

∠EAD와 ∠B는 동위각의 위치에 있어요. 그런데 이웃하는 두 각의 합에 따라 ∠BAD + ∠B = 180°이고, 평각인 ∠EAB = ∠BAD + ∠EAD = 180°에요. ∠BAD + ∠B = ∠BAD + ∠EAD에서 ∠EAD = ∠B임을 알 수 있죠.

∠EAD와 ∠B는 동위각의 위치에 있으면서 크기가 같으니까 와 는 서로 평행이에요.

의 연장선 위에 임의의 점 F를 잡아서 위와 같은 방법을 이용하면 와 도 평행인 걸 증명할 수 있어요.

따라서 □ABCD에서 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으면 두 쌍의 대변이 평행하니까 그 사각형은 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.

두 대각선의 교점을 점 O라고 할게요. △OAB와 △OCD를 보세요. 대각선이 서로를 이등분한다고 했으니  = ,  = 에요.

맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD죠. (맞꼭지각, 동위각, 엇각)

그러면 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △OAB ≡ △OCD

대응변인  = 가 되죠.

△OAD와 △OCB에서도 같은 방법을 이용하면  = 임을 알 수 있어요.

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 □ABCD는 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

이건 평행사변형의 성질과 직접적인 관련은 없는 거예요. 일단, 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다고 했으니  = ,  //  라고 해보죠.

□ABCD에서 점 A와 점 C에 선을 그어요.

△ABC와 △CDA에서  // 이고 엇각이므로 ∠ACB와 ∠CAD는 크기가 같아요.

 = 이고 는 공통이므로 SAS 합동이죠. △ABC ≡ △CDA

대응변인  = 가 됩니다.

따라서 두 쌍의 대변의 길이가 같으므로 □ABCD는 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

평행사변형이 되는 조건
두 쌍의 대변이 평행하다. - 평행사변형의 정의
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
두 대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

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삼각형의 성질에 이어 사각형의 성질입니다.

그 첫 번째로 평행사변형의 성질인데요. 평행사변형이 어떻게 생겼는지는 알고 있을 거예요.

이 글에서는 평행사변형을 어떻게 정의하는지 그리고 평행사변형은 어떤 성질을 가졌는지 알아보고, 그 성질들을 증명해볼 거예요. 증명은 어렵지 않아요. 모든 성질이 하나의 증명방법으로 증명되거든요.

여러 사각형이 나오고 사각형 별로 비슷하면서도 다른 성질을 가지고 있으니 잘 구별할 줄 알아야 합니다.

평행사변형이란?

평행사변형이라는 이름을 잘 들여다보세요. 평행은 두 직선이 서로 만나지 않은 걸 말하죠? 사변은 네 개의 변을 말해요. 즉 네 개의 변이 있는데 이게 평행하다는 거예요. 네 개가 다 평행한 게 아니고 이 중 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 말하는 거죠.

삼각형의 정의, 대변, 대각에서 대변과 대각의 정의에 대해서 공부했었어요. 대변은 마주 보는 변이고, 대각은 마주 보는 각이죠.

평행사변형의 성질

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그으면 △ABC와 △CDA가 생기죠?

평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
와 가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응각인 ∠B = ∠D이 되죠.
또 ∠A = ∠BAC + ∠DAC = ∠DCA + ∠BCA = ∠C가 됩니다.

따라서 ∠B = ∠D, ∠A = ∠C입니다.       (증명 끝.)

이 성질에서 나온 다른 성질이 하나 있는데, 알아두면 좋을 겁니다.

∠B = ∠D, ∠A = ∠C이므로 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2∠A + 2∠B = 360°가 돼요.

∠A + ∠B = 180°라는 결론이 나오죠. ∠A = ∠C니까 A와 C를 바꿔도 되겠죠? 또 ∠B = ∠D니까 B와 D를 바꿔도 되고요.

결국, 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°가 되는 겁니다.

아래 그림을 보고 x + y를 구하여라.

이웃한 두 각의 크기의 합은 180°에요. x° + 80° = 180°이므로 x = 100가 됩니다. 마주 보는 두 각, 즉 대각은 크기가 같으므로 2y° = 80°에서 y = 40이 되고요.

따라서 x + y = 100 + 40 = 140

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그어 △ABC와 △CDA를 만듭니다.

평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
와 가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

다음 그림을 보고 평행사변형 ABCD의 둘레의 길이를 구하여라.

두 대변의 길이는 같으므로 2x + 4 = 3x + 1이에요. x = 3이네요. x = 3을 대입하면,  = = 10cm이고요. = = 14cm죠.

따라서 평행사변형 ABCD의 둘레는 2 × (14 + 10) = 48(cm)입니다.

두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

대각선을 긋고 대각선의 교점을 점 O라고 하죠.

△OAB와 △OCD를 볼게요. 위 평행사변형의 성질 증명에서 = 임을 알 수 있어요. … (1)
평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠OAB = ∠OCD (엇각) … (2)
와 가 평행하므로 ∠OBA = ∠ODC (엇각) … (3)
(1), (2), (3)에 의해서 △OAB ≡ △OCD (ASA 합동)

따라서 대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

점 O가 평행사변형 ABCD의 대각선의 교점일 때 △OAB의 둘레의 길이를 구하여라.

평행사변형에서 두 대변의 길이는 같으므로 = = 6cm

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로  =  =  × = 5cm

마찬가지로 =  =  × = 4cm

삼각형 △OAB의 둘레는 6 + 4 + 5 = 15(cm)

평행사변형의 성질
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

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징글징글한 피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명 마지막입니다. 입체도형에서 최단거리 구하기에요.

입체도형에서의 최단거리는 입체도형 대각선의 길이 구하기와는 달라요. 대각선은 꼭짓점을 연결하는 선이 입체도형 내부를 지나가지만 최단거리는 입체도형의 표면 위를 지나는 선의 길이를 구하는 겁니다.

원뿔이나 원기둥에서는 시작점과 끝점이 같은 경우가 대부분입니다. 한 점에서 시작해서 한 바퀴를 돌고 원래 자리로 돌아오는 거죠.

입체도형에서 최단거리를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

직육면체에서의 최단거리

직육면체에서 꼭짓점 C와 꼭짓점 E의 최단거리를 구하는 과정이에요. 두 점사이의 최단거리는 두 점을 연결하는 선분의 길이와 같기때문에 를 구하면 돼요. 직육면체의 대각선이 아니라 모서리 AB를 지나는 요.

입체도형에서 두 점을 잇는 최단거리를 구하는 것의 핵심은 전개도를 그리는 거예요. 전개도를 그린 다음 두 점을 선분으로 연결하고 거기에서 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 이용하는 거죠.

1. 입체도형의 전개도를 그린다.
2. 두 점을 선분으로 연결한다.
3. 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 적용하여 선분의 길이를 구한다.

전개도를 그려보면 오른쪽 그림처럼 그릴 수 있어요. 모든 전개도를 다 그리지 말고 필요한 부분만 그리자고요. 선분 CE는 △CEF의 빗변이 되는 걸 알 수 있어요.

피타고라스의 정리를 적용해보면

비교. 직육면체 대각선의 길이 =

원뿔에서의 최단거리

한 점에서 원뿔을 한 바퀴 돌아서 원래 자리로 돌아오는 최단거리를 구하는 예입니다.

원뿔에서의 최단거리도 마찬가지로 전개도를 그려서 선분을 긋고 피타고라스의 정리를 이용해요. 직육면체와 차이가 있다면 부채꼴의 중심각을 구하는 거지요.

1. 입체도형의 전개도를 그린다.
2. 두 점을 선분으로 연결한다.
3. 부채꼴의 중심각을 구한다. 부채꼴 호의 길이 = 밑면의 원의 둘레
4. 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 적용하여 선분의 길이를 구한다.

원뿔에서의 최단거리를 전개도로 펼쳐서 그어보면 오른쪽 그림처럼 돼요. 빨간 선과 모선(부채꼴의 반지름)으로 이루어진 삼각형은 이등변삼각형이죠.

부채꼴 호의 길이는 밑면인 원의 둘레와 같죠? 부채꼴의 중심각을 알려면 이 성질을 이용해요. 부채꼴 호의 길이는 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에 나온 공식으로 구할 수 있어요.

모선의 길이가 8cm, 밑면의 반지름이 2cm인 부채꼴에서 최단거리를 구하여라. (그림 생략)

그림은 위에 있는 그림과 같으니까 생략했어요.

모선의 길이가 8cm인 부채꼴 호의 길이와 반지름이 2cm인 원의 둘레 길이가 같아요. 중심각을 x라고 하죠.

x = 90도로 직각이등변삼각형이네요. 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 직각이등변삼각형에서 빗변의 길이는 1 : 1 : 이므로 빨간 선이 나타내는 최단거리는 가 되네요.

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1학년 때 원뿔의 겉넓이와 부피를 구하는 공식을 배웠어요. 이때는 밑면의 반지름과 높이를 알려줬죠?

이제는 높이를 알려 주지 않아요. 대신 모선의 길이를 알려주죠. 이 주어진 모선의 길이를 이용해서 높이를 구한 다음 원뿔의 부피를 구해야 해요. 물론 높이를 구하는 과정은 피타고라스의 정리를 이용할 거고요.

높이를 구하는 과정만 추가된 거니까 원뿔의 부피 공식은 그대로 사용할 수 있어요. 즉, 이 글에서는 부피를 구하는 것보다는 높이를 구하는 과정이 더 중요해요.

원뿔의 높이 구하기

아래 그림 같은 원뿔이 있어요.

높이(h)와 밑면의 반지름(r), 모선(l)으로 이루어진 직각삼각형을 만들 수 있겠죠? 이 중 반지름과 모선의 길이를 알면 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구할 수 있습니다. △ABO에 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

원뿔의 부피 공식

원뿔의 겉넓이와 부피에서 밑면의 반지름이 r인고 높이가 h인 원뿔의 부피를 구하는 공식을 공부했죠?

원뿔의 부피 공식은 그대로예요. 높이를 알려주지 않았을 때 위의 직각삼각형을 그려서 높이를 구하고 공식에 대입하면 되는 겁니다.

아래 그림을 보고 물음에 답하시오.
(1) 밑면의 반지름 r은 얼마인가?
(2) 원뿔의 부피를 구하여라.

원뿔의 전개도인데, 위쪽의 부채꼴과 아래쪽의 원(밑면)으로 두 부분으로 나뉘어 있어요. 8cm로 나오는 부분은 부채꼴의 반지름이자 원뿔의 모선의 길이에요. 원뿔의 높이가 아니니까 주의하세요.

(1)에서 반지름을 구하라고 했는데요, 얼핏 보니 주어진 정보가 모선의 길이밖에 없어요. 그리고 또 뭐 있죠? 바로 부채꼴의 중심각이에요. 부채꼴의 중심각이 직각이네요.

부채꼴에서 중심각을 알면 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에 나온 공식으로 부채꼴 호의 길이를 구할 수 있어요. 부채꼴 호의 길이는 밑면의 원주와 같으니 여기에서 반지름을 구하는 거죠.

위 공식에서의 r과 문제에서 구하라고 하는 r은 다르다는 것쯤은 알고 있죠? 공식에 넣을 r은 바로 원뿔의 모선의 길이인 8cm입니다.

부채꼴 호의 길이 = 2π × 8 × 90° ÷ 360° = 4π(cm)

부채꼴 호의 길이 = 밑면의 원주
4π = 2πr
r = 2(cm)

(2)번은 원뿔의 부피를 구하라고 했네요.

부피를 구하려면 먼저 높이를 구해야겠죠? 높이는 피타고라스의 정리를 이용해서 구해요.

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각뿔이 뭔지는 다 알고 있죠? 각뿔의 겉넓이와 부피 구하는 방법도 알고 있고요. 각뿔의 부피를 구할 때, 밑면의 모서리의 길이와 각뿔의 높이를 알려줬어요.

그런데 이제는 각뿔의 높이를 알려주지 않아요. 대신 모서리의 길이를 알려줍니다. 피타고라스의 정리에 모서리를 길이 대입해서 각뿔의 높이를 알아낸 다음에 각뿔의 부피를 구하는 게 이 글에서 공부할 내용이에요.

각뿔중에서도 밑면이 정사각형인 각뿔을 정사각뿔이라고 해요. 밑면만 정사각형이고 옆면은 이등변삼각형이에요. 정사각뿔의 높이와 부피를 구하는 과정을 알아보죠.

정사각뿔의 높이

밑면의 한 모서리 길이가 a이고, 옆면의 모서리 길이가 b인 정사각뿔에서 높이를 구해보죠.

정사각뿔의 밑면은 정사각형이에요. 정사각형의 두 대각선은 서로 수직이등분하기 때문에 대각선의 교점에서 각 꼭짓점에 이르는 거리는 같아요.

각뿔의 꼭짓점에서 밑면에 수선을 내리면 밑면의 대각선의 교점과 만납니다. 이 점을 H라고 할게요. 

그러면 △OHA라는 직각삼각형이 생겨요. 피타고라스의 정리를 적용해보면 이 되는데, 는 한 변의 길이가 a인 이등변삼각형의 빗변의 길이이므로 입니다. 이걸 위 식에 대입해보죠.

구하는 방법을 잘 이해하세요. 밑면의 대각선의 교점과 각뿔의 꼭짓점으로 직각삼각형을 만들어서 피타고라스의 정리를 이용하는 거예요.

정사각뿔의 부피

각뿔의 겉넓이와 부피에 나온 것처럼 각뿔의 부피는 × (밑넓이) × (높이)에요. 밑면은 한 변의 길이가 a인 정사각형이고 높이는 위에서 구했으므로 부피를 구할 수 있겠죠?

h를 위에서 구한 걸 대입할 수도 있지만 그렇게 하면 공식으로 외우기가 어렵기 때문에 그냥 h 그대로 씁니다.

다음 그림을 보고 정사각뿔의 부피를 구하여라.

먼저 높이 h를 구해야겠죠?

높이까지 구했으니까 마지막으로 부피만 구하면 되겠네요.

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이 글에서는 입체도형 그러니까 직육면체와 정육면체의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아볼 거예에요.

대각선의 길이 구하는 공식에서 직사각형의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아봤어요. 직육면체는 직사각형 여섯 개가 모여있는 거에요. 따라서 직육면체의 대각선의 길이 구하는 건 직사각형 대각선 길이 구하기의 연장선이라고 할 수 있죠.

정육면체는 정사각형 여섯 개가 모인 입체도형으로 모든 모서리의 길이가 같으니까 직육면체의 대각선 길이 구하는 방법에서 모서리 길이만 바꾸면 구할 수 있어요.

직육면체 대각선의 길이

아래 그림처럼 직육면체의 대각선 길이는 위에 있는 밑면의 한 꼭짓점에서 아래에 있는 밑면의 반대쪽 꼭짓점까지의 길이 를 말해요.

피타고라스의 정리를 이용하려면 직각삼각형을 만들어야 하는데, 어떤 직각삼각형을 만들어야 의 길이를 구할 수 있을까요? 를 빗변으로 하고, 를 높이, 를 밑변으로 하는 직각삼각형 △ACG를 그릴 수 있겠죠?

그런데 여기서 의 길이도 몰라요. 의 길이를 알려면 새로운 직각삼각형을 그려야겠죠? 바로 △ABC 말이에요.

△ABC에서 는 빗변이니까 = a² + b²이 돼요.

자 다시 △ACG로 돌아가서 가 빗변이니까

 =  + 
 = a² + b² + c²
 =

세 변의 길이가 a, b, c인 직육면체 대각선의 길이 =
두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =

밑면의 가로 길이가 5cm, 밑면의 세로 길이가 10cm, 높이가 8cm인 상자가 있다. 이 상자의 대각선 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = 이므로 대입하면

정육면체 대각선의 길이

정육면체는 모든 모서리의 길이가 같은 직육면체죠? 따라서 모든 모서리의 길이가 a에요. 직육면체 대각선 길이 구하는 공식에 그대로 넣어보죠.

정육면체 대각선의 길이 공식은 외우면 좋긴 하겠지만, 꼭 외워야 하는 공식은 아니에요. 그냥 직육면체 대각선의 길이 공식에 대입해서 구할 수 있으니까요. 하지만 방법은 알고 있어야겠죠?

참고로 정사각형 대각선의 길이 구하는 공식은 였어요.

모든 모서리의 길이가 5cm인 정육면체 대각선의 길이를 구하여라.

대각선의 길이 = (cm)

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이번에는 피타고라스의 정리를 도형이 아니라 좌표평면에서 활용해볼 거에요.

어려운 함수 나오는 거 아니니까 너무 걱정하지 마세요. 되게 쉬운 내용이에요.

거듭 얘기하지만, 피타고라스의 정리를 이용한다는 건 기본적으로 직각삼각형을 찾아내는 거에요. 좌표평면에는 격자 무늬가 있으니까 직각삼각형을 만드는 건 어렵지 않을 거에요.

이 글에서는 좌표평면에 있는 두 점 사이의 거리를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

좌표평면에서 두 점 사이의 거리

먼저 수직선에서는 두 점 사이의 거리를 어떻게 구하나요? 점 P(1)와 점 Q(4)의 거리는 4 - 1 = 3이에요.

아래 그림처럼 원점(0, 0)과 P(3, 4)라는 두 점 사이의 거리를 어떻게 구할까요?

두 점과 x축을 이용해서 직각삼각형을 그려봤어요. 직각삼각형을 그려보니까 O와 P사이의 거리는 삼각형의 빗변의 길이가 되죠?

직각삼각형의 가로 길이는 3, 세로 길이는 4에요. 빗변의 길이 즉,  = 5가 되는 군요.

이번에는 두 점 (2, 1), (5, 5) 사이의 거리를 구해보죠.

두 점과 좌표의 격자를 이용해서 직각삼각형을 그렸어요. 이번에도 두 점 사이의 거리는 삼각형 빗변의 길이와 같아요.

직각삼각형의 가로 길이와 세로 길이는 수직선에서 구했던 것처럼 두 좌표의 차로 구할 수 있어요. 가로 길이는 5 - 2 = 3, 세로 길이는 5 - 1 = 4네요. 그래서 두 점 사이의 거리 = 빗변의 길이 = 5가 되는군요.

좌표평면에서 두 점 사이의 거리는 직각삼각형을 그려서 풀어요. 

직각삼각형을 그리는 방법은 쉬워요. 두 점 중에 위에 있는 점을 지나고 y축에 평행한 선을 그어요. 그 다음은 아래에 있는 점을 지나고 x축에 평행한 선을 그어서 교점과 세 점을 연결하면 직각삼각형이 되죠. 이 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하면 돼죠?

어차피 제곱하고 제곱근을 씌우는 거라서 순서는 상관없어요. 로 해도 된다는 거죠.

앞으로는 직각삼각형을 그리지 말고, 위 공식으로 바로 계산하세요. 사실 이건 공식이라고 할 것도 없네요. 두 점의 (x좌표의 차)² + (y좌표 차)²에 루트 씌우면 되거든요. 외우지 말고 어떻게 구하는 지 이해하면 돼요.

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피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명에서 잠깐 얘기한 적이 있는데, 피타고라스의 정리에서 자주 나오는 수들이 있어요. 피타고라스의 수라고 하는데, 직각삼각형 세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5, 5 : 12 : 13인 것들이지요. 이건 자연수로 된 비고, 오늘은 무리수가 포함된 세 변의 길이의 비에 대해서 알아보죠.

이 글에서 얘기할 직각삼각형 세 변의 길이의 비는 나중에 공부할 삼각비에 또 나와요. 어차피 공부할 거니까 한 번에 잘 이해해두면 좋겠죠?

직각삼각형의 모양과 세 변의 길이의 비, 삼각형의 세 내각 사이의 관계를 잘 알아두세요.

특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비

내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 직각이등변삼각형 세 변의 길이의 비

대각선의 길이 구하는 공식을 유도할 때, 정사각형에서 대각선을 구했던 것 기억하죠? 한 변의 길이가 a인 정사각형에서 대각선을 그으면 두 변의 길이가 a이고 빗변의 길이가 인 직각이등변삼각형 두 개가 만들어져요. 직각이등변삼각형이니까 ∠C = 90°고, 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따라 ∠CAB = ∠CBA = 45°에요.

위의 내용을 정리해볼게요. 한 변의 길이가 a이고 세 내각의 크기가 45° 45°, 90°인 직각이등변삼각형 빗변의 길이는 인 거죠.

45°, 45°, 90°의 대변의 순서대로 길이의 비가 a : a :  = 1 : 1 : 에요.

세 내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 직각이등변삼각형 세 변의 길이의 비
⇔ 1 : 1 :

다음 직각삼각형에서 x, y의 값을 구하여라.

직각삼각형인데 한 각은 직각이고, 다른 한 각이 45°에요. 그럼 표시되지 않은 나머지 한 각은 45°겠지요? 세 내각이 45°, 45°, 90°니까 세 변의 길이의 비는 5 : y : x = 1 : 1 : 네요.

따라서 y = 5(cm), x = (cm)입니다.

내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 세 변의 길이의 비

이번에는 정삼각형 높이와 넓이 공식을 유도할 때를 생각해보세요. 정삼각형의 한 꼭짓점에서 대변으로 수선을 내렸더니 빗변은 a, 밑변은 , 높이는 인 삼각형이 만들어졌어요.

원래 정삼각형이었으니까 ∠B = 60°에요. 그리고 꼭짓점에서 수선을 내렸으니까 ∠AHB = 90°고, ∠HAB = 30°에요.

위 내용을 정리해보죠. 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형에서 밑변은 , 높이는 , 빗변은 a에요.

30°, 60°, 90°의 대변의 순서대로 길이의 비가  :  : a = 1 :  : 2입니다.

세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 세 변의 길이의 비
⇔ 1 : : 2

다음 직각삼각형에서 x, y의 값을 구하여라.

한 내각의 크기는 직각, 다른 내각의 크기가 60°이므로 남은 한 각의 크기는 30°에요. 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°니까 세 변의 길이의 비는 3 : x : y = 1 : : 2죠.

따라서 x = (cm), y = 6(cm)입니다.

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이제는 삼각형의 높이를 가르쳐주지 않고, 세 변의 길이만 줘요. 그리고 넓이를 구하라고 하는 거죠. 넓이를 구하려면 높이를 알아야 하는데, 이때 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구할 수 있어요.

세 변의 길이를 주는 가장 쉬운 삼각형은 정삼각형이죠? 피타고라스의 정리를 이용해서 정삼각형의 넓이 공식과 정삼각형의 높이 공식을 유도해보죠. 그리고 정삼각형이 아닌 그냥 삼각형에서 세 변의 길이를 줬을 때 넓이를 구하는 방법도요.

피타고라스의 정리를 이용하기 위해서는 선을 그어서 직각삼각형을 만드는 것이 가장 중요해요.

정삼각형 넓이 공식, 정삼각형 높이 공식

정삼각형은 세 변의 길이가 같고, 세 각의 크기도 60°로 같아요. 삼각형의 넓이를 알려면 우선 높이부터 구해야겠죠?

이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따르면 정삼각형의 각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하죠. 정삼각형의 한 각의 이등분선, 즉 밑변의 수직이등분선을 그으면 두 개의 직각삼각형이 생겨요.

두 직각삼각형 중에서 △ABH를 볼까요? ∠H = 90°인 직각삼각형이에요. 정삼각형 한 변의 길이를 a라고 하면, = a, 가 돼요.

피타고라스의 정리를 적용해보면

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이가 니까 정삼각형의 넓이는 가 됩니다.

한 변의 길이가 a인 정삼각형
정삼각형의 높이 =
정삼각형의 넓이 =

한 변의 길이가 3cm인 정삼각형의 높이와 넓이를 구하여라.

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이는 인데, a = 3cm이므로 (cm)입니다.

넓이는 앞에서 구한 높이를 이용해서 구해도 되고, 공식에 넣어서 구해도 되죠. (cm²)

삼각형의 높이와 넓이 구하기

일반적인 삼각형의 높이와 넓이도 정삼각형에서 구하는 것과 같은 방법으로 구해요. 한 꼭짓점에서 대변으로 수선을 내려서 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구하는 거지요.

삼각형 세 변의 길이를 a, b, c라고 해보죠.

점 A에서 수선의 발을 내리면 △ABH와 △ACH라는 두 직각삼각형이 생겨요.

두 직각삼각형 중에서 △ABH를 볼까요? ∠H = 90°인 직각삼각형이에요. = c이고,  라고 해보죠.

피타고라스의 정리를 적용해보면

이번에는 △ACH를 볼까요? = b이고,  이므로 에요.

피타고라스의 정리를 적용해보죠.

세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형의 높이 = 

이건 공식이 어렵죠? 그래서 공식으로 외우지 말고 구하는 과정을 익히세요. 삼각형의 한 꼭짓점에서 수선을 내리고, 두 개의 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구하는 거에요. 구한 높이를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 거지요.

삼각형의 높이와 넓이를 구하는 방법입니다. 순서를 잘 기억하세요.

1. 꼭짓점 A에서 변 BC에 수선을 내리고, 수선의 발을 H라고 한다.
2.  = x로 놓는다.
3. △ABH와 △ACH에서 피타고라스의 정리를 이용하여 의 식을 만든다
4. ③에서 만든 두 식을 이용하여 x의 값을 구한다.
5. x의 값으로 높이와 넓이를 구한다.

세 변의 길이가 13cm, 14cm, 15cm인 삼각형의 넓이를 구하여라.

△ABC에서 점 A에서 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 하고  = xcm라고 해보죠.

△ABH에서 15² = x² + h² → h² = 15² - x²

△ACH에서 13² = (14 - x)² + h² → h² = 13² - (14 - x)²

두 식에서 h²이 같으므로

15² - x² = 13² - (14 - x)²
15² - x² = 13² - x² + 28x - 14²
28x = 15² - 13² + 14²
28x = (15 + 13)(15 - 13) + 196
28x = 56 + 196
28x = 252
x = 9

x = 9 이므로 h² = 15² - x²에 대입하면
h² = 15² - 9² = 144
h = 12(cm)

따라서 삼각형의 넓이는 ½ × 14 × 12 = 84(cm²)가 되는군요.

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이제 피타고라스의 정리에 대해서 익숙해졌나요?

이제부터는 피타고라스의 정리를 직각삼각형이 아닌 일반적인 도형에 적용해서 문제를 푸는 걸 연습해봐야 해요. 직각삼각형을 얼마나 쉽게 만드느냐가 중요해요.

첫 번째로 직사각형과 정사각형에 적용해보죠. 직사각형과 정사각형은 이미 직각이 포함되어 있기 때문에 직각삼각형을 쉽게 만들 수 있어요. 따라서 별다른 작업 없이 피타고라스의 정리를 바로 적용할 수 있지요. 직사각형과 정사각형에서 대각선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아볼까요.

직사각형의 대각선 길이

한 변의 길이가 a이고 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형이 있다고 하죠. 직사각형은 마주 보는 변의 길이는 같으니까 다른 변의 길이도 a, b이죠? (직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건)

직사각형에서 대각선을 그으면 두 개의 직각삼각형으로 나뉘고, 대각선은 직각삼각형의 빗변이 돼요. (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 이용하면 바로 구할 수 있죠.

(대각선의 길이)² = (빗변의 길이)² = a² + b²
(대각선의 길이) =

두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 =

한 변의 길이가 3cm이고, 다른 한 변의 길이는 4cm인 직사각형의 대각선의 길이를 구하여라.

한 변의 길이가 a, 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형의 대각선의 길이는 이니까 공식에 바로 대입해보죠.

a = 3cm, b = 4cm이므로 (cm)입니다.

정사각형 대각선의 길이

정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 90°로 같은 사각형이에요. (정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건)

정사각형 한 변의 길이를 a라고 해볼까요?

대각선을 그으면 직각삼각형 두 개가 만들어지는데, 이 직각삼각형은 두 변의 길이가 a로 같은 이등변삼각형이 돼요.

직사각형과 마찬가지로 (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

(대각선의 길이)² = (빗변의 길이)² = a² + a² = 2a²
(대각선의 길이) =

한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선 길이 =

대각선을 그으면 직각삼각형이 바로 보이니까 사각형의 대각선의 길이 구하는 건 별로 어렵지 않죠?

한 변의 길이가 5cm인 정사각형 대각선의 길이를 구하여라.

한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이는 에요. 공식에 바로 대입해보죠.

a = 5이므로 대각선의 길이는 × 5 = 5(cm)가 되네요.

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피타고라스의 정리는 기본적으로 직각삼각형에서 출발한 정리잖아요. 그래서 이번에는 조금 복잡한 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용하는 방법들을 설명할 겁니다.

하나의 직각삼각형 안에 다른 직각삼각형들이 들어있을 때, 각 변들의 관계에 대해서 알아보죠. 숨어있는 직각삼각형을 잘 찾아내는 게 중요한 문제들입니다.

그리고 히포크라테스의 초승달이라고 불리우는 직각삼각형을 중심으로 그려진 반원들에 대해서도 알아보죠. 반원의 넓이와 직각삼각형의 넓이는 어떤 관계가 있는 지 말이죠.

직각삼각형과 피타고라스의 정리

직각삼각형 △ABC에서 빗변이 아닌 두 변에 임의의 점 D, E를 잡아요. D, E에서 반대편 꼭짓점으로 선을 그었더니 아래 그림처럼 됐어요.

위 그림에서 직각삼각형을 몇 개나 찾을 수 있나요? △ABC, ADE, △ADC, △ABE 총 네 개의 직각삼각형을 찾을 수 있어요. 각 삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해볼까요?

△ABC에서  = (a + c)² + (b + d)²       ①
△ADE에서  = a² + b²                       ②
△ADC에서  = a² + (b + d)²              ③
△ABE에서  = (a + c)² + b²              ④

① + ② = ③ + ④ = a² + b² + (a + c)² + (b + d)²이 돼요.

 +  =  + 이 되는 거죠.

공식이나 말로 외우려면 절대 외워지지 않아요. 선을 찾아서 그으면서 그림으로 외우세요.

다음 그림을 보고  + 을 구하여라.

 +  =  +
                       = 8² + (3² + 4²)
                       = 64 + (9 + 16)
                       = 89

히포크라테스의 초승달

직각삼각형의 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원들 사이의 관계에도 재미있는(?) 특징이 있어요.

아래 그림처럼 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원을 그렸어요. 각 부분의 넓이를 P, Q, R이라고 해보죠.

P, Q, R을 구해보면 아래처럼 나오네요. 원의 넓이 구하는 법 모르는 사람은 없겠죠?

(P의 넓이) =  = 
(Q의 넓이) =  = 
(R의 넓이) =  = 

여기에서 P와 Q를 더해보면,
P + Q =  + 
         =(a² + b²)
        =       (∵ a² + b² = c²)
         = R

빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이는 다른 두 변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이의 합과 같음을 알 수 있어요.

이 성질을 이용해서 다른 문제를 풀어보죠. 아래 그림을 보세요.

이번에는 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원을 반대방향으로 즉, 삼각형과 겹치게 그려봤어요. 겹치는 부분을 뺀 나머지 넓이를 S₁, S₂라고 해볼까요?

S₁ + S₂는 전체의 넓이에서 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이를 빼면 되겠죠?

S₁ + S₂ = P + Q + △ABC - R
            = R + △ABC - R      (∵ P + Q = R)
            = △ABC

두 영역의 넓이의 합은 △ABC의 넓이와 같다는 걸 알 수 있어요.

다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. ()

일단 색칠한 부분은 직각삼각형 부분과 반원의 일부이죠? 반원의 일부는 직각삼각형의 넓이와 같아요. 따라서 문제의 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 삼각형 넓이의 두 배가 되겠네요.
S₁ + S₂ + △ABC = 2 × △ABC = 2 × ½ × 3 × 4 = 12(cm²)

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피타고라스의 정리를 배웠으니까 이 정리를 여러 도형에서 활용해봐야겠죠?

피타고라스의 정리라고 해서 꼭 직각삼각형에서만 사용하는 건 아니에요. 사각형에서도 활용할 수 있어요. 직각삼각형이 보이지 않는다면 선분을 잘 그어서 피타고라스의 정리를 활용할 수 있도록 그림을 변형시킬 수 있거든요.

이 글에서는 사각형과 관련된 공식이 나오는데, 공식으로 외우기보다는 그림을 외우는 것이 훨씬 이해하기 쉽고, 외우기도 쉬워서 머릿속에 오래 남아요. 그림으로 이해하고 외우세요.

피타고라스 정리의 활용

사각형에서 두 대각선이 직교할 때

다음 그림처럼 사각형에서 두 대각선이 직교할 때 네 변 길이의 상관관계를 알아보죠.

대각선이 수직으로 만나는 점을 점 O라고 하죠. 그러면 △OAB, △OBC, △OCD, △ODA라는 네 개의 직각삼각형이 생겨요. 점 O에서 각 꼭짓점에 이르는 거리를 각각 a, b, c, d,라고 해보죠. 그리고 네 개의 직각삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해보면,

= a² + c² …… ①
= b² + c² …… ②
= b² + d² …… ③
= d² + a² …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a² + b² + c² + d²의 관계가 성립해요.

사각형의 두 대각선이 직교할 때
⇒ 마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒  +  =  +

다음 사각형의 두 대각선이 직교할 때, x를 구하여라.

마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같으므로 8² + x² = 12² + 6²
64 + x² = 144 + 36
x² = 116
x = (cm, x > 0)

직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리

이번에는 직사각형에서 알아볼까요? 직사각형 안에 임의의 점 P를 잡아요. 그런 다음 점 P를 지나고 변 AB에 평행인 선을 긋습니다. 이 선이 변 AD와 만나는 점을 E, 변 BC와 만나는 점을 F라고 하죠. 이번에는 점 P를 지나고 변 BC에 평행인 선을 그어서 이 선이 변 AB와 만나는 점을 점 G, 이 선이 변 CD와 만나는 점을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형이 생겼네요.

라고 할께요.

점 P에서 네 꼭짓점 A, B, C, D에 이르는 거리에 피타고라스의 정리를 적용해보면

= a² + c² …… ①
= b² + c² …… ②
= b² + d² …… ③
= d² + a² …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a² + b² + c² + d²의 관계가 성립해요.

직사각형 안의 임의의 한 점 P
⇒ P에서 마주 보는 꼭짓점사이의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒  +  =  +

다음은 직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리를 나타낸 것이다. x를 구하여라.

직사각형 안의 한 점에서 마주보는 꼭짓점 사이의 거리의 제곱의 합이 서로 같으므로 8² + x² = 6² + 7²
64 + x² = 49 + 36
x² = 21
x = (cm, x > 0)

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삼각형은 각의 크기에 따라 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형으로 나눠요.

삼각형의 세 각의 크기가 주어지지 않더라도, 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 피타고라스 정리의 역을 이용하면 직각삼각형인지 아닌지 알 수 있죠?

직각삼각형이 아니면 예각삼각형인지 둔각삼각형인지 알 수도 있을까요? 물론 알 수 있어요. 피타고라스의 정리의 역을 이용할 건데, 이걸 그대로 이용하는 게 아니라 아주 살짝 모양을 바꿔서 이용하면 알 수 있어요.

삼각형 세 변의 길이와 각의 크기

물론 다들 알고 있겠지만, 피타고라스의 정리의 역을 확인해보죠.

피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.
피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a² + b² = c²이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.

△ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c라고 놓고 위 피타고라스 정리의 역을 이용해보죠.

세 변의 길이가 3cm, 4cm, 5cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 5cm에요. 5² = 3² + 4²이 성립하므로 이 삼각형은 직각삼각형이에요.

세 변의 길이가 3cm, 4cm, 6cm인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 6cm네요. 6² ≠ 3² + 4²이므로 이 삼각형은 직각삼각형이 아니에요. 직각삼각형이 아니니까 예각삼각형이거나 둔각삼각형일 거예요. 어떻게 알 수 있을까요?

아래 그림을 보세요.

첫 번째 그림은 예각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 왼쪽으로 살짝 돌렸더니 예각삼각형이 되었어요. 이 예각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 줄어들었죠? 따라서 a²과 b²은 그대로이고, c²은 줄었어요. 직각삼각형에서는 a² + b² = c²이었는데, 예각삼각형에서는 a² + b² > c²가 된 거죠.

이걸 거꾸로 얘기하면 a² + b² > c²이면 이 삼각형은 예각삼각형인 거예요.

세 번째 그림은 둔각삼각형과 직각삼각형을 겹쳐놓은 그림이에요. 직각삼각형의 세로 변을 오른쪽으로 살짝 돌렸더니 둔각삼각형이 되었어요. 이 둔각삼각형에서 아랫변과 세로 변의 길이는 직각삼각형과 같은데, 빗변의 길이 c가 늘어났죠? 따라서 a²과 b²은 그대로이고, c²은 늘었어요. 직각삼각형에서는 a² + b² = c²이었는데, 둔각삼각형에서는 a² + b² < c²가 된 거죠.

이걸 거꾸로 얘기하면 a² + b² < c²이면 이 삼각형은 둔각삼각형인 거예요.

• △ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 a, b라고 할 때
• a² + b² > c² ↔ ∠C < 90°인 예각삼각형
• a² + b² = c² ↔ ∠C = 90°인 직각삼각형
• a² + b² < c² ↔ ∠C > 90°인 둔각삼각형

가장 긴 변의 길이를 c로 하는 것에 주의하세요.

세 변의 길이가 5cm, 12cm, xcm 인 삼각형이 둔각삼각형이 될 x의 범위를 구하여라. (단 x가 가장 긴 변)

삼각형의 세 변의 길이가 주어졌으니까 가장 긴 변의 길이를 c로 놓고 위 내용을 적용해보죠. 문제 마지막에 x가 가장 긴 변이라고 했네요.

5² + 12² < x²
169 < x²
13² < x²
13 < x

여기서 끝내면 안 돼요. 삼각형의 조건 중에서 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 합보다 작아야 하는 거 알고 있죠? 따라서 x < 5 + 12가 되어야 해요. x < 17이죠.

따라서 x의 범위는 13cm < x < 17cm입니다.

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