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삼각형의 바깥쪽 세 변의 길이를 구하는 방법을 알아봤으니 이제 삼각형 높이를 알아볼 차례네요. 직각삼각형이라면 직각이 생기는 곳의 변의 길이가 높이니까 쉽게 구할 수 있어요.

이 글에서 다룰 내용은 직각삼각형이 아니라 일반삼각형, 그중에서도 예각삼각형에서 높이를 구하는 방법이에요. 여기서도 일반 삼각형 변의 길이 구하기에서와 마찬가지로 수선을 긋는 게 중요해요.

예각삼각형에서 높이를 구하는 방법을 잘 알아야 둔각삼각형의 높이도 구할 수 있어요.

예각삼각형의 높이 구하기

예각삼각형은 세 각의 크기가 모두 예각인 삼각형이에요. 예각삼각형의 높이를 구할 때도 삼각형의 합동조건과 같은 조건이 필요해요. 단 삼각비를 이용할 거니까 각을 알려줘야겠죠?

따라서 예각삼각형의 높이를 구할 수 있는 조건은 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때와 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때 두 가지예요.

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

△ABC에서 두 변의 길이와 그 끼인각을 알려줬네요.

높이를 구하기 위해서 수선을 내려야하는데요. 일반 삼각형 변의 길이 구하기에서 수선을 내릴 때 어떻게 했나요? 크기를 알려준 각과 길이를 알려준 변이 한 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요. 여기서도 마찬가지에요.

점 A에서 대변으로 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

△ABH만 보세요. 직각삼각형이에요. 삼각비의 정의에서 봤던 그 삼각형이죠? 직각삼각형 변의 길이 구하기에서 이미 해봤던 거예요.

△ABC에서 a = 5cm, c = 4cm, ∠B = 60° 일 때 높이 h를 구하여라.

점 A에서 변 BC로 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠. △ABC의 높이는 △ABH에서 변 AH의 길이와 같아요.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

한 변의 길이와 양 끝각을 알려줬네요.

이 경우에 수선을 긋는 방법은 다른 경우와 달라요. 이때는 길이를 알려준 변이 밑변이 되도록 수선을 그어요. 즉 길이를 알려준 변이 둘로 나뉘도록 하는 거죠. 양 끝각이 아닌 다른 각에서 수선을 내린다고 말해도 되겠네요.

각각의 직각삼각형에서 원래 알려준 각이 아닌 새롭게 만들어진 각을 기준각으로 정하는 것이 핵심이에요.

△ABH에서 삼각형 세 내각의 합에 의해 90° + ∠BAH + ∠B = 180°이므로 ∠BAH = 90° - ∠B가 돼요. △ABH에서 삼각비를 구하는 기준각을 이 ∠BAH로 하면 변 AH는 밑변이 돼요. 여기서는 높이가 변 BH가 되죠.

△ACH에서 삼각형 세 내각의 합에 의해 90° + ∠CAH + ∠C = 180° 이므로 ∠CAH = 90° - ∠C가 돼요. △ACH에서 삼각비를 구하는 기준각을 이 ∠CAH로 하면 변 AH는 밑변이 돼요. 여기서는 높이가 변 CH가 되죠.

이제는 원래의 큰 삼각형으로 돌아와서요. △ABC에서 밑변 BC의 길이는 변 BH + 변 CH죠.

이 식을 정리하면 h를 구할 수 있어요.

다음 그림을 보고 △ACH의 높이 h를 구하여라.

△ABH에서에서 ∠BAH = 30°이므로 이 각을 기준각으로 하면
 

또 △ACH에서에서 ∠CAH = 45°이므로 이 각을 기준각으로 하면

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일반삼각형에서 세 변의 길이를 구하는 방법을 알아보죠.

그런데 아무 삼각형이나 세 변의 길이를 구할 수 있는 게 아니에요. 몇 가지 조건이 있어야 해요. 삼각형의 세 가지 합동조건 알고 있죠?. 세 변의 길이가 같을 때, 두 변과 그 끼인 각이 같을 때, 한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때지요.

일반삼각형에서 세 변의 길이를 구할 수 있는 조건도 같아요. 그중 하나인 세 변의 길이를 알 때는 문제의 목적에 맞지 않으니까 나머지 두 개의 조건만 있으면 되겠죠? 두 변의 길이와 끼인 각을 알 때, 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때요.

직각삼각형 변의 길이를 구할 때와 마찬가지로 각의 크기를 안다는 건 그 각의 삼각비를 안다는 거에요.

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

두 변의 길이를 알고 있으니까 나머지 의 길이만 구하면 되겠네요.

삼각형의 높이와 넓이에서 했던 방법과 비슷해요. 제일 먼저 삼각형의 한 점에서 수선을 내려서 두 개의 직각삼각형으로 나누어야 해요.

이때 어떤 점에서 수선을 내릴 것인지가 중요한데요. 여러 가지로 표현할 수 있겠지만, 길이를 아는 한 변과 크기를 아는 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내리면 돼요. 여기서는 점 A와 점 C 둘 중 아무 데서나 대변으로 수선을 내려도 되는 거지요.

점 A에서 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 할게요. ∠B와 가 한 삼각형 안에 포함되었죠?

△ABH와 △ACH가 생겼어요.

△ABH에서

△ACH에서
 가 됩니다.

△ACH에서 높이와 밑변의 길이를 구했으므로 빗변인 의 길이는 피타고라스의 정리로 구할 수 있어요.

이거는 공식 아니에요. 외울 필요가 없어요. 구하는 과정만 잘 이해하면 됩니다.

1. 길이를 아는 한 변과 크기를 아는 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그어 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
2. 삼각비를 이용하여 작은 직각삼각형의 높이와 밑변의 길이를 구한다.
3. 다른 작은 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용하여 빗변의 길이를 구한다.

다음 △ABC에서 a = 8cm, c = 5cm, ∠B = 60°일 때 의 길이를 구하여라.

두 변의 길이와 그 사이의 끼인각의 크기를 알려줬네요.

길이를 알려준 변과 크기를 알려준 각이 한 직각삼각형이 되도록 수선을 그어보죠. 점 A에서 대변으로 그었더니 아래 그림처럼 되었어요.

△ABH에서
 

의 길이를 구했으니까 △ACH에 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때에요. 길이를 구해야하는 변이 두 개네요.

여기서 제일 먼저 해야 할 게 있어요. 두 개의 각의 크기를 알려줬어요. 삼각형 내각의 합은 180°에요. 이 걸 이용하면 다른 한 내각의 크기도 알 수 있겠죠? ∠A = 180° - (∠B + ∠C)이죠. 결국, 두 개의 각의 크기를 알려줬다는 건 세 개 모두 알려준 거나 마찬가지에요.

이번에도 마찬가지로 보조선을 그어서 두 개의 직각삼각형으로 나눠야해요. 방법은 위와 같아요. 길이를 아는 변과 크기를 아는 한 각이 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그으면 됩니다.

점 C에서 대변으로 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. ∠B와 가 한 직각삼각형안에 포함되었네요.

△BCH와 △ACH가 생겼어요.

△BCH에서

△ACH에서
 

일단, 한 변의 길이를 구했어요.

이제 점 C가 아닌 점 B에서 대변으로 수선을 내려서 위와 같은 방법으로 구하면 다른 한 변의 길이도 구할 수 있어요.

1. 삼각형 내각의 합을 이용하여 알려주지 않는 한 내각의 크기를 계산한다.
2. 길이를 아는 변과 크기를 아는 한 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그어 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
3. 삼각비를 이용하여 삼각형에서 높이를 구한다.
4. 다른 작은 직각삼각형에서 삼각비를 적용하고 3에서 구한 높이를 대입하여 빗변의 길이를 구한다.
5. 2 ~ 4의 과정을 다시 반복

다음 △ABC에서 의 길이를 구하여라.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알려줬네요. 삼각형의 내각의 합을 이용해서 다른 한 각의 크기도 알 수 있죠? 180° - (75° + 45°) = 60°에요.

크기를 알려준 한 각과 길이를 알려준 한 변이 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내려보죠. 점 A에서 수선을 내려볼게요.

△ACH에서

△ABH에서

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특수한 각의 삼각비, 30°, 45°, 60°에서 했던 내용 기억하죠? 특수한 각의 삼각비를 공부했고요. 삼각형을 그려놓고 각을 알려준 다음에 삼각형 변의 길이를 구하는 예제를 풀어봤어요.

이 글에서도 직각삼각형에서 삼각형의 변의 길이를 구하는 걸 할 거예요. 대신 특수한 각이 아니라는 게 다를 뿐이죠. 전에는 sin30°의 값을 외워서 했다면 이제는 30° 대신 다른 예각이 들어가고, 해당하는 삼각비 값을 알려줘요. sin30° 자리에 다른 예각의 sin 값을 넣으면 되는 거예요.

방법은 똑같고 각의 크기만 달라지는 거니까 어렵지 않아요. 삼각비의 정의를 잘 이용하면 됩니다.

직각삼각형 변의 길이

△ABC에서 ∠C = 90°이고, 세 변의 길이를 a, b, c라고 할 때 한 변의 길이와 직각이 아닌 한 각의 크기를 알면 다른 두 변의 길이를 구할 수 있어요.

물론 각을 안다는 건 그 각의 삼각비를 안다는 뜻이에요. 각만 알고 삼각비를 모르면 삼각비표를 보면 돼요.

크기를 알고 있는 각이 ∠A라고 해보죠.

한 각의 크기와 한 변의 길이를 알고 있을 때 다른 두 변의 길이를 알 수 있다고 했지요? 한 각은 알고 있으니 어떤 변의 길이를 알고 있는지에 따라 길이를 구해야 하는 다른 두 변이 달라지겠죠?

∠A와 빗변의 길이(c)를 알고 있을 때

높이(a)와 밑변(b)의 길이를 구해야겠죠? 빗변을 알고 있으니까 높이와 빗변의 식인 sinA와 밑변과 빗변의 식인 cosA를 사용해서 길이를 구해요.

높이 a	밑변 b

∠A와 높이(a)를 알고 있을 때

빗변(c)과 밑변(b)의 길이를 구해야겠죠? 높이를 알고 있으니까 높이와 빗변의 식인 sinA와 높이와 밑변의 식인 tanA를 사용해서 길이를 구해요.

빗변 c	밑변 b

∠A와 밑변의 길이(b)를 알고 있을 때

빗변(c)과 높이(a)를 구해야겠죠? 밑변을 알고 있으니까 빗변과 밑변의 식인 cosA와 밑변과 높이의 식인 tanA를 사용해서 길이를 구해요.

빗변 c	높이 a

위에 총 여섯 개의 공식이 나왔는데, 이걸 외울 수는 없어요. 그러니까 공식을 외우지 말고, 공식의 첫 줄에 나와 있는 것처럼 이런 식으로 쓴 다음에 문자를 이항하고 값을 대입해서 그냥 푸세요.

다음 직각삼각형에서 한 각이 40°이고, 그 대변의 길이가 6cm일 때, 다른 두 변의 길이를 소수 둘째 자리까지 구하여라. (단, sin40° = 0.64, tan40° = 0.83이고 소수 셋째자리에서 반올림할 것)

한 각의 크기와 높이를 줬네요. 구해야 하는 길이는 빗변과 밑변의 길이고요.

빗변과 높이의 식인 sin과 밑변과 높이의 식인 tan를 이용해서 구해야겠군요.

빗변	밑변

빗변은 9.38cm, 밑변은 7.23cm네요.

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3학년 1학기 때는 모든 교과서, 참고서의 가장 뒷부분에 표가 하나 있었어요. 제곱근표였죠?

2학기에도 모든 책 뒤에 표가 하나 있어요. 그 표가 바로 삼각비표에요. 제곱근표보다 훨씬 간결하죠.

이 글에서는 삼각비표가 무엇인지와 삼각비표에서 삼각비와 각도를 구하는 방법을 알아볼 거에요.

삼각비표는 일반적으로 보는 표와 크게 다르지 않으니까 금방 이해할 수 있어요.

삼각비표

삼각비 표는 0°부터 90°까지의 각을 1° 간격으로 나누어 이들의 삼각비의 근삿값을 표로 나타낸 거에요. 근삿값이 아닌 것도 있지만, 대부분이 근삿값이에요. 가로줄에는 각도의 크기가 세로줄에는 sin, cos, tan가 쓰여 있어요.

그냥 설명 없이 표만 봐도 금방 알 수 있겠죠?

삼각비 표를 이용해서 삼각비 구하기

삼각비표는 제곱근표 보는 방법보다 훨씬 쉬워요. 가로줄에서 원하는 각도를 찾고, 세로줄에서는 sin, cos, tan를 선택해서 둘이 서로 만나는 칸의 값이 해당 각도의 삼각비에요.

예를 들면 sin48°는 가로줄의 48°와 세로줄의 sin이 만나는 칸에 쓰여 있는 값을 찾으면 되죠. 0.7431이네요. cos46°는 0.6947이고, tan50°는 1.1918이고요.

제곱근표에서 값을 구해서 나타낼 때는 ≒ 기호를 썼어요. 예를 들면 처럼요. 하지만 삼각비에서는 ≒ 기호를 쓰지 않고 =를 써요. 실제로 삼각비표에 나와 있는 값들 대부분이 근삿값이지만 =를 씁니다. sin45° ≒ 0.7071이 아니라 sin45° = 0.7071이라고 말이죠. 좀 달라요.

삼각비표를 이용하여 다음을 구하여라.
(1) sin45° + cos46° + tan47° 

sin45° = 0.7071, cos46° = 0.6947, tan47° = 1.0724이므로
sin45° + cos46° + tan47° = 0.7071 + 0.6947 + 1.0724 = 2.4742

삼각비 표를 이용해서 각도 구하기

이번에는 반대로 특정한 삼각비 값을 주고 그 각이 몇 °인지 구하는 거에요. 위 과정을 거꾸로 하면 되겠죠?

0.7547이라는 sin값을 갖는 각은 몇 °일까요? 먼저 표의 sin줄에서 0.7547이라는 값을 찾아요. 그리고 왼쪽으로 바로 가면 49°가 보이네요.

다음을 만족하는 x, y를 구하여라.
(1) sinx° = 0.7314
(2) sinx° + cosy° = 1.3742

(1) 삼각비표의 sin줄에서 0.7314를 찾으면 x = 47가 되는군요.

(2)에서 sinx° = 0.7314라고 했으니까 이걸 식에 대입하면 0.7314 + cosy° = 1.3742가 돼요.
cosy° = 0.6428이 되죠. cos 줄에서 0.6428을 찾으면 y° = 50°가 되네요.

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30°, 45°, 60°의 삼각비를 알아봤어요. 특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°

이제는 위 세 각이 아닌 다른 각의 삼각비를 알아볼꺼에요. 0° ~ 90°까지의 각이요. 그 이상의 각은 여기서 다루지 않아요.

예각의 삼각비는 외울 필요도 없고 외울 수도 없지만 구하는 방법은 알고 있어야해요. 예각의 삼각비를 구하는 방법을 살짝 응용해서 0°와 90°의 삼각비를 구하거든요.

그리고, 0°와 90°의 삼각비값은 외워야 해요. 이해가 되지 않으면 외울 수도 없겠죠? 설명을 잘 보세요.

예각의 삼각비

예각의 삼각비를 구할 때 제일 중요한 건 바로 반지름의 길이가 1인 원을 그려서 생각하는 거에요.

반지름이 1인 원의 중심과 원 위의 한 점, x축을 연결해서 삼각형을 만들었어요.

위 그림에서 ∠x를 기준각으로 하고 삼각비를 구해보죠. sin, cos은 △OAB에서 구하고 tan는 △OCD에서 구해요. 크기가 다른 직각삼각형이라도 기준각의 크기가 같으면 삼각비는 같잖아요.

그러니까 예각의 삼각비를 구할 때는 분모가 되는 변의 길이가 1인 삼각형을 찾고 그 삼각형에서 삼각비를 찾으면 돼요. sin과 cos인 빗변이 분모가 되니까 빗변의 길이가 1인 △OAB에서 구했어요. tan는 밑변이 분모가 되므로 밑변의 길이가 1인 △OCD에서 구했고요.

0°와 90°의 삼각비

0°와 90°의 삼각비도 예각의 삼각비와 마찬가지로 반지름이 1인 원을 그려서 확인할 수 있어요.

0°의 삼각비 - sin0°, cos0°, tan0°

왼쪽 그림의 △OAB에서 ∠BOA에 대한 sin값은 에요. 그런데 점 B가 원을 따라서 x축으로 가까이 가면 어떻게 될까요? 는 점점 짧아질 거에요. 그러다가 점 B가 x축과 만나게 되면  = 0이 되겠죠. 이때 ∠BOA = 0°이고요.

즉 sin0° = 0이 되는 걸 알 수 있어요.

△OAB에서 ∠BOA에 대한 cos값은 에요. 위와 마찬가지로 점 B를 원을 따라 x축으로 가까이 옮겨볼까요? 그럼 는 점점 길어져요. 점 B가 x축과 만나면  = 1이 되고, ∠BOA = 0°이 돼요.

cos0° = 1이 되는 걸 알 수 있지요.

이번에는 오른쪽 그림의 △OCD를 보세요. ∠DOC의 tan값은 죠. 그런데 ∠DOC가 점점 작아지면 도 계속 작아져요. 그러다가 가 x축과 만나면 ∠DOC는 0°가 돼요.  = 0이 돼죠.

즉, tan0° = 0이 되는 걸 알 수 있어요. 

90°의 삼각비 - sin90°, cos90°, tan90°

왼쪽 그림의 △OAB에서 ∠BOA에 대한 sin값은 에요. 그런데, 점 B가 원을 따라서 y축으로 가까이 가면 어떻게 될까요? 는 점점 길어질 거예요. 그러다가 점 B가 y축과 만나게 되면  = 1이 되겠죠. 이때 ∠BOA = 90°이고요.

즉 sin90° = 1이 되는 걸 알 수 있어요.

△OAB에서 ∠BOA에 대한 cos값은 에요. 위와 마찬가지로 점 B를 원을 따라 y축으로 가까이 옮겨볼까요? 그럼 는 점점 줄어들어요. 점 B가 y축과 만나면  = 0이 되고, ∠BOA = 90°이 돼요.

cos90° = 0이 되는 걸 알 수 있지요.

이번에는 오른쪽 그림의 △OCD를 보세요. ∠DOC의 tan값은 죠. 그런데 ∠DOC가 점점 커지면 도 계속 커져요. 그러다가 가 y축과 만나면 ∠DOC는 90°가 돼요. 이때의 tan는 너무 커져서 그 크기를 알 수 없어요. 이때를 정할 수 없다고 표현합니다.

다음을 계산하여라.
(1) sin0° + cos0° + tan0°
(2) (sin0° + cos90°) × (sin90° + cos0°)

sin0° = 0, cos0° = 1, tan0° = 0, sin90° = 1, cos90° = 1을 위 식에 대입해서 풀면 돼요.

(1) sin0° + cos0° + tan0° = 0 + 1 + 0 = 1

(2) (sin0° + cos90°) × (sin90° + cos0°) = (0 + 0) × (1 + 1) = 0 × 2 = 0

0° ~ 90°의 삼각비

0°에서 90°까지 각의 크기가 변화할 때, 삼각비는 어떻게 되는지 알아볼까요?

sin은 0°에서 90°로 갈수록 값이 커져요. sin0° = 0으로 가장 작고, sin90° = 1로 가장 큽니다.
cos은 0°에서 90°로 각이 커질수록 값이 작아지고요. cos0° = 1으로 가장 크고, cos90° = 0으로 가장 작아요.
tan은 0°에서 90°로 각이 커질수록 값이 커져요. tan0° = 0으로 가장 작고, 계속 커져서 그 끝은 정할 수 없어요.

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삼각비 중에서도 특수한 각의 삼각비를 구할 거예요.

피타고라스의 정리에서 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비라는 걸 배웠지요? 특별한 삼각형에서 세 변의 길이에는 일정한 비가 성립한다는 내용이었어요.

삼각비는 삼각형 세 변의 길이의 비예요. 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비도 길이의 비이므로 삼각비에서 하나도 바꾸지 않고 그대로 사용할 수 있어요.

특수한 삼각형의 세 변의 길이를 삼각비로 바꾸면 어떻게 되는지 알아보죠.

sin45°, cos45°, tan45°

직각이등변삼각형의 내각은 45°, 45° 90°에요. 직각이등변삼각형을 이용해서 45°의 sin, cos, tan 값을 구해볼까요?

먼저 직각이등변삼각형을 그려볼게요. 세 변의 길이의 비가 1 : 1 : 니까 이걸 길이로 써보면 아래 그림처럼 돼요. 

sin45° = cos45° = 이고, tan45° = 1이에요. 분모에 무리수가 있으면 유리화해서 사용해야 하는 건 기본이죠?

sin30°, cos30°, tan30°

직각삼각형 한 내각의 크기가 30°이면 다른 각은 60°, 90°가 돼요. 이 삼각형의 세 변의 길이의 비는  1 : : 2이지요. 이 길이의 비를 이용해서 삼각형을 그려보죠. 

삼각비를 쉽게 구할 수 있게 각의 위치를 잡았어요. 삼각비를 구해보죠.

sin60°, cos60°, tan60°

직각삼각형의 한 각이 60°면 다른 한 각은 30°가 되겠죠? 즉, 위 30°에 대한 삼각비를 구했던 삼각형과 같은 삼각형이에요. 같은 삼각형인데 삼각비를 쉽게 구할 수 있게 방향을 돌려서 그리는 게 좋겠죠? 

30°에 대한 삼각비와 60°에 대한 삼각비는 같은 삼각형에서 구해요. 차이가 있다면 기준각에 따라 밑변과 높이를 나타내는 변이 달라지는 거지요.

빗변은 기준각이 30°일 때와 60°일 때 모두 똑같아요. 기준각이 30°일 때 밑변이었던 것이 기준각이 60°일 때는 높이로 바뀌죠. 또 30°일 때 높이였던 게 60°일 때는 밑변이 되는 거고요.

이런 이유로 30°의 삼각비와 60°의 삼각비는 관계가 깊어요.

sin30° = cos60°, cos30° = sin60°가 됩니다. 또 tan30° = 가 됩니다. 서로 역수인 거죠.

특수한 각의 삼각비

특수한 각의 삼각비

	30°	45°	60°
sin
cos
tan

표로 정리했더니 특징이 더 잘 보이죠? 45°에서는 sin과 cos이 같아요.

sin30°와 cos60°가 같고, cos30°와 sin60°가 같고, tan30°와 tan60°는 서로 역수이죠.

위 표에 나온 삼각비는 아주 중요합니다. 삼각비 중에 가장 많이 나오는 거거든요. 그러면 외워야 하는 데 값이 비슷해서 외우기가 힘들어요.

처음부터 외우려고 하지 말고, 이 글에 있는 것처럼 삼각형을 그리고, 세 변의 길이의 비를 이용해서 변의 길이를 쓴 다음에, sin, cos, tan를 구하는 게 좋아요. 이렇게 자주 하다 보면 자기도 모르게 그 값들이 외워지게 되어 있어요.

다음 그림을 보고 x, y의 값을 구하여라.

기준각을 60°로 잡으면 sin60° =  = 이므로 y =

cos60° =  = 이므로 x = 2가 되네요.

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피타고라스의 정리에 이어 이번에는 삼각비입니다.

피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 세 변의 길이 사이의 관계였어요. 삼각비도 직각삼각형에서 변의 길이에 관한 내용입니다. 단순히 변의 길이가 아니라 변의 길이 사이의 비율에요.

피타고라스의 정리에서는 길이의 관계만 따졌는데, 삼각비는 각도에 관한 내용이 추가되었어요.

삼각비도 직각삼각형에서 구하는 거라서 피타고라스의 정리와 비슷한 부분이 조금 있지만 조금 더 어려운 내용이 나옵니다. 하지만 그 비율이라는 게 일정한 값을 가지고 있기때문에 복잡한 계산을 요구하지는 않으니 너무 걱정하지는 마세요.

삼각비

삼각비는 직각삼각형에서 두 길이의 비를 얘기해요. 꼭 직각삼각형이어야만 합니다. 직각삼각형이 아니면 안 돼요.

삼각비를 구할 때는 기준각이라는 게 있어요. 어떤 각을 하나 주고 그 각에 대한 삼각비를 구하는 거지요. 삼각비는 이 기준각의 크기에 따라 달라집니다. 변의 길이나 삼각형의 크기와 상관없이 기준각이 같으면 서로 다른 직각삼각형이라도 삼각비는 같아요. 이건 설명이 너무 길어져서 생략합니다. 그냥 이렇게만 알고 계시면 돼요.

직각삼각형에서 직각의 대변은 빗변이에요. 그리고 기준각의 대변을 높이로 남은 한 변을 밑변으로 부르기로 약속을 했어요. + 기호 양쪽에 있는 값을 서로 더한다고 약속한 것처럼 그냥 그렇게 딱 정했어요.

sin

sin이에요. 원래는 sine인데, 앞의 세 자만 따서 sin이라고 써요. 한글로 쓰면 사인인데, 읽을 때는 싸인이라고 읽습니다.

sin은 직각삼각형 두 변의 길이 중 빗변과 높이의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 로 구합니다.

cos

cos이에요. 원래는 cosine인데, 앞의 세 자만 따서 cos이라고 써요. 한글로 쓰면 코사인인데, 읽을 때는 코싸인이라고 읽습니다.

cos은 직각삼각형 두 변의 길이 중 빗변과 밑변의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 으로 구합니다.

tan

tan에요. 원래는 tangent인데, 앞의 세 자만 따서 tan이라고 써요. 탄젠트라고 쓰고 읽어요.

tan은 직각삼각형 두 변의 길이 중 밑변과 높이의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 로 구합니다.

각의 기호로 썼는데요. 각의 크기로 쓰기도 합니다. 기준각의 크기가 60°이면 sin60°라고 쓰기도 해요. 그럼 그림에서 각의 크기가 60°인 각을 찾아서 그 각을 기준각으로 삼으면 되죠. cos60°, tan60°도 마찬가지고요.

삼각비: 직각삼각형에서 두 변의 길이의 비
sin = , cos = , tan  =

삼각비를 쉽게 구하는 방법

삼각비를 쉽게 구하려면 삼각형을 원하는 모양으로 그려야 해요. 기준각이 왼쪽 아래에, 직각은 오른쪽 아래에 오게 삼각형을 그려요.

그리고 영어 s, c, t의 필기체를 쓰는 거지요. 영어 소문자 필기체 쓸 줄 알죠?

s는 sin, c는 cos, t는 tan를 구할 때 써요. s와 t는 1, 2번만 있으면 돼요.

삼각형을 위 그림처럼 돌려놓은 다음에 필기체를 쓰면 먼저 써지는 게 분모, 나중에 써지는 게 분자가 되는 거예요. sin의 s는 빗변에서 출발해서 높이로 이어지지요. 그래서 sin은 가 되는 거예요. cos의 c는 빗변에서 출발해서 밑변으로 이어지니까 cos은 , tan의 t는 밑변에서 시작해서 높이로 이어지니까 가 되는 거고요.

다음 직각삼각형 ABC에서 각 A에 대한 삼각비를 구하여라.

삼각비를 구하려면 빗변의 길이를 알아야 해요. 직각삼각형이니까 빗변의 길이는 피타고라스의 정리를 이용해서 구할 수 있어요. 피타고라스의 수 3, 4, 5니까 빗변의 길이는 5에요.

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사각형이 끝나고 이제는 다시 삼각형으로 돌아왔어요.

이 글에서는 삼각형의 넓이와 관련된 두 가지를 배울 거예요. 하나는 두 평행선 사이에 그려진 삼각형의 넓이이고, 다른 하나는 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비예요.

삼각형의 넓이 구하는 공식 모르는 사람은 없겠죠? ½ × (밑변) × (높이)에요.

이 공식을 기본으로 해서 삼각형의 넓이에 관한 내용을 시작해보죠.

평행선과 삼각형의 넓이

평행한 직선 l과 m이 있어요. 직선 m위의 두 점 B, C와 l위의 한 점 A를 꼭짓점으로 하는 △ABC가 있어요. 또 직선 l위의 한 점 D와 점 B, C를 꼭짓점으로 하는 △DBC가 있어요.

△ABC의 높이는 점 A와 직선 m사이의 거리지요? h에요. △ABC의 넓이 = ½ × a × h

△DBC의 높이는 점 D와 직선 m사이의 거리로 역시 h에요. △DBC의 넓이 = ½ × a × h

두 삼각형의 밑변은 공통이니까 그렇다고 치더라도 높이도 같아요. 밑변과 평행인 선 위의 점으로 이루어진 삼각형은 그 모양이 달라도 넓이가 같다는 점을 알 수 있지요.

혹시라도 모양이 이상해서 넓이를 모르겠다면 밑변과 평행한 선을 찾아서 그 선 위의 임의의 점과 삼각형을 만들어 넓이를 구하면 되지요.

다음 그림에서 평행사변형 ABCD의 넓이가 40cm²일 때 △EBC의 넓이를 구하여라.

△EBC의 넓이를 구하려면 밑변과 높이를 알아야 하는데 그림에서는 주어져 있지 않아요. 따라서 △EBC와 넓이가 같은 다른 삼각형을 찾아야 해요. 어떤 게 있나요? 삼각형의 밑변 와 가 평행이기 때문에  위에 점을 잡아서 삼각형을 그리면 △EBC와 넓이가 같아요. 점 A를 이용해보죠. (△EBC의 넓이) = (△ABC의 넓이)이므로 △ABC의 넓이를 구하면 되겠네요.

평행사변형과 넓이에서 평행사변형의 대각선으로 나눠지는 두 삼각형은 넓이가 같고, 전체 평행사변형 넓이의 절반이라는 걸 공부했어요. (△ABC의 넓이) = ½(□ABCD의 넓이)

(△EBC의 넓이) = (△ABC의 넓이) = ½(□ABCD의 넓이) = ½ × 40 = 20(cm²)

높이가 같은 삼각형의 넓이의 비

이번에는 높이가 같고 밑변의 길이가 다른 삼각형의 넓이의 비를 알아보죠.

위 그림에서 △ABD의 넓이는 ½mh이고, △ACD의 넓이는 ½nh에요.

두 삼각형의 넓이의 비는 ½mh : ½nh죠. 정리하면 m : n이에요.

넓이의 비가 밑변의 길이의 비와 같죠?

높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 = 밑변의 길이의 비

아래 그림에서 점 D는 의 중점, , △ABC의 넓이가 50cm²일 때 △DBE의 넓이를 구하여라.

이 그림에 직각 표시가 되어 있는데 이건 그냥 함정이에요. 밑변과 높이를 이용해서 구할 수 있을 것처럼 보이게 하는 거죠.

삼각형의 밑변의 길이의 비가 나왔는데, 이걸 이용하려면 높이가 같아야 해요. 밑변의 길이의 비를 이용할 수 있는 높이가 같은 삼각형은 △ABE와 △ACE에요. 밑변의 길이의 비가 2 : 3이니까 넓이의 비도 2 : 3이에요. 이 두 삼각형의 넓이의 합이 50cm²이니까 이 넓이를 2 : 3으로 나누면 되겠죠.

(△ABE의 넓이) = (△ABC의 넓이) ×  = 50 ×  = 20(cm²)

가 밑변이 되도록 △ABE를 돌려보세요. △ABE는 △DBE와 △ADE라는 두 개의 삼각형으로 되어 있어요. 점 E에서 에 내린 수선이 △DBE와 △ADE의 높이죠. 높이가 같고 밑변의 길이의 비가 이므로 △DBE와 △ADE의 넓이의 비도 1 : 1이에요.

(△DBE의 넓이) = (△ABE의 넓이) × ½ = 20 × ½ = 10(cm²)

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사각형 시리즈(?) 마지막입니다.

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형의 각 변의 중점을 연결해서 그려지는 사각형이 어떤 사각형인지 알아볼 거예요. 중점이 뭔지는 다 알고 있죠? 중점은 두 점 사이의 거리를 이등분하는 점이에요.

이 글에서 다룰 내용은 각 사각형의 기본적인 정의만 잘 알고 있어도 쉽게 이해할 수 있어요. 일반적인 사각형과 사다리꼴의 중점을 연결한 사각형은 이 글에서 다루지 않고, 나중에 다른 단원에서 추가하도록 할게요.

사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형

평행사변형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 평행사변형

먼저 평행사변형의 각 변의 중점을 연결해서 만든 사각형부터 알아보죠.

평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 잡아서 연결한 사각형을 □EFGH라고 해보죠.

평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 같아요. 그래서 변의 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 대변에서는 같아요.

평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 같죠? ∠A = ∠C, ∠B = ∠D

△AEF와 △CGH는 SAS 합동이에요. 따라서 대응변인 이에요. 또 △BFG와 △DHE도 SAS 합동이에요. 따라서 대응변인 이죠

결국 □EFGH는 두 쌍의 대변의 길이가 같으니까 평행사변형이에요.

직사각형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 마름모

이번에는 직사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형을 □EFGH라고 해보죠.

직사각형도 평행사변형의 한 종류이므로 각 대변의 중점에서 꼭짓점까지의 거리는 같아요.

그리고 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°죠. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

△AEF와 △CGH, △BGF, △DEH 네 개의 삼각형은 모두 SAS합동이에요. 따라서  = 이므로 네 변의 길이가 모두 같죠.

결국 □EFGH는 네 변의 길이가 같은 마름모입니다.

마름모의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 직사각형

마름모 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형 □EFGH입니다.

마름모는 네 변의 길이가 같으므로 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 모두 같아요.

마름모도 평행사변형의 한 종류로 두 쌍의 대각의 크기가 같으므로 ∠A = ∠C, ∠B = ∠D예요.

SAS 합동에 의해서 △AEF와 △CGH가 합동이고, △BFG와 △DHE가 합동이에요. , 죠. □EFGH는 일단 평행사변형이네요.

그런데 이 네 삼각형은 이등변삼각형이므로 밑각의 크기가 같아요.

∠AFE = ∠AEF
∠BGF = ∠BFG
∠CGH = ∠CHG
∠DEH = ∠DHE

삼각형이 합동이므로 크기가 같은 각끼리 모으면
∠AFE = ∠AEF = ∠CGH = ∠CHG
∠BGF = ∠BFG = ∠DEH = ∠DHE죠.

평각인 ∠AFB와 ∠BGC의 크기를 삼각형의 내각 두 개와 사각형의 내각 한 개로 표시할 수 있죠?

∠AFB = 180° = ∠AFE + ∠BFG + ∠EFG
∠BGC = 180° = ∠BGF + ∠CGH + ∠FGH

연립방정식의 가감법처럼 두 식을 변변 빼보면
0° = (∠AFE - ∠CGH) + (∠BFG - ∠BGF) + (∠EFG - ∠FGH)
0° = ∠EFG - ∠FGH    (∵ ∠AEF = ∠CGH, ∠BFG = ∠BGF)
∠EFG = ∠FGH

□EFGH의 이웃한 두 각의 크기가 같다는 걸 알 수 있어요.

결국 □EFGH는 이웃한 두 각의 크기가 같은 평행사변형으로 직사각형이라는 걸 알 수 있지요.

그림으로 설명하면 쉬운데 말로 설명하려니 정말 어렵네요. 아래는 다른 설명이니까 위의 내용이 이해하기 어려우면 아래 내용을 보세요.

점 E와 점 G를 연결해서 를 그려보세요. □ABGE가 생기죠? 이므로 □ABGE는 평행사변형이에요. 따라서 는 와 평행이고 길이가 같아요.

이번에는 점 F와 점 H를 연결해서 를 그리세요. □AFHD가 생기는데, 이므로 □AFHD 역시 평행사변형이에요. 따라서 는 와 평행이고 길이가 같아요.

□ABCD는 마름모이므로 네 변의 길이가 같아요.  = 죠. 결국  = 예요. □EFGH에서 두 대각선의 길이가 같아요.

□EFGH은 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형이므로 직사각형이에요.

정사각형의 중점을 연결해서 만든 사각형 - 정사각형

정사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결해서 □EFGH를 그려보죠.

정사각형은 네 변의 길이가 같으므로 중점에서 꼭짓점까지의 거리도 모두 같아요. 

정사각형이라서 □ABCD의 네 내각의 크기도 같지요. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

위 조건에 따라 네 삼각형 △AEF, △BFG, △CGH, △DHE는 SAS 합동이므로 □EFGH의 네 변의 길이는 모두 같아요. 일단 마름모에요.

그리고 네 개의 삼각형은 직각이등변삼각형이니까 한 내각의 크기는 90°고, 다른 두 내각의 크기는 45°죠. (이등변삼각형의 성질)

평각인 ∠AED의 크기를 삼각형의 내각 두 개와 사각형의 내각 한 개로 표시할 수 있죠?

∠AED = 180° = ∠AEF + ∠DEH + ∠FEH
∠FEH = 90°     (∵ ∠AEF = ∠DEH = 45°)

□EFGH는 네 변의 길이가 같고, 한 내각의 크기가 90°이므로 정사각형입니다.

등변사다리꼴의 중점을 연결하여 만든 사각형 - 마름모

사다리꼴의 중점 연결 정리에서 자세히 다루니까 이쪽으로 오세요. ㅎㅎ

사각형의 각 변의 중점을 연결해서 그린 사각형
평행사변형 → 평행사변형
직사각형 → 마름모
마름모 → 직사각형
정사각형 → 정사각형
평행사변형, 정사각형은 그대로, 직사각형, 마름모는 서로 반대로
등변사다리꼴 → 마름모

평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 그린 사각형을 □EFGH라고 할 때, □EFGH의 성질이 아닌 것을 모두 고르시오.
(1) 두 쌍의 대변의 길이가 같다.
(2) 두 쌍의 대각의 크기가 같다.
(3) 두 대각선이 서로 이등분한다.
(4) 두 대각선은 서로 수직이다.
(5) 네 내각의 크기가 모두 같다.
(6) 네 변의 길이가 모두 같다.

평행사변형의 중점을 연결해서 그린 사각형은 평행사변형이에요. 따라서 보기 중에 평행사변형의 성질이 아닌 것을 고르면 되겠지요.

(1), (2), (3)은 평행사변형의 성질이 맞아요.

(4) 번은 마름모, 정사각형의 성질이고, (5) 번은 직사각형, 정사각형의 성질이죠. (6) 번은 마름모, 정사각형의 성질이네요. 따라서 답은 (4), (5), (6)이 되겠습니다.

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지금까지 사각형을 배워왔어요. 사각형별로 정의와 성질, 조건을 알아봤죠. 또 이러한 내용을 표로 정리도 해봤고요. 사각형의 정의와 성질, 조건

이 글에서는 이 사각형들의 다른 점을 비교하는 게 아니라 서로의 관련성을 알아볼 거예요. 서로 어떤 관계가 있는지 어떻게 하면 다른 사각형이 되는지요.

그리고 각 사각형의 특징을 가장 잘 알 수 있는 대각선에 대해서도 알아볼 거예요.

이미 배웠던 사각형의 정의와 성질, 조건을 잘 이해하고 있어야 해요.

여러 가지 사각형의 포함관계

그냥 사각형이 있어요.
이 사각형의 한 쌍의 대변이 평행하면 사다리꼴이에요.
사다리꼴에서 나머지 한 쌍의 대변도 평행하다면 모두 두 쌍의 대변이 평행하니까 평행사변형이 돼요.
평행사변형에서 내각의 크기가 모두 같으면 직사각형이죠? 또 평행사변형의 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모에요.
직사각형의 네 변의 길이가 같거나 마름모의 네 각의 크기가 모두 같으면 정사각형이 되지요.

이걸 집합으로 표시해보면

⊃의 방향 잘 보세요. ⊃의 닫힌 쪽이 부분집합이에요. 또 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}이고요.

조건이 하나씩 추가될 때마다 사각형의 범위가 줄어들어요. 사각형들의 포함관계를 이해할 수 있겠죠? 아래는 벤다이어그램으로 표시한 거예요.

여러 가지 사각형의 조건

자 이제는 하나의 사각형이 어떤 조건을 갖추면 다른 형태의 사각형이 되는지 알아볼 거예요. 각 사각형의 정의와 조건에 대해서 잘 이해하고 있어야 하는 내용입니다.

위 그림에서 사각형의 포함관계도 엿볼 수 있는데요. 화살표를 받는 쪽이 화살표를 받는 쪽에 포함되는 사각형이에요.

화살표 옆에 숫자가 보이죠? 그 숫자에는 사각형이 되려면 갖추어야 할 조건을 적어볼까요?

①번은 그냥 사각형이 사다리꼴이 되는 조건이에요. 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이죠? 따라서 ①번에는 "한 쌍의 대변이 평행"이라는 조건이 들어가야 해요. 사다리꼴의 정의

②번은 사다리꼴이 등변사다리꼴이 되는 조건이에요. 등변사다리꼴은 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴이니까 ②번에는 "밑변의 양 끝각이 같다."라는 조건이 들어가면 되겠고요. 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

③번은 사다리꼴이 평행사변형이 되는 조건이에요. 평행사변형이 되는 조건에서 총 다섯 가지의 조건을 알아봤어요. 그런데 사다리꼴이라는 전제가 주어져 있으니 다 쓰지는 않고, 이걸 이용하는 조건만 적어보죠. 사다리꼴은 이미 한 쌍의 대변이 평행하니까 나머지 한 쌍의 대변이 평행하면 두 쌍의 대변이 평행해지겠죠? 그래서 ③번에는 "다른 한 쌍의 대변도 평행"이라는 조건이 들어가면 되겠네요. 또 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으면 평행사변형이 될 수 있어요. 그래서 사다리꼴에서 "평행한 대변의 길이가 같다"가 되어도 괜찮습니다.

원래 조건이 5가지인데, 이건 그냥 사각형이나 사다리꼴이나 다 상관없이 적용되는 조건이니까 일반적인 사각형과 사다리꼴과 굳이 분리해서 생각할 필요는 없어요.

④번은 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이에요. 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형이에요. 따라서 평행사변형의 한 내각이 90°가 되면 직사각형이 되죠. ④번에는 한 내각의 크기가 90°라는 조건이 맞겠네요. 이걸 다르게 표현하면 이웃한 두 내각의 크기가 같다고도 할 수 있죠. 또는 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 이 조건을 써도 되고요. 직사각형이 되는 조건

⑤번은 평행사변형이 마름모가 되는 조건이에요. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이에요. 평행사변형의 이웃한 두 변의 길이가 같으면 마름모가 되죠. 따라서 ⑤번에는 이웃한 두 변의 길이가 같다고 쓰면 되겠네요. 또 마름모는 두 대각선이 서로를 수직이등분하지요? 평행사변형의 두 대각선이 서로 직교하면 마름모가 되니까 이걸 ⑤번에 써도 상관없어요. 마름모가 되는 조건

직사각형이 정사각형이 되는 조건은 ⑤번이고, 마름모가 정사각형이 되는 조건은 ④번이에요. 번호가 같다는 건 그 조건도 같다는 거니까 위에 있는 걸 그대로 쓰면 되지요.

정리해보죠.

1. 사각형 → 사다리꼴
   • 한 쌍의 대변이 평행
2. 사다리꼴 → 등변사다리꼴
   • 밑변의 양 끝각의 크기가 같다.
3. 사다리꼴 → 평행사변형
   • 다른 한 쌍의 대변이 평행
   • 평행한 한 쌍의 대변의 길이가 같다.
   • 참고. 사각형 → 평행사변형의 조건은 총 5개
4. (평행사변형 → 직사각형) = (마름모 → 정사각형)
   • 한 내각의 크기 = 90°
   • 이웃한 두 내각의 크기가 같다.
   • 두 대각선의 길이가 같다.
5. (평행사변형 → 마름모) = (직사각형 → 정사각형)
   • 이웃한 두 변의 길이가 같다.
   • 두 대각선이 서로 직교

여러가지 사각형의 대각선

사각형의 특징을 가장 잘 나타내는 것 한 가지를 고르라고 하면 대각선이에요. 각 사각형별로 대각선이 어떤 특징을 나타내고 어떤 차이가 있는 지를 표로 나타내봤어요. 같은 성질을 지닌 게 하나도 없죠? 따라서 대각선만 잘 봐도 그 사각형이 어떤 사각형인지 알 수 있어요.

예를 들어 문제를 푸는데 사각형의 대각선이 서로 직교해요. 대각선의 길이도 같으면 그 사각형은 정사각형이고, 길이가 같지 않으면 마름모가 되는 거죠.

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사각형에 대해서 쭉 알아봤어요,

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 사다리꼴의 정의, 성질, 조건에 알아봤지요.

이 글에서는 이제까지 배웠던 사각형들의 내용을 합치고 정리해볼게요. 비슷한 것도 있고, 같은 것도 있고, 다른 것도 있으니까 잘 비교하고 구별해서 헷갈리지 않도록 하세요.

여기서는 각 사각형의 핵심적인 내용만 추릴 거니까, 자세한 내용이나 증명은 해당 글을 읽으세요.

아래에 표를 보면서 글자로 외우는 것도 좋지만 그림을 보면서 직접 펜으로 찍어가면서 외우세요. 예를 들면 펜으로 그림의 윗변과 아랫변을 가리키면서 "여기랑 여기랑 같고………" 뭐 이런 식으로 말이죠. 도형이니까 실제 도형을 보면서 그림에 맞게 외우는 것이 훨씬 더 좋은 방법이거든요.

여러 사각형의 정의와 성질, 조건

사각형의 정의와 성질, 조건

사각형	[정의]와 성질	조건
평행사변형	[두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형] 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 이웃한 두 내각의 크기의 합은 180° 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.	두 쌍의 대변이 평행한 사각형 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 사각형 두 대각선이 서로를 이등분하는 사각형 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같은 사각형
	평행사변형의 성질	평행사변형이 되는 조건
직사각형	[모든 내각의 크기가 같은 사각형 또는 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형] (평행사변형의 성질) 두 대각선의 길이가 같다.	한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형
	직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모	[네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) 두 대각선이 서로를 수직이등분	이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형 두 대각선이 서로 직교하는 평행사변형
	마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형	[네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) (직사각형의 성질) (마름모의 성질)	이웃하는 두 변의 길이가 같은 직사각형 두 대각선이 서로 직교하는 직사각형 한 내각이 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 마름모 두 대각선의 길이가 같은 마름모
	정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
등변사다리꼴	[한 쌍의 대변이 평행하고 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사각형] 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다. 대각선의 길이가 같다.
	등변사다리꼴의 정의와 성질

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마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

이제 사다리꼴이에요. 사다리꼴은 이름 그대로 사다리처럼 생긴 도형이에요.

사다리꼴은 앞에서 했던 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형과 달라요. 직사각형, 마름모, 정사각형은 모두 평행사변형에서 조금씩 변형되어 왔던 건데요. 사다리꼴은 평행사변형과 관계가 없어요. 크게 관계가 없는 대신 제일 헷갈릴 수 있는 게 사다리꼴이에요. 특히 평행사변형과의 차이에 대해서 잘 구별하세요.

사다리꼴 중에서도 등변사다리꼴에 대해서 배울 겁니다. 그냥 사다리꼴과 등변사다리꼴은 뭐가 다른 지도 잘 알고 있어야 합니다.

사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의

평행사변형은 두 쌍의 대변이 평행한 사각형이에요. 반면에 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형입니다. 차이가 분명하죠?

등변사다리꼴은 사다리꼴 중에서 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴을 말해요. 밑변의 양끝각의 크기가 같으면 윗변의 양 끝각의 크기도 서로 같아요.

주의하세요. 등변사다리꼴은 두 쌍의 대변이 아니라 한 쌍의 대변이 평행하고, 대각이 아니라 밑변의 양 끝각의 크기가 같아요.

사다리꼴: 한 쌍의 대변이 평행한 사각형
등변사다리꼴: 밑변의 양 끝각의 크기가 서로 같은 사다리꼴

등변사다리꼴의 성질

등변사다리꼴의 성질이에요. 일반적인 사다리꼴의 성질이 아니니까 주의하세요.

등변사다리꼴에서 평행하지 않은 한 쌍의 대변은 길이가 같아요. 또 대각선의 길이도 같고요.

평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다.

등변사다리꼴은 // 이고, ∠B = ∠C에요.

점 D에서 와 평행인 선을 그리고, 와의 교점을 점 E라고 해보죠.

∠B와 ∠DEC는 평행선의 동위각으로 그 크기가 같아요. ∠B = ∠C이므로 ∠C = ∠DEC가 되죠.

이등변삼각형이 되는 조건에 따라 두 밑각의 크기가 같으므로 △DEC는 이등변삼각형이에요. =

□ABED는 두 쌍의 대변이 평행한 평행사변형이죠. 평행사변형의 성질에서 두 대변의 길이는 같으므로 =입니다.

결국 == 로 등변사다리꼴에서 평행하지 않은 한 쌍의 대변은 길이가 같아요.     (증명 끝.)

사실 등변사다리꼴에서 등변이라는 말은 변의 길이가 같다는 뜻이에요.

두 대각선의 길이가 같다.

△ABC와 △DCB를 보세요.

바로 위의 등변사다리꼴의 성질에서 평행하지 않은 한 쌍의 대변은 길이가 같다고 했으니  = ………(1)

등변사다리꼴에서 두 밑각의 크기가 같다고 했으니까 ∠B = ∠C ………(2)

는 공통 ………(3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △ABC ≡ △DCB

대응변인 가 되죠.     (증명 끝.)

등변사다리꼴의 성질
평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다.
두 대각선의 길이가 같다.

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이 글에서 내울 내용은 정사각형의 정의와 정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건이에요.

사실 정사각형은 이미 1학년 때 공부한 적이 있어요. 내각과 외각을 배우는 과정에서 정다각형이라는 걸 배웠거든요. 정사각형은 정다각형의 한 종류에요.

정사각형은 새로운 내용을 배우진 않습니다. 앞에서 배웠던 사각형들 평행사변형, 직사각형, 마름모의 정의와 성질, 조건을 잘 기억하고 있으면 돼요. 새로운 내용을 공부한다기보다는 "앞에서 배웠던 사각형의 성질을 복습하는 구나" 정도로 생각하시면 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

정사각형의 정의

1학년 때 다각형, 정다각형 단원에서 정다각형의 정의를 배웠는데, 기억하고 있죠? 정다각형은 내각의 크기가 모두 같고, 변의 길이도 모두 같은 도형이라고 배웠어요.

정사각형은 각과 변이 4개씩 있으니까 네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 같은 사각형을 말하는 거죠.

네 각의 크기가 모두 같은 사각형은 직사각형이에요. 또 네 변의 길이가 모두 같은 사각형은 마름모지요. 정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 만족시키는 사각형이네요. 집합으로 표시하면 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}가 돼요.

정사각형의 성질

정사각형은 직사각형이면서 동시에 마름모이기도 해요. 직사각형과 마름모는 평행사변형의 한 종류고요. 따라서 정사각형은 직사각형의 성질과 마름모의 성질, 평행사변형의 성질을 모두 가져요.

평행사변형의 성질, 직사각형의 성질, 마름모의 성질을 정리해보죠.

• 두 쌍의 대변의 길이가 같다. (평행사변형의 성질)
• 두 쌍의 대각의 크기가 같다. (평행사변형의 성질)
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다. (평행사변형의 성질)
• 두 대각선의 길이가 같다. (직사각형의 성질)
• 두 대각선은 서로 다른 대각선을 수직이등분한다. (마름모의 성질)

위에 나오는 성질 전부가 정사각형의 성질이에요. 이미 앞 글에서 다 증명을 했으니까 이 글에서는 증명을 생략하도록 할게요.

정사각형이 되는 조건

직사각형이 정사각형이 되는 조건

정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 갖춰야 해요. 직사각형이 정사각형이 되려면 추가로 마름모의 성질을 가지고 있어야겠죠? 그리고 직사각형은 평행사변형의 한 종류에요. 따라서 직사각형이 정사각형이 되려면 평행사변형이 마름모가 되는 것과 같은 조건이 필요해요.

(직사각형이 정사각형이 되는 조건) = (평행사변형이 마름모가 되는 조건)
이웃하는 두 변의 길이가 같다.
두 대각선이 서로 직교한다.

마름모가 정사각형이 되는 조건

마찬가지에요. 정사각형은 직사각형과 마름모의 조건을 모두 갖춰야 해요. 마름모가 정사각형이 되려면 추가로 직사각형의 성질을 가지고 있어야겠죠? 그리고 마름모도 역시 평행사변형의 한 종류라서 마름모가 정사각형이 되려면 평행사변형이 직사각형이 되는 것과 같은 조건이 필요해요.

(마름모가 정사각형이 되는 조건) = (평행사변형이 직사각형이 되는 조건)
한 내각이 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같다.
두 대각선의 길이가 같다.

□ABCD가 정사각형일 때, 아래 물음에 답하여라.
(1) ∠BOC의 크기를 구하여라.
(2) △OBC는 어떤 삼각형인가?

(1) □ABCD가 정사각형이므로 마름모의 성질을 가지고 있어요. 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하지요. 따라서 ∠BOC = 90°에요.

(2) □ABCD가 정사각형이므로 직사각형의 성질을 가지고 있어요. 직사각형의 성질에 따르면 두 대각선은 길이가 같고, 마름모의 성질에 따르면 대각선은 서로를 이등분하지요. 에요. 따라서 △OBC는 두 변의 길이가 같고, 그 끼인각이 직각인 직각이등변삼각형입니다.

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이번에는 마름모입니다. 마름모는 다 알잖아요. 다이아몬드처럼 생긴 거. 보통 그렇게 그리잖아요. 직사각형과 마찬가지로 마름모의 정의와 마름모의 성질, 마름모가 되는 조건을 알아보죠. 또 각 내용을 증명해보고요.

평행사변형, 직사각형, 마름모가 나오면서 각 사각형의 정의와 성질, 조건이 헷갈릴 수 있어요. 주의해서 보세요. 앞으로도 더 많은 사각형이 나오니까 벌써 헷갈리기 시작하면 안 돼요.

마름모의 정의

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형으로 정의해요.

네 변의 길이가 모두 같으니까 마주 보는 대변의 길이도 같겠죠? 평행사변형이 되는 조건에서 두 쌍의 대변의 길이가 같으면 평행사변형이라고 했어요. 그러니까 마름모도 평행사변형이에요

직사각형도 평행사변형의 한 종류였죠? 마름모도 평행사변형의 한 종류에요. 하지만 직사각형과 마름모 사이에는 아무런 관계가 없으니까 주의하세요.

마름모의 성질

마름모는 평행사변형의 한 종류라서 평행사변형의 성질을 모두 가져요. 여기에 하나가 추가됩니다.

평행사변형의 성질은 세 가지가 있었어요.

• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

마름모는 두 대각선이 서로 수직이등분해요. 평행사변형에서는 대각선이 서로 이등분만 했는데, 마름모는 여기에 수직으로 이등분합니다.

두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분

마름모의 대각선이 서로 수직이등분하는 것을 증명해보죠. 마름모는 평행사변형의 한 종류에요. 따라서 대각선은 서로 이등분하죠. 이등분하는 건 알고 있으니까 여기서는 두 대각선이 서로 수직인지만 증명하면 돼요.

마름모에 대각선을 그었어요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠.

△OAB와 △OAD를 보세요.

마름모는 네 변의 길이가 모두 같으니까  = ……… (1)

마름모는 평행사변형이므로 대각선은 다른 대각선을 이등분해요.  = ……… (2)

는 공통이죠. ……… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SSS합동이에요. △OAB ≡ △OAD

대응각인 ∠AOB = ∠AOD가 되는데, 두 각의 합은 평각인 180°에요. 크기가 같은 두 각의 합이 180°니까 ∠AOB = ∠AOD = 90°가 됩니다.

따라서 입니다.      (증명 끝.)

마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형. 평행사변형의 한 종류
마름모의 성질: (평행사변형의 성질) + 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분

평행사변형이 마름모가 되는 조건

이웃하는 두 변의 길이가 같다.

평행사변형은 두 쌍의 대변의 길이가 같아요. 그런데 바로 이웃한 변의 길이가 같으면 결국 네 변의 길이가 같아지는 거예요. 네 변의 길이가 같은 사각형을 마름모라고 정의했으니까 이 경우에 평행사변형이 마름모가 되는 거죠.

두 대각선이 서로 직교한다.

마름모의 성질 중에 두 대각선을 서로 다른 것을 수직이등분한다고 했죠? 증명할 때는 두 대각선이 직교하는 것만 증명했어요. 이걸 거꾸로 하면 바로 마름모가 되는 조건이 되는 겁니다.

평행사변형의 두 대각선이 직교하면 마름모가 되는지 증명해볼까요? △OAB와 △OAD를 보세요.

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하니까  = 에요. ……… (1)

두 대각선이 직교한다고 했으니 ∠AOB = ∠AOD = 90° ……… (2)

는 공통 ……… (3)

(1), (2), (3)에 의해 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △OAB ≡ △OAD

대응변인  = 죠. 평행사변형의 두 쌍의 대변은 길이가 같으므로 인데,  = 라고 했으니까 결국 네 변의 길이가 모두 같아요.

따라서 평행사변형의 두 대각선이 직교하면 이 평행사변형은 마름모가 됩니다.     (증명 끝.)

평행사변형이 마름모가 되는 조건
1. 이웃하는 두 변의 길이가 같다.
2. 두 대각선이 서로 직교한다.

□ABCD가 평행사변형이고, 각의 크기가 그림과 같을 때 ∠ACD의 크기를 구하여라.

조금 어려운 문제일 수 있어요.

□ABCD가 평행사변형이므로 ∠CAD = ∠ACB = 50°가 돼요. (엇각)
그러면 △OBC에서 두 내각의 크기가 40°, 50°이므로 ∠BOC = 90°가 되지요.

두 대각선의 교각이 90°니까 두 대각선은 서로 수직이등분합니다. 즉 이 평행사변형은 그냥 평행사변형이 아니라 마름모인 거죠.

마름모는 네 변의 길이가 같으므로 △BCD는 이등변삼각형이 돼요. 이등변삼각형의 성질에서 두 밑각은 크기가 같다고 했잖아요. 따라서 ∠DBC = ∠BDC = 40°가 됩니다. ∠BCD = 180° - 80° = 100°인데, ∠ACB = 50°이므로 ∠ACD = 50°가 됩니다.

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