수학방

체육 시간에 한 사람도 빠짐없이 모두 운동장으로 집합!

집합이라는 말 많이 들어본 말이죠. 집합이 뭐죠? 바로 "모이는 것"이죠. 집합은 모임과 같은 말이에요.

그런데 수학에서의 집합은 그냥 모이는 게 아니에요. 조금 다릅니다. 수학에서의 집합이 무엇을 말하는 지 좀 더 자세히 알아보죠.

앞으로 집합에 대해서 공부할 건데, 집합이 뭔지 모르면 앞으로 한 발짝도 나갈 수 없어요. 집합의 의미를 정확하게 이해하고, 문제 나오는 보기 중에서 집합이 어떤 것인지 파악할 줄 있어야 해요.

집합

집합은 그냥 모임이 아니라 대상이 분명한 것들의 모임이에요. 어떤 기준이 있는데, 이 기준에 딱 들어맞는 것들의 모임이죠. 근데 이 기준이 약간 까다로워요. 누가 봐도 똑같이 생각할 수 있는 아주 객관적이고 명확한 기준이어야 한다는 거예요. 기준이 명확해야 그 기준에 맞는 대상들을 분명히 알 수 있거든요.

잘 생긴 사람의 모임은 일반적인 상식으로는 모임이라고 할 수 있겠지만, 수학에서 말하는 모임, 즉 집합이라고 할 수는 없어요. 잘생겼다는 기준이 사람마다 다르기 때문이죠. 같은 사람을 보고도 어떤 사람은 잘생겼다고 하고, 다른 사람은 잘생기지 않았다고 할 수 있어서 그 집합의 대상이 분명하지 않게 되죠.

비슷한 예로는 키가 큰 사람들의 모임, 공부 잘하는 학생의 모임, 맛있는 과일의 모임 등의 있어요.

어떤 사람은 사과를 맛있다고 하고 또 다른 사람은 사과는 맛이 없다고 생각할 수도 있지요. 이처럼 기준이 객관적이지 않으면 집합이라고 할 수 없어요.

또 공부 잘하는 사람들의 모임을 볼까요? 수학 시험에서 100점 맞은 학생이 이 모임에 포함된다고 해보죠. 이 학생은 누가 봐도 공부를 잘하는 학생이니까 객관적인 기준이라고 할 수 있죠. 그런데 공부를 잘한다는 기준이 명확하지 않아요. 99점 맞은 학생을 모임에 포함할 수 있을까요? 98점 맞은 학생은요? 몇 점까지가 공부를 잘하는 건지 딱 정해져있지 않아요. 그래서 이 경우도 집합이라고 할 수 없어요.

위의 것들을 수학의 집합으로 바꾼다면, 키가 180cm 이상인 사람의 모임, 수학점수가 90점 이상인 학생들의 모임 등으로 바꿔야겠네요.

집합에도 쉽게 알아볼 수 있는 이름이 있으면 좋겠죠? 그래서 수학에서는 간단하게 알파벳 대문자를 사용합니다. 집합 A, 집합 B 이렇게요. 알파벳 대문자를 이용하면 간단하면서도 구별하기 쉽고 수학 기호로 표시하기도 편리하거든요.

다음 중 집합에 해당하는 것의 기호를 모두 쓰시오.
A. 축구를 좋아하는 사람의 모임
B. 10보다 작은 자연수의 모임
C. 중학생의 모임
D. 영어를 잘하는 사람들의 모임
E. 머리가 좋은 사람들의 모임

집합은 그 대상이 명확해야 해요. 경우에 따라서 달라지면 안 돼요.

A는 축구를 좋아하는 것과 좋아하지 않는 걸 나눌 수 있는 명확한 기준은 없어요. 어느 정도가 되어야 축구를 좋아한다고 할 수 있는지 명확하지 않아요. 예를 들어 일주일에 한 시간 축구하면 축구를 좋아한다고 할 수 있나요? 아니면 매일 한 시간씩 하면 축구를 좋아한다고 할 수 있을까요? 그 기준이 명확하지 않죠? 또 다른 예로 철수가 "나는 축구를 좋아해."라고 생각한다고 해보죠. 그런데 영철이는 "철수는 축구를 좋아한다고 할 정도는 아니야."라고 생각한다면 어떨까요? 이 경우에 사람에 따라서 철수가 축구를 좋아하는지 아닌지 판단이 다르죠. 그래서 집합이 아니에요.

B는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9가 10보다 작은 자연수에요. 이건 어떻게 해도 바뀌지 않아요. 그래서 집합이에요.

C는 중학생은 중학교에 다니는 사람이에요. 학교에 다니는지는 해당 학교에 소속되어 있는지를 확인하면 되니까 분명하게 알 수 있죠. 그래서 집합이에요.

D는 영어를 잘한다는 기준이 명확하지 않죠? 영어 점수 90점 넘은 사람은 영어를 잘하고, 89점 맞은 사람은 영어를 못한다고 할 수 없잖아요. 그래서 집합이 아니에요.

E는 머리가 좋은 것도 아이큐를 기준으로 할 것인지 이해력, 암기력을 기준으로 할 것인지 기준이 명확하지 않죠. 설령 이 중의 하나를 고르다고 하더라도 암기력 혹은 이해력이 얼마나 뛰어나야 머리가 좋은 건지 나눌 수 없어요. 그래서 집합이 아니에요. 참고로 멘사라는 곳은 아이큐 148 이상인 사람들만 모이는 곳으로 아이큐 148이라는 명확한 기준이 있으니 집합이라고 할 수 있어요.

답은 B, C가 되겠네요.

학년별로 수학 요점 정리를 하려고 시도는 많이 해봤는데, 이게 잘 안되네요. 요점 정리를 해서 파일로 만드는 게 보통 일이 아니거든요. 그림도 다시 그려야하고 공식도 새로 써야하는 등 시간도 많이 걸려요. 손으로 쓰는 것과 컴퓨터로 입력하는 건 차이가 많이 나요.

그래서 새로 만들기보다는 기존에 잘 만들어진 파일을 링크 걸어드립니다. 동화사라고 교과서도 만들고 문제집도 만드는 곳이니까 믿고 사용하셔도 돼요. 다른 사이트들은 회원가입을 해야하는데 이곳은 가입하지 않아도 파일을 바로 받을 수 있어서 이 곳 링크를 걸어요.

수학 요점 정리

사실, 가장 좋은 요점정리는 본인이 사용하는 교과서의 요점정리에요. 자기가 공부해서 가장 익숙하고 중요한 공식이나 용어는 박스 처리를 해서 보여주니까요. 또 친절하게도 각 단원 제일 마지막에 있는 단원 요점이 정리되어 있는 교과서도 있어요.

그렇다해도 요점정리는 필요한 거니까 아래 링크를 클릭해서 다운받으세요.

중1 수학 요점정리
중2 수학 요점정리
중3 수학 요점정리

예전 교육과정일 때 만들어진 거라 지금 교육과정과 일부 다른 내용이 있지만 큰 틀에서 봤을 때 사용하지 못할 정도는 아니라고 판단합니다.

현제 교육과정에 없는 내용은 교과서나 문제집을 참고해서 꼭 추가해서 사용하세요.

참고로, "목록" 버튼을 누르면 수학뿐 아니라 과학이나 사회같은 다른 과목도 있으니까 필요하면 내려받아서 사용하시고요.

PDF 파일로 되어 있으니까 PDF Viewer가 필요한데 혹시 설치되어 있지 않다면 무료인 papyrus 5를 설치해서 보세요.

papyrus 5 다운로드

중1 수학 목차
중2 수학 목차
중3 수학 목차

본문 검색창 설치로 블로그 페이지뷰 늘리기에서 본문에 검색창을 설치하면 블로그 내의 검색량이 늘어나고 페이지뷰도 늘어난다고 말씀드렸는데요. 검색량이 얼마나 늘어났는 지를 직접 확인할 수 있는 방법이 있어요.

검색어 통계 플러그인인데요, 이 플러그인 사용법을 간략히 소개하겠습니다. 티스토리의 다른 플러그인들처럼 사용법이 아주 쉬워서 따로 설명할 것도 없어요.

작은 플러그인이지만 도움이 많이되는 플러그인이니까 꼭 설정을 바꿔서 사용해 보세요.

티스토리 검색어 통계 플러그인

검색어 통계 플러그인은 이름 그대로 어떤 검색어로 몇 번의 검색이 있었는 지 알려주는 통계 플러그인이에요. 가장 많이 검색되었던 단어를 100개까지 보여주는데요. 이를 잘 분석하면 방문자들이 내 블로그에서 어떤 정보를 얻고자하는 지를 파악할 수 있어요. 이를 바탕으로 관련된 글을 더 쓰거나 내용을 보충하면 블로그의 질이 더욱 높아지겠죠?

먼저 티스토리 관리화면에서 왼쪽 메뉴에서 플러그인 설정을 선택하세요. 플러그인 중에서 "검색어 통계" 플러그인을 사용하도록 설정합니다. 

그러면 왼쪽 메뉴의 플러그인에 원래는 없던 "검색어 통계"라는 메뉴가 생겨요.

이 검색어 통계를 선택하면 방문자들이 지난 일주일 동안 블로그 내에서 검색했던 단어들과 각 단어들이 검색된 횟수가 나옵니다.

참고로, 유입키워드는 다음이나 네이버에서 내 블로그로 들어올 때 검색한 단어이고, 검색어 통계는 내 블로그에서 검색한 단어라는 차이가 있어요.

함수, 부등식의 단어를 검색했네요. 검색어에 오른 단어들을 클릭하면 블로그의 검색화면으로 이동하고 검색결과가 표시돼요.

검색어 통계는 작은 플러그인이지만 블로그를 효율적으로 만드는 데 매우 유용한 플러그인인에요. 작은 통계라도 블로그 운영에 큰 보탬이 되니까 자주 확인하셔서 블로그를 조금 더 발전시켜보세요.

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연립방정식 중에서도 이차식이 포함된 연립이차방정식의 풀이입니다.

연립일차방정식에서는 미지수가 3개였고 차수는 1차였죠? 식 세가 연립된 형태였어요. 연립이차방정식은 미지수가 2개고 차수가 2차에요. 식은 두 개입니다. 생긴 게 다르니까 금방 구별할 수 있겠죠?

연립이차방정식 중에서는 이차방정식 두 개가 연립된 경우도 있고, 일차방정식 한 개와 이차방정식 한 개가 연립된 경우도 있어요. 각각의 풀이법을 알아보죠.

연립이차방정식의 풀이

방정식의 차수를 결정할 때는 여러 항 중에서 최고차항의 차수를 이용하죠? 마찬가지로 연립방정식에서도 가장 높은 차수의 방정식에 따라 이름이 붙어요. 연립방정식 중에서 이차인 방정식이 차수가 가장 높으면 그 연립방정식은 연립이차방정식이라고 합니다.

앞서 공부했던 미지수가 3개인 연립일차방정식에서는 세 방정식에서 가장 차수가 높은 방정식이 1차여서 연립일차방정식이라고 한 거예요.

연립이차방정식 - 일차방정식과 이차방정식

일차방정식 한 개와 이차방정식 한 개가 연립된 경우에요. 이때는 대입법을 사용해요. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 다음에 이차방정식에 대입하는 거죠. 그럼 이차방정식의 미지수가 1개가 되니까 일반적인 이차방정식의 풀이를 이용해서 미지수의 값을 구해요. 이렇게 구한 미지수의 값을 일차방정식에 대입해서 나머지 한 개도 구하는 겁니다.

1. 일차방정식을 한 문자에 관하여 정리
2. ①을 이차방정식에 대입
3. ②의 이차방정식 풀기
4. ③의 해를 일차방정식에 대입하여 나머지 미지수를 구함

다음 연립방정식을 풀어라.

일차방정식과 이차방정식으로 되어 있는 연립방정식이에요. 일차방정식을 ①, 이차방정식을 ②라고 해보죠.

일차방정식 ①을 y에 대해서 정리해요.

x + y = 2
y = 2 - x … ③

③을 ②에 대입해요. x² + (2 - x)² = 10으로 x에 관한 이차방정식이네요. x를 구해볼까요?

x² + (2 - x)² = 10
x² + x² - 4x + 4 = 10
2x² - 4x - 6 = 0
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = -1 or 3

이차방정식이니까 x의 값이 두 개예요. 이 두 개를 ①에 대입해서 y를 구할 수 있어요. x = -1이면 y = 3, x = 3 이면 y = -1이네요.

결국 해는 x = -1, y = 3 or x = 3, y = -1입니다.

이차방정식에서는 해가 두 개예요. 그래서 일차방정식과 이차방정식의 연립방정식에서는 해가 두 쌍이 됩니다. 이차방정식의 해가 중근이면 한 쌍이 나올 수도 있고요.

연립이차방정식 - 두 이차방정식

이차방정식이 두 개일 경우예요. 위에서 일차방정식과 이차방정식이 있을 때는 푸는 법을 공부했죠? 그러니까 이차방정식이 두 개있는 것도 일차방정식과 이차방정식이 연립한 것으로 바꾸면 풀 수 있겠죠? 어떻게 바꾸느냐면 바로 인수분해를 하는 거예요.

이차방정식 중 하나를 인수분해해서 일차식 두 개의 곱으로 바꿔요. 이 일차식과 이차방정식으로 새로운 연립방정식을 세워요. 그러면 원래는 이차방정식 두 개로 되어있던 한 개의 연립방정식이 일차방정식과 이차방정식으로 된 두 개의 연립방정식이 되죠. 각각의 연립방정식에서 해를 구하는 겁니다.

각각에서 2쌍씩 해가 나오니까 총 해의 개수는 4쌍이에요.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

두 식 중 위의 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②라고 해보죠. 두 식 중 하나를 인수분해해야 하는데, ②가 인수분해가 되는군요.

x² + xy - 6y² = 0
(x - 2y)(x + 3y) = 0

인수분해를 했더니 두 일차식의 곱으로 바뀌었어요. x - 2y = 0, x + 3y = 0 두 식과 ①을 이용해서 두 개의 연립방정식을 만들어요.

왼쪽의 연립이차방정식부터 풀어보죠. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후에 이차방정식에 대입해요.

x - 2y = 0
x = 2y     → ①에 대입

x² + y² = 25
(2y)² + y² = 25    (∵ x = 2y)
5y² = 25
y² = 5
y = ±
x = ±2    (∵ x = 2y)

오른쪽 연립방정식을 풀어볼까요?

x + 3y = 0
x = -3y     → ①에 대입

x² + y² = 25
(-3y)² + y² = 25    (∵ x = -3y)
10y² = 25
2y² = 5
y =
x =     (∵ x = -3y)

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중학교 2학년 때 공부했던 연립방정식은 미지수가 x, y 두 개 있는 일차방정식 두 개를 묶은 연립일차방정식이었어요. 고등학교에서 공부할 연립방정식은 미지수의 개수도 한 개 늘어났고, 식의 개수도 한 개 늘어나요. 미지수가 x, y, z 세 개있는 일차방정식 세 개를 묶은 연립일차방정식이지요.

연립방정식을 푸는 방법으로 가감법과 대입법을 공부했어요. x, y중 한 미지수의 계수의 절댓값을 똑같게 해서 식을 더하고 빼는 게 가감법, 두 식 중 한 식을 한 문자에 대하여 정리해서 다른 식에 대입하는 게 대입법이었지요.

미지수가 3개인 연립일차방정식

연립방정식을 풀 때 가장 중요한 것은 미지수의 개수를 줄이는 것이에요. 미지수의 개수가 2개인 연립일차방정식은 우리가 풀 수 있잖아요. 그래서 미지수의 개수가 3개인 연립방정식은 우리가 풀 수 있는 형태로 바꿔서 풀어요.

미지수의 개수 줄이기
미지수가 3개인 연립일차방정식
→ 미지수가 2개인 연립일차방정식으로 변환
→ 미지수가 1개인 일차방정식으로 변환

그럼 미지수의 개수를 어떻게 줄이느냐? 바로 가감법과 대입법으로 줄이죠.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

미지수 2개인 연립일차방정식인데, 연습 삼아 풀어보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더하면 되겠네요.

3x = 6
x = 2

x = 2를 두 식 중 아무 식에나 대입해요.
2 - y = 1
y = 1

x = 2, y = 1이라는 해를 구했어요.

가감법을 통해서 x, y 2개의 미지수 중 y를 없앴더니 남은 x의 값을 구할 수 있었어요. 그리고 x를 원래 식에 대입해서 y의 값을 구했지요.

이번에는 미지수가 3개이고 식도 3개인 연립일차방정식을 풀어보죠.

미지수가 x, y, z 세 개이고, 식이 세 개예요. 위에서부터 차례대로 ①, ②, ③식이라고 해보죠.

세 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요. 한 번의 계산으로 미지수의 값을 구할 수 없어요. 일단 미지수가 3개니까 2개로 줄여야 해요. 세 식 중에서 아무거나 두 개를 고르세요. ①, ②를 골라보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대네요. 가감법으로 두 식을 더하면 y가 없어지고, x, z 두 개의 미지수만 남겠죠?

x + y - z = 0 … ①
2x - y + 3z = 9 … ②

3x + 2z = 9 … ① + ② = ④

다음은 문제에서 또 두 개의 식을 골라요. ①, ③을 골라보죠. 앞에서 y를 없앴죠? 그럼 여기서도 y가 없어지도록 가감법을 해요. y를 없애려면 ① × 2 - ③을 해야겠네요.

2x + 2y - 2z = 0  … ① × 2
x + 2y + z = 8 … ③

x - 3z = -8 … ① × 2 - ③ = ⑤

④, ⑤ 식을 보면 x, z만 있는 연립방정식이에요. 미지수가 두 개인 것은 금방 해결할 수 있죠?

3x + 2z = 9 … ④
3x - 9z = -24 … ⑤ × 3

11z = 33 … ④ - ⑤ × 3
z = 3

z = 3을 ⑤에 대입하면 x = 1

x = 1, z = 3을 원래 식 중 아무 식에나 대입해요. ①에 대입하면 y = 2네요.

x = 1, y = 2, z = 3이 답이에요.

미지수가 3개인 연립일차방정식의 풀이법이에요. 상당히 복잡하지만 하나씩 따지고 보면 어렵지는 않아요. 가감법으로 미지수의 개수를 줄여나간다는 것만 잘 기억하세요.

1. 세 식 중 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 한 문자를 제거
   ⇒ 미지수의 개수를 2개로
2. 다른 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 ①에서 제거한 것과 같은 문자를 제거
   ⇒ 미지수의 개수를 2개로
3. ①, ②에서 만들어진 두 식을 연립하여 미지수의 값을 구함
   ⇒ 미지수가 2개인 연립방정식의 풀이
4. ③에서 구한 두 미지수의 값을 원래 식 중 하나에 대입하여 나머지 미지수를 구함
   ⇒ 마지막으로 구하는 미지수는 ①, ②에서 제거한 미지수

다음 연립방정식을 풀어라.

순서대로 ①, ②, ③이라고 할게요.

①, ③을 골라서 z를 없애보죠.

2x + y - z = 8 … ①
3x + 2y + z = 11 … ③

5x + 3y = 19 … ① + ③ = ④

이번에는 ②, ③을 골라볼까요. 앞에서 z를 없앴으니 여기서도 z를 없애야 해요.

x - y + 3z = -4 … ②
9x + 6y + 3z = 33 … ③ × 3

-8x - 7y = -37 … ② - ③ × 3 = ⑤

④, ⑤식은 x, y만 있는 연립방정식이니까 풀 수 있어요.

35x + 21y = 133 … ④ × 7
-24x - 21y = -111 … ⑤ × 3

11x = 22  … ④ × 7 + ⑤ × 3
x = 2

x = 2를 ④에 대입하면 y = 3

x = 2, y = 3을 ①에 대입하면 z = -1

x = 2, y = 3, z = -1이 답이네요.

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블로그의 페이지뷰를 높이고 이탈률를 낯추는 방법들이 여러 가지가 있어요. 비슷한 주제의 글을 올리거나 관련글, 카테고리 다른 글 플러그인을 노출시키는 방법이 있죠.

다른 방법으로 블로그 검색을 통해서 페이지뷰를 높이는 방법도 있어요. 보통 검색창은 사이드바에 위치하는데, 크기가 작아서 잘 보이지 않아요. 하지만 검색창을 눈에 잘 띄는 자리에 놓으면 방문자가 검색을 통해서 블로그의 다른 글을 읽게 할 수 있어요.

수학방의 경우는 네이버처럼 생긴 검색창을 본문 바로 아래와 검색 결과 목록 아래에 넣었습니다. 방문자가 본문을 다 읽고 검색을 통해서 다른 글도 읽을 수 있게 하려고요.

본문에 검색창 설치

티스토리 스킨 가이드의 스킨 치환자를 이용하면 본문에서 검색창이 작동하지 않아요. 사이드바에만 사용할 수 있는 치환자인 것 같네요. 그래서 본문에 넣으려면 치환자가 아니라 원래 소스를 직접 넣어줘야 합니다. 스킨 수정을 해야하니, skin.html과 style.css를 손봐야 하죠.

skin.html에서 검색창을 설치할 곳은 두 군데 입니다. 하나는 블로그 본문, 다른 하나는 검색 결과 목록이요. 본문 상단에 넣을 거면 검색 결과 목록에도 상단에 넣고, 본문 하단에 넣으려면 검색 결과 목록에도 하단에 넣으세요.

일단 넣어야 할 소스는 같으니까 첨부파일의 내용을 복사해서 쓰세요. 대신에 본문에 넣을 때는 빨간색으로 표시된 [샵샵_list_conform_샵샵]를 지우시면 됩니다. 검색결과에서만 사용할 수 있는 치환자거든요.

search.txt

1. <div class="article_search">
2.    <input type="text" class="article_search_field" name="article_search" value="" onkeypress="if (event.keyCode == 13) { try{window.location.href='/search/' + document.getElementsByName('article_search')[0].value.replaceAll('%', '%25');document.getElementsByName('article_search')[0].value = ''; return false;}catch(e){} }" id="article_search" />
3.    <input type="submit" class="article_search_submit" value="검색" onclick="try{window.location.href='/search/' + document.getElementsByName('article_search')[0].value.replaceAll('%', '%25');document.getElementsByName('article_search')[0].value = ''; return false;}catch(e){}" />
4. </div>

블로그 본문에 넣을 때, [샵샵_article_rep_desc_샵샵]의 위 또는 아래에 넣습니다. 카테고리 다른 글 더 보기, SNS 보내기 등의 플러그인을 사용하면 본문 바로 아래가 아니라 플러그인 아래에 위치합니다.

검색 결과 목록의 위에 넣으려면 "~에 해당하는 글" 바로 아래에 넣고, 검색 결과 목록의 아래에 넣으려면 </s_list>의 위에 넣으세요.

style.css에는 아래를 복사해서 넣으세요. 어디든 상관없어요. 배경색이나 테두리 색 등은 원하는 색으로 바꾸세요.

.article_search{margin:10px auto;text-align:center}
.article_search_field, .article_search_submit{border:solid 5px #39ba00;font-size:1.0em}
.article_search_field{width:85%;height:20px;padding-left:5px;padding-top:2px}
.article_search_submit{width:10%;height:30px;background-color:#39ba00;color:#fff}

설치해놓고, 티스토리 관리자의 플러그인 - 검색어 통계를 보면 검색어 수와 검색 수가 늘어난 것을 볼 수 있을 겁니다. 이게 늘어간 만큼 페이지뷰도 늘어난 거라고 해석해도 무리는 없을 거에요.

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CCL (Creative Commons License)은 기본적으로 컨텐츠를 공유하는 라이센스입니다. 라이센스 표시니까 흔히들 생각하는 컨텐츠의 불펌이나 무단 도용을 막아준다고 생각하는데 그게 아니예요.

CCL이란 (Creative Commons License) . CCL 바로알기에 CCL에 대한 설명을 해놓았습니다. 궁금하신 분들은 참고하세요.

CCL의 의미를 알았다 하더라도, 그 동안 블로그에 적용해왔던 CCL을 어떻게 해제해야하는 지 모르는 경우를 위해서 해제 방법을 적어보았습니다. 티스토리에서 CCL을 적용하는 방법은 플러그인을 이용하는 방법과 글 쓰기 환경을 통한 방법의 두 가지인데요, 그 두가지를 해제하는 방법입니다.

CCL 해제 방법 - 플러그인

아래 그림처럼 크기가 큰 게 플러그인으로 표시한 CCL입니다.

플러그인을 이용하는 방법은 티스토리에서 CCL을 표시하는 가장 쉬운 방법이죠. 위 표시를 없애는 것도 플러그인을 해제하면 됩니다. 티스토리 관리자의 플러그인 설정에서 "CCL 표기 (크리에이트브 커먼즈 라이선스)"를 해제하면 돼요.

CCL 해제 방법 - 글설정

문제가 되는 부분이 이 부분이에요. 플러그인은 한 번 설정으로 표시, 해제가 되는데, 본문 하단에 표시된 건 한 번에 할 수가 없어요. 

본문 하단에 이 표시가 나오는 경우는 글을 쓸 때 직접 넣은 CCL이에요. 따라서 없애려면 글을 수정해야 해요. 글이 한 두개라면 수정할 수 있겠지만 수 십, 수 백개라면 수정을 할 수 없죠.

이럴 때 CCL을 해제하는 것은 아니지만 CCL 표시를 숨길 수는 있어요. 티스토리 관리자의 스킨 편집에서 style.css에 아래 내용을 넣으세요. 앞에 점까지 넣으셔야 합니다.

.entry-ccl{display:none}

그 다음 앞으로 쓸 글에는 CCL을 적용하지 않아야 하겠죠? 티스토리 관리자의 글 설정 - CCL에서 "내가 설정한 저작물 사용 허가를 표시합니다."에 체크 해제 하세요. 

이렇게 하면 새 글을 쓸 때 CCL 라이센스가 기본적으로 해제되어 있습니다. 혹시 모르니까 글 쓰기 화면의 오른쪽 하단에서 CCL이 해제되어 있는 지 한 번 더 확인하세요.

CCL은 공유를 위한 라이센스입니다. 흔히 생각하는 불펌, 무단 도용을 막는 라이센스가 절대로 아니니까 혹시 공유를 원치 않는다면 지금이라도 CCL을 해제하세요.

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삼차방정식 중에서 특이한 형태의 삼차방정식 하나를 더 공부할 거예요. x³ = 1인데요. 그냥 보면 x = 1이라는 실근이 하나보이죠? x = 1 말고 허근이 더 있는데, 이 허근을 오메가(ω)라고 해요. 그런데 이 ω가 재밌는 성질이 있어요. 그래서 이 글에서는 오메가의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

오메가 (ω)의 성질을 외울 수 있으면 외우면 좋아요. 너무 헷갈려서 외우기 어렵다면 성질을 유도할 수 있어야 해요. ω²이 정확하게 무슨 값인지는 몰라도 "ω²이 특정한 값을 갖고 있다"는 사실은 기억하고 있어야 한다는 얘기죠. 성질의 정확한 값을 모르더라도 성질이 있다없다 정도만 기억하고 있다가 문제에 맞게 유도할 수 있을 정도는 되어야 합니다.

x³ = 1 허근 오메가(ω)의 성질

삼차방정식 x³ = 1의 해를 구해보죠.

x³ = 1
x³ - 1 = 0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0
x = 1 or

인수분해 공식 a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)을 이용해서 인수분해 했고, 근의 공식을 이용해서 근을 구했어요.

허근 를 볼까요? = ω (오메가)라고 한다면 켤레근을  =  (오메가 바)라고 할 수 있죠?

일단 ω와 는 x³ = 1의 근이니까 ω³ = 1,  = 1이에요.

또, x² + x + 1의 두 근이기도 하므로 ω² + ω + 1 = 0, 이에요. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해서 두 근의 합과 곱도 구할 수 있어요.

이라는 얘기는 ω와 가 서로에게 곱셈에 대한 역원 즉, 역수라는 얘기예요. ,

또 위 성질들을 합쳐서 다음 성질도 유도해 낼 수 있어요.

x³ = 1의 허근 ω의 성질

x3 = 1의 한 허근 ω	켤레근
ω3 = 1	= 1
ω2 + ω + 1 = 0

x³ = 1의 한 허근을 ω라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) ω²⁰¹³ + ω²⁰¹⁴ + ω²⁰¹⁵ + … + ω²⁰¹⁹
(2)

x³ = 1
x³ - 1 =0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0
ω³ = 1, ω² + ω + 1 = 0, 등 많은 성질이 있어요.

(1) ω²⁰¹³ + ω²⁰¹⁴ + ω²⁰¹⁵ + … + ω²⁰¹⁹
= ω²⁰¹³(1 + ω + ω²) + ω²⁰¹⁶(1 + ω + ω²) + ω²⁰¹⁹
= (ω³)⁶⁷¹(1 + ω + ω²) + (ω³)⁶⁷²(1 + ω + ω²) + (ω³)⁶⁷³
= 1 × 0 + 1 × 0 + 1           (∵ ω³ = 1, ω² + ω + 1 = 0)
= 1

x³ = -1 허근 오메가(ω)의 성질

삼차방정식 x³ = -1에서도 비슷한 성질을 알 수 있어요. 둘을 헷갈리지 마세요.

x³ = -1
x³ + 1 = 0
(x + 1)(x² - x + 1) = 0
x = -1 or

한 허근 = ω, 켤레근  = 라고 해보죠.

x³ = 1에서와 같은 방법을 이용하면 아래의 성질을 유도할 수 있어요.

x³ = -1의 허근 ω의 성질

x3 = -1의 한 허근 ω	켤레근
ω3 = -1	= -1
ω2 - ω + 1 = 0

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이차방정식 근과 계수와의 관계에서는 이차방정식의 두 근의 합과 곱, 계수 사이의 재밌는 관계를 공부했었죠?

삼차방정식에도 세 근의 합과 곱, 계수 사이의 재미있는 관계를 공부할 거예요. 이 관계를 알면 삼차방정식만 보고 세 근의 합과 곱을 구할 수 있어요. 또, 합과 곱이 포함된 여러 가지 응용된 식의 값도 구할 수 있고요.

삼차방정식의 근과 계수와의 관계는 세 근의 합과 곱, 곱셈공식이 섞여서 나오니까 곱셈공식을 다 외우고 있어야 풀 수 있어요. 곱셈공식을 얼른 보고 오세요.

삼차방정식 근과 계수와의 관계

이차방정식은 보통 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)으로 쓰죠? 삼차방정식은 보통 ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)으로 써요. 또 이차방정식의 두 근은 α, β라고 하고, 삼차방정식의 세 근은 α, β, γ라고 해요.

이차항의 계수가 a이고 α, β를 근으로 하는 이차방정식은 a(x - α)(x - β) = 0으로 쓰죠? 그럼 삼차항의 계수가 a이고 세 근이 α, β, γ인 삼차방정식은 어떻게 쓸까요? a(x - α)(x -  β)(x - γ) = 0으로 써요.

곱셈공식 중에 다음과 같은 공식이 있었어요. 이 곱셈공식을 이용해서 전개해보죠.

(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc

a(x - α)(x -  β)(x - γ) = 0
a{x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x - αβγ} = 0
ax³ - a(α + β + γ)x² + a(αβ + βγ + γα)x - aαβγ = 0

이 전개식과 ax³ + bx² + cx + d = 0을 비교하면 삼차방정식의 세 근과 계수와의 관계를 알 수 있어요.

b = - a(α + β + γ)  →  α + β + γ =
c = a(αβ + βγ + γα)  →  αβ + βγ + γα =
d = - aαβγ  →  αβγ =

삼차방정식 근과 계수와의 관계
ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)의 세 근을 α, β, γ라고 할 때
α + β + γ =
αβ + βγ + γα =
αβγ =

삼차방정식 2x³ - 4x² + 6x - 8 = 0의 세 근을 α, β, γ라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β + γ
(2) αβ + βγ + γα
(3) αβγ
(4)
(5) α² + β² + γ²
(6) α³ + β³ + γ³

근과 계수와의 관계에 이용해서 풀어야 해요. 특히 (5), (6)번은 곱셈공식과 곱셈공식의 변형까지 이용해야 하고요.

(1) α + β + γ =

(2) αβ + βγ + γα =

(3) αβγ =

(5) 곱셈공식 중에 (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) 공식이 있었어요.

(α + β + γ)² = α² + β² + γ² + 2(αβ + βγ + γα)
2² = α² + β² + γ² + 2 × 3
α² + β² + γ² = -2

(6)번은 곱셈공식의 변형 중에서 a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc를 이용해요.
α³ + β³ + γ³
= (α + β + γ)(α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα) + 3αβγ
= (α + β + γ){α² + β² + γ² - (αβ + βγ + γα)} + 3αβγ
= 2 × (-2 - 3) + 3 × 4
= 2

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이 글에서 공부할 상반방정식은 고차방정식 중에서도 어려운 방정식이에요. 상반방정식의 풀이법은 굉장히 길고 복잡해요. 하지만 앞에서 공부했던 여러 가지 방정식의 풀이법을 잘 이해하고 있다면 풀 수는 있으니까 너무 두려워할 필요는 없어요

상반방정식의 풀이에서 중요한 건 곱셈공식의 변형과 치환 두 가지에요. 곱셈공식의 변형과 치환은 이 단원뿐 아니라 아주 많이 사용되므로 연습을 많이 하면 할수록 좋으니까 자주 연습을 해두세요.

지금부터 상반방정식의 풀이를 해볼 텐데, 과정이 어렵고 복잡하니까 주의해서 잘 보세요.

상반방정식

방정식은 일단 x에 대해 내림차순으로 정리해요. 그래야 최고차항도 파악하기 쉽고 풀이도 쉬우니까요.

방정식을 내림차순으로 정리했을 때, ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0됐다고 해보죠. 계수만 보면 a, b, c, b, a로 c를 중심으로 좌우대칭이에요. 이처럼 한 계수를 중심으로 다른 계수가 좌우대칭인 방정식을 상반방정식이라고 해요. ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a = 0처럼 계수를 포함해서 좌우대칭인 경우도 상반방정식이에요.

보통은 5차와 4차 방정식을 다루니까 위처럼 나타냈어요.

이런 상반방정식은 다른 고차방정식과 풀이법이 약간 달라요. 곱셈공식의 변형에서 봤던 분수꼴의 곱셈공식과 고차방정식의 풀이 - 치환을 이용해서 풉니다.

최고차항의 차수가 짝수일 때

x⁴ + 3x³ + 2x² + 3x + 1 = 0을 보죠. 계수가 1, 3, 2, 3, 1로 2를 중심으로 해서 좌우대칭이죠?

1. 일단 x = 0은 방정식의 해가 아니므로 이 방정식에서 x ≠ 0이에요. 따라서 양변을 대칭의 기준이 되는 x²으로 나눌 수 있죠? 양변을 x²으로 나눠보죠.
   
2. 항의 자리를 한 번 바꿔보죠.
   
3. 자리를 바꿨더니 앞의 두 항은 곱셈공식의 변형에서 봤던 분수꼴의 곱셈공식으로 묶을 수 있고, 세 번째, 네 번째 항은 3으로 묶을 수 있죠?
   
4. 이제 x + = t로 치환해보죠.
   t² - 2 + 3t + 2 = 0
   t² + 3t = 0
   t(t + 3) = 0
5. t = x + 이므로 다시 대입해보면
   (x + )(x +  + 3) = 0
6. x + = 0, x +  + 3 = 0 에서 x의 값을 구해야 합니다.
   
   x + = 0의 양변에 x를 곱해보죠.
   x² + 1 = 0
   x = ±i
   
    x +  + 3 = 0의 양변에 x를 곱해보죠.
   x² + 1 + 3x = 0
   x² + 3x + 1 = 0
   

결국 답은 x = ±i or 입니다.

되게 복잡해 보이는데요. 핵심은 대칭의 기준이 되는 x²으로 나누는 것과 x + = t로 치환하는 거예요.

1. 상반방정식의 양변을 대칭의 기준이 되는 x²으로 나눈다.
2. 항의 위치를 바꾼다.
3. 분수꼴의 곱셈공식을 이용해서 항을 묶는다.
4. x + = t로 치환하여 인수분해
5. t = x + 로 원래 값 대입
6. 양변에 x를 곱하여 x를 구한다.

최고차항의 차수가 홀수일 때

최고차항의 차수가 홀수면 짝수일 때보다 딱 한 단계만 더 거쳐요. 최고차항의 차수를 하나 낮추는 과정이요. 차수를 하나 낮추면 나머지는 최고차항의 차수가 짝수인 상반방정식의 풀이와 완전히 같으니까 위 과정을 잘 이해해두세요.

최고차항의 차수가 홀수인 상반방정식은 x = -1을 무조건 근으로 가져요.
f(x) = ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a이라고 하면
f(-1) = -a + b - c + c - b + a = 0

x⁵ - 7x⁴ + x³ + x² - 7x + 1 = 0을 풀어보죠.

x = -1이 근이면 (x + 1)을 인수로 가지니까 조립제법으로 한 번 나눠요.

(x + 1)(x⁴ - 8x³ + 9x² - 8x + 1) = 0이 되죠.

뒤에 있는 식이 최고차항이 짝수인 상반방정식이네요. 이 이후에는 위에서 했던 과정을 그대로 반복해서 풀면 돼요.

최고차항의 차수가 홀수인 상반방정식의 풀이
주어진 식을 (x + 1)로 조립제법
이후에는 최고차항의 차수가 짝수인 상반방정식의 풀이 순서대로

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블로그 누적 방문객이 200만명을 넘었습니다.

방문객이 많다고 딱히 좋은 건 아니지만 그래도 블로그를 운영하는 입장에서 방문객이 많으면 많을수록 운영의 보람을 느끼죠.

방문자의 유입이 몇 달째 정체기에 들어서 네이버 오픈캐스트도 발행하는 등 유입경로 다 변화를 위한 노력을 하고 있는 중이에요.

원래는 이번주 주말 정도를 예상하고 있었는데, 요 며칠 방문객 수가 갑자기 늘었어요. 애드센스의 노출수는 거의 늘지 않는 걸로 봐서 아마도 해외의 스팸 블로거나 봇의 방문때문에 뻥튀기된 숫자가 많이 있는 것 같네요.

한가지 바람이 있다면  이달 말 부터 중간고사 기간이 시작되는데, 그 때되면 평소보다 많은 학생들이 방문했으면 하는 기대가 있어요. 그 때가 성수기죠.

수학방 블로그의 특성상 시험기간에는 방문자 수가 급격히 늘었다가 시험이 끝나면 확 줄거든요. 방학이 되면 평소의 절반 정도로 줄고요. 시즌을 너무 타는 문제가 있어서 주제를 조금 더 다양화하려고 노력중이에요.

아무튼 200만명 기념하여 초대장을 보내드립니다.

초대장을 받으실 메일 주소를 비밀댓글로 적어주세요. 비공개 아닌 분들은 초대장 안보내드리고 댓글만 삭제합니다.

초대장은 총 11장이니까 댓글이 11개 넘으면 더 이상 댓글 남기지 마세요. 못 보내드리는 사람도 안타까워요.

이차방정식을 풀 때는 인수분해를 해서 근을 구하거나 근의 공식을 이용해서 근을 구해요. 둘 중 하나를 선택할 수 있어요. 하지만 삼차이상의 고차방정식에서는 일단 무조건 인수분해를 해야 해요. 따라서 고차방정식의 풀이에서는 인수분해를 잘하는 것이 중요해요.

고차방정식을 인수분해하는 방법은 다항식을 인수분해하는 방법과 같아요. 앞에서 공부했던 인수분해 방법들에 대해서 복습하는 차원이라고 생각하세요.

고차방정식 중에서 치환을 이용해서 푸는 문제와 복이차식의 풀이법을 공부해보죠.

고차방정식의 풀이

이 글에서 공부할 건 복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식에서 했던 내용이에요. 고차방정식을 인수분해하고, 이후에 근을 구하는 과정만 추가된 것뿐입니다.

고차방정식의 풀이 - 치환

치환은 식의 특정한 부분을 다른 문자나 식으로 바뀌어 계산하고, 계산이 끝난 이후에는 원래의 식으로 되돌려주는 걸 말하죠.

치환할 때는 대부분 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 쳐진 부분이 있어서 눈에 금방 띄어요. 눈에 금방 띄지 않는다면 인수분해나 전개를 해서 치환할 부분을 찾아야 해요.

공통부분이 없을 때는 서로 다른 부분을 치환하기도 합니다.

• 공통부분이 있으면 바로 치환
• 공통부분이 없으면 전개 or 변형해서 치환
서로 다른 부분을 서로 다른 문자로 치환

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) (x² - 4x)² + 7x² - 28x + 12 = 0
(2) (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3

(1)번은 공통인 부분이 눈에 띄지 않죠? 하지만 괄호로 쳐진 부분이 있어요. 그곳을 잘 이용하면 인수분해할 수 있어요.
(x² - 4x)² + 7x² - 28x + 12 = 0
(x² - 4x)² + 7(x² - 4x) + 12 = 0
t² + 7t + 12 = 0                        (∵ x² - 4x = t로 치환)
(t + 3)(t + 4) = 0
(x² - 4x + 3)(x² - 4x + 4) = 0    (∵ t = x² - 4x)
(x - 1)(x - 3)(x - 2)² = 0
x = 1 or 3 or 2(중근)

(2)번 같은 문제는 곱셈공식, 곱셈공식 유도에서 봤는데, 상수항이 가장 작은 것과 가장 큰 것을 묶고, 나머지 두 개를 묶어서 따로 전개해서 푸는 거라고 했어요.

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3
(x - 1)(x - 4)(x - 2)(x - 3) = 3     (∵두 개씩 짝짓기)
(x² - 5x + 4)(x² - 5x + 6) = 3      (∵ 각각을 전개)
(t + 4)(t + 6) = 3                         (∵ x² - 5x = t로 치환)
t² +10t + 24 = 3
t² + 10t + 21 = 0
(t + 3)(t + 7) = 0
(x² - 5x + 3)(x² - 5x + 7) = 0      (∵ t = x² - 5x)

마지막에서 둘 다 인수분해가 안 되니까 근의 공식을 이용해야겠네요.

고차방정식의 풀이 - 복이차식

복이차식은 짝수차로만 이루어진 식을 말해요. 이때는 x²를 t로 치환해서 풀어요. t로 치환해서 인수분해가 되면 위에서 했던 대로 치환을 이용해서 풀면 돼요.

치환했는데 인수분해가 안 되면 다른 방법을 이용합니다. 이때는 식에 적당한 t 일차항을 빼주거나 더해줘서 t에 대한 완전제곱식이 될 수 있도록 해야 해요. 완전제곱식에서 일차항과 상수항은 아래와 같은 관계가 있죠?

이렇게 완전제곱식을 만들면 A² - B²꼴로 모양이 바뀌는데, 인수분해 공식 - 합차공식을 이용해서 인수분해합니다.

• 복이차식: x² → t로 치환
  • 인수분해되면 인수분해
  • 인수분해 안 되면 t항을 적당히 더해주고 빼서 A² - B²로 변형 → 합차공식으로 인수분해

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x⁴ - 5x² + 4 = 0
(2) x⁴ - 3x² + 1 = 0

(1) 복이차식이니까 x² = t로 치환해보죠.
x⁴ - 5x² + 4 = 0
t² - 5t + 4 = 0
(t - 1)(t - 4) = 0
(x² - 1)(x² - 4) = 0
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) = 0
x = ±1 or ±2

(2) x² = t로 치환해보죠.
x⁴ - 3x² + 1 = 0
t² - 3t + 1 = 0        (∵ x² = t로 치환)
t² - 2t + 1 - t = 0    (∵ -3t = -2t - t)
(t - 1)² - t = 0
(x² - 1)² - x² = 0   (∵t = x²)
(x² + x - 1)(x² - x - 1) = 0

근의 공식으로 근을 구하면 가 돼요.

여기서는 완전제곱식을 만들기 위해서 t 일차항을 더해주고 뺀 것이 아니라 원래 있던 t 일차항을 둘로 나눴어요.

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일차방정식, 이차방정식까지 공부했는데요. 이제부터는 그보다 차수가 더 높은 방정식을 공부할 거예요. 이차방정식보다 차수가 더 높으니까 삼차방정식, 사차방정식, … 이죠.

이런 방정식들을 고차방정식이라고 하는데, 고차방정식의 풀이방법을 공부할 거예요. 또 이차방정식을 인수분해했던 것처럼 고차방정식의 인수분해도 해볼거고요.

고차방정식은 차수가 높고 항이 많긴 하지만 기본 원리는 이차방정식과 같고, 다항식의 인수분해에서 삼차식, 사차식의 인수분해를 해봤던 걸 함께 적용하면 되는 거니까 앞의 내용을 잘 이해하고 있다면 비교적 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

고차방정식의 풀이

x² - 2x + 1 = 0은 x에 대한 이차방정식이죠? 그럼 x³ + x² - 2x + 1 = 0은 뭘까요? 최고차항이 x에 대한 3차니까 삼차방정식이에요. x⁴ + x³ + x² - 2x + 1 = 0은 x에 대한 최고차항이 4차라서 사차방정식이죠.

이처럼 3차 이상의 방정식을 고차방정식이라고 해요. 차수와 근의 개수가 같은 건 알고 있죠? 삼차방정식은 근이 세 개, 사차방정식은 근이 네 개예요.

이차방정식을 풀 때는 인수분해를 하거나 근의 공식을 이용해서 근을 구했어요. 고차방정식에서는 인수분해를 해서 근을 구할 수는 있지만, 근의 공식을 바로 적용할 수는 없어요.

따라서 고차방정식을 풀 때는 (일차식) × (일차식) × (일차식) = 0이나 (일차식) × (이차식) = 0, (이차식) × (이차식) = 0의 형태로 인수분해를 해서 일차식에서는 해를 바로 구하고, 이차식은 근의 공식으로 해를 구해야 해요.

고차방정식의 풀이

1. 인수분해
2. 일차식에서는 해를 바로 구하고
   이차식에서는 근의 공식 이용

고차방정식의 인수분해

이차방정식에서 인수분해를 하는 방법은 크게 두 가지였죠? 인수분해 공식을 이용하는 방법과 인수정리를 이용한 인수분해요. 고차방정식은 항의 개수와 차수가 다를 뿐 방법은 똑같아요.

고차방정식의 인수분해 - 인수분해 공식

인수분해 공식 중 차수가 3차 이상인 공식은 몇 개 안 되요. 잘 외워두세요.

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
x⁴ - y⁴ = (x² + y²)(x² - y²) = (x² + y²)(x + y)(x - y)

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x³ - 16x = 0
(2) x³ - 27 = 0
(3) x⁴ - 16 = 0

문제가 비슷비슷해 보이지만 조금씩 다르죠?

(1)번 인수분해에서 가장 기본은 공통인수로 묶기에요. 두 항에 공통인수 x가 있죠?
x³ - 16x = 0
x(x² - 16) = 0
x(x + 4)(x - 4) = 0
x = 0 or ±4

(2)는 두 항이 모두 세제곱인 항이에요.
x³ - 27 = 0
x³ - 3³ = 0
(x - 3)(x² + 3x + 9) = 0

앞의 일차식은 해를 바로 구할 수 있지만, 뒤의 이차식은 근의 공식을 이용해야겠네요.

x = 3

x = 3 or 

(4)번은 두 항이 모두 네제곱인 항이네요.
x⁴ - 16 = 0
(x⁴ - 2⁴) = 0
(x² + 2²)(x² - 2²) = 0
(x² + 2²)(x + 2)(x - 2) = 0
(x² + 4)(x + 2)(x - 2) = 0

x = ±2i or ±2

고차방정식의 인수분해 - 인수정리 이용

인수분해 공식이 몇 개 안 되다 보니까 인수분해가 안 되는 경우도 많아요. 이때는 인수정리와 조립제법을 이용해서 인수분해를 해야 해요.

인수정리를 이용한 인수분해가 뭐였죠? 다항식의 우변을 0으로 놓고 인수분해를 하는 거였잖아요. 다항식의 우변이 0인 게 바로 방정식이니까 그 방법 그대로 사용하면 돼요.

방정식 f(x)에서 f(α) = 0을 만족하는 α는 아래 방법으로 찾아요. 이렇게 찾은 α가 방정식의 해가 되는 거죠.

1. ±1
2. 

모든 해를 이 방법으로 찾을 필요는 없고요 한두 개를 찾은 다음에 인수분해해서 찾아야 해요. 근이 무리수이거나 복소수이면 이 방법으로 찾을 수 없으니까요.

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x⁴ + x³ - 3x² - x + 2 = 0
(2) x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2 = 0

(1)번에서 f(x) =  x⁴ + x³ - 3x² - x + 2라고 하면
f(1) = 1 + 1 - 3 - 1 + 2 = 0
f(-1) = 1 - 1 - 3 + 1 + 2 = 0

f(α) = 0이 되는 α = 1, -1로 두 개나 찾았네요. 그러면 굳이 α 찾는 공식을 적용할 필요가 없어요. 그냥 넘어가죠.

1과 -1을 이용해서 조립제법을 해보죠.

x⁴ + x³ - 3x² - x + 2 = 0
(x - 1)(x + 1)(x² + x - 2) = 0
(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 0
(x - 1)²(x + 1)(x + 2) = 0

인수정리와 조립제법을 이용했더니 식이 인수분해가 되었어요.

x = -2 or -1 or 1(중근) 이네요.

(2)번 f(x) =  x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2라고 놓으면
f(1) = 1 - 4 + 6 - 5 + 2 = 0
f(-1) = 1 + 4 + 6 + 5 + 2 = 18

f(2) = 16 - 32 + 24 - 10 + 2 = 0
f(-2) = 16 + 32 + 24 + 10 + 2 = 84

f(α) = 0 이 되는 α = 1, 2네요. 조립제법을 해보죠.

x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2)(x² - x + 1) = 0

뒤에 이차식은 인수분해가 안 되니까 근의 공식을 이용해서 근을 찾아야겠네요.

x = 1 or 2 or 입니다.

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블로거들에게 불펌은 상당히 골치아픈 문제지요. 많은 시간과 노력을 들여 힘들게 만들어놓은 컨텐츠를 누군가 허락도 없이 그대로 베껴간다면 엄청난 상실감과 허무함을 느끼게 됩니다.

특히 검색 상단 노출이라는 관점에서 보면 원본 문서보다 불펌 문서를 더 위에 노출시켜주는 검색 엔진들 때문에 여러 가지 손해를 보게 되죠.

이런 저런 이유로 불펌에 대해서 이의제기를 하면 오히려 더 큰소리를 내는 불펌 블로거들이 있어요. 그들이 자주 하는 변명에 대해서 알아보죠.

불펌 블로거들의 흔한 변명

변명 1 - 퍼가지 말라고 써놨어야지

퍼가지 말라고 써있지 않아서 파가도 괜찮을 줄 알았다고 하는 경우가 있어요.

물건 훔쳐가지 말라고 안 써있으면 마음대로 가져가도 괜찮나요? 그건 아니잖아요. 당연히 가져가면 안되는 거니까 따로 쓸 필요가 없는 거에요. 가게에 진열장마다 "훔쳐가지 마시오."라고 써놓지는 않잖아요.

블로그의 컨텐츠도 보호받아야할 운영자의 창작물이고 가게에 진열된 상품과 똑같아요. 다른 사람이 함부로 가져가면 안되는 겁니다.

변명 2 - 복사 금지를 해놨어야 지

마우스 오른쪽 클릭을 막아놓지 않아서 복사해도 되는 줄 알았다고 얘기하는 경우도 있더라고요. 오히려 금지를 해놓지않은 사람의 잘못이라며 억지를 부리기도 합니다. 하지만 마우스 오른쪽 클릭을 막아놓지 않았다고 해서 마음껏 복사해가라는 뜻은 아니에요.

금은방의 가게문을 닫기만하고 잠그지 않았다고 해서 그 가게에 문열고 들어가서 물건을 가져가서는 안되죠. 마찬가지로 블로그에 복사금지를 해놓지 않았다고 해서 컨텐츠를 마음대로 가져가도 되는 건 아닙니다.

참고로 마우스 오른쪽 클릭 방지 플러그인을 활성화시켜놓으면 마우스 오른쪽 버튼을 클릭할 수 없어요. 아주 간단히 풀리긴 하지만 꽤나 유용한 플러그인입니다.

변명 3 - 출처를 밝혔는데

출처를 밝히고 글을 퍼가는 경우도 종종있죠? 싸이에서는 퍼가요~ 한마디면 모든 컨텐츠를 마음껏 사용해도 괜찮았어요. 이게 시간이 지나면서 출처를 밝히면 아무문제 없는 것처럼 인식되어 버렸지요.

하지만 출처를 밝히는 건 그냥 어디서 훔쳐왔는 지를 알리는 것밖에 지나지 않아요. "이 시계는 사거리 OO 금은방에서 가져왔어"라고 말한다고 그 시계가 자기 것이 되는 건 아니거든요.

출처를 밝히는 것과 블로그의 컨텐츠를 사용하는 건 완전히 별개의 문제입니다.

블로그의 컨텐츠를 사용하려면 명시적으로 허락을 받아야 해요. 아래 그림처럼 CCL 표시를 하기도 하고, 마음 껏 사용하라는 글을 따로 써 넣기도 합니다.

아무런 표시도 없다면 기본적으로 사용해서는 안되는 컨텐츠니까 블로그 운영자에게 댓글이나 메일 등을 통해서 허락을 받으세요.

단순해 보이는 블로그 펌도 저작권 침해이고 도둑질입니다.

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