수학방

수학방은 거의 대부분이 네이버 검색으로부터 유입됩니다. 네이버가 80%, 다음이 15%이고 그 외에 직접 유입(즐겨찾기 등), 구글, 네이트 순이에요.

그래서 유입경로를 조금 다 다양화하고, 유입수도 늘릴 수 있을 것 같아 수학방의 중등수학이라는 오픈캐스트를 발행하고 있습니다. 2월 25일에 첫 발행을 했고, 3월 25일에 발행한 캐스트가 네이버 메인의 "IT/비즈/학습" 부분에 오르면서 오픈캐스트로 부터의 유입이 갑자기 많아졌죠.

오픈캐스트때문에 생긴 수익이 얼마나 있는 지 확인해봤는데, 좀 재미있는 결과가 나왔네요.

네이버 오픈캐스트와 애드센스 수익의 관계

네이버 오픈캐스트와 관련된 분석은 애드센스와의 관계와 방문자 성향 분석 두 편으로 나눠서 올립니다. 이 글은 첫번째로 네이버 오픈캐스트와 애드센스의 수익의 관계에 대해서 정리해볼께요.

구글 웹로그분석을 이용해서 지난 한 달간 추천 사이트를 통해서 얼마만큼의 애드센스 수익이 생겼는지 살펴보았습니다. 네이버메인과 오픈캐스트를 제외한 추천 유입은 거의 없어서 무시해도 될 정도에요.

지난 한 달간의 수입 내역입니다.

전체를 100%이라고 했을 때, 오픈캐스트가 얼마나 차지하는지를 비율로 나타내 봤습니다. 클릭율과 eCPM은 공개하면 안되니까 비공개로 하고요.

오픈캐스트를 통해서 블로그를 방문한 비율은 전체 방문자수의 9.6%지만 광고 노출은 전체의 12%나 차지합니다. 오픈캐스트를 통해서 유입된 방문수에 비해서 광고 노출 수가 많다는 건 페이지뷰가 높고 이탈률이 낮아서 애드센스 광고가 상대적으로 많이 노출된다는 뜻이지요.

애드센스 광고가 많이 노출되니까 클릭할 가능성도 높아집니다. 클릭수를 보면 전체의 약 16.7%나 됩니다. 클릭율이 전체 클릭율보다 0.5% 정도 더 높게 나오고, 이에 따라 1,000명당 수익인 eCPM이 전체보다 $1.2 나 높죠.

방문객 수는 전체의 9.6%지만 수익은 전체의 18.4%나 차지할만큼 효과가 좋지요. 제가 얘기하고 싶은 게 이겁니다. 방문수 대비 수익의 비중이 높다.

정리해보면 검색엔진을 통한 유입보다 오픈캐스트를 통한 유입에서 더 많은 애드센스 수익이 생긴다는 겁니다.

물론 검색을 통해 들어오는 숫자가 절대적으로 많기때문에 오픈캐스트에만 올인하는 전략은 좋지 않습니다. 하지만, 검색으로 1,000명 들어오는 것보다 오픈캐스트로 1,000명 들어오는 게 더 많은 수익은 낸다면 굳이 검색에 목 맬 필요가 있을까요?

앞으로는 어떻게해야 오픈캐스트로 더 많은 사람을 모을 수 있을까를 연구해봐야겠네요.

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이차방정식은 두 개의 근을 가져요. 근을 구하면 근의 부호를 알 수 있어요. 하지만 부호만 알고 싶을 때는 근을 구하지 않고 이차방정식의 판별식과 근과 계수와의 관계를 이용하면 근들의 부호를 알 수 있어요.

근 하나하나의 부호를 정확하게 알 수는 없지만 둘의 부호가 같다 다르다 정도는 알 수 있죠. 또 둘의 부호가 같을 때에는 둘 다 양수인지 음수인지도 알 수 있고요.

이차방정식의 판별식과 근과 계수와의 관계를 이용해서 이차방정식 실근의 부호를 판별하는 방법을 알아보죠.

이차방정식 실근의 부호

복소수에는 대소관계나 부호가 없어서 허근이면 부호를 판별할 수 없어요. 실수는 부호가 있어서 실근일 때만 부호를 판별해요. 따라서 근의 부호를 판별할 때는 실근이라는 조건을 만족해야 해요.

이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 이차방정식이 실근을 가지려면 D ≥ 0이어야 한다고 했어요.

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 두 근의 부호를 판별하려면 실근을 갖도록 D = b² - 4ac ≥ 0이어야 해요.

이차방정식 실근의 부호를 판별할 때는 두 근의 합과 두 근의 곱을 이용해요.

두 근 α, β가 둘 다 양수면 어떨까요? 두 근의 합 α + β > 0이겠죠? 두 근의 곱 αβ > 0일 거예요.

반대로, 두 근 α, β가 둘 다 음수면 어떨까요? 두 근의 합 α + β < 0이고, 두 근의 곱 αβ > 0이죠.

만약에 두 근 α, β의 부호가 서로 반대면 어떨까요? 하나는 양수, 하나는 음수라면 말이죠. 일단 두 근의 합은 α, β의 절댓값에 따라 달라질 수 있어요. 양수인 근의 절댓값이 크면 합은 양수, 음수인 근의 절댓값이 크면 합은 음수예요. 근을 모르는 상태에서는 두 근의 합의 부호를 알 수가 없어요.

양수와 음수를 곱하니까 두 근의 곱 αβ < 0이에요. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 αβ = 이죠.
αβ < 0
 < 0
ac < 0
-4ac > 0
b² - 4ac > b²

b² 은 실수의 제곱으로 0보다 크거나 같으니까 D = b² - 4ac > 0이에요. αβ < 0이면 항상 D > 0이므로 D ≥ 0인지 굳이 확인할 필요가 없어요.

두 근이 부호가 반대일 때는 D ≥ 0은 확인할 필요가 없고 α + β의 부호는 알 수 없으니 αβ < 0인지만 확인하면 되는 거죠.

이차방정식 실근의 부호
ax² + bx + c = 0(a, b, c는 실수, a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때
두 근이 모두 양수: D ≥ 0, α + β > 0, αβ > 0
두 근이 모두 음수: D ≥ 0, α + β < 0, αβ > 0
두 근의 부호가 반대: αβ < 0

이차방정식 x² + 5x + 4 = 0의 근을 α, β라고 할 때 α, β의 부호를 판별하여라.

근의 부호를 판별하려면 판별식 D, 두 근의 합 α + β, 두 근의 곱 αβ의 부호를 알아봐야 해요.

D = 5² - 4 × 1 × 4 = 25 - 16 = 9 > 0이므로 서로 다른 실근 두 개를 갖는군요. 부호를 판별할 수 있어요..

이차방정식에서 두 근의 합과 곱의 부호를 알려면 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해요.

α + β = -5 < 0이므로 둘 다 음수일 수도 있어요. 또 부호가 반대고 음수인 근의 절댓값이 큰 경우일 수도 있지요.

αβ = 4 > 0이므로 두 근의 부호가 같네요.

결국 이차방정식의 두 근 α, β는 둘 다 음수입니다

실제로 이차방정식의 근은 -1, -4로 둘 다 음수예요.

이차방정식 x² - 4x + (k - 3) = 0의 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 k의 범위를 구하여라.

이차방정식의 두 근을 α, β라고 할 때 두 근이 모두 양수이려면 D ≥ 0, α + β > 0, αβ > 0이어야 해요.

이차항의 계수가 짝수니까 D/4를 이용해보죠.
D/4 = (-2)² - 1 × (k - 3) ≥ 0
4 - k + 3 ≥ 0
k ≤ 7

α + β = 4 > 0이네요. k가 들어있지 않으니까 문제와 직접적인 관계는 없어요.

αβ = k - 3 > 0
k > 3

k ≤ 7과 k > 3을 동시에 만족해야 하므로 3 < k ≤ 7입니다.

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이차방정식의 해를 구할 때, 인수분해를 했었죠? 그런데 또 이차방정식의 인수분해라니 약간 이상할 거예요.

방정식의 해를 구할 때 인수분해 공식을 사용해서 인수분해할 수 있어요. 이글에서는 인수분해 공식을 사용할 수 없을 때 인수분해하는 방법에 대해서 공부할 거예요.

이차방정식을 인수분해해서 해를 구하는 과정을 거꾸로만 하면 되는 쉬운 내용이에요.

인수분해 공식을 사용할 수 없을 때 이차방정식을 인수분해하는 방법을 알아보죠.

이차방정식의 인수분해

이차방정식을 인수분해하려면 인수분해 공식을 이용하죠. 그런데 이 공식은 계수가 정수인 경우에 사용할 수 있어요. 그나마도 X자 방법을 할 수 있을 때죠. X자 방법을 사용할 수 없거나 계수가 분수, 소수, 무리수가 들어있다면 인수분해하기가 힘들죠.

2x² - 2x + 2 = 0 이런 식은 인수분해 공식으로 인수분해할 수 없죠?

이럴 때 아주 간단한 방법으로 인수분해를 할 수 있어요. 보통은 이차방정식을 인수분해해서 근을 구하죠? 이 과정을 거꾸로 해서 근을 구한 다음에 인수분해를 하는 거예요.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때, 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 아래 식을 유도할 수 있어요.

α + β =
-a(α + β) = b

αβ =
aαβ = c

ax² + bx + c = 0에 위에서 구한 b, c를 넣어보죠.
ax² + bx + c = 0
ax² - a(α + β)x + aαβ = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0
a(x - α)(x - β) = 0

이차방정식의 두 근과 이차항의 계수를 알면 a(x - α)(x - β) = 0로 인수분해를 할 수 있겠죠?

이차방정식의 두 근을 알아내려면 근의 공식을 이용하면 돼요.

이차방정식의 인수분해
1. 인수분해 공식을 이용해서 인수분해
2. 인수분해 공식을 사용할 수 없으면 근의 공식으로 근을 구하고, 이차항의 계수와 두 근을 이용해서 인수분해

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근이 α, β일 때,
a(x - α)(x - β) = 0

다음 이차방정식을 복소수 범위에서 인수분해하여라.
(1) x² - 5x + 3 = 0
(2) 2x² - 2x + 2 = 0

일단 인수분해 공식을 이용해서 인수분해를 할 수 있다면 공식을 이용하세요. 공식으로 안 되면 그때 근을 구해서 하는 겁니다.

(1) 인수분해 공식으로 인수분해가 안 되니 근을 구해서 해야겠네요.

x² - 5x + 3 = 0

(2)번도 근을 구해보죠. 이차항의 계수가 2네요.

2x² - 2x + 2 = 0

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중3 때, 한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서 이차방정식의 계수가 유리수이고, m + n가 근이면 m - n도 근이 된다고 했어요. 이 글은 위 내용의 확장판입니다.

켤레근은 켤레복소수하고 비슷하죠? 이 둘을 연관 지어서 공부하면 이해하는 데 도움이 될 겁니다. 켤레근을 이용하면 이차방정식의 근을 조금 더 쉽게 구할 수 있어요.

이차방정식의 켤레근이 무엇이고, 이 켤레근은 어떤 성질을 가졌는지 알아보죠.

이차방정식의 켤레근

켤레라는 말은 켤레복소수, 켤레복소수의 성질에서 들어본 적이 있어요. 복소수에서 허수부분의 부호를 반대로 바꾼 복소수를 서로의 켤레복소수라고 한다고 했지요.

이차방정식의 근이 복소수일 때, 허수부분의 부호가 반대인 두 근을 서로 켤레근이라고 해요.

대신 이때는 이차방정식의 계수가 모두 실수여야 해요. 계수에 허수가 들어있으면 켤레근이 생기지 않아요.

x² + ix + 1 = 0의 근을 구해보죠.

두 근이 로 -i의 부호는 그대로여서 켤레관계가 아니죠? 허수가 포함된 항이 두 개 이상이 되고, 이때 모든 허수항의 부호가 반대로 되어야 하는데, 그렇지 않아서 켤레근이 생기지 않는 거예요.

근이 복소수가 아니라 실수일 때도 켤레근이 생겨요. 바로 무리수의 부호가 서로 반대인 두 근을 켤레근이라고 합니다.

x² - 5x + 5 = 0의 해를 구해보죠.

두 근이 로 무리수부분의 부호가 반대죠? 이런 근을 켤레근이라고 하는 거예요.

무리수 부분의 부호가 반대인 켤레근을 가지려면 이차방정식의 계수가 모두 유리수여야 해요.

이차방정식의 켤레근
이차방정식의 계수가 유리수일 때: 무리수 부분의 부호가 서로 반대인 근
이차방정식의 계수가 실수일 때: 허수 부분의 부호가 서로 반대인 근

이차방정식 켤레근의 성질

근의 공식을 잘 보면 ±을 기준으로 해서 유리수부분과 무리수부분으로 나뉘거나 실수부분과 허수부분으로 나뉘게 돼요. 이 ±때문에 켤레근은 항상 함께 이차방정식의 근이 되는 걸 알 수 있어요.

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)일 때,

이차방정식 켤레근의 성질
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)일 때
a, b, c 가 유리수이고 m + n가 근이면 m - n도 이차방정식의 근 (m, n은 유리수, n ≠ 0, 는 무리수)
a, b, c 가 실수이고 m + ni가 근이면 m - ni도 이차방정식의 근 (m, n은 실수, n ≠ 0)

위에서 조심해야할 게 의 유리수, i앞의 실수 n ≠ 0이라는 거예요. 만약에 m = 3이고 n = 0이라면 x = 3 + 0i or x = 3 – 0i가 되어 x = 3이라는 중근을 갖는 것처럼 보이죠.

하지만 한 근이 3이라고 해서 반드시 중근이 되는 건 아니에요. (x – 1)(x – 3) = 0은 한 근이 3이지만 다른 근은 1이잖아요.

이차방정식의 계수가 유리수이고 한 근이 무리수 근일 때, 이차방정식의 계수가 실수이고 한 근이 복소수 근일 때만 위의 관계가 성립한다는 걸 알아두세요.

이차방정식 x² + ax + b = 0의 한 근이 5 + 3i일 때, 실수 a, b를 구하여라.

이차방정식의 계수는 1, a, b인데 a, b가 실수라고 했으니 이 이차방정식은 복소수로 된 켤레근을 가져요. 한 근이 5 + 3i라고 했으니 다른 한 근은 5 - 3i가 되겠네요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 a, b를 구해보죠.

두 근의 합 = -a = 5 + 3i + 5 - 3i = 10
a = -10

두 근의 곱 = b = (5 + 3i)(5 - 3i) = 25 + 9 = 34

따라서 a = -10, b = 34

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이번에도 중3 때 공부했던 내용에 대해서 복습하는 거예요.

이차방정식의 해를 구하는 게 아니라, 이차방정식의 해를 알려주고 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 문제에요. 때로는 해를 알려주는 대신에 두 근의 합과 곱을 알려주고 이차방정식을 구하는 문제도 나오죠.

새로운 내용은 아니고 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 하면 되는 내용이에요.

이럴 경우에 어떻게 이차방정식을 구하는지 알아봐요.

두 수를 근으로 하는 이차방정식

두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거예요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.

x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1 or x = 2

두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.

x = α or x = β
(x - α)(x - β) = 0
x² - (α + β)x + αβ = 0

-2, 3을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.

두 근이 -2, 3이니까 인수분해가 된 식으로 바꿔보면
(x + 2)(x - 3) = 0
x² - x - 6 = 0

이번에는 이차항의 계수가 1이 아닌 경우를 알아보죠. 위 예제를 살짝 바꿔볼까요?

-2, 3을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.

(x + 2)(x - 3) = 0
x² - x - 6 = 0

이차항의 계수가 2라고 했으니까 위 식의 이차항의 계수를 2로 바꿔서 2x² - x - 6 = 0이 될까요? 방정식의 해를 식에 대입하면 식이 성립해야 하죠? 그런데 x = -2를 식에 대입해보면 식이 성립하지 않아요. 즉 이 방정식은 -2를 해로 갖지 않는 식이라는 거예요.

이차방정식의 계수가 2이면 단순히 이차항의 계수만 2로 바꿔주는 게 아니라 식 전체에 곱해줘야 해요. 해를 구하려고 인수분해할 때 공통인수 2로 묶였다고 생각해야 합니다.

2(x + 2)(x - 3) = 0
2(x² - x - 6) = 0
2x² - 2x - 12 = 0

이차항의 계수가 1이 아니라 a일 때는 이차항의 계수만 a로 바꿔주는 게 아니라 식 전체에 a를 곱해줘야 한다는 점에 주의하세요.

두 근이 α, β이고, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0

두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식

위 공식을 전개해볼까요?

a(x - α)(x - β) = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0

위 전개식에 두 근의 합과 곱이 들어있어요. 일차항의 계수는 두 근의 합의 부호를 바꾼 것이고, 상수항은 두 근의 곱이죠. 그리고 제일 앞에 이차항의 계수 a를 곱해주는 모양이네요.

이번에는 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 유도해볼까요?

두 근의 합 α + β와 두 근의 곱 αβ가 주어져 있을 때, 이차방정식을 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)이라고 해보죠.

α + β =
-a(α + β) = b

αβ =
aαβ = c

ax² + bx + c = 0에 위에서 구한 b, c를 넣어보죠.
ax² + bx + c = 0
ax² - a(α + β)x + aαβ = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0

어떤 방법을 이용하던 결과는 똑같아요.

두 근의 합이 m이고 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x² - mx + n) = 0
a(x² - 합x + 곱) = 0

여기서도 마찬가지로 이차항의 계수는 단순히 이차항의 계수만 바꿔주는 게 아니라 a를 식 전체에 곱해줘야 해요.

이차방정식 x² - 3x + 6 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β, αβ를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식
(2) α + 1, β + 1을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식

이차방정식이 인수분해가 되지 않아요. 근의 공식을 이용해서 근을 구할 수도 있지만, 무리수인 근을 더하고 곱하는 과정을 굳이 거치지 않고도 문제를 풀 수 있어요. 두 근을 직접 구하기보다 두 근의 합과 곱을 이용해서 풀면 되죠.

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해서 α + β = 3, αβ = 6

(1) α + β = 3, αβ = 6이므로 3, 6을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하라는 거네요.

2(x - 3)(x - 6) = 0
2(x² - 9x + 18) = 0
2x² - 18x + 36 = 0

(2)는 문제에서 구하는 이차방정식의 두 근이 α + 1, β + 1이니까 이들의 합과 곱을 구해보죠.
(α + 1) + (β + 1) = α + β + 2 = 3 + 2 = 5
(α + 1)(β + 1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 3 + 1 = 10

x² - 5x + 10 = 0

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이차방정식의 근과 계수와의 관계는 중3 때 근과 계수와의 관계에서 했어요. 내용은 전혀 달라지지 않았습니다. 완전히 똑같아요. 대신 이걸 활용하는 문제가 조금 더 어려워진 것뿐이에요.

근과 계수와의 관계 공식을 잊어버렸다면 이 글을 통해서 한번 더 복습하고 앞으로는 잊어버리지 않도록 하세요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계 문제에서는 곱셈공식의 변형을 이용한 문제들이 많이 나오니까 이 공식들도 기억하고 있어야 해요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 근은 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요.

이차방정식의 두 근을 α, β라고 하고  , 라고 해보죠.

두 근의 합과 계수와의 관계

일단 두 근 α, β를 더 해보죠.

두 근의 곱과 계수와의 관계

이번에는 두 근을 곱해볼게요.

정리해보면 아래 공식을 얻을 수 있어요.

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
α + β = -$\frac{b}{a}$    αβ = $\frac{c}{a}$

두 근의 차와 계수와의 관계

이번에는 차를 구해보죠. 차는 α, β 중 어느 것이 더 큰지 모르니까 절댓값을 이용해서 구해요.

분자는 근의 공식에서 뒤에 있는 제곱근 부분으로 판별식 D에 루트 씌워놓은 거고, 분모는 |a|네요.

위 공식을 이용해서 차를 구하는 경우보다는, 두 근의 합(α + β)와 두 근의 곱(αβ)를 이용해서 구하는 경우가 훨씬 많아요. 이때, 곱셈공식의 변형을 사용해요.

2x² + 4x - 8 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β
(2) αβ
(3) α² + β²
(4) (α + 1)(β + 1)
(5)
(6) |α - β|

(1) α + β =

(2) αβ =

(3) α² + β²은 곱셈공식의 변형을 이용한 문제예요.
α² + β²
= (α + β)² - 2αβ
= (-2)² - 2 × (-4)
= 4 + 8 = 12

(4) (α + 1)(β + 1)는 곱셈공식을 이용해서 전개해야겠네요.
(α + 1)(β + 1)
= αβ + α + β + 1
= -4 + (-2) + 1
= -5

(5) 는 통분해서 계산해보죠.

(6) 두 근의 차는 두 근의 합, 두 근의 곱, 곱셈공식의 변형을 이용해서 구하고, 절댓값으로 표현합니다.
(α - β)² = (α + β)² - 4αβ
(α - β)² = (-2)² - 4 × (-4)
(α - β)² = 4 + 16
(α - β)² = 20
|α - β| = 

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이차방정식의 근은 인수분해를 하거나 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 근의 공식을 이용해서 구한 근이 실수인지 허수인지에 따라서 부르는 이름이 달라져요. 실근과 허근이라는 표현을 언제 사용하는지 알아보죠.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)에서 b² - 4ac를 이차방정식의 판별식이라고 하고 D라고 써요. 이차방정식의 판별식을 이용해서 근의 개수를 알 수 있었죠.

이 글에서는 이차방정식의 판별식을 이용해서 근의 개수뿐 아니라 근의 종류를 알아볼 거예요. D > 0, D = 0일 때는 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용과 똑같으니까 D < 0일 때를 주목해서 보세요.

이차방정식의 실근, 중근, 허근

이차방정식 x² + 3x + 2 = 0의 해를 구해보죠.

x² + 3x + 2 = 0
(x + 1)(x + 2) = 0
x = -1 or -2

두 개의 근을 구했어요. 두 수는 모두 실수죠? 실수인 근이니까 실근이라고 해요.

x² + 4x + 4 = 0
(x + 2)² = 0
x = -2

완전제곱식일 때는 근이 두 개인데, 두 개가 같아서 중근이라고 하지요?

이번에는 이차방정식 x² + x + 1 = 0의 두 근을 구해보죠. 인수분해가 안 되니까 근의 공식으로 해를 구해야 해요.

ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)

근호 안이 -3이어서 허수단위 i를 이용해서 표현해봤어요. 근이 허수에요. 허수인 근이니까 허근이라고 합니다.

이차방정식의 판별식

중3 때, 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용에서 판별식을 이용해서 근의 개수를 구할 수 있었어요.

ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)의 판별식
D = b² - 4ac

판별식 D > 0이면 두 개의 근, D = 0이면 중근, D < 0이면 근이 없다고 했지요.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)의 근은 에요.

전에는 실수 체계에 대해서만 알고 있어서 D < 0이면 제곱근 안이 음수니까 D < 0일 때는 근이 없다고 공부했던 거예요. 복소수 체계에서는 제곱근 안이 0보다 작은 걸 허수라고 하죠. 따라서 D < 0일 때는 허수가 근이라는 걸 알 수 있어요.

D < 0이면 의 두 근을 갖는데, 제곱근 안이 0보다 작은 허근이지요. 분자의 가운데가 하나는 (+), 다른 하나는 (-)로 두 허근은 서로 달라요.

D > 0일 때는 두 개의 근을 갖는데, 이들은 모두 실수에요. 제곱근 안이 양수로 무리수니까요.

D = 0일 때는 중근을 갖는데 이것 역시 실수죠.

이처럼 판별식 D를 이용해서 근의 개수와 근의 종류를 알 수 있어요.

문제를 풀 때, 실근인지 허근인지 두 근이 서로 같은지 다른지를 잘 구별해야 해요.

복소수 단원을 제외한 문제에서 특별한 언급이 없으면 답을 실수범위에서만 구했는데, 방정식에서는 특별한 언급이 없는 한 허근까지도 구해야 합니다.

x² + 3x - 4 + k = 0가 실근을 가질 때, k 값의 범위를 구하여라.

실근을 갖는다는 얘기는 D > 0이어서 서로 다른 두 실근을 가질 수도 있지만, D = 0으로 중근을 가질 수도 있어요. 따라서 D ≥ 0이어야 해요.

b² - 4ac ≥ 0
3² - 4 × 1 × (-4 + k) ≥ 0
9 + 16 - 4k ≥ 0
4k ≤ 25

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이번에는 일차방정식 중에서 절댓값 기호를 포함한 일차방정식이에요. 절댓값 기호 안에 일차식이 들어있는 경우죠.

절댓값 기호를 풀 때는 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 풀어야 해요. 여기서는 절댓값 기호 안이 x에 관한 식이므로 식의 부호뿐 아니라 x의 범위도 구해야 합니다.

그런데 실제로 계산을 할 때는 x의 범위에 대해 고려하지 않아도 돼요. 왜 그런지 알아볼 거예요. 그리고 양변 모두에 절댓값을 포함한 일차식이 있을 때는 어떻게 해야 하는지도 알아보죠.

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이

절댓값 기호 안에 일차방정식이 들어있을 때는 절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 것과 같은 방법으로 절댓값 기호를 없애서 방정식을 풀어요.

1. 절댓값 안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
2. ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
3. 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
4. 일차방정식의 해를 구한다.
5. 일차방정식의 해가 ②에서 구한 x의 범위에 맞는지 확인
6. 해가 조건을 만족하는 경우에만 일차방정식의 해

|2x + 4| = 6일 때, 방정식의 해를 구하여라.

절댓값 기호 안의 식 2x + 4가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나눠보죠.

2x + 4 ≥ 0일 때, 즉 x ≥ -2일 때,
|2x + 4| = 6
2x + 4 = 6
2x = 2
x = 1

x = 1은 x ≥ -2를 만족하므로 |2x + 4| = 6의 해가 될 수 있어요.

2x + 4 < 0일 때, 즉 x < -2일 때
|2x + 4| = 6
-2x - 4 = 6
2x = -10
x = -5

x = - 5는 x < -2를 만족하므로 해가 될 수 있어요.

|2x + 4| = 6의 해는 x = -5, 1 입니다.

사실 이렇게 범위를 나눠서 하는 게 정석이긴 해요. 하지만 어떤 식이 나오고 x의 범위가 어떻게 바뀌든 상관없이 일차방정식을 풀어서 구한 해는 무조건 범위를 만족해요. 그래서 범위를 나눠서 할 필요가 없어요.

|ax + b| = m이라는 식은 ax + b = m 이나 -(ax + b) = m이 되겠죠? 두 번째 식의 양변에 (-1)을 곱하면 ax + b = -m이 돼요.

결론을 말하면 절댓값 기호를 포함한 일차방정식에서는 범위를 나눌 필요 없이 절댓값 기호는 그냥 풀고, 우변의 상수항에 ±을 붙여서 바로 계산하면 된다는 거예요.

|2x + 4| = 6
2x + 4 = ±6

2x + 4 = 6 → x = 1
2x + 4 = -6 → x = -5

조금 더 간단하게 해를 구할 수 있죠?

위에서는 우변에 상수항이었는데, 우변이 또 다른 절댓값 기호를 포함한 일차방정식이라면 어떻게 될까요? 상관없어요. 좌변은 절댓값 기호를 그냥 풀고, 우변에 ± 기호를 붙여서 절댓값 기호를 풀면 돼요. "x 범위를 나누지 않아도 되는 이유 보기"를 펼친 것과 크게 다르지 않아서, 증명은 생략합니다.

|ax + b| = m (m > 0) → ax + b = ±m
|ax + b| = |cx + d| → ax + b = ±(cx + d)

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) |x + 4| + 3 = 7
(2) |2x + 3| = |x - 6|

(1)번은 먼저 (절댓값 기호를 포함한 일차방정식) = (상수항) 꼴로 바꿔줘야 해요. 그다음 절댓값은 그냥 풀고 상수항에 ±를 붙여주는 거죠.

|x + 4| + 3 = 7
|x + 4| = 4
x + 4 = ±4

x + 4 = 4 → x = 0
x + 4 = -4 → x = -8

(2)번은 좌변은 그냥 절댓값을 푸고, 우변은 ±을 붙여서 절댓값을 풀어요.

|2x + 3| = |x - 6|
2x + 3 = ±(x - 6)

2x + 3 = x - 6 → x = -9
2x + 3 = -(x - 6) → x = 1

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이제부터는 방정식에 대해서 공부할 거예요.

방정식은 미지수가 있어서 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠. 방정식은 미지수의 차수에 따라 일차방정식, 이차방정식으로 나눠요. 문제에서는 "일차방정식 …을 풀어라" 혹은 "이차방정식 …을 풀어라" 이런 식으로 나오는데, 가끔 그렇지 않은 경우가 있어요.

이 글에서는 차수를 알려주지 않은 그냥 방정식 ax + b = 0의 해를 구하는 방법과 부정, 불능이라는 용어에 대해서 알아볼 거예요.

방정식 ax + b = 0의 풀이

ax + b = 0에서 b를 이항하면 ax = -b가 되죠.

이때, a ≠ 0이면, x가 남게 되어서 x에 대한 일차방정식이 되고, 해는 양변을 a로 나눠서 x = 죠.

그런데, a = 0이면 어떻게 될까요? a = 0이면 미지수 x가 없어지니까 일차식은 아니에요. a = 0으로는 양변을 나눌 수 없으니까 일반적인 방법과 다르게 해를 구해야 해요. 두 가지 경우로 나눠서 생각해보죠.

a = 0이고 b = 0일 때에요. 이때는 0·x = 0이 되어서 좌변과 우변이 모두 0으로 같아요. x에 어떤 수가 들어가도 식이 성립하는 항등식이 되죠. 이 경우를 해가 너무 많아서 정의할 수 없기 때문에 부정이라고 합니다.

a = 0이고 b ≠ 0일 때는 0·x = b가 되어서 좌변은 0인데, 우변은 0이 아닌 수가 돼요. x에 어떤 수가 들어가도 성립하지 않게 되고, 해가 하나도 없어요. 이런 경우를 불능이라고 합니다.

문제에서 방정식의 차수를 알려주지 않았을 때는 x의 계수가 0인지 아닌지 확인하고, x의 계수가 0이면 상수항이 0일 때와 아닐 때 두 가지 경우를 모두 알아봐야 해요.

해가 특수한 연립방정식에서 해가 무수히 많은 경우와 해가 하나도 없는 경우를 봤는데, 그거랑 비슷하다고 생각하면 돼요.

방정식 a²x + 1 - ax - a = 0의 해를 구하여라.

문제에 일차방정식이 아니라 그냥 방정식이라고 했으니 x의 계수가 0일 수도 있고, 아닐 수도 있어요. 두 가지 경우를 모두 생각해야 합니다. 또 x의 계수가 0일 경우에는 상수항이 0인지 아닌지도 알아봐야 하고요.

a²x + 1 - ax - a = 0
a²x - ax = a - 1
(a² - a)x = a - 1
a(a - 1)x = a - 1

• x의 계수 a(a - 1) ≠ 0 일 때, 즉 a ≠ 0이고 a ≠ 1일 때
  a(a - 1)x = a - 1
  x =
• x의 계수 a(a - 1) = 0일 때, 즉 a = 0 or a = 1일 때
  • a = 0이면 상수항 a - 1 ≠ 0 이므로
    0·x = -1
    해가 하나도 없다. 불능
  • a = 1이면 상수항 a - 1 = 0이므로
    0·x = 0
    해가 무수히 많다. 부정

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네이버 블로그에서는 이웃커넥트라는 위젯 제공해요. 네어버 블로그의 이웃을 관리할 수도 있고, RSS를 통해서 새글이 등록되면 알려주기도 하고 블로그에 바로 접속할 수 있게 도와주는 위젯이죠. 

네이버 블로그에서 사용하면 좋긴한데, 티스토리 사용자들도 사용할 수 있어요. 이웃추가, 새 글 확인 정도는 되네요.

수학방에도 이웃커넥트를 설치했는데, 100명의 이웃이 생겼어요. 블로그 이웃들은 검색해서 오는 경우보다 더 자주 블로그를 찾을 테니까 많으면 많을수록 좋은 것 아닐까요?

다만, 네이버 블로그를 운영하는 경우가 많아서 실제로 서로 교류하는 경우는 많지 않네요. 게다가 대부분이 학생들이라 실제 운영하는 경우도 적고, 운영하더라도 스크랩이나 펌 위주의 블로그여서 더욱 교류가 적어요.

그래도 새글이 올라오는 것 확인하고 방문을 쉽게 할 수 있어서 편리하긴 합니다.

이웃커넥트를 통해서 블로그를 방문했을 때는 유입경로에 어떻게 표시되는 지 모르겠네요. 유입숫자도 궁금한데 말이죠.

최근에 시작한 수학방의 오픈캐스트도 80명이 넘게 구독하고 있어요. 여러 방법으로 블로그 구독자가 늘고 있어서 운영하는 보람을 느낍니다.

앞으로 더욱 더 열심히 하는 블로그가 될께요. 많이 구독해 주세요.

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무리수는 제곱근만 있는 경우도 있고, 제곱근과 유리수가 더해진 형태도 있어요. 도 무리수지만 2 + 도 무리수지요.

여러 형태로 되어 있는 무리수 중에서 서로 같은 무리수를 찾는 방법에 대해서 공부해보죠.

무리수가 서로 같을 조건은 복소수가 같을 조건과 비슷하니까 별로 어렵지는 않아요. 복소수를 실수 부분과 허수 부분으로 나눴던 것처럼 무리수를 유리수 부분과 무리수 부분으로 나눠서 생각하면 돼요.

무리수가 서로 같을 조건

a + b(a, b는 유리수)이라는 수가 있다고 해보죠.

b = 0이면 a만 남는데, a + b = a가 돼서 유리수예요. a = 0이면 a + b = 0이 되고요. 반대로 얘기하면 a + b = 0이 되려면 a = 0, b = 0이 되어야 하죠. b ≠ 0이면 제곱근이 남아서 전체적으로는 무리수가 되고요.

a + b = c + d을 볼까요. 제곱근의 덧셈에 따르면 근호 안의 문자나 숫자가 같은 제곱근끼리만 덧셈, 뺄셈을 할 수 있으니까 이항해서 동류항 정리를 하면 아래처럼 돼요.

a + b = c + d
(a - c) + (b - d) = 0

우변이 0이 되려면 a - c = 0이어야 하고, b - d = 0이 되어야 해요. 따라서 a = c, b = d입니다. 유리수 부분은 유리수 부분끼리 같고, 무리수 부분은 무리수 부분끼리 같아야 해요. 복소수가 같을 조건에서도 실수 부분끼리, 허수 부분끼리 같아야 했었죠?

a, b, c, d가 유리수이고, , 이 무리수일 때
a + b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
a + b = c + d ⇔ a = c, b = d
a + b = c + d ⇔ a = c, b = d

마지막에는 근호 속의 문자가 같은 것끼리 이항해서 계산해보면 돼요.

제곱근의 덧셈과 뺄셈을 이용해서 증명해봤는데, 항등식의 성질을 이용해도 증명할 수 있어요. 양변이 같다는 건 항등식이니까요. 을 하나의 문자처럼 생각하고 문자의 계수가 같은 것끼리 같으면 양변이 같아요.

x³ + x² - 4x + 8 - 12가 0이 아닌 유리수일 때, 정수 x의 값을 구하여라.

a + b 꼴이 유리수가 되려면 무리수 앞의 숫자 b = 0이어야 해요. 그런데 전체가 0이 아니라고 했으니까 a ≠ 0이 아니어야 하죠. 유리수 부분과 무리수 부분을 따로 인수분해해보죠.

x³ + x² - 4x + 8 - 12
x³ + 8 + (x² - 4x - 12)
= (x + 2)(x² - 2x + 4) + (x - 6)(x + 2)

일단 유리수가 되려면 (x - 6)(x + 2) = 0이어야 하므로 x = -2, 6이에요. 그런데 그냥 유리수가 아니라 0이 아닌 유리수라고 했으니까 (x + 2)(x² - 2x + 4) ≠ 0이어야 해서 x ≠ -2입니다.

따라서 답은 x = 6이네요.

만약에 x³ + 8 + (x² - 4x - 12)가 0이라면 답은 어떻게 바뀔까요? a + b이 0이 되려면 a = 0, b = 0이에요. 따라서 (x - 6)(x + 2) = 0, (x + 2)(x² - 2x + 4) = 0을 만족하는 x = -2가 되어야 하죠.

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숫자에 근호가 있으면 무리수, 식에 근호가 있으면 무리식이에요. 무리수와 무리식에는 숫자나 식에 하나의 근호만 씌워져 있었죠? 이번에는 근호가 두 개 씌워져 있는 식을 공부할 거예요. 근호가 하나만 씌워져 있어도 복잡한데, 두 개가 있으면 얼마나 더 복잡할까요?

근호가 두 개 씌워져 있는 걸 이중근호라고 하는데, 이중근호는 곧바로 계산할 수 없으니 두 개 중 하나를 풀어서 없애야 해요. 이 글에서는 이중근호 중 하나를 풀어내는 것도 공부할 거예요.

이중근호를 포함하고 있는 식들을 어떻게 계산하는지도 알아보죠.

이중근호

는 무리수예요. 는 무리식이고요. 는 뭘까요? 가 근호 안에 들어있어요. 이처럼 근호 안에 근호가 들어있는 식을 이중근호라고 해요.

이중근호의 형태를 잘 보면, 의 꼴이에요. 이때는 두 가지를 이용해서 이중근호를 풉니다.

첫 번째는 인수분해의 완전제곱식인데, a² + 2ab + b² = (a + b)²이에요. 여기서 a, b가 로 바뀌었다고 생각해보세요. 이 되겠죠?

또 a + b ≥ 0일 때, 예요. 여기서도 a, b가 로 바뀌었다고 생각하세요.

이 두 가지를 합치면 아래처럼 됩니다.

곱 앞에 2가 없을 때

이중근호 중에서 의 꼴이 아닌 게 있어요. 곱에 해당하는 근호 앞에 2가 없을 때죠. 이때는 공식을 사용할 수 있도록 2가 오게 해야 해요. 방법은 두 가지예요. 근호 안에 있는 곱에서 2를 꺼내는 게 첫 번째예요.

근호 안의 12 = 2² × 3이니까 2를 꺼낼 수 있어서 꺼냈어요. 의 꼴이 되어서 이중근호를 풀 수 있게 되었어요. 곱해서 3, 더해서 4가 되는 수는 1과 3이에요.

2를 꺼낼 수 없으면 분자, 분모에 2를 곱해줘서 근호 앞에 2가 생기도록 하는 거예요. 이때는 분모가 니까 계산 마지막에 분모의 유리화까지 해야 해요.

근호 안의 숫자가 3이라서 2를 꺼낼 수가 없어서 분자, 분모에 2를 곱했어요. 그랬더니 분자가  의 꼴이 되어서 이중근호를 풀었습니다. 대신 분모에 가 있어서 유리화까지 해줬고요.

이중근호 풀기 2
근호 안에서 2를 빼내어 이중근호 풀기
분자, 분모에 2를 곱해서 이중근호 풀기 → 분모의 유리화

다음을 간단히 하여라.

(1)번은 곱 앞에 2가 있으니까 공식을 바로 적용해서 쓸 수 있어요.

(2)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수 있어요. 꺼내서 계산하죠.

(3)번은 곱 앞에 2가 없는데, 근호 안에서 2를 꺼낼 수도 없으니 분자, 분모에 2를 곱해야겠네요. 마지막에는 분모의 유리화도 해야 하고요.

이중근호가 있는 무리식의 계산

이중근호가 있는 식들의 사칙연산은 일단 이중근호를 풀고 계산해요. 이중근호를 풀어도 근호는 남아있죠? 이후에는 제곱근의 덧셈과 뺄셈, 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 따라 근호 안의 숫자가 같은 것끼리 더하고 빼고, 근호 안의 숫자끼리 곱하고 나눠요.

이중근호가 있는 식을 조건식으로 주고 다른 식의 값을 구하는 문제도 자주 나오는데, 풀이법이 약간 달라요.

1. 이중근호를 푼다
2. 상수항을 이항하여 제곱근만 남긴다
3. 양변을 제곱하여 제곱근을 없앤다

x = 일 때, 2x² + 4x + 5의 값을 구하여라.

일단 이중근호가 있으니까 이중근호를 풀어야겠네요.

x =
x =  - 1

이중근호를 풀고 x를 구했는데, 이걸 식에 바로 대입하면 가 되는데, 이걸 직접 계산하기에는 너무 복잡하니까 계산하지 말고 x를 변형시켜보죠. 유리수인 상수항을 이항해서 우변에 무리수만 남긴 후 양변을 제곱해요.

x + 1 =
(x + 1)² = ()²
x² + 2x + 1 = 2

x² + 2x + 1 = 2를 이용해서 좌변을 2x² + 4x + 5로 변형해보죠.

x² + 2x + 1 = 2
2x² + 4x + 2 = 4    (∵ 양변 × 2)
2x² + 4x + 5 = 7    (∵ 양변 + 3)

x =  - 1까지 구하고 식에 대입하기보다 쉽죠? 차수가 높다든가 항의 개수가 많으면 대입하는 것보다 식을 변형시키는 게 더 쉬운 방법이라는 걸 기억하세요.

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유리수 다음에 뭐 공부했죠? 무리수 공부했죠? 그럼 유리식 다음에는 뭘까요? 바로 무리식을 공부할 거예요.

무리식은 무리수와 비슷해요. 생긴 것도 비슷하고, 계산 방법도 비슷하죠. 무리수에서 분모에 무리수가 있을 때, 분모의 유리화를 했었죠? 여기에서도 분모에 무리식이 있으면 유리화를 합니다.

무리식의 덧셈과 뺄셈은 유리화를 한 후에 통분해서 계산을 해요. 곱셈과 나눗셈은 곱셈공식을 이용해서 계산하면 됩니다. 약분도 이제까지 해왔던 방법대로 할 수 있어요.

무리식

무리수는 유리수의 반대예요. 그러니까 무리식도 유리식의 반대예요. 무리식은 근호 안에 문자가 있는데, 근호를 없앨 수 없는 식을 말합니다. 근호를 없앨 수 있으면 유리식이 되는 거죠.

예를 들어 같은 식은 근호 안에 문자 x가 있는데, 근호를 없앨 수 없죠?

무리식이 실수 값을 가지려면 근호 안의 숫자는 0보다 크거나 같아야 하죠. 근호 안이 음수이면 허수잖아요. 위 보기에서 x ≥ -1이어야 해요. 문제에서 특별한 언급이 없는 한 무리식의 값은 실수입니다.

또 무리식이 분수꼴로 나오는 경우도 있는데, 이때 분모는 0이 아니어야 해요.

무리식: 근호 안에 문자가 있고 근호를 없앨 수 없는 식
가 실수일 때, A ≥ 0
가 실수일 때, ≥ 0이고, B  ≠ 0

무리식에서 분모의 유리화

무리수의 계산을 할 때, 분모가 무리수이면 분모의 유리화를 했었죠? 복소수 계산할 때는 분모의 실수화를 했었고요. 분모에 무리식이 들어있으면 유리화를 해요. 유리화를 해야만 통분을 할 수 있거든요. 분모의 유리화는 무리수에서 했던 방법과 똑같아요.

분모의 가운데 부호를 바꿔서 분자, 분모에 곱하는 거요. 이때 주의해야 할 게 근호 안의 부호를 반대로 바꿔서 곱하는 실수를 자주 하는데, 근호 안의 부호가 아니라 근호 바깥의 부호를 반대로 하는 거예요.

분모에 무리식이 하나일 수도 있고, 두 개일 수도 있는데 그건 상관없어요. 유리화하는 방법은 똑같아요.

다음을 간단히 하여라.

(1)번에서 유리화는 분모의 가운데 부호를 바꾼 걸, 분자, 분모에 곱하는 거예요.

(2) 번은 분모에 무리식이 두 개가 있고, 가운데 부호는 (-)네요.

(3)번은 단순히 유리화가 아니라 뺄셈을 하는 거네요. 유리화를 한 후에 통분하고 계산을 해야 하는데, 유리화를 하면 동시에 통분이 되네요.

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유리식은 종류가 많아요. 부분분수 공식, 번분수, 가비의 리, 비례식 등이 있지요. 그 외도 여러 가지 분수식이 있는데, 여기서 다뤄볼게요.

여러 가지 유리식의 풀이에서는 그 전에 공부했던 곱셈공식, 인수분해 공식 등을 활용해야 합니다. 다 기억하고 있어야겠죠? 문제에 조건식과 답을 구해야 하는 식 두 가지가 나오는데, 조건식을 여러 공식을 이용해서 모양을 바꾸어 문제의 식에 대입해서 답을 구합니다.

모양을 바꾸는 방법은 몇 가지 유형이 있으니까 유형만 잘 알고 있으면 돼요. 문제의 유형과 풀이법을 알아보죠.

유리식의 계산

조건식이 방정식일 때

조건이 방정식일 때는 방정식의 모양을 바꿔서 분수식으로 만드는데 이때 곱셈공식이나 곱셈공식의 변형을 이용해요. 가장 많이 나오는 게 분수꼴 곱셈 공식의 변형이에요.

아래 공식을 잘 기억해두세요. 유도하는 과정은 곱셈공식의 변형에 나와 있어요.

x² + x + 1 = 0일 때 다음을 구하여라.
(1) x³
(2) x³ +

(1) 인수분해 공식 중에 a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b² ), a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)이 있어요.

x² + x + 1 = 0의 양변에 (x - 1)을 곱해보죠.
x² + x + 1 = 0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0·(x - 1)
x³ - 1 = 0
x³ = 1

x² - x + 1 = 0이었다면 양변에 x + 1을 곱해서 같은 방법으로 풀면 돼요.

(2) 이죠? 그러니까 x² + x + 1 = 0으로 x + 의 값을 구해야 해요.

x² + x + 1 = 0
x² + 1 = -x
x +  = -1   (∵ 양변 ÷ x)

좌변에 x = 0을 대입하면 식이 성립하지 않으므로 x = 0이 아니에요. 따라서 양변을 x로 나눌 수 있어요. 양변을 x로 나누면 분수꼴이 돼요.

= (-1)³ - 3(-1)
= -1 + 3
= 2

이차방정식이 조건식으로 주어졌을 때, 일차항을 이항하고 양변을 x로 나누는 방법은 자주 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.

조건식이 두 문자가 있는 등식일 때

이번에도 조건식을 문제에 맞게 변형해야 해요. 조건식이 등식이면 한 문자에 대하여 정리합니다. 정리한 문자를 식에 대입해서 한 문자에 관한 식으로 바꾸면 문자는 약분돼 없어지고 숫자만 남아요.

조건식이 방정식일 때: 곱셈공식, 곱셈공식의 변형을 이용하여 방정식을 변형
조건식이 등식일 때: 한 문자에 관해 정리한 후 문제에 대입

4x = 2y일 때 을 구하여라.

4x = 2y이므로 y에 대하여 정리하면
y = 2x

y= 2x를 문제에 대입

x = 2y = 3z일 때, 을 구하여라.

x = 2y
y = x

x = 3z
z = x

y와 z에 대하여 정리했으니까 이걸 문제에 대입해보죠.

마지막에는 번분수의 성질을 이용해서 약분도 하고, 분수로 바꾼 겁니다.

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