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명제 p → q에서 가정인 p와 결론인 q는 조건이에요.

명제 p → q가 참이면 p와 q가 그냥 조건이 아니라 이름이 생겨요. 필요조건, 충분조건, 필요충분조건이라는 이름인데, 언제 어떤 경우에 이런 이름으로 부르는지 공부할 거예요.

또, 필요조건, 충분조건, 필요충분조건과 진리집합 사이의 관계도 알아볼거고요.

여기서는 부등식, 수직선과 관련된 문제들도 많이 나오니까 연립부등식, 연립부등식의 풀이했던 내용을 다시 한 번 떠올려보세요.

필요조건, 충분조건, 필요충분조건

명제의 참, 거짓, 반례에서 명제 p → q가 참일 때 기호로 p ⇒ q로 쓴다고 했죠? 이때, 조건 p를 q이기 위한 충분조건, 조건 q를 p이기 위한 필요조건이라고 해요.

화살표가 나가는 가정이 충분조건, 화살표를 받는 결론이 필요조건이죠.

가정        결론
p    ⇒    q
P    ⊂    Q
충분조건     필요조건

만약에 q → p라면 q는 p이긴 위한 충분조건, p는 q이기 위한 필요조건이에요.

p ⇔ q라면 어떨까요? 화살표는 주는 게 충분조건, 받는 게 필요조건인데, 이때 p와 q는 화살표를 주기도 하면서 받기도 하죠? 그래서 필요조건이면서 충분조건이므로 줄여서 p는 q이기 위한 필요충분조건이라고 해요. 마찬가지로 q도 p이기 위한 필요충분조건이에요.

진리집합

p의 진리집합을 P, q의 진리집합을 Q라고 할 때, p ⇒ q라면 P ⊂ Q에요. q ⇒ p라면 Q ⊂ P죠.

p ⇔ q라면 어떻게 될까요? P ⊂ Q이고, Q ⊂ P에요. 부분집합, 부분집합의 개수 구하기에서 A ⊂ B이고 B ⊂ A면 A = B라고 했죠? 따라서 p ⇔ q이면 P = Q에요.

P ⊂ Q이면 p는 q이기 위한 충분조건
P ⊂ Q이면 q는 p이기 위한 필요조건
P = Q이면 p는 q이기 위한 필요충분조건

조건은 필요조건, 충분조건, 필요충분조건 세 가지가 있어요. 이 중에서 필요충분조건은 진리집합이 서로 같은 경우라서 알아보기 쉬워요. 남은 건 충분조건과 필요조건인데, 둘 중 하나만 구별하는 법을 정확하게 알아두세요. 하나만 정확하게 파악하면 나머지 하나는 자동으로 결정되는 거잖아요.

충분조건: 가정, 화살표가 나가는 쪽, 부분집합
필요조건: 결론, 화살표를 받는 쪽, 부분집합을 포함하는 집합
필요충분조건: 충분조건 + 필요조건

두 조건 p: a ≤ x < 5, q: 3 < x ≤ b에서 조건 p가 q이긴 위한 필요조건이고, q는 p이기 위한 충분조건일 때, a, b의 범위를 구하여라.

p가 필요조건, q가 충분조건으로 필요조건인 p가 화살표를 받는 형태인 q ⇒ p이고, 진리집합은 Q ⊂ P에요. 부등식을 수직선에 나타내보면 쉬워요.

3 < x ≤ b가 a ≤ x < 5의 안에 들어가야 하니까 수직선으로 그려보면 위 그림처럼 돼요.

a는 3보다 왼쪽에 있으면 되는데, 3이 되어도 괜찮죠? Q에는 3이 포함되어 있지 않으니까요. 따라서 a ≤ 3이에요.

b는 5보다 왼쪽에 있으면 되는데, 5가 되면 안 돼요. Q에는 5가 들어있는데, P에 5가 들어있지 않으면 Q ⊂ P가 안 되잖아요. b < 5여야 하는데 여기에 3 < x이므로 b도 3보다 커야 해요. 따라서 3 < b < 5

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명제의 참, 거짓, 반례
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하나의 명제를 모양을 바꿔서 여러 개의 명제로 만들 수 있어요. 이런 명제들을 명제의 역, 이, 대우라고 하는데, 그림을 통해서 이해하는 게 제일 빠른 방법이에요. 그림을 통째로 외우세요.

논리에서 사용하는 삼단논법이라는 용어도 공부할 거예요. 사실 별거 없어요. 그냥 연결하는 것만 잘하면 되니까요.

명제의 대우와 삼단논법을 연결해서 참, 거짓인 명제를 찾는 문제가 많이 나오니까 이런 유형도 연습해두세요.

명제의 역, 이, 대우

명제 p → q에서 조건 p를 가정, 조건 q를 결론이라고 한다고 했어요.

여기서 p와 q의 자리를 바꿔볼까요? q → p가 되겠죠? 이때는 조건 q가 가정, 조건 p가 결론이에요. 이렇게 원래의 명제에서 가정과 결론을 바꾼 걸 명제의 역이라고 해요.

이번에는 원래 명제의 부정을 해볼까요? p → q의 부정은 "~p → ~q"가 되는데, 원래 명제의 부정인 명제를 명제의 이라고 합니다.

마지막으로 원래 명제에서 가정과 결론도 바꾸고, 부정을 해보죠. 즉 원래 명제의 이의 역이에요. ~q → ~p가 되는데 이걸 명제의 대우라고 합니다.

집합의 연산법칙에서 어떤 집합의 여집합의 여집합은 자기 자신이었죠? (A^C)^C = A. 마찬가지로 명제의 역의 역은 원래 명제에요. 서로 역인 관계죠. 이와 대우도 마찬가지고요. 위 그림을 이해할 수 있겠죠?

어떤 명제가 있을 때, 그 명제와 명제의 대우는 참, 거짓을 함께해요. 명제가 참이면 명제의 대우도 참이고, 명제가 거짓이면 대우도 거짓이죠.

명제와 대우가 일치하는 건 진리집합을 생각해보면 돼요. p → q가 참이면 진리집합은 P ⊂ Q에요. 벤다이어그램으로 나타내면 아래 그림처럼 되죠.

위 그림에서 Q^C ⊂ P^C가 되니까 ~q → ~p도 참이 되는 거죠.

명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 아무런 상관이 없어요. 단, 이와 역은 서로 대우 관계이므로 참, 거짓이 같아요.

다음 명제의 역, 이, 대우를 말하고, 참 거짓을 판별하여라.
x = 2이면  x² = 4이다

명제의 역은 가정과 결론을 바꾼 것, 이는 가정과 결론을 부정한 것, 대우는 가정과 결론을 바꾸고 부정한 것이에요.

위 명제에서 가정 p는 x = 2이고, 결론 q는 x² = 4네요.

명제 p → q : x = 2이면 x² = 4이다
역 q → p: x² = 4이면 x = 2이다
이 ~p → ~q: x ≠ 2이면, x² ≠ 4이다.
대우 ~q → ~p: x² ≠ 4이면 x ≠ 2이다.

일단 명제는 x = 2이면 x² = 4니까 참이죠?
역에서 x² = 4이면 x = ±2이므로 거짓이죠.
x = -2일 때, x² = 4이므로 이도 거짓이고요.
x² ≠ 4이면 x ≠ ±2이므로 대우는 참이에요.

명제와 대우는 참, 거짓을 같이하고, 이와 역도 서로 대우 관계이므로 참, 거짓을 같이하죠. 단, 명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓을 함께하지 않아요.

삼단논법

논리에서 대전제, 소전제, 결론을 얻는 방법을 삼단논법이라고 하는데, 명제에서도 이 삼단논법이 성립해요.

명제 p → q가 참이고, 명제 q → r이 참이면 p → r도 참이다.

삼단논법은 진리집합으로 설명하면 쉬워요.

p → q가 참이면 P ⊂ Q에요.
q → r이 참이면 Q ⊂ R이죠.
P ⊂ Q ⊂ R이 되어서 P ⊂ R이므로 p → r이 참이 되죠.

p → q와 ~r → p가 참일 때, 반드시 참인 명제를 써라.

참인 명제의 대우는 참이므로 p → q의 대우 ~q → ~p도 참이에요.
~r → p의 대우 ~p → r도 참이고요.
삼단 논법에 따르면 ~r → p → q가 돼요. 따라서 ~r → q가 참이죠.
~r → q가 참이므로 그 대우인 ~q → r도 참이죠.

보기 포함해서 총 6개의 명제가 참이에요.

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명제에는 진리집합이라는 게 있다고 했어요. 이 진리집합을 이용해서 명제의 참, 거짓을 판단해요. 진리집합을 이용하지 않고 반례를 이용하는 경우도 있고요. 두 가지 방법을 다 알고 있다가 문제에 맞게 편리한 방법을 사용하면 돼요.

개인적으로는 명제 단원에서 가장 어려운 내용이라고 생각하는 단원이에요. 명제의 참, 거짓을 판별하는 방법 자체는 어렵지 않지만, 실제 문제에서는 어려워지죠. 진리집합과 반례를 찾는 게 어렵거든요. 한 두 가지씩 빠뜨리는 실수가 많이 나오기도 해요.

반례를 찾는 건 연습이 많이 필요해요. 교과서나 익힘책의 문제를 많이 풀어보세요.

명제의 참, 거짓

두 조건 p, q가 "p이면 q 이다."의 꼴로 되어 있는 명제를 기호로 "p → q" 로 나타내요. 이때 p를 가정, q를 결론이라고 하죠.

특히 명제 p → q가 참이면 화살표에 줄을 하나 더 그어서 라고 하고, 거짓이면 라고 해요. 또 p → q도 참이고, q → p도 참이면 라고 나타냅니다.

명제의 참, 거짓을 판별할 때는 진리집합을 이용하는 게 아주 좋아요. 진리집합의 부분집합의 성질을 이용하거나 벤다이어그램을 이용하는 거죠.

명제 p → q에서 조건 p의 진리집합을 P, 조건 q의 진리집합을 Q라고 할 때
이면 P ⊂ Q
이면 P  Q

위 내용은 거꾸로도 성립해요. 부분집합이면 참, 부분집합이 아니면 거짓이죠.

"x = 1이면 x² = 1이다."라는 명제가 참인지 거짓인지 알아보죠.

이번에는 p와 q를 바꿔서 "x² = 1이면 x = 1이다."로 해볼까요?

명제: x² = 1이면 x = 1이다.

	p	q
조건	x2 = 1	x = 1
진리집합	P = {-1, 1}	Q = {1}
부분집합	P Q
참, 거짓	거짓

반례

명제의 참, 거짓을 알아내는 또 다른 방법은 반례를 이용하는 거예요. 반례는 명제가 거짓이라는 걸 보여주는 예에요.

"자연수 x에 대하여, x가 짝수이면 x < 10이다."라는 명제가 있다고 해보죠.

12, 14, 16, … 처럼 10보다 큰 짝수가 있어요. 따라서 명제가 틀렸어요. 이때, 10보다 크다고 보여줬던 짝수들의 예가 바로 반례에요.

명제가 거짓임을 밝히기 위해서 반례를 보여주면 되는데, 반례는 1개만 있으면 돼요. 위에서 12, 14, 16, …라는 반례를 보여줘도 되지만, 12라는 반례만 보여줘도 명제가 거짓이라는 걸 알 수 있죠?

명제의 참, 거짓
진리집합 이용 - P ⊂ Q이면 참 
반례가 1개라도 있으면 거짓

다음 명제의 참, 거짓을 밝혀라.
(1) x가 6의 약수이면 x는 12의 약수이다.
(2) xy > 0 이면 x > 0, y > 0이다.

(1)을 p → q라고 할 때 P = {1, 2, 3, 6}, Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
P ⊂ Q이므로 p → q는 참

(2) 반례를 이용해 보죠. xy = 1일 때,  x = -1, y = -1이면 x < 0, y < 0이에요.
이 반례를 통해서 명제가 거짓이라는 걸 알 수 있어요.

모든, 어떤이 들어있는 명제의 참, 거짓

모든, 어떤이 들어있는 명제에서 참, 거짓을 확인하는 방법이에요.

"모든", "임의의"라는 단어가 들어간 명제에서는 그 식이 성립하지 않는 x가 하나도 없어야 참이에요. 즉 식이 성립하지 않는 x가 하나라도 있으면 거짓이라는 거죠. 이때 성립하지않는 x가 바로 반례에요.

"모든 실수 x에 대하여 x² = 1이다."라는 명제가 있어요. x = 2이면 이 x² = 1이라는 식이 성립하지 않죠. 따라서 이 명제는 거짓이고 이때 x = 2가 반례가 되는 거예요.

"어떤"이 들어가 있는 명제는 식을 만족하는 x가 하나라도 있으면 참이에요. 모든 x에 대해서 성립할 필요가 없어요.

"어떤 실수 x에 대하여 x² = 1이다."라는 명제에서 x = 1이면 x² = 1이 성립하죠. 따라서 이 명제는 참인 명제에요.

모든, 임의의 → 반례가 있으면 거짓
어떤 → 하나라도 성립하면 참

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명제와 조건은 참 어려운 단원이에요. 개념이 중요한데다 실제 참, 거짓을 증명해야 하는 경우가 많거든요.

용어의 정의, 기호가 나타내는 것들을 하나도 놓치지 않고 생각해야 하는 단원이에요. 큰 게 아니라 자잘한 실수때문에 틀리는 문제가 많아서 좀 짜증나기도 하죠. 지금까지 공부했던 용어들과 기호들에 대해서 복습하는 단원이라고 생각하세요.

명제와 조건

명제는 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이나 식을 말해요.

"2는 소수다"라는 문장이 있어요. 이 문장은 참이죠? 그래서 명제에요. "3은 짝수다." 이 문장은 거짓이죠? 거짓이니까 명제에요. 명제는 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이므로 거짓인 문장도 명제에요. 거짓이면 명제가 아니라고 생각하는 경우가 많은데, 주의하세요.

"수학은 어렵다." 이 문장은 어떤가요? 학생 대부분은 수학이 어렵다고 생각할 거예요. 그런데 또 다른 학생들은 수학이 쉽다고 하는 학생도 있겠죠? 사람에 따라서 참, 거짓이 달라져요. 참, 거짓을 판단할 수 없죠. 따라서 이 문장은 명제가 아니에요.

조건은 미지수를 포함하고 있어서 그 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 판별되는 문장이나 식을 말해요.

"(x - 1)(x - 2) = 0"이라는 식은 x = 1, 2일 때는 참이지만, x = 3, 4, 5, … 이면 거짓이죠? x에 따라서 참, 거짓이 바뀌니까 이 문장은 조건이에요. 보통 조건에서 미지수로 x를 사용하니까 조건을 p(x), q(x), … 등으로 표시하는데, 간단히 p, q, … 로도 나타내요.

진리집합

조건은 미지수에 따라서 참, 거짓이 달라진다고 했어요. 이때 조건이 참이 되게 하는 미지수의 집합을 진리집합이라고 해요. 진리집합은 알파벳 대문자로 나타내는데, 조건 p의 진리집합은 P, 조건 q의 진리집합은 Q라고 써요. 특별한 언급이 없으면 전체집합 U는 실수 전체의 집합이라고 생각하면 돼요.

"(x - 1)(x - 2) = 0"이라는 조건에서 진리집합 P = {1, 2} 겠죠?

두 조건을 하나로 합쳐서 사용하는 경우도 있어요. p라는 조건과 q라는 조건을 합칠 때 "p 이고 q"라는 조건을 만들었다면 진리집합은 P ∩ Q가 돼요. p와 q라는 두 조건을 모두 만족하는 미지수여야 하니까요. "p 또는 q"라는 조건을 만들었다면 진리집합은 P ∪ Q가 돼요. p, q 중 하나만 만족해도 되거든요.

조건의 부정

조건의 부정은 말 그대로 조건을 반대로 얘기하면 돼요. 조건 p의 부정은 ~p라고 쓰고, not p라고 읽어요. 조건 q의 부정은 ~q라고 쓰고 not q라고 읽죠.

그럼 ~p의 부정은 뭘까요? ~(~p) = p에요. 진리집합을 생각해보세요. 부정은 진리집합에서 여집합이에요. (P^C)^C = P니까 ~(~p) = p가 되는 거예요.

(조건)과 (조건의 부정)은 서로 부정인 관계에요.

조건의 부정을 몇 가지 해볼까요?

다음 조건의 부정을 말하여라.
(1) x = 1 또는 x = 2
(2) 1 < x ≤ 2
(3) 모든 실수 x에 대하여 (x - 1)² ≥ 0이다.

"또는"의 부정은 "이고"에요.

(1)은 또는 이니까 "이고"로 바뀌어야겠죠? 그리고 =는 ≠로 바꾸고요.
"x = 1 또는 x = 2"의 부정은 "x ≠ 1 이고 x ≠ 2"가 되겠네요.

(2)는 1 < x 이고, x ≤ 2라는 두 개의 조건으로 나눌 수 있어요. 가운데가 "이고"니까 "또는"으로 바꿔야 하고, <는 ≥로, ≤는 >로 바꿔야 겠네요.
"1 < x ≤ 2"의 부정은 "1 ≥ x 또는 x > 2"

(3)은 모든이 있어요. "모든"의 부정은 "어떤"이에요. ≥의 부정은 <고요.
"모든 실수 x에 대하여 (x - 1)² ≥ 0이다."의 부정은 "어떤 실수 x에 대하여 (x - 1)² < 0이다."

부정하지 않는 것들

조건에서 부정을 할 때, 절대로 부정하면 안 되는 게 있어요. 바로 "수의 체계"에요.

"유리수 x에 대하여 x > 2이다"를 부정하면 "무리수 x에 대하여 x ≤ 2이다."가 아니라는 거예요. x가 포함되는 수의 체계는 부정하면 안 돼요. "유리수 x에 대하여 x ≤ 2 이다."가 제대로 된 부정이에요.

"양수 x에 대하여 …"에서 양수를 부정해서 "음수 또는 0 x에 대하여" 가 아니라 그대로 "양수 x에 대하여 …"에요.

"x가 무리수이다"을 부정하면 "x가 유리수이다"가 돼요." 위에서 수의 체계는 부정하지 않는다고 했는데, 여기서는 부정을 했어요.

위에서 수의 체계는 조건이 아니라 전제라서 부정하면 안 되고, 아래에 있는 문장에서는 수의 체계가 조건이니까 부정할 수 있는 거예요. 이 차이를 잘 구별하세요.

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유한집합은 원소의 개수를 셀 수 있는 집합이에요. 따라서 원소의 개수와 관련된 문제는 당연히 유한집합이에요. 물론 원소의 개수가 0개인 공집합 도 포함되고요.

유한집합의 원소의 개수를 구할 때는 무작정 구하는 게 아니라 그와 관련된 다른 집합의 원소의 개수를 알려줘요. 그러니까 이 글에서는 유한집합의 원소의 개수 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 이런 관계를 통해서 원소의 개수를 구하는 겁니다.

집합에서 이해를 돕는 가장 좋은 방법은 벤다이어그램을 그리는 방법이니까 각 설명 과정에 나오는 벤다이어그램을 잘 보세요.

유한집합의 원소의 개수

교집합과 합집합의 원소의 개수

집합 A의 원소의 개수는 n(A)라는 기호로 나타내는 거 알고 있죠? 집합의 원소의 개수

두 집합 A, B와 교집합, 합집합의 원소의 개수에 어떤 관계가 있는지 알아보죠.

일단 그림에서 알 수 있는 집합의 원소의 개수를 구해볼까요?
n(A) = x + y
n(B) = y + z
n(A ∩ B) = y
n(A ∪ B) = x + y + z

위에 두 개를 더하고 아래 두 개를 더해보죠.

n(A) + n(B) = n(A ∩ B) + n(A ∪ B) = x + 2y + z

가운데 있는 n(A ∪ B)나 n(A ∩ B)를 이항해보세요.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)

두 집합의 원소의 개수와 합집합, 교집합의 원소의 개수와의 관계를 알 수 있겠죠?

이번에는 아래 그림처럼 A, B, C의 세 집합이 있을 때에요.

나머지는 위와 같으니까 넘어가고 n(A ∪ B ∪ C)를 구해보죠. A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C라고 생각할 수 있겠죠? 이렇게 나눠서 해봐요.
n(A ∪ B ∪ C) = n(A ∪ B) + n(C) - n((A ∪ B) ∩ C)
= {n(A) + n(B) - n(A ∩ B)} + n(C) - n((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))
= n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(C) - {n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - n((A ∩ C) ∩ (B ∩ C))
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

집합의 연산법칙을 이용해서 집합의 모양을 바꾸고 거기에 위에서 봤던 합집합과 교집합의 원소의 개수를 넣어봤더니 마지막 줄처럼 나왔어요.

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

세 집합의 합집합의 원소의 개수는 각각의 집합의 원소의 개수를 다 더하고, 두 개씩의 교집합의 원소의 개수를 빼고, 세 개의 교집합의 원소의 개수를 더하는 거예요. 복잡하지만 금방 외울 수 있을 거예요.

여집합과 차집합의 원소의 개수

이번에는 좀 쉬운 거 하죠. 여집합의 원소의 개수에요.

n(A^C) = n(U) - n(A)

A - B = A - (A ∩ B) = (A ∪ B) - B로 나타낼 수 있으니까 그 상태 그대로 원소의 개수로 바꿔주면 돼요.

n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = n(A ∪ B) - n(B)

하나는 교집합을 하나는 합집합을 이용하는 거니까 차이를 잘 보세요.

n(A) = 10, n(B) = 8, n(A ∪ B) = 15일 때, 다음을 구하여라.
(1) n(A ∩ B)
(2) n(A - B)
(3) n(B - A)

(1)에서 n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) = 10 + 8 - 15 = 3

(2) n(A - B) = n(A ∪ B) - n(B) = 15 - 8 = 7
다른 방법으로 n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = 10 - 3 = 7

(3) n(B - A) = n(A ∪ B) - n(A) = 15 - 10 = 5
다른 방법으로 n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B) = 8 - 3 = 5

선영이네 반은 총 30명의 학생이 있다. 이 중에 지난 토요일에 무한도전을 본 학생은 17명, 스타킹을 본 학생은 12명, 둘 다 본 학생은 5명일 때, 둘 중 아무 프로그램도 보지 않은 학생은 몇 명인가?

총 30명이라고 했으니까 n(U) = 30
무한도전을 본 학생을 집합 A라고 하면 n(A) = 17
스타킹을 본 학생을 집합 B라고 하면 n(B) = 12
둘 다 본 학생은 n(A ∩ B) = 5
아무 프로그램도 안 본 학생은 (A ∪ B)^C이므로 학생 수는 n((A ∪ B)^C) = n(U) - n(A ∪ B)

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 17 + 12 - 5 = 24

n((A ∪ B)^C) = n(U) - n(A ∪ B) = 30 - 24 = 6(명)

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집합의 연산법칙 2 - 드모르간의 법칙, 차집합의 성질

집합의 연산법칙 두 번째예요.

여기서는 집합에서 가장 많이 사용하는 드모르간의 법칙과 차집합의 성질을 공부할 거예요. 이 두 가지는 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.

그 외에 집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질도 알아볼 건데, 이건 각 집합에서 사용하는 개념을 잘 생각해보면 이해할 수 있을 거예요. 혹시 이해하기 어렵다면 마찬가지로 벤다이어그램을 그려서 확인해볼 수도 있어요.

집합의 연산은 식이 되게 복잡하고 길어 보이지만 연산 법칙과 성질만 잘 알면 풀 수 있어요. 겁먹지 마세요.

드모르간의 법칙

처음 듣는 이름인데요. 집합에서 계속 나오는 법칙이에요. 공식처럼 외워야 합니다.

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

여집합 기호 ^C가 마치 지수법칙처럼 각 집합에 적용되어 A^C, B^C가 되었고, 괄호 안에 있던 연산이 반대로(∩ → ∪, ∪ → ∩) 바뀌었어요.

집합의 연산에서 매우 중요한 법칙이에요. 꼭 벤다이어그램으로 그려서 직접 확인해보세요.

차집합의 성질

차집합 A - B는 A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이에요. A - B = {x|x ∈ A이고 x B}

전체집합, 여집합, 차집합

이걸 연산에서 교집합과 여집합의 조합으로 바꿀 수 있어요. 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.

A - B = A ∩ B^C

차집합에서 앞에 있는 집합은 그대로, 빼기(-) → ∩으로, 뒤에 있는 집합은 여집합(^C)으로 바뀌었어요.

B - A는 뭘까요? B는 그대로, 빼기(-)는 ∩으로, A는 여집합(A^C)으로 바꿔요. B - A = B ∩ A^C

집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질

집합의 연산에서 법칙은 아니지만 자주 사용하는 성질들이 있어요. 개수가 많아서 어려울 것처럼 보이지만 의미를 잘 생각해보면 이해가 될 거예요. 아니면 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요. 굳이 외울 필요는 없지만 연산 과정에서 보면 이해할 수 있어야 해요.

교집합과 합집합에 관련된 성질이에요. 교집합과 합집합

A ∩ A = A, A ∪ A = A
(A ∩ B) ⊂ A ⊂ (A ∪ B)
A ∩ = , A ∪ = A
A ∩ U = A, A ∪ U = U

합집합과 교집합에 관련된 성질보다 더 많이 사용하는 건 여집합과 관련된 성질이에요.

A ∩ A^C = , A ∪ A^C = U
(A^C)^C = A, ^C = U, U^C =

여집합은 쉽게 말해서 "아닌 것"이죠? A^C는 A에 포함되지 않은 원소들로 이루어진 집합으로 A의 원소를 제외한 다른 원소는 모두 들어있어요. 그래서 A와 A^C 사이에는 공통된 게 없으니까 교집합은 이고 합집합은 U에요. (A^C)^C은 이중부정이 되어 원래와 같아지는 거예요. 전체집합 U의 원소가 아닌 것은 없으니까 U^C = 이 되죠.

이번에는 두 집합 사이의 포함 관계를 알아볼 수 있는 성질이에요.

A ∩ B = A ↔ A ⊂ B
A ∪ B = B ↔ A ⊂ B
A ⊂ B이고, B ⊂ A ↔ A = B

다음을 간단히 하여라. (단, 전체집합 U에 대하여 A ⊂ U, B ⊂ U)
{(A^C ∪ B^C) ∩ (A ∪ B^C)} ∩ A

상당히 길죠? 이걸 벤다이어그램으로 구할 수도 있어요. 하지만 집합의 연산법칙을 이용하면 다항식 계산하듯이 정리할 수 있어요.

{(A^C ∪ B^C) ∩ (A ∪ B^C)} ∩ A
= {(A^C ∩ A) ∪ B^C)} ∩ A            (∵ 분배법칙)
= ( ∪ B^C) ∩ A                       (∵ A^C ∩ A = )
= B^C ∩ A                                  (∵  ∪ B^C = B^C)
= A ∩ B^C                                  (∵ 교환법칙)
= A - B                                     (∵ A ∩ B^C = A - B)

첫 번째 줄에 보면 ( ) 안에는 ∪ B^C이 양쪽 모두에 들어있어요. 이걸 분배법칙으로 묶어서 2번째 줄이 되었어요. 마지막 줄에서는 차집합의 성질을 이용했네요.

되게 길어서 복잡해 보이지만 성질을 잘 이용하면 풀 수 있어요. 겁먹지 말고 차근차근 해보세요.

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집합의 연산법칙은 쉬우면서도 어려운 내용이에요. 연산법칙이라고 부르는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙은 숫자와 식의 계산에서 이미 다 들어본 용어들이에요. 그래서 집합에 적용해도 이해하기에 어렵지는 않을 거예요.

하지만 실제 문제에서 집합의 연산법칙들을 이용해서 계산하기는 어려울 거예요. 기호도 비슷하고 숫자가 아니라 알파벳으로 되어 있으니까요. 하지만 이미 알고 있는 법칙이고 수와 식에서 계산을 해봤다는 자신감을 느낀다면 충분히 해낼 수 있을 거로 생각합니다.

집합의 연산

집합의 연산에 대해서 정리해보죠. 교집합과 합집합, 전체집합, 여집합, 차집합

교집합은 A와 B 양쪽 모두에 속한 원소들로 이루어진 집합이에요. A ∩ B = {x|x ∈ A이고 x ∈ B}
합집합은 A에 속하거나 B에 속하거나 A, B 양쪽 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이고요. A ∪ B = {x|x ∈ A 또는 x ∈ B}
차집합은 A에 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이죠. A - B = {x|x ∈ A이고 x B}
여집합은 전체집합 U에 속하는 원소 중 A에 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이에요. A^C = {x|x ∈ U이고 x A}

집합의 연산법칙

숫자를 더하고 빼고 곱하고 나누는 걸 사칙연산이라고 하지요? 집합도 연산을 합니다. 덧셈, 뺄셈이 아니고 합집합(∪), 교집합(∩), 여집합(^C), 차집합(-)의 연산이요. 마치 숫자들을 계산하듯이 집합들도 식으로 풀어내는 거죠.

정수와 유리수의 덧셈, 곱셈에서 교환법칙이라는 게 성립해요. +, × 기호 양옆에 있는 숫자의 자리를 바꿔서 계산해도 값이 같은 걸 말하죠.
x + y = y + x
xy = yx

집합에서도 교환법칙이 성립해요. 단, 교집합과 합집합에서만 성립해요. 여집합과 차집합에서는 성립하지 않습니다.

결합법칙이라는 것도 있죠? 괄호를 쳐서 계산의 우선순위를 바꿔도 되는 거요. 집합에서도 성립합니다. 교환법칙과 마찬가지로 교집합과 합집합에서만 성립해요.

교환법칙, 결합법칙 말고 하나 더 있죠? 분배법칙이요.

위 그림에서 +, × 기호가 ∩, ∪으로 바뀐 것뿐이에요.

위에서 설명한 세 가지 법칙들을 잘 이해해야 해요. 다항식의 계산 보면 항이 여러 개 있는 식을 간단히 정리하는 문제가 나오죠? 고등학교에서는 집합이 그런 식으로 나와요. 집합 여러 개를 써놓고 연산법칙을 이용해서 간단하게 정리하는 문제가 나오죠.

아래 연산과정에서 사용된 연산법칙은 무엇인가?
A ∪ (B ∩ A)
= A ∪ (A ∩ B)            ∵ (1)
= (A ∪ A) ∩ (A ∪ B)   ∵ (2)
= A ∩ (A ∪ B)
= A                            ∵ A ⊂ (A ∪ B)

(1)에서는 괄호 안의 (B ∩ A)가 (A ∩ B)로 바뀌었네요. A와 B가 자리만 바꿨어요. 교환법칙이에요.

(2)에서는 괄호 밖의 A가 괄호 안의 (A ∩ B)에 각각 연산을 했네요. 분배법칙이 사용되었어요.

이어지는 집합의 연산법칙 2 - 드모르간의 법칙을 본 다음에 예제 문제를 풀어보죠.

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고등학교 수학 첫 시간이네요. 고등학교 수학은 중학교 수학과 비교하면 수준차가 확연히 납니다. 갑자기 어려워져요. 특히 학년이 올라갈수록 그 격차는 심해집니다.

내용 자체도 어렵고 양도 많고요. 설명도 글이나 그림보다는 식이나 기호 위주로 되어 있어서 알아보기가 힘들 겁니다. 하지만 중학교에 배운 수학 내용을 탄탄히 해온 학생이라면 충분히 공부할 수 있으니까 너무 걱정하지 마세요.

고등학교 수학은 한꺼번에 몰아서 공부하거나 벼락치기가 안되니까 매일 조금씩 공부를 하세요.

처음으로 할 내용은 집합인데, 집합은 중1 수학에서 공부했던 내용을 정리하고 복습하는 과정을 가져보죠. 자세한 설명은 중1 수학 목록에서 보세요. 부분집합과 부분집합의 개수를 구하는 과정을 조금 더 다뤄보도록 하겠습니다.

집합

집합에 관련된 내용은 많지만 일단 가장 기본적인 것 몇 가지만 정리해볼까요?

• 집합: 구체적이고 객관적인 기준에 맞는 대상들의 모임. 알파벳 대문자로 표시
• 원소: 집합을 이루는 대상 하나하나. 알파벳 소문자로 표시
  • a가 집합 A의 원소일 때, a ∈ A
  • b가 집합 A의 원소가 아닐 때, b A
• 집합의 표현방법
  • 원소나열법: 집합에 속하는 모든 원소를 { }안에 열거하는 방법.
    A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
  • 조건제시법: 원소들의 공통된 성질이나 조건을 나타내는 방법.
    A = {x|x는 12의 양의 약수}
  • 벤다이어그램: 그림으로 표현
    
• 집합의 분류
  • 유한집합: 원소의 개수가 유한개여서 셀 수 있는 집합
    공집합: 원소의 개수가 0개인 집합
  • 무한집합: 원소의 개수를 셀 수 없는 집합
• n(A): 집합 A의 원소의 개수

부분집합

중학교 1학년 때, 집합의 포함관계 - 부분집합, 진부분집합과 부분집합의 성질에서 했던 내용을 정리해보죠.

두 집합 A, B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때, A를 B의 부분집합이라고 하고 기호로 A ⊂ B라고 나타내요. 1이 모든 수의 약수인 것처럼 공집합 는 모든 집합의 부분집합이죠. 모든 수가 자기 자신을 약수로 갖는 것처럼 집합에서도 자기 자신을 부분집합으로 가져요.

임의의 원소 a에 대하여, a ∈ A일 때 a ∈ B이면 A ⊂ B
⊂ A, A ⊂ A
A ⊂ B, B ⊂ C ↔ A ⊂ B ⊂ C ↔ A ⊂ C

진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합을 말해요. 자기 자신은 부분이라고 할 수 없잖아요. 기호로 나타내면 A ⊂ B이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합이라고 합니다.

두 집합 A와 B가 서로 같은 지도 부분집합을 이용해서 알 수 있어요. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A와 B는 서로 같은 집합이에요. A의 모든 원소가 B에 들어있고, B의 모든 원소가 A에 들어있으니까 서로 같은 거지요. 숫자에서와 마찬가지로 등호(=)를 써서 A = B라고 표시합니다. A ⊂ B이고 B ⊂ A ↔ A = B

부분집합의 개수 구하기

이것도 중1 때 했던 내용이에요. 부분집합의 개수 구하기, 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기에 보면 왜 이런 방법으로 구하는지 설명이 되어 있어요. 기억이 나지 않는다면 한 번 보고 오세요.

n(A) = n일 때
집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2ⁿ - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2ⁿ - 2^{n - k}

진부분집합은 자기 자신을 제외한 부분집합이니까 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼서 구해요.

특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합은 애초부터 그 원소를 포함하지 않은 집합으로 생각하면 됩니다. 애초부터 원소에 포함되지 않았으면 부분집합에도 포함되지 않으니까요. 또 특정 원소 k개를 포함하는 부분집합은 특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합에 그 원소들을 넣어주는 것으로 생각하면 쉬워요. 따라서 둘은 개수가 서로 같은 거예요.

마지막에 있는 게 처음으로 나오는 건데요. 적어도 한 개가 들어있는 것의 개수를 바로 구하기 어려우니까 반대로 생각해봤어요. 적어도 한 개를 포함하는 것의 반대는 하나도 들어있지 않은 거잖아요. 그래서 전체에서 한 개도 들어있지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구하는 거죠. 하나도 들어있지 않는 부분집합의 개수는 (특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)에요.
(특정 원소 k 개중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수)
= (전체 부분집합의 개수) - (특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)

집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때 다음을 구하여라.
(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수
(2) 2, 4를 반드시 포함하는 부분집합의 개수
(3) 2, 4중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수

(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하라고 했는데, 애초부터 A라는 집합이 2, 4를 포함하지 않았다고 생각해보죠. 이 집합을 B라고 한다면 B = {1, 3, 5}에요. (B의 부분집합의 개수) = (2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수)이므로 2³ = 8이에요.

공식을 이용해서 바로 구해보면 n(A) = 5이고, 2, 4라는 두 개의 원소를 포함하지 않으니까 2^{5 - 2} = 2³ = 8(개)이에요. 공식으로 바로 구해도 같네요.

(2)번은 (1)에서 구한 B의 부분집합에는 2, 4가 들어있지 않으니까 거기에 2, 4를 모두 넣어준다고 생각하면 돼요. 따라서 개수가 같죠. 8개에요.

(3)번 2, 4중 적어도 하나를 포함한다는 건 2를 포함하거나 4를 포함하거나 2, 4 둘 다를 포함하는 거예요. 전체 부분집합의 개수에서 2, 4를 둘 다 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구해요. 2⁵ - 2^{5 - 2} = 32 - 8 = 24(개)

두 집합 A = {x|x는 5 이하의 자연수}, B = {1, 3, 5}일 때 B ⊂ X ⊂ A를 만족하는 X의 개수를 구하여라.

문제가 좀 복잡하네요. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5}

B ⊂ X니까 X는 B의 모든 원소를 포함하고 있어요. 그리고 X ⊂ A죠. 정리해보면 X는 B의 원소인 {1, 3, 5}를 포함하는 A의 부분집합이에요.

특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 구하는 공식을 사용하면 되겠네요.

2^{5 - 3} = 4

X를 직접 구하는 게 아니라 개수만 구하는 거니까 답은 4개입니다.

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[중등수학/중1 수학] - 부분집합 구하기, 부분집합의 개수 구하기
[중등수학/중1 수학] - 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기

2013년 이전 고등학교 1학년 수학목차입니다. (2012년, 2011년, 2010, …… 등에도 해당)

2014년 이후 고등학교 1학년은 2014년 고1 수학 목록을 참고하세요.

1. 집합과 명제
   • 부분집합, 부분집합의 개수 구하기
   • 집합의 연산법칙 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙
   • 집합의 연산법칙 - 드모르간의 법칙
   • 유한집합의 원소의 개수
   • 명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정
   • 명제의 참, 거짓
   • 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법
   • 필요조건, 충분조건, 필요충분조건
2. 수 체계
   • 실수체계, 연산에 대하여 닫혀있다
   • 항등원과 역원, 연산법칙
   • 실수의 대소관계, 실수의 대소관계의 기본 성질
   • 절댓값과 절댓값의 기본성질
   • 허수와 허수단위, 복소수
   • 켤레복소수와 켤레복소수의 성질
   • 복소수의 사칙연산
   • 복소수의 연산법칙, 복소수의 항등원과 역원
   • i의 거듭제곱, 음수의 제곱근의 성질
3. 식의 계산
   • 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈
   • 곱셈공식
   • 곱셈공식의 변형
   • 다항식의 나눗셈
   • 항등식과 항등식의 성질
   • 미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법
   • 나머지정리, 인수정리
   • 조립제법 1 - 조립제법 하는 법
   • 조립제법 2 - 나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때
   • 인수분해 공식
   • 복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식
   • 인수정리를 이용한 인수분해
   • 다항식의 공약수와 공배수, 최대공약수와 최소공배수
   • 다항식의 최대공약수와 최소공배수의 활용
   • 유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산
   • 부분분수 공식, 번분수
   • 가비의 리, 비례식
   • 여러가지 유리식의 풀이
   • 무리식, 무리식의 연산
   • 이중근호
   • 무리수가 서로 같을 조건
4. 방정식과 부등식
   • 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능
   • 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이
   • 이차방정식의 판별식, 실근, 허근
   • 이차방정식 근과 계수와의 관계
   • 두 수를 근으로하는 이차방정식, 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식
   • 이차방정식의 켤레근
   • 이차방정식의 인수분해
   • 이차방정식의 실근의 부호
   • 고차방정식의 인수분해, 고차방정식의 풀이
   • 고차방정식의 풀이 - 치환, 복이차식
   • 상반방정식
   • 삼차방정식 근과 계수와의 관계
   • 삼차방정식의 허근 ω의 성질
   • 연립방정식 - 미지수가 3개인 연립일차방정식
   • 연립이차방정식의 풀이 1
   • 연립이차방정식의 풀이 2
   • 부정방정식
   • 부등식의 성질, 부등식끼리의 사칙연산
   • 부등식 ax > b의 풀이, 부정, 불능
   • 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이
   • 절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2
   • 이차부등식, 이차부등식의 해
   • 판별식과 이차부등식의 해
   • 해가 주어졌을 때 이차부등식 구하기
   • 이차부등식이 항상 성립할 조건
   • 연립이차부등식
   • 절대부등식, 부등식의 증명에 사용되는 실수의 성질
   • 절대부등식의 증명 - 산술, 기하, 조화평균
   • 절대부등식의 증명 - 코시 슈바르cm 부등식

1. 도형의 방정식
   • 두 점 사이의 거리
   • 선분의 내분점과 외분점
   • 좌표평면 위의 내분점과 외분점
   • 내분점과 외분점의 관계
   • 삼각형 무게중심의 좌표
   • 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기
   • 직선의 방정식 일반형과 표준형
   • 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프
   • 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
   • 두 직선의 위치관계와 일차방정식의 해의 개수
   • 교점을 지나는 직선의 방정식
   • 점과 직선 사이의 거리
   • 원의 방정식
   • 원의 방정식 일반형과 표준형
   • 아폴로니오스의 원
   • 축에 접하는 원의 방정식
   • 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
   • 원과 직선의 위치관계
   • 원의 접선의 방정식 1 - 접점을 알 때
   • 원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때
   • 원의 접선의 방정식 3 - 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식
   • 점과 도형의 평행이동
   • 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점
   • 점과 도형의 대칭이동 - 직선에 대한 대칭이동
   • 부등식의 영역 - f(x) > 0, f(x) < 0
   • 부등식의 영역 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0
   • 연립부등식의 영역
   • 부등식의 영역과 최대, 최소
2. 함수
   • 함수의 정의
   • 정의역, 공역, 치역, 서로 같은 함수
   • 함수의 그래프
   • 일대일대응, 일대일함수
   • 합성함수
   • 합성함수의 성질
   • 역함수, 역함수 구하는 방법
   • 역함수의 성질과 그래프
   • 이차함수 총정리
   • 이차함수의 최댓값과 최솟값
   • 이차함수의 최대, 최소와 활용
   • 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
   • 이차함수의 그래프와 이차방정식의 해
   • 이차함수의 그래프와 이차부등식의 해
   • 이차방정식의 실근
   • 유리함수
   • 유리함수 2 - 분수함수
   • 분수함수의 역함수
   • 무리함수
   • 무리함수 2
   • 무리함수의 역함수
3. 삼각함수
   • 일반각, 시초선, 동경, 양의 각, 음의 각, 사분면의 각
   • 호도법과 라디안
   • 부채꼴 호의 길이와 넓이
   • 삼각함수의 뜻과 정의, sin, cos, tan
   • 삼각함수 사이의 관계
   • 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ
   • 삼각함수 각의 변한 2 - π ± θ, π/2 ± θ
   • 삼각함수 각의 변환 총정리
   • 삼각함수표
   • 삼각함수의 그래프 - sin 그래프
   • 삼각함수의 그래프 - cos 그래프
   • 삼각함수의 그래프 - tan 그래프
   • 삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소
   • 삼각함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값
   • 삼각방정식
   • 삼각부등식
   • 사인법칙, 사인법칙 증명
   • 제1 코사인법칙, 제1 코사인법칙 증명
   • 제2 코사인법칙, 제2 코사인법칙 증명
   • 사인법칙, 코사인법칙 총정리
   • 삼각형의 넓이
   • 헤론의 공식
   • 평행사변형의 넓이, 사각형의 넓이
4. 순열과 조합
   • 합의 법칙, 곱의 법칙
   • 순열이란
   • 계승, 팩토리얼(!)
   • 순열의 활용
   • 조합이란
   • 조합의 성질
   • 조합의 활용

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딱히 보답해 드릴 건 없고, 티스토리 초대장 필요하시면 말씀하세요. 같이 보내드릴께요.

예전에 싸이월드에서 "퍼가요" 한마디면 모든 게 용서되었던 시절이 있었죠? 하지만 블로그에서는 절대로 통하지 않아요. 저작권이라는 강력한 법이 있으니까요.

일단 블로그에 어떤 형태로든 별도의 저작권 표시을 하지 않으면 그 블로그의 콘텐츠는 사용해서는 안돼요. 그러니까 다른 사람이 본인의 블로그의 콘텐츠를 사용하기 원치 않으신다면 그냥 아무런 표시도 하지 않으셔도 됩니다. "때리지 마세요.", "내 돈 가져가지 마세요."라고 안 써놔도 때리거나 돈을 가져가면 안되는 것처럼 블로그에 아무런 표시를 하지 않더라도 블로그의 콘텐츠를 주인의 허락없이 사용해서는 안되거든요.

CCL (Creative Commons License, CCL)

블로그의 콘텐츠를 다른 사람이 와서 단순히 보는 걸 넘어서 함께 사용하고 재가공하기를 바라시는 분들은 CCL를 이용하면 좋아요.

CCL에는 "사용금지"가 없어요. 위에서 설명한 것처럼 사용금지는 별도로 표시할 필요가 없으니까요. 게다가 CCL는 기본적으로 창조적 공유를 목적으로 만들어진 라이센스로 다른 사람이 콘텐츠를 사용하도록 권장하는 라이센스거든요.

가능하면 콘텐츠의 사용에 제약을 두지않는 라이센스라서 그냥 기본적인 상태에서는 가장 제약이 적고, 여러가지 사항을 추가할수록 제약이 많아지는 라이센스입니다.

CCL을 적용한다는 것 자체가 공유를 가능하게 한다는 것이므로 의미를 잘 모르면 사용하지 않는 것이 상책입니다. 절대로 "사용 금지", "불펌 금지"가 아니니 사용에 주의하세요.

CCL(Creative Commons License) → 사용가능, 공유

CCL는 크게 두 가지로 이루어져 있어요. 하나는 이용 조건, 다른 하나는 이용 범위이지요.

이용 조건은 원저작자를 표시하는 거예요. 저작자를 표시하는 건 기본입니다.

이용 범위는 영리목적으로 사용할 수 있는 지 아닌 지, 또 콘텐츠를 변경해도 되는 지 아닌 지에 관한 설정이에요.

특별한 표시가 없으면 영리적 목적으로 사용할 수 있어요. 따라서 영리적 목적으로 사용하기를 원하지 않는다면 비영리를 선택해야 합니다.

마찬가지로 특별한 표시가 없으면 콘텐츠를 마음대로 수정할 수 있어요. 수정하기를 원치않는다면 "변경 금지"를 선택하세요. 동일 조건 변경 가능은 영리 - 비영리, 변경 가능을 원저작자가 정한 그대로 따라야 한다는 거예요.

표에서 보는 것처럼 6가지의 CCL을 만들 수 있는데, 영리, 변경 가능 이라는 표시는 없어요. 일반적인 저작권과 달리 아무런 표시가 없으면 마음 껏 사용해도 좋다는 뜻으로 해석되므로 주의하세요.

하나 더 알아둬야할 건 CCL은 콘텐츠의 사용자에게 해당하는 내용이지 저작자에게 해당하는 게 아닙니다.

예를 들어 블로그의 글을 저작자표시 - 비영리의 CCL을 적용했다고 치죠. 그런데, 신문사에서 내 글을 사용하고 싶다고 한다면 저는 돈을 받고 신문사에 블로그의 글을 팔 수도 있어요. 저작자인 나까지 비영리로 사용해야 하는 건 아니에요.

CCL은 내가 가진 권리의 일부를 다른 사람과 함께 쓰는 것이지 내가 가진 권리를 포기하는 게 아닙니다.

티스토리에서 CCL 적용하는 방법

티스토리에 CCL을 적용하는 방법은 두 가지가 있어요.

블로그 전체에 적용하려면 블로그 관리 센터 - 글 설정 - 글 환경 관리의 CCL에서 적용하는 방법이에요.

두 번째는 특정한 글에만 적용하는 방법인데, 글쓰기 화면 오른쪽의 CCL에서 적용하는 방법이에요.

마지막으로 다시 말씀드리지만 자신의 콘텐츠를 다른 사람이 사용하는 것이 싫다면 CCL을 적용하시면 안돼요.

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구글 웹로그 분석에서 사용하는 용어중에 이탈률, 종료율이라는 용어가 있는데, 이게 무슨 뜻인지 이해하기 어렵죠? 이 글에서 두 단어의 뜻과 차이를 알아보죠.

네이버 애널리틱스에는 이런 용어를 사용하지는 않더군요. 대신 시작페이지, 종료페이지, 반송페이지를 보여줍니다. 계산만하지 않는다 뿐이지 해당 자료를 보여주기는 하니까 의미만 알아둔다면 직접 계산할 수 있을 거에요.

이탈률, 종료율 등은 페이지뷰와 직접적인 관계가 있는 건 아니지만 아주 큰 영향을 미칩니다. 이탈률과 종료율의 정확한 뜻을 알면 이를 이용해서 페이지뷰를 늘릴 수 있어요.

이탈률, 반송률

먼저 이탈률과 반송률은 같은 말이에요.

블로그나 홈페이지 방문자가 하나의 페이지만 보고 바로 나가는 경우를 말합니다. 따라서 여러가지 통계 수치 중에서 낮을수록 좋은 몇 안되는 수치죠.

이탈률이 70%라는 말은 100명이 방문했을 때, 70명은 한 페이지만 보고 바로 나가고 30명은 다른 페이지를 본다는 뜻이에요. 이 때 30명이 몇 페이지를 보느냐는 전혀 상관이 없어요.

이탈률이 높은 건 블로거에게 불리한 점이죠. 블로거는 페이지뷰를 높여 콘텐츠를 많이 보여주고 싶은 욕심이 있거든요. 이왕 콘텐츠를 만들어서 공유하는 건데 많은 사람이 보고 함께 공유해주면 좋잖아요. "잘보고 갑니다."같은 댓글까지 남겨주면 더욱 좋고요.

블로그 수입의 측면에서 볼 때, 이탈률이 높으면 한 사람이 한 페이지를 본다는 얘기고 그것은 애드센스나 링크프라이스 같은 블로그 광고를 많이 보여줄 수 없다는 얘기에요. 광고가 적게 보여질수록 수입이 더 낮아지는 것 아니겠습니까? 게다가 한 페이지만 보고 바로 나가는 방문객은 다른 페이지로의 링크 뿐 아니라 광고를 클릭하지 않을 가능성도 매우 높은 방문객이죠.

이탈률이 높다는 건 블로그를 하는 근본적인 이유(공유)나 부수적인 이유(수입) 모든 면에 좋지 않아요.

종료율

죵료율은 말 그대로 해당 페이지에서 몇 %나 나가는 가를 나타냅니다. 종료율이 47%면 해당 페이지를 본 100명 중 47명은 그 페이지에서 나가고 53명은 다른 페이지로 이동한다는 뜻이에요.

위 그림에서 아래에 있는 이탈률(%):47.17%은 통계 내용을 자세히 보면 종료율을 말하는 것 같네요.

이탈률과 종료율의 가장 큰 차이는 페이지가 첫 방문페이인지가 하는 겁니다. 이탈률은 방문객이 해당 블로그에서 처음으로 본 페이지를 대상으로 하는데 반해 종료율은 방문한 모든 페이지를 대상으로 해요.

처음 방문한 페이지 → 닫기: 이탈
처음 방문한 페이지 → 다른 페이지로 이동: 이탈 안함.
모든 페이지 → 닫기 : 종료
모든 페이지 → 다른 페이지로 이동: 종료 안함

방문객의 페이지 이동을 아주 단순하게 계산을 해보면요.

보기 1. 검색 사이트 → A페이지 → 종료
A페이지는 처음으로 방문한 페이지이므로 이탈률 , 종료율 계산에 포함됩니다. 이 경우에 A 페이지의 이탈률과 종료율 모두 100%가 됩니다.

보기 2. 검색사이트 → A 페이지 → B 페이지 → 종료
A페이지는 첫 방문 페이지므로 이탈률, 종료율 계산에 포함되지만 B페이지는 블로그에 처음으로 방문한 페이지가 아니라서 이탈률 계산에 포함되지 않고, 종료율 계산만 포함돼요.
A페이지의 이탈률은 0%, 종료율 0%, B페이지의 이탈률은 계산 할 수 없고, 종료율은 100%네요.

이탈률과 종료율 낮추는 방법

• 질 좋은 콘텐츠를 많이 만들어야 해요.
  하나의 컨텐츠를 읽고 마음에 들어야 다른 콘텐츠를 읽을테니까요.
• 또 질 좋은 콘텐츠가 많이 노출될 수 있도록 관련된 글의 링크를 삽입하거나 카테고리 더 보기 플러그인을 설정하세요.
  글을 다 일고 원하는 정보를 찾은 방문객이 페이지의 다른 페이지로 이동할 수 있는 미끼(?)를 던져놔야 합니다.
• 일관된 주제의 글을 적으세요.
  휴대전화면 휴대전화, 사진이면 사진처럼 하나의 주제를 선택하고 그 주제에 맞는 글을 많이 쓰세요. 아이폰으로 검색해서 들어온 사람이라면 자동차 관련된 글보다는 갤럭시와 관련된 글을 읽을 확률이 높아지니까요.

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이름만 봐서는 나무의 줄기에서 잎이 펼쳐져 있는 모습을 상상할 수 있을 거예요. "참 잘했어요." 스티커 붙이던 포도송이와 비슷하다고 생각할 테지만 줄기와 잎 그림은 그림이라기보다는 표에 가까워요.

어떤 자료를 보고 줄기와 잎 그림을 그리는 방법과 줄기와 잎 그림을 보고 원하는 내용을 읽어내는 방법을 알아보죠.

줄기와 잎 그림

어떤 반 학생 10명의 키를 쟀더니 아래와 같아요.

155cm, 172cm, 164cm, 152cm, 168cm, 177cm, 163cm, 159cm, 172cm, 164cm

이 반 학생들의 키의 분포를 알아보기 쉽게 하려고 모양을 조금 바꿔봤어요.

이상하게 생긴 표가 하나 있죠? 이게 바로 줄기와 잎 그림이에요.

키가 150cm대, 160cm대, 170cm대 이렇게 할 때 앞의 두 자리 백의 자리, 십의 자리 숫자 15, 16, 17이 위 그림에서 왼쪽에 있는 줄기에 해당해요. 잎에 해당하는 숫자들은 일의 자리 숫자들이죠. 줄기 칸의 15와 같은 줄 잎 칸의 2가 나타내는 건 152cm이고, 줄기 칸의 15와 잎 칸의 5가 나타내는 건 155cm예요. 줄기 칸의 15와 잎 칸의 9가 나타내는 건 159cm죠.

줄기와 잎 그림에서 조합해낼 수 있는 키가 위에 적혀있는 키와 같은지 비교해보죠.

줄기 칸의 17에 보면 바로 옆 잎 칸에 2 2 7이라고 적혀있어요. 이 숫자들이 나타내는 키는 172cm, 172cm, 177cm라는 걸 알 수 있죠? 172cm는 두 번으로 겹치는데, 겹치는 것과 상관없이 모두 써줬어요. 줄기의 16에도 잎 칸에는 4가 두 번 적혀있어요.

줄기와 잎 그림을 보고 알 수 있는 건 뭘까요? 일단 줄기 15칸에는 잎에 숫자 3개가 적혀있어요. 150cm대 키가 3명이라는 걸 알 수 있죠. 160cm대는 4명, 170cm대도 3명이라는 걸 알 수 있어요. 전체는 10명이네요.

10명 학생 각자의 키를 구할 수 있어요. 163cm, 164cm, 164cm, … 이런 식으로요.

164cm보다 큰 학생의 수를 구할 수 있나요? 164cm니까 줄기에서 16을 찾고, 잎에서 4보다 큰 숫자를 찾으면 되겠죠? 8 한 개가 있으니까 1명이에요. 그리고 줄기에서 16보다 큰 17에 3명이 있으니까 164cm 보다 큰 학생의 수는 총 4명이에요.

줄기와 잎 그림을 보고 각각의 자료뿐 아니라 자료의 분포 상태도 금방 알아볼 수 있겠죠?

줄기와 잎 그림 그리는 방법

이번에는 줄기와 잎 그림을 직접 그려보죠.

1. 세로로 선을 긋고 왼쪽에 줄기의 숫자를 씁니다.
   이때, 잎 자리에는 일의 자리 숫자를 적으니까 줄기에는 일의 자리를 제외한 숫자를 크기 순서대로 씁니다.
2. 선의 오른쪽에 잎의 숫자를 쓰는데, 줄기의 십의 자리 숫자에 맞게 각 자료의 일의 자리 숫자만 가로로 쓰세요.
   일의 자리 숫자를 크기 순서대로 씁니다.
3. 제목을 적고 오른쪽에 (줄기 | 잎)의 설명을 쓰세요.

수학 점수에요. 92, 84, 88, 76, 96, 72, 92, 84, 68, 96

수학 점수가 68점부터 96점까지 있네요. 60점대부터 90점대까지 있다는 뜻이죠.

① 세로로 선을 긋고, 왼쪽 줄기에는 60점대의 숫자 6, 70점대의 숫자 7, 80점대의 숫자 8, 90점대의 숫자 9를 적어요.

② 잎에는 점수대별로 일의 자리 숫자를 쓰는데, 크기 순서대로 씁니다. 첫 번째 점수는 92점이니까 줄기 9칸의 잎에 2를 적으세요. 그다음 84점은 줄기 8칸의 잎에 4를 적고요. 88점은 줄기 8칸의 4옆에 8을 적어요. 남은 7개의 점수도 같은 방법으로 적으세요.

③ 마지막으로 수학 점수라는 제목을 적고, 오른쪽에 괄호를 열고 (6 | 8은 68점)이라고 써줍니다. 처음으로 조합할 수 있는 숫자를 보기로 들면 돼요.

A, B 두 반의 수학 점수를 줄기와 잎 그림으로 나타낸 것이다. 왼쪽은 A, 오른쪽은 B반일 때, 그림을 보고 물음에 답하여라.
(1) 가장 점수가 높은 학생의 점수는 몇 점이고, 어느 반에 속해있는가?
(2) A, B 반에서 80점 미만의 점수를 받은 학생은 몇 명씩 있는가?

줄기와 잎 그림인데, 이번에는 두 개를 하나로 합친 거예요. 가운데에 줄기가 있고, 양옆에 잎이 있죠? 왼쪽 잎은 A반의 점수, 오른쪽 잎은 B반의 점수네요.

(1) 가장 높은 점수를 받은 학생이 A반에서는 92점, B반에서는 96점이니까 양쪽 모두를 통틀어서 가장 높은 점수는 96점이고, B반 소속이에요.

(2)번 80점 미만의 학생은 줄기가 6, 7인 학생의 수를 구하면 되겠죠? A 반에는 줄기 7에 해당하는 학생이 3명, 6에 해당하는 학생은 0명이므로 총 3명이고요. B반에는 줄기 7에 해당하는 학생이 2명, 6에 해당하는 학생이 1명이니까 총 3명이네요.

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함수의 활용은 일차방정식의 활용과 비슷해요. 문제가 비슷한 게 아니라 문제를 푸는 순서가 비슷하다는 거죠.

차이가 있다면 일차방정식의 활용은 미지수가 x 하나인 것에 반해, 함수의 활용은 변수가 x, y 두 개라는 것이지요. 대신 함수는 관계식의 기본형태 두 가지가 주어져 있어서 그대로 이용하면 되기 때문에 오히려 쉬운 부분이 있어요.

그리고 함수의 활용에서는 일차방정식의 활용 2에서 사용했던 공식을 사용하기도 하니까 이 공식을 잘 외워두세요. 또 정비례와 반비례를 이용하여 함수의 관계식을 구하는 과정이 필수이므로 이 내용 또한 이해하고 있어야 합니다.

함수의 활용

함수의 활용 문제를 푸는 단계는 아래와 같아요.

1. 주어진 문제에서 변화하는 두 양을 x, y로 놓아요.
   함수에서 사용하는 문자 x, y는 변수에요. 문제에서 변하는 양을 찾아서 x, y로 놓아요.
2. x, y의 관계가 정비례, 반비례인지 확인하고 함수식을 구해요.
   정비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때 y도 2배, 3배, …가 되는 관계이고 y = ax (a ≠ 0) 의 꼴이에요.
   반비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때, y는 배, 배, …가 되는 관계로 (a ≠ 0) 의 꼴이에요.
3. 특정한 값을 대입하거나 그래프를 그려서 구하는 값을 찾으세요.
   ②에서 만든 함수식을 이용하여 구하는 값을 찾으세요.
4. 문제에서 원하는 답을 고르세요.
   함수식을 통해 구한 값 중에서 문제의 뜻에 맞는 답을 고릅니다. 예를 들어 거리나 사람 수 등은 양수를 선택하세요.

문제에 따라서 사용하는 함수의 기본꼴이 달라지기 때문에 어떤 함수식을 사용해야하는지 결정하는 단계인 ②번이 매우 중요해요.

함수의 활용 - 정비례

정비례는 x가 2배, 3배, …가 되면 y도 2배, 3배, …가 되는 걸 말해요. 이때 기본식은 y = ax (a ≠ 0) 의 꼴이에요. 정비례는 문제에서 바로 알 수 있는 경우도 있지만, 혹시 그렇지 않다면 비례식을 세울 수 있는지 보세요. 이때도 정비례 관계에요. 비례식을 세울 수 있을 때는 정비례의 기본꼴을 이용하지 않고 비례식을 풀면 곧바로 함수식을 구할 수 있어요.

한 상자에 10,000원인 사과가 있다. 사과 상자의 개수를 x, 사과의 가격을 y라고 할 때 x, y의 관계식을 구하고 사과 7상자를 사려면 얼마의 돈이 필요한지 구하여라.

1상자에 10,000원이면 2상자는 20,000원, 3상자는 30,000원이겠죠? x와 y가 정비례 관계에요.
y = ax의 꼴인데, 1상자가 10,000원이므로 x = 1, y = 10000을 대입하면
y = 10000x라는 관계식을 구할 수 있어요.

7 상자를 살 때의 가격을 물어봤으니 x = 7을 대입하면 y = 10000 × 7 = 70000(원)이네요.

1L의 기름으로 20km를 가는 자동차가 있다. 이 자동차에 xL의 기름을 채웠을 때 달릴 수 있는 거리를 ykm라고 한다면, 8L의 기름으로 자동차가 갈 수 있는 거리를 구하여라.

1L의 기름 : 20km의 거리 = xL : ykm라는 비례식을 세울 수 있네요. 이건 비례식을 바로 풀어버리죠. (내항의 곱) = (외항의 곱)인 건 알고 있죠?
y = 20x
여기에 문제에서 구하라고 한 기름이 8L일 때의 거리니까 y = 20 × 8 = 160(km)이에요.

함수의 활용 - 반비례

반비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때, y는 배, 배, …가 되는 걸 말하는데, 이때 기본식은  (a ≠ 0) 의 꼴이에요. 반비례인지 확신이 서지 않을 때는 x, y의 곱이 일정한 값을 가지는지 보세요. xy가 일정한 값을 가지면 양변을 x로 나눠주세요. 반비례 함수의 기본꼴과 같아져요.

48개의 사탕이 있다. x명의 학생에게 사탕을 나누어주면 한 사람이 y개의 사탕을 받을 때, 여덟 명의 학생에게 사탕을 나누어 준다면 한 학생당 몇 개의 사탕을 받을 수 있는지 구하여라.

학생이 1명이라면 48개의 사탕을 다 받을 수 있죠? 그런데 학생이 2명이라면 한 명이 24개의 사탕을 가져요. 학생이 3명이라면 한 학생당 16개의 사탕을 받을 수 있어요. 즉 학생 수가 2배, 3배가 되면 한 학생이 받는 사탕의 수는 배, 배 되는 반비례 관계에 있어요.

사탕의 개수는 48개, 학생 수가 8명이라고 했으니 에 a = 48, x = 8을 대입해보죠.

한 사람당 6개씩 받을 수 있어요.

선영이는 총 300쪽인 책을 매일 같은 양씩 읽으려고 한다. 하루 x쪽씩 y일 동안 읽는다고 할 때 다음을 구하여라.
(1) x, y의 관계식을 구하여라.
(2) 하루 15쪽씩 읽는다고 할 때, 책을 다 읽으려면 며칠이 걸리는가?

(1) 하루에 책을 x쪽씩 y일 동안 읽는 책은 양은 xy에요. 그런데 이게 300쪽이죠. 따라서 xy = 300에서 양변을 x로 나눠주면 이 돼요.

(2) 하루 15쪽씩 읽는다고 했으니까 x = 15를 대입하면

20일 걸리네요.

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