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이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법 두 번째에요. 이번에는 이차함수뿐 아니라 다른 식의 최대, 최소를 구하는 방법도 알아볼 거예요. 이차함수의 최대, 최소를 구하는 방법과 조금 다르긴 하지만 한 번에 정리한다고 생각하세요. 새로운 건 아니고 전부터 많이 사용했던 성질들을 이용하므로 너무 어려워하지 마세요.

그리고 이차함수의 최대, 최소를 활용하는 문제도 풀어볼 거예요. 이차함수의 활용은 중학교 때 해본 것과 완전히 똑같아요. 대신에 최대, 최소를 구하는 방법이 조금 어려워질 뿐이죠. 최대, 최소 구하는 방법만 제대로 알고 있으면 돼요.

이차함수의 최대, 최소

조건식이 있을 때 이차함수의 최대, 최소

x, y에 관한 조건식과 최대, 최소를 구하는 식 두 개를 알려주는 경우예요. 이때는 조건식을 한 문자에 관해 정리해서 다른 식에 대입해요.

실수 x, y에 대하여 x² + y² = 4일 때, 2x + y²의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

조건식이 x² + y² = 4이네요. 한 문자에 관해서 정리해보죠.
y² = 4 - x²

2x + y² = 2x + 4 - x² = -x² + 2x + 4 = -(x - 1)² + 5

위로 볼록한 이차함수이므로 최댓값 5만 가질까요? 아니에요. 왜냐하면, 조건식에서 x의 범위를 구할 수 있거든요.

(실수)² ≥ 0이므로 y² = 4 - x² ≥ 0이에요.
4 - x² ≥ 0
x² - 4 ≤ 0
(x + 2)(x - 2) ≤ 0
-2 ≤ x ≤ 2

정의역이 -2 ≤ x ≤ 2이고, 이차함수의 꼭짓점 (1, 5)가 정의역에 포함되므로 양쪽 경곗값과 꼭짓점에서의 y값을 비교해서 최대, 최소를 구해야 해요. 최댓값은 x = 1일 때 5, 최솟값은 x = -2일 때 -4네요.

완전제곱식이 포함된 이차식의 최대, 최소

x, y가 실수라는 조건이 있는 이차식의 최대, 최소는 실수의 성질을 이용해요. 이차식을 완전제곱식으로 바꾸는 거죠. (실수)² ≥ 0이니까 (실수 x, y를 포함하는 완전제곱식)² ≥ 0이에요.

x, y가 실수일 때, x² + 2x + y² + 6y + 5의 최솟값을 구하여라.

x, y가 실수니까 식을 완전제곱식으로 바꿔보죠.
x² + 2x + y² + 6y + 5
= (x + 1)² + (y + 3)² - 1 - 9 + 5
= (x + 1)² + (y + 3)² - 5

(x + 1)² ≥ 0이고 (y + 3)² ≥ 0이므로 (x + 1)² + (y + 3)² - 5 ≥ -5이에요. 따라서 답은 -5이네요.

산술, 기하, 조화평균

이외에도 절대부등식 - 산술, 기하, 조화평균에서도 양수인 두 수의 합과 곱 사이의 관계를 통해서 합의 최솟값이나 곱의 최댓값을 구했었죠?

a > 0, b > 0일 때

(등호는 a = b일 때 성립)

이것까지 기억해두세요.

이차함수의 최대, 최소의 활용

이차함수의 활용은 중학교 3학년 때 했던 이차함수의 활용과 달라지지 않아요. 다만, 최대, 최소를 구하는 방법에 앞서 공부한 이차함수의 최댓값과 최솟값이 추가될 뿐이에요.

이차함수의 활용 푸는 순서

1. x, y 정하기
   문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다.
2. x, y의 범위 구하기
   문제의 조건에 맞는 x, y의 범위를 구한다.
3. 함수식 만들기
   x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다.
4. 답 구하기
   함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다.
5. 확인하기
   구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

길이가 40cm인 끈으로 직사각형을 만들려고 한다. 직사각형의 넓이가 최대가 될 때의 가로, 세로 길이를 구하여라.

2(가로 길이 + 세로 길이) = 둘레의 길이이므로 직사각형의 가로 길이를 x라고 한다면 세로 길이는 20 - x에요. 넓이를 y라고 해보죠.

가로 길이 x는 길이니까 0보다 커요.

세로 길이도 마찬가지로 0보다 커야 하고요. 20 - x > 0 → x < 20

따라서 x의 범위는 0 < x < 20가 되겠네요.

y = x(20 - x)
y = 20x - x²
y = -x² + 20x
y = -(x² - 20x)
y = -(x - 10)² + 100

이차함수에서 (10, 100)이 x의 범위 0 < x < 20 사이에 있으니까 꼭짓점에서 최댓값을 가져요. 답은 가로 10cm, 세로 10cm네요.

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우리가 그리는 좌표평면은 x, y의 값의 한계가 없어요. 끝도 없이 이어지는 영역이라서 최대, 최소를 찾는 게 불가능할 때가 많아요. 이차함수의 최대 최소에서는 최댓값과 최솟값 중 하나만 가지는 경우가 많았어요.

부등식의 영역과 최대, 최소는 일정한 한계가 있는 부등식의 영역 안에서 특정한 값과 식들의 최대, 최소를 구하는 거예요. 한계가 있는 영역이기 때문에 최댓값과 최솟값을 둘 다 구할 수 있어요.

부등식의 영역에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

부등식의 영역과 최대, 최소

부등식의 영역에서 특정한 값들의 최대, 최소를 구하는 거예요.

x² + y² ≤ 4의 영역에서 (x, y)가 움직일 때, x + y의 최댓값과 최솟값을 구해보죠.

x + y = k라고 하면
x + y = k → y = -x + k
y = -x + k에서 k는 이 직선의 방정식의 y절편이므로 y절편의 최댓값과 최솟값을 구하면 돼요.

x² + y² ≤ 4의 부등식의 영역과 x + y = k의 그래프를 좌표평면 위에 그려보죠.

y = -x + k는 기울기는 -1로 일정하고 y절편만 바뀌는 직선이니까 m과 n 사이의 직선이에요. m일 때, y절편 즉 k가 최대가 되고, n일 때 k가 최소가 되죠.

k값의 의미는 이해했죠? 그럼 k를 어떻게 구할 거냐? 경계선 x² + y² = 4와 직선 y = -x + k가 만나는 점이 있죠? 접점이 있으니까 y = -x + k는 x² + y² = 4의 접선의 방정식이에요.

기울기를 알 때 원의 접선의 방정식에서 기울기가 m이고 원에 접하는 방정식은 y = mx ±r이었어요.

이 경우에는 기울기가 -1이고 반지름은 2네요.

y절편이 k이고, k는 x + y이니까 x + y의 최댓값은 , x + y의 최솟값은 -가 되겠네요.

부등식의 영역에서 최대, 최소를 구하는 방법

1. 주어진 부등식의 영역을 좌표평면에 그린다.
2. 최대, 최소를 구하는 식 f(x, y) = k로 놓고 이 그래프를 부등식의 영역 안에서 움직여본다.
3. k가 최대, 최소일 때의 값을 구한다.

k를 구하는 방법은 여러 가지가 있어요. 하지만 대게 최대, 최소인 값은 접점이나 교점 등에서 생기므로 교점의 좌표를 이용하거나 접점의 성질을 이용하면 k를 구할 수 있어요. 위 경우에서는 접점일 때 최대, 최소가 되었죠?

x ≥ , y ≥ 0인 실수 x, y가 x + y ≤ 1을 만족할 때, x - y의 최댓값 최솟값을 구하여라.

x ≥ , y ≥ 0, x + y ≤ 1의 세 부등식으로 된 부등식의 영역을 좌표평면 위에 그려보죠. 그리고 x - y = k라고 놓으면, y = x - k가 되니까 이 그래프도 그려보고요.

x - y = k의 그래프는 m과 n 사이의 직선으로 교점인 (1, 0)을 지날 때와 (0, 1)을 지날 때 최대, 최소를 가져요.

(1, 0)을 지날 때: x - y = 1 - 0 = 1
(0, 1)을 지날 때: x - y = 0 - 1 = -1

따라서 x - y의 최댓값은 1, 최솟값은 -1입니다.

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이차함수에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법입니다.

함수의 최댓값과 최솟값은 바로 y값을 말하는 거지요. 따라서 y의 범위를 구하면 돼요. y의 범위를 구해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이죠.

일반적으로 x의 범위가 주어지지 않으면 x는 실수 전체라고 생각해요. 범위가 주어졌을 때는 그 범위에 맞게 해야겠지요. 또 범위가 주어지지 않더라도 사람 수나 길이 등은 양수나 자연수라는 것도 잊으면 안돼요.

최대, 최소를 구할 때는 y의 범위를 바로 알 수 있는 이차함수의 표준형을 이용해요. 일반형으로 나와 있으면 표준형으로 고쳐요.y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형

이차함수 최솟값

이차함수의 그래프를 생각해보죠. y = a(x - p)² + q에서 a > 0이라고 해보죠. 그래프는 어떻게 되나요? a > 0이면 그래프는 아래로 볼록인 모양이에요. 아래로 볼록이니까 그래프에서 가장 아래에 있는 곳의 y값은 꼭짓점의 y좌표예요. 꼭짓점의 y좌표는 q잖아요. 따라서 y의 범위가 y ≥ q죠. y는 q보다 크니까 최솟값은 q예요.

그럼 최댓값은 얼마일까요? 그래프를 다시 한 번 보죠. 대칭축을 기준으로 또는 꼭짓점을 기준으로 좌우 양쪽으로 가면 갈수록 y는 커져요. x축의 오른쪽으로 얼마나 갈 수 있을까요? 끝도 없이 가겠죠? 그렇다면 그에 해당하는 y값도 끝도 없이 커질 거예요. x축 왼쪽으로도 마찬가지죠. 무슨 말이냐면 y가 끝을 알 수 없는 값을 가진다는 거예요. 그래서 그 끝을 알 수 없으므로 최댓값이라는 게 존재하지 않는 거죠.

• a > 0인 이차함수의 최솟값은 x = p일 때, y = q
• 최댓값은 구할 수 없다.

이차함수의 최댓값

이번에는 y = a(x - p)² + q에서 a < 0이라고 해볼게요. 그래프는 위로 볼록한 모양이에요. 위로 볼록한 그래프에서 가장 높은 곳에 있는 점은 꼭짓점이죠? y값의 범위가 y ≤ q예요. 최댓값이 q라는 얘기죠.

최솟값은 x축 양쪽으로 가면 갈수록 작아져서 가장 작은 값을 알 수 없어요. 최솟값은 구할 수 없어요.

• a < 0인 이차함수의 최솟값은 x = p일 때, y = q
• 최솟값은 구할 수 없다.

이차함수 y = a(x - p)² + q에서 x의 범위가 주어지지 않으면 이차함수는 최댓값 또는 최솟값 중 하나만
a > 0이면 최솟값만
a < 0이면 최댓값만
최댓값/최솟값은 꼭짓점의 y 좌표. x = p일 때 y = q

x의 범위가 주어졌을 때 최대, 최소

보통 흔한 경우는 아닌데, x의 범위가 주어질 때가 있어요. 문제에서 x의 범위를 따로 주는 건 아니고 사람 수라든가 길이, 개수 이런 식으로 특정한 범위를 가질 수밖에 없는 값들이 주어지요. 예를 들어서 20명의 사람이 있는데, 어쩌고 저쩌고에서는 “0 ≤ x ≤ 20인 자연수”라는 범위를 갖는 거죠

이럴 때도 기본적으로 a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값을 갖는 건 같아요. 이건 바뀌지 않아요. 추가로 x 범위의 경계에서 최대, 최소를 가질 수 있다는 건데요.

a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, 양쪽 경계 중 한 곳에서 최댓값을 가져요.
a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값, 양쪽 경계 중 한 곳에서 최솟값을 가져요.

물론 식에 양쪽 경계의 값을 넣어서 나온 결과를 비교할 수도 있는데요. 간단하게 구하려면 축의 방정식 즉, 꼭짓점의 x좌표에서 더 먼 쪽에서 최대/최소를 가져요.