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지금까지 사각형을 배워왔어요. 사각형별로 정의와 성질, 조건을 알아봤죠. 또 이러한 내용을 표로 정리도 해봤고요. 사각형의 정의와 성질, 조건

이 글에서는 이 사각형들의 다른 점을 비교하는 게 아니라 서로의 관련성을 알아볼 거예요. 서로 어떤 관계가 있는지 어떻게 하면 다른 사각형이 되는지요.

그리고 각 사각형의 특징을 가장 잘 알 수 있는 대각선에 대해서도 알아볼 거예요.

이미 배웠던 사각형의 정의와 성질, 조건을 잘 이해하고 있어야 해요.

여러 가지 사각형의 포함관계

그냥 사각형이 있어요.
이 사각형의 한 쌍의 대변이 평행하면 사다리꼴이에요.
사다리꼴에서 나머지 한 쌍의 대변도 평행하다면 모두 두 쌍의 대변이 평행하니까 평행사변형이 돼요.
평행사변형에서 내각의 크기가 모두 같으면 직사각형이죠? 또 평행사변형의 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모에요.
직사각형의 네 변의 길이가 같거나 마름모의 네 각의 크기가 모두 같으면 정사각형이 되지요.

이걸 집합으로 표시해보면

⊃의 방향 잘 보세요. ⊃의 닫힌 쪽이 부분집합이에요. 또 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}이고요.

조건이 하나씩 추가될 때마다 사각형의 범위가 줄어들어요. 사각형들의 포함관계를 이해할 수 있겠죠? 아래는 벤다이어그램으로 표시한 거예요.

여러 가지 사각형의 조건

자 이제는 하나의 사각형이 어떤 조건을 갖추면 다른 형태의 사각형이 되는지 알아볼 거예요. 각 사각형의 정의와 조건에 대해서 잘 이해하고 있어야 하는 내용입니다.

위 그림에서 사각형의 포함관계도 엿볼 수 있는데요. 화살표를 받는 쪽이 화살표를 받는 쪽에 포함되는 사각형이에요.

화살표 옆에 숫자가 보이죠? 그 숫자에는 사각형이 되려면 갖추어야 할 조건을 적어볼까요?

①번은 그냥 사각형이 사다리꼴이 되는 조건이에요. 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이죠? 따라서 ①번에는 "한 쌍의 대변이 평행"이라는 조건이 들어가야 해요. 사다리꼴의 정의

②번은 사다리꼴이 등변사다리꼴이 되는 조건이에요. 등변사다리꼴은 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴이니까 ②번에는 "밑변의 양 끝각이 같다."라는 조건이 들어가면 되겠고요. 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

③번은 사다리꼴이 평행사변형이 되는 조건이에요. 평행사변형이 되는 조건에서 총 다섯 가지의 조건을 알아봤어요. 그런데 사다리꼴이라는 전제가 주어져 있으니 다 쓰지는 않고, 이걸 이용하는 조건만 적어보죠. 사다리꼴은 이미 한 쌍의 대변이 평행하니까 나머지 한 쌍의 대변이 평행하면 두 쌍의 대변이 평행해지겠죠? 그래서 ③번에는 "다른 한 쌍의 대변도 평행"이라는 조건이 들어가면 되겠네요. 또 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으면 평행사변형이 될 수 있어요. 그래서 사다리꼴에서 "평행한 대변의 길이가 같다"가 되어도 괜찮습니다.

원래 조건이 5가지인데, 이건 그냥 사각형이나 사다리꼴이나 다 상관없이 적용되는 조건이니까 일반적인 사각형과 사다리꼴과 굳이 분리해서 생각할 필요는 없어요.

④번은 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이에요. 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형이에요. 따라서 평행사변형의 한 내각이 90°가 되면 직사각형이 되죠. ④번에는 한 내각의 크기가 90°라는 조건이 맞겠네요. 이걸 다르게 표현하면 이웃한 두 내각의 크기가 같다고도 할 수 있죠. 또는 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 이 조건을 써도 되고요. 직사각형이 되는 조건

⑤번은 평행사변형이 마름모가 되는 조건이에요. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이에요. 평행사변형의 이웃한 두 변의 길이가 같으면 마름모가 되죠. 따라서 ⑤번에는 이웃한 두 변의 길이가 같다고 쓰면 되겠네요. 또 마름모는 두 대각선이 서로를 수직이등분하지요? 평행사변형의 두 대각선이 서로 직교하면 마름모가 되니까 이걸 ⑤번에 써도 상관없어요. 마름모가 되는 조건

직사각형이 정사각형이 되는 조건은 ⑤번이고, 마름모가 정사각형이 되는 조건은 ④번이에요. 번호가 같다는 건 그 조건도 같다는 거니까 위에 있는 걸 그대로 쓰면 되지요.

정리해보죠.

1. 사각형 → 사다리꼴
   • 한 쌍의 대변이 평행
2. 사다리꼴 → 등변사다리꼴
   • 밑변의 양 끝각의 크기가 같다.
3. 사다리꼴 → 평행사변형
   • 다른 한 쌍의 대변이 평행
   • 평행한 한 쌍의 대변의 길이가 같다.
   • 참고. 사각형 → 평행사변형의 조건은 총 5개
4. (평행사변형 → 직사각형) = (마름모 → 정사각형)
   • 한 내각의 크기 = 90°
   • 이웃한 두 내각의 크기가 같다.
   • 두 대각선의 길이가 같다.
5. (평행사변형 → 마름모) = (직사각형 → 정사각형)
   • 이웃한 두 변의 길이가 같다.
   • 두 대각선이 서로 직교

여러가지 사각형의 대각선

사각형의 특징을 가장 잘 나타내는 것 한 가지를 고르라고 하면 대각선이에요. 각 사각형별로 대각선이 어떤 특징을 나타내고 어떤 차이가 있는 지를 표로 나타내봤어요. 같은 성질을 지닌 게 하나도 없죠? 따라서 대각선만 잘 봐도 그 사각형이 어떤 사각형인지 알 수 있어요.

예를 들어 문제를 푸는데 사각형의 대각선이 서로 직교해요. 대각선의 길이도 같으면 그 사각형은 정사각형이고, 길이가 같지 않으면 마름모가 되는 거죠.

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이번에는 마름모입니다. 마름모는 다 알잖아요. 다이아몬드처럼 생긴 거. 보통 그렇게 그리잖아요. 직사각형과 마찬가지로 마름모의 정의와 마름모의 성질, 마름모가 되는 조건을 알아보죠. 또 각 내용을 증명해보고요.

평행사변형, 직사각형, 마름모가 나오면서 각 사각형의 정의와 성질, 조건이 헷갈릴 수 있어요. 주의해서 보세요. 앞으로도 더 많은 사각형이 나오니까 벌써 헷갈리기 시작하면 안 돼요.

마름모의 정의

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형으로 정의해요.

네 변의 길이가 모두 같으니까 마주 보는 대변의 길이도 같겠죠? 평행사변형이 되는 조건에서 두 쌍의 대변의 길이가 같으면 평행사변형이라고 했어요. 그러니까 마름모도 평행사변형이에요

직사각형도 평행사변형의 한 종류였죠? 마름모도 평행사변형의 한 종류에요. 하지만 직사각형과 마름모 사이에는 아무런 관계가 없으니까 주의하세요.

마름모의 성질

마름모는 평행사변형의 한 종류라서 평행사변형의 성질을 모두 가져요. 여기에 하나가 추가됩니다.

평행사변형의 성질은 세 가지가 있었어요.

• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
• 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

마름모는 두 대각선이 서로 수직이등분해요. 평행사변형에서는 대각선이 서로 이등분만 했는데, 마름모는 여기에 수직으로 이등분합니다.

두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분

마름모의 대각선이 서로 수직이등분하는 것을 증명해보죠. 마름모는 평행사변형의 한 종류에요. 따라서 대각선은 서로 이등분하죠. 이등분하는 건 알고 있으니까 여기서는 두 대각선이 서로 수직인지만 증명하면 돼요.

마름모에 대각선을 그었어요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠.

△OAB와 △OAD를 보세요.

마름모는 네 변의 길이가 모두 같으니까  = ……… (1)

마름모는 평행사변형이므로 대각선은 다른 대각선을 이등분해요.  = ……… (2)

는 공통이죠. ……… (3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SSS합동이에요. △OAB ≡ △OAD

대응각인 ∠AOB = ∠AOD가 되는데, 두 각의 합은 평각인 180°에요. 크기가 같은 두 각의 합이 180°니까 ∠AOB = ∠AOD = 90°가 됩니다.

따라서 입니다.      (증명 끝.)

마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형. 평행사변형의 한 종류
마름모의 성질: (평행사변형의 성질) + 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분

평행사변형이 마름모가 되는 조건

이웃하는 두 변의 길이가 같다.

평행사변형은 두 쌍의 대변의 길이가 같아요. 그런데 바로 이웃한 변의 길이가 같으면 결국 네 변의 길이가 같아지는 거예요. 네 변의 길이가 같은 사각형을 마름모라고 정의했으니까 이 경우에 평행사변형이 마름모가 되는 거죠.

두 대각선이 서로 직교한다.

마름모의 성질 중에 두 대각선을 서로 다른 것을 수직이등분한다고 했죠? 증명할 때는 두 대각선이 직교하는 것만 증명했어요. 이걸 거꾸로 하면 바로 마름모가 되는 조건이 되는 겁니다.

평행사변형의 두 대각선이 직교하면 마름모가 되는지 증명해볼까요? △OAB와 △OAD를 보세요.

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하니까  = 에요. ……… (1)

두 대각선이 직교한다고 했으니 ∠AOB = ∠AOD = 90° ……… (2)

는 공통 ……… (3)

(1), (2), (3)에 의해 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △OAB ≡ △OAD

대응변인  = 죠. 평행사변형의 두 쌍의 대변은 길이가 같으므로 인데,  = 라고 했으니까 결국 네 변의 길이가 모두 같아요.

따라서 평행사변형의 두 대각선이 직교하면 이 평행사변형은 마름모가 됩니다.     (증명 끝.)

평행사변형이 마름모가 되는 조건
1. 이웃하는 두 변의 길이가 같다.
2. 두 대각선이 서로 직교한다.

□ABCD가 평행사변형이고, 각의 크기가 그림과 같을 때 ∠ACD의 크기를 구하여라.

조금 어려운 문제일 수 있어요.

□ABCD가 평행사변형이므로 ∠CAD = ∠ACB = 50°가 돼요. (엇각)
그러면 △OBC에서 두 내각의 크기가 40°, 50°이므로 ∠BOC = 90°가 되지요.

두 대각선의 교각이 90°니까 두 대각선은 서로 수직이등분합니다. 즉 이 평행사변형은 그냥 평행사변형이 아니라 마름모인 거죠.

마름모는 네 변의 길이가 같으므로 △BCD는 이등변삼각형이 돼요. 이등변삼각형의 성질에서 두 밑각은 크기가 같다고 했잖아요. 따라서 ∠DBC = ∠BDC = 40°가 됩니다. ∠BCD = 180° - 80° = 100°인데, ∠ACB = 50°이므로 ∠ACD = 50°가 됩니다.

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피타고라스의 정리를 배웠으니까 이 정리를 여러 도형에서 활용해봐야겠죠?

피타고라스의 정리라고 해서 꼭 직각삼각형에서만 사용하는 건 아니에요. 사각형에서도 활용할 수 있어요. 직각삼각형이 보이지 않는다면 선분을 잘 그어서 피타고라스의 정리를 활용할 수 있도록 그림을 변형시킬 수 있거든요.

이 글에서는 사각형과 관련된 공식이 나오는데, 공식으로 외우기보다는 그림을 외우는 것이 훨씬 이해하기 쉽고, 외우기도 쉬워서 머릿속에 오래 남아요. 그림으로 이해하고 외우세요.

피타고라스 정리의 활용

사각형에서 두 대각선이 직교할 때

다음 그림처럼 사각형에서 두 대각선이 직교할 때 네 변 길이의 상관관계를 알아보죠.

대각선이 수직으로 만나는 점을 점 O라고 하죠. 그러면 △OAB, △OBC, △OCD, △ODA라는 네 개의 직각삼각형이 생겨요. 점 O에서 각 꼭짓점에 이르는 거리를 각각 a, b, c, d,라고 해보죠. 그리고 네 개의 직각삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해보면,

= a² + c² …… ①
= b² + c² …… ②
= b² + d² …… ③
= d² + a² …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a² + b² + c² + d²의 관계가 성립해요.

사각형의 두 대각선이 직교할 때
⇒ 마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒  +  =  +

다음 사각형의 두 대각선이 직교할 때, x를 구하여라.

마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같으므로 8² + x² = 12² + 6²
64 + x² = 144 + 36
x² = 116
x = (cm, x > 0)

직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리

이번에는 직사각형에서 알아볼까요? 직사각형 안에 임의의 점 P를 잡아요. 그런 다음 점 P를 지나고 변 AB에 평행인 선을 긋습니다. 이 선이 변 AD와 만나는 점을 E, 변 BC와 만나는 점을 F라고 하죠. 이번에는 점 P를 지나고 변 BC에 평행인 선을 그어서 이 선이 변 AB와 만나는 점을 점 G, 이 선이 변 CD와 만나는 점을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형이 생겼네요.

라고 할께요.

점 P에서 네 꼭짓점 A, B, C, D에 이르는 거리에 피타고라스의 정리를 적용해보면

= a² + c² …… ①
= b² + c² …… ②
= b² + d² …… ③
= d² + a² …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a² + b² + c² + d²의 관계가 성립해요.

직사각형 안의 임의의 한 점 P
⇒ P에서 마주 보는 꼭짓점사이의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒  +  =  +

다음은 직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리를 나타낸 것이다. x를 구하여라.

직사각형 안의 한 점에서 마주보는 꼭짓점 사이의 거리의 제곱의 합이 서로 같으므로 8² + x² = 6² + 7²
64 + x² = 49 + 36
x² = 21
x = (cm, x > 0)

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직선의 정의와 직선이 만날 때 생기는 점(교점), 직선이 만나서 생기는 각(교각)에 대해서 공부하고 있어요.

이제는 두 직선이 만날 때 두 직선의 관계에 대해서 알아보죠. 두 직선이 만나므로 평행한 두 직선은 아니고 그렇다고 일치하는 두 직선도 아니에요.

두 직선이 만나는 교점에서 교각이 90°인 직각일 때 어떤 의미를 가지는지 공부해봐요.

수직과 직교, 수선

직선 AB와 직선 CD가 만나는 점은 교점이라고 하고, 만나서 생기는 각은 교각이라고 해요. 그런데 이 교각이 90°일 때가 있는데, 이때를 두 직선이 직교한다고 해요. 직각으로 만난다는 말이지요.

당연한 얘기지만 한 교각이 90°면 두 직선이 만나서 생기는 모든 교각이 90°에요.

직선 AB와 직선 CD가 직교할 때, 두 직선은 서로 수직이라고 말해요. 아주 따지고 들어가면 의미의 차이가 있지만 그냥 직교와 수직은 같은 뜻이라고 생각해도 좋아요.

수학에서는 의미를 쉽게 알 수 있게 기호로 표시하죠. 수직, 직교는 기호로 ⊥로 표시해요. 모음인 ㅗ처럼 생겼죠? 세로인 직선과 가로인 직선이 직각으로 만났을 때를 기호로 표시한 거라는 걸 알 수 있겠지요?

직선 AB와 직선 CD가 수직이면 로 씁니다.

직선 AB와 직선 CD가 직교할 때, 한 직선을 다른 직선의 수선이라고 해요. 수직인 선이라는 뜻이죠. 직선 AB는 직선 CD의 수선이고, 직선 CD는 직선 AB의 수선이 되는 거죠.

직교, 수직, 수선은 두 직선의 교각이 90°일 때라는 걸 기억하세요.

수선의 발

한 직선 l과 직선 위에 있지 않은 한 점 P가 있다고 해보죠. 이때 점 P 을 지나는 새로운 직선을 그리는데, 직선 l에 수직인 직선, 즉 수선을 그었을 때 교점이 생기겠죠? 이 점을 H라고 할게요. 교점 H에는 교각이 몇 °일까요? 당연히 90°겠죠? 수선을 그었으니까요.

이때 이 점 H를 수선의 발이라고 해요. 새로 그은 직선이 직선 l의 수선이잖아요.

그냥 간단하게 두 직선이 수직으로 만나는 교점을 수선의 발이라고 생각하면 돼요. 수선의 발은 교점 중에서도 수직(직교)일 때 교점이라는 걸 알아두세요.

점과 직선 사이의 거리

두 점 사이의 거리, 중점에서 점 A와 점 B 사이의 거리는 두 점을 연결하는 가장 짧은 선, 즉 선분 AB의 길이라는 걸 공부했어요.

그럼 점 P와 직선 l 사이의 거리는 어떻게 구할까요. 마찬가지로 점 P와 직선 l을 연결하는 가장 짧은 선의 길이를 구하면 돼요. 그런데 가장 짧은 선이 뭐냐면 바로 직선 l에 수직인 선이에요. 직선 l이 수직인 선과 만나는 교점을 수선의 발, H라고 했어요. 그러니까 점 P와 직선 l 사이의 거리는 점 P와 점 H 사이의 거리가 되고, 이건 선분 PH의 길이와 같아요.

점과 직선 사이의 거리 = 점과 수선의 발 사이의 거리 = 선분 PH의 길이

점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 점에서 직선에 수선을 그어 수선의 발을 찾고, 점과 수선의 발 사이의 길이를 구하면 되는 거죠.

다음 그림을 보고 물음에 답하여라.
선분 AB의 길이 = 5cm, 선분 BC의 길이 = 10cm, 선분 AD의 길이 = 4cm이다.
(1) 선분 AD의 수선을 모두 구하여라.
(2) 점 A와 선분 BC의 거리를 구하여라.

(1) 선분 AD의 수선을 구하라고 했네요. 수선은 수직인 직선이에요. 선분 AD에 수직인 직선은 빨간 직각 표시가 있는 선분 BD와 선분 CD, 그리고 이 둘을 포함한 선분 BC가 되겠네요.

(2) 점 A와 선분 BC의 거리를 구하라고 했는데요. 점과 선분의 거리는 점에서 선분으로 수선을 긋고, 수선과 직선이 만나는 교점(수선의 발)과 점 사이의 거리를 구하는 거죠? 점 A에서 선분 BC에 그은 수선은 선분 AD가 되고요. 이 수선의 발은 점 D에요. 점 A에서 선분 BC까지의 거리는 선분 AD의 길이가 되고 이건 문제에서 4cm라고 줬네요. 따라서 점 A와 선분 BC 사이의 거리는 4cm네요.

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맞꼭지각, 동위각, 엇각
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