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직선의 방정식을 구해봤어요. 이제 직선의 방정식을 그래프로 그려볼 거예요. 웬만한 건 일차함수 그래프 그리기에서 해봤으니까 여기서는 새로운 것을 해보죠.

절댓값 기호가 들어있는 직선의 방정식 그래프를 그리는 거예요. 절댓값 기호의 위치가 여러 가지가 있고, 이 위치에 따라 그리는 방법이 달라져요. 매우 어렵고 상당히 헷갈리는 내용이죠.

헷갈리지 않게 잘 읽어보고 그래도 어려운 것 같으면 가장 기본적인 원리만이라도 익히도록 하세요.

절댓값 기호가 포함된 식의 그래프

가장 기본적인 y = x의 그래프를 그려보죠.

원점을 지나고 1, 3사분면을 지나는 그래프네요.

y = |x|의 그래프를 그려볼까요? 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서 절댓값 기호 안을 0이 되게 하는 숫자를 기준으로 구간을 나눠서 계산했죠? 여기서도 그렇게 해보죠.

y = |x|

x ≥ 0일 때, y = x
x < 0일 때 y = -x

그래프로 그려보면

이렇게 나옵니다. 모양이 어떤가요? y = x그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로이고, x < 0인 부분 즉 y < 0인 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양이에요.

이걸 다른 말로 표현해 보죠. 우변이 |x|로 양수이기 때문에 좌변 y도 항상 양수여야 해요. 따라서 y < 0인 부분을 꺾어버렸다고 생각하면 돼요.

이번에는 y = |x - 1|의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0이 되는 구간을 나누어 합니다.

y = |x - 1|

x - 1 ≥ 0 → x  ≥ 1일 때, y = x - 1
x - 1< 0 → x < 1일 때, y = -x + 1

y = x - 1 그래프에서 x ≥ 1인 곳은 그대로이고, 이 부분을 y축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이에요.

좌변 y는 항상 양수여야 하죠? 그래서 y < 0인 부분의 그래프를 꺾어버렸다고 생각하세요.

이번에는 y = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.

y = |x| - 1

x ≥ 0일 때, y = x - 1
x < 0일 때 y = -x - 1

y = x - 1의 그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로, 이 부분을 y축에 대칭이동 시킨 모양이에요. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고 이걸 y축에 대칭 시킨 모양이죠.

-1을 좌변으로 이항하면 y + 1 = |x|가 돼요. 우변이 항상 양수이므로 좌변의 y + 1이 0보다 작은 부분(y < -1)을 꺾어버렸어요.

|y| = x의 그래프를 그려보죠. 이번에는 y에 절댓값 기호가 있네요.

y ≥ 0일 때, y = x
y < 0일 때, y = -x

y = x의 그래프에서 y ≥ 0인 곳은 그대로 두고 이 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양입니다. 좌변이 |y|이기 때문에 x는 항상 양수에요. 그러니까 x < 0인 부분을 꺾어버린 거죠.

|y| = x - 1의 그래프를 그려보죠.

|y| = x - 1

y ≥ 0일 때, y = x - 1
y < 0일 때, y = -x + 1

y = x - 1의 그래프에서 y ≥ 0인 부분은 그대로이고, 이 부분을 x축에 대칭이동 한 모양입니다. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(y ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고, 이걸 x축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이지요.

좌변이 |y|로 항상 양수입니다. 따라서 x - 1이 0보다 작은 부분을 꺾어버렸어요.

이번에는 x, y에 절댓값이 있는 |y| = |x|의 그래프를 그려보죠.

x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x
x < 0, y < 0일 때, y = x

|y| = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.

x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x - 1
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x + 1
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x - 1
x < 0, y < 0일 때, y = x + 1

(절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0, y ≥ 0)인 y = x - 1의 그래프를 그리고 이걸 x축, y축, 원점에 대칭이동 시킨 모양이죠.

절댓값 기호를 포함한 식의 그래프 그리기

그래프를 두 가지 방법으로 표현합니다.

• 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞는 그래프를 찾고, 그 그래프를 x축 또는 y축에 대칭이동 시켰다.
• 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞지 않는 그래프를 찾고 그 그래프를 꺾어버렸다.

대부분은 대칭이동 했다는 표현을 많이 쓰는데, 일부 선생님이나 교재에서 꺾었다는 표현을 하기도 하니까 둘 다 알아두세요.

표현법에 따라 그래프를 그리는 방법이에요.

대칭이동을 이용한 그래프 그리기

1. 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
2. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간의 그래프를 찾는다.
3. ②에서 찾은 그래프를 절댓값 기호가 없는 문자로 된 축 방향으로 대칭이동(x에 절댓값이 있으면 y축, y에 절댓값이 있으면 x축 방향으로 대칭이동)

꺾기를 이용한 그래프 그리기

1. 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
2. (절댓값 기호 안) < 0이 되는 구간을 찾는다.
3. ②에서 찾은 그래프가 양수가 되도록 절댓값 기호가 있는 문자 축 방향으로 그래프를 꺾는다.

절댓값 기호가 어디 있느냐에 따라서 그래프를 그리는 방법이 달라지죠? 어떻게 그리는지를 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않으면 외우지 마세요. 어설프고 헷갈리게 외우는 것보다는 외우지 않는 게 더 좋아요.

절댓값 기호 안이 0이 되게 하는 구간을 나눠서 식을 구하고 그래프를 그리더라도 시간이 오래 걸리지 않으니까 차근차근 그리는 것이 더 좋을 수 있어요.

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이번에는 일차방정식 중에서 절댓값 기호를 포함한 일차방정식이에요. 절댓값 기호 안에 일차식이 들어있는 경우죠.

절댓값 기호를 풀 때는 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 풀어야 해요. 여기서는 절댓값 기호 안이 x에 관한 식이므로 식의 부호뿐 아니라 x의 범위도 구해야 합니다.

그런데 실제로 계산을 할 때는 x의 범위에 대해 고려하지 않아도 돼요. 왜 그런지 알아볼 거예요. 그리고 양변 모두에 절댓값을 포함한 일차식이 있을 때는 어떻게 해야 하는지도 알아보죠.

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이

절댓값 기호 안에 일차방정식이 들어있을 때는 절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 것과 같은 방법으로 절댓값 기호를 없애서 방정식을 풀어요.

1. 절댓값 안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
2. ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
3. 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
4. 일차방정식의 해를 구한다.
5. 일차방정식의 해가 ②에서 구한 x의 범위에 맞는지 확인
6. 해가 조건을 만족하는 경우에만 일차방정식의 해

|2x + 4| = 6일 때, 방정식의 해를 구하여라.

절댓값 기호 안의 식 2x + 4가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나눠보죠.

2x + 4 ≥ 0일 때, 즉 x ≥ -2일 때,
|2x + 4| = 6
2x + 4 = 6
2x = 2
x = 1

x = 1은 x ≥ -2를 만족하므로 |2x + 4| = 6의 해가 될 수 있어요.

2x + 4 < 0일 때, 즉 x < -2일 때
|2x + 4| = 6
-2x - 4 = 6
2x = -10
x = -5

x = - 5는 x < -2를 만족하므로 해가 될 수 있어요.

|2x + 4| = 6의 해는 x = -5, 1 입니다.

사실 이렇게 범위를 나눠서 하는 게 정석이긴 해요. 하지만 어떤 식이 나오고 x의 범위가 어떻게 바뀌든 상관없이 일차방정식을 풀어서 구한 해는 무조건 범위를 만족해요. 그래서 범위를 나눠서 할 필요가 없어요.

|ax + b| = m이라는 식은 ax + b = m 이나 -(ax + b) = m이 되겠죠? 두 번째 식의 양변에 (-1)을 곱하면 ax + b = -m이 돼요.

결론을 말하면 절댓값 기호를 포함한 일차방정식에서는 범위를 나눌 필요 없이 절댓값 기호는 그냥 풀고, 우변의 상수항에 ±을 붙여서 바로 계산하면 된다는 거예요.

|2x + 4| = 6
2x + 4 = ±6

2x + 4 = 6 → x = 1
2x + 4 = -6 → x = -5

조금 더 간단하게 해를 구할 수 있죠?

위에서는 우변에 상수항이었는데, 우변이 또 다른 절댓값 기호를 포함한 일차방정식이라면 어떻게 될까요? 상관없어요. 좌변은 절댓값 기호를 그냥 풀고, 우변에 ± 기호를 붙여서 절댓값 기호를 풀면 돼요. "x 범위를 나누지 않아도 되는 이유 보기"를 펼친 것과 크게 다르지 않아서, 증명은 생략합니다.

|ax + b| = m (m > 0) → ax + b = ±m
|ax + b| = |cx + d| → ax + b = ±(cx + d)

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) |x + 4| + 3 = 7
(2) |2x + 3| = |x - 6|

(1)번은 먼저 (절댓값 기호를 포함한 일차방정식) = (상수항) 꼴로 바꿔줘야 해요. 그다음 절댓값은 그냥 풀고 상수항에 ±를 붙여주는 거죠.

|x + 4| + 3 = 7
|x + 4| = 4
x + 4 = ±4

x + 4 = 4 → x = 0
x + 4 = -4 → x = -8

(2)번은 좌변은 그냥 절댓값을 푸고, 우변은 ±을 붙여서 절댓값을 풀어요.

|2x + 3| = |x - 6|
2x + 3 = ±(x - 6)

2x + 3 = x - 6 → x = -9
2x + 3 = -(x - 6) → x = 1

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