절대부등식
코시 슈바르츠 부등식 증명
1학기 마지막이네요. 마지막이니까 짧게 한 가지만 하고 금방 끝내죠.
이번 시간에는 절대부등식 중에서 코시 슈바르츠 부등식이라는 걸 공부할 거예요. 코시 슈바르츠 부등식은 코시와 슈바르츠라는 두 사람이 만들고 발전시킨 절대부등식이에요. 두 사람의 이름을 따서 부르지요.
산술, 기하평균처럼 계산할 때 자주 사용하는 절대부등식이니까 왜 항상 성립하는지를 증명할 수 있어야 하고, 공식도 외우고 있어야 해요.
코시 슈바르츠 부등식
이게 외우기가 살짝 헷갈리는데, 문자 그대로 외우기보다는 문자의 위치와 차수를 이용해서 그림처럼 외우는 게 조금 더 잘 외워질 거예요. 부등호의 왼쪽은 모두 제곱인 항이고, 부등호의 오른쪽은 완전제곱식이에요.
코시 슈바르츠 부등식
(ay = bx일 때 등호 성립)
이 부등식이 진짜로 항상 참인 절대부등식인지 증명해볼까요? 양변을 전개해서 정리해보죠
(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2abxy + b2y2
a2y2 - 2abxy + b2x2 ≥ 0
(ay - bx)2 ≥ 0
등식이 성립하니까 이 부등식은 참이에요. 그리고 ay - bx = 0일 때 즉 ay = bx이면 등호가 성립하고요.
다음을 구하여라.
(1) x2 + y2 = 5일 때, x + 3y의 최댓값과 최솟값
(2) m2 + 4n2 = 4일 때, 4m + 6n의 최댓값과 최솟값
코시-슈바르츠 부등식 (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2의 자리에 대입해보죠.
(1) a = 1, b = 3이네요.
(12 + 32)(x2 + y2) ≥ (x + 3y)2
(1 + 9)(x2 + y2) ≥ (x + 3y)2
10 × 5 ≥ (x + 3y)2
50 ≥ (x + 3y)2
-
x + 3y의 최댓값은
(2) 4n2 = (2n)2인데, 헷갈리니까 m = x, 2n = y로 치환하죠. 식을 다시 써보면 x2 + y2 = 4일 때 4x + 3y의 최대, 최소를 구하는 문제예요. 이때 a = 4, b = 3이네요.
(42 + 32)(x2 + y2) ≥ (4x + 3y)2
(16 + 9)(x2 + y2) ≥ (4x + 3y)2
25 × 4 ≥ (4x + 3y)2
100 ≥ (4x + 3y)2
-10 ≤ 4x + 3y ≤ 10
-10 ≤ 4m + 6n ≤ 10
4m + 6n의 최댓값은 10, 최솟값은 -10이군요.
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절대부등식은 항상 성립하는 부등식이라고 했어요. 절대부등식의 종류는 매우 많으니까 굳이 다 알고 있을 필요는 없어요.
하지만 꼭 알고 있어야 하는 절대부등식이 몇 가지 있죠. 바로 산술, 기하, 조화평균에 관한 절대부등식이에요. 이 절대부등식을 증명할 수 있어야 할 뿐 아니라 공식으로 외워야 합니다.
산술, 기하, 조화평균에 관한 절대부등식이 어떤 것인지, 어떻게 증명하는지, 이 공식을 이용해서 어떤 문제를 푸는지에 대해서 공부해보죠.
산술, 기하, 조화평균
산술 평균은 시험 점수나 키 평균처럼 우리가 익히 알고 있는 평균을 말해요. 기하평균과 조화평균은 2학년이 되면 공부할 테니까 여기서는 그냥 넘어가고 어떻게 구하는지만 알아봐요.
두 수 a, b의 산술평균 =
두 수 a, b의 기하평균 =
두 수 a, b의 조화평균 = 
결론부터 얘기하자면, 이 산술, 기하, 조화평균 사이에는 재미있는 규칙이 있는데, 이 규칙을 부등식으로 나타냈더니 a, b에 상관없이 항상 성립하는 절대부등식이 된 거예요.
a > 0, b > 0일 때
(등호는 a = b일 때 성립)
그리고 중요한 것 한 가지. 이 평균들의 절대부등식을 이용할 때는 숫자들이 모두 양수여야 한다는 거예요.
산술, 기하평균
우선, 산술평균과 기하평균 사이의 관계부터 증명해보죠.
이 산술, 기하평균을 보면 두 수의 합과 곱으로 되어 있죠? 합이 있는 왼쪽이 더 크거나 같아요. 그래서 이 공식의 특징을 이용해서 합과 곱의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 많이 나와요.
- 두 수의 합이 주어졌을 때 곱의 최댓값
- 두 수의 곱이 주어졌을 때 합의 최솟값
- 두 분수의 합의 최솟값(두 분수를 곱해서 숫자만 남을 때)
a > 0, b > 0일 때 다음을 구하여라.
(1) a + b = 4일 때 ab의 최댓값
(2) ab = 9일 때 a + b의 최솟값
(3) 
산술, 기하평균 사이의 관계식 
ab는 4보다 작거나 같으므로 두 수의 곱의 최댓값은 4
a + b는 6보다 크거나 같으므로 두 수의 합의 최솟값은 6
(3)번은 두 수의 합의 최솟값을 구하라고 했어요. (2)에서는 합의 최솟값을 구할 때 두 수의 곱을 알려줬는데, 여기서는 알려주지 않았죠? 두 수를 곱하면 문자가 없어지고 숫자만 남아서 곱을 구할 수 있으니까요.
분수면 식이 복잡해지니까 산술, 기하평균의 절대부등식의 모양을 조금 바꿔서 대입해보죠.
위 식에 두 분수를 대입해보죠.
두 분수의 합의 최솟값은
기하, 조화평균
이번에는 기하평균과 조화평균의 관계를 증명해보죠.
a > 0, b> 0일 때 
기하, 조화평균을 이용한 문제는 별로 나오지 않지만 위 과정을 통해서 증명할 수 있어야 해요.
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절대부등식, 부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질
절대부등식이라는 새로운 용어가 나오는데, 이 절대부등식은 증명을 통해서 이게 절대적인 힘(?)을 가지고 있다는 것을 보여줘야 해요.
절대부등식을 증명할 때 여러 가지 조건들과 성질들을 이용하는데, 이런 성질들을 잘 기억하고 있어야 해요. 새로운 성질을 공부하는 건 아니고 그동안 공부했던 여러 가지를 정리하는 차원이라고 생각하세요.
증명을 해야 하니까 내용이 조금 어려울 수 있으니 집중해서 보세요.
절대부등식
등식에 미지수가 있을 때, 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식을 항등식이라고 해요. 부등식에도 미지수가 있을 때, 미지수에 어떤 값을 대입해도 성립하는 부등식이 있는데 그걸 바로 절대부등식이라고 하지요.
이차부등식이 항상 성립할 조건을 공부했었죠? 이처럼 항상 성립하는 부등식이 절대부등식이에요.
어떤 부등식을 보고 이게 진짜로 항상 참이 되는지 알아볼 필요가 있겠죠? 절대부등식은 증명을 통해서 그게 항상 참인지 밝혀야 해요.
부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질
부등식은 부등호로 되어 있는데, 부등호는 기본적으로 대소관계를 나타내는 거죠? 그래서 부등식의 증명에서는 실수의 대소관계에 대한 기본 성질을 이용합니다.
그 외에도 몇 가지가 더 있는데, 부등식의 증명에 사용하는 실수의 성질을 정리해보면 아래와 같아요.
- a > b ⇔ a - b > 0
- a2 ≥ 0
- a > 0, b > 0일 때
- a > b ⇔ a2 > b2
- a > 0, b > 0일 때,
- |a| ≥ a, |a|2 = a2, |a||b| = |ab|
실수의 대소비교를 할 때는 차를 이용해서 비교해요. 차가 양수면 앞에 있는 수가 더 큰 수잖아요. 그리고 모든 실수의 제곱은 0보다 크거나 같고요.
세 번째에 있는 건, 근호나 절댓값을 포함한 식을 비교할 때인데 이때는 두 식의 제곱의 차를 이용해서 대소를 비교해요.
네 번째는 절댓값의 성질이에요. 절댓값은 0 또는 양수니까 계산한 결과가 0 또는 양수라면 절댓값 기호를 그냥 없애도 상관없잖아요.
a, b, c가 실수일 때 다음 부등식을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 구하여라.
(1) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
(2) 
(3) |a| + |b| ≥ |a + b|
(1) 우변에 있는 항을 좌변으로 이항해서 정리해보죠.
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ≥ 0
(a - b)2 ≥ 0, (b - c)2 ≥ 0, (c - a)2 ≥ 0이므로 위 등식은 참. a = b = c일 때 등호 성립
원래 곱셈공식의 변형에 나오는 건데 등호만 부등호로 바뀐 거예요.
(2) 번은 근호가 있어요. a > 0, b > 0이니까 
양변이 모두 양수이고 제곱했을 때 좌변이 크니까 제곱하지 않았을 때도 좌변이 커요. a > 0, b > 0이니까 등호가 성립할 수는 없겠죠?
(3) |a| + |b| ≥ |a + b|도 절댓값으로 모든 항이 양수니까 제곱해서 비교해보죠. 그리고 절댓값이 있으니까 |a|2 = a2, |a||b| = |ab|도 기억하고요.
|a| + |b| ≥ |a + b|
(|a| + |b|)2 ≥ (|a + b|)2
|a|2 + 2|a||b| + |b|2 ≥ (a + b)2
a2 + 2|ab| + b2 ≥ a2 + 2ab + b2
2|ab| - 2ab ≥ 0
2(|ab| - ab) ≥ 0
|ab| ≥ ab이므로 부등식이 참. |ab| = ab일 때 즉 ab ≥ 0일 때 등호 성립. (a, b의 부호가 같거나 적어도 하나가 0일 때)
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