이차항의 계수
인수분해 공식 두 번째
곱셈공식은 다섯개가 있었어요. 인수분해 공식도 다섯개가 있어요. 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식에서 세 개 공부했으니까 남은 두 개를 해보죠. 곱셈공식에서도 4, 5번 공식이 좀 어려웠죠? 인수분해 공식도 4, 5번이 어려워요.
인수분해는 다음 단원인 이차방정식에서 꼭 해야하는 거라서 대충하고 넘어가면 안돼요. 그리고 고등학교 올라가면 또 나와요.
중학 과정에서 인수분해는 정수 범위 내에서 합니다. 아주 가끔 유리수가 나오기도 하는데, 그건 1년에 한 문제 볼까말까 하니까 신경 안써도 돼요.
인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1일 때
인수분해 공식 네 번째는 이차항의 계수가 1이 아닐 때에요. 보통은 x에 관한 이차식이 나와요.
곱셈공식에서 계수가 1인 두 일차식의 곱셈은 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 였죠? 이거를 거꾸로 하는 거에요.
x2 + 합x + 곱으로 되어 있는 꼴이지요. 여기서 할 일은 합해서 일차항의 계수, 곱해서 상수항이 나오는 두 수를 찾는 거에요.
x2 + 3x + 2를 인수분해 해볼까요? 할 일이 뭐라고요? 더해서 3이 나오고 곱해서 2가 되는 수를 찾는 거에요. 대게 곱하서 상수항이 나오는 수를 먼저 찾아요. 곱해서 2가 나오는 두 수는 (1, 2), (-1, -2) 가 있지요? 이 두 개 중에 더해서 3이 되는 수는 (1, 2)에요.
x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
인수분해가 제대로 됐는 지 확인하고 싶다면, 인수분해 결과를 곱셈공식으로 전개해서 문제의 식이 나오는지 보면 돼요.
간단한 인수분해는 숫자를 직접 찾아서 할 수 있는데, 대부분 이차식의 인수분해를 할 때는 X자 방법을 사용해요.
- 먼저 이차식을 쓰고
- 이차항의 아래에 x를 세로로 두 번 써요. 곱해서 상수항이 나오는 두 수를 상수항 아래에 세로로 씁니다.
- x와 상수항 아래의 숫자를 X 방향으로 곱해요.
- 곱한 결과를 더해서 일차항이 나오는 지 확인합니다.
- 일차항과 같다면 같은 줄에 있는 x와 숫자를 괄호로 묶어요.
일차항과 다르다면 ②로 돌아가 곱해서 상수항이 나오는 다른 숫자를 쓰고 다시 반복합니다. - 괄호로 묶은 두 식을 곱셈으로 바꿔주면 인수분해가 끝납니다.
다음 식을 인수분해 하여라.
(1) x2 + 6x + 8
(2) x2 - 5x + 6
(1) x2 + 6x + 8에서 곱해서 상수항 8이 되는 수는 (2, 4) (-2, -4), (1, 8), (-1, -8)이 있어요. 하나씩 해볼까요?
x를 세로로 두 번 쓰고, (2, 4)를 세로로 썼어요. 서로 X자 방향으로 곱했더니, 2x와 4x가 나왔는데, 이 둘을 더해서 6x가 됐죠? 더한 결과 6x는 일차항과 같아요. 같은 줄에 있는 x와 2를 괄호로 묶고, 다음 줄에 있는 x와 4를 괄호로 묶어서 (x + 2)(x + 4)가 됩니다.
x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
(2) x2 - 5x + 6에서 곱해서 상수항 6이 되는 수는 (2, 3), (-2, -3), (1, 6), (-1, -6)이 있어요.
x를 세로로 두 번 쓰고, (2, 3)를 세로로 썼어요. 서로 X자 방향으로 곱했더니, 2x와 3x가 나왔는데, 이 둘을 더해서 5x가 됐죠? 더한 결과 5x는 일차항과 다르죠? 일차항은 -5x에요.
다른 수를 대입해봐야 겠네요. (-2, -3)을 대입해보죠.
계산해봤더니 일차항과 같은 -5x가 나와요. 같은 줄에 있는 x와 -2를 묶어서 (x - 2), 다음 줄에 있는 x와 -3을 묶어서 (x - 3)을 구하고 이 둘을 곱해요.
x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1이 아닐 때
이차항의 계수가 1이 아닐 때 사용하는 인수분해 공식은 많이 복잡해요. 곱셈공식에서도 복잡했잖아요. (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd 였어요.
이걸 인수분해할 때도 위와 같은 X자 방법을 써요. 순서도 다 똑같아요. 대신에 곱해서 x2의 계수가 되는 두 수와 곱해서 상수항이 되는 두 수, 이렇게 총 4개의 수를 찾아야 해요.
2x2 + 7x + 3을 인수분해 해보죠. 이차항의 계수가 2네요.
먼저 곱해서 이차항의 계수 2가 나오는 수는 (1, 2), (2, 1)이 있어요. (-1, -2), (-2, -1)도 있지만 여기서는 생략해도 됩니다. 상수항에서 부호를 바꾸면 결과가 같아지니까 이차항에서는 반대 부호를 해보지 않아도 돼요. 이거는 계산을 몇 번 해보면 자연스럽게 이해가 될 거에요.
곱해서 상수항 3이 되는 두 수는 (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) 이 있어요.
이차항에는 (1, 2) 상수항에는 (1, 3)을 넣어서 X자 방법을 해보죠.
x × 3 = 3x, 2x × 1 = 2x. 이 둘을 더하면 5x가 되어서 일차항과 다르네요. 이건 답이 아니에요. 이번에는 이차항에 (1, 2), 상수항에는 (3, 1)을 넣어보죠.
x × 2 = 2x, 2x × 3 = 6x. 이 둘을 더한 게 7x가 되어 일차항과 같아요. 같은 줄에 있는 x와 3을 괄호로 묶어서 (x + 3), 아랫줄에 있는 2x와 1을 괄호로 묶어서 (2x + 1). 이 둘을 곱하면 답이 돼요.
x2 + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)
이차항의 계수가 1이 아닐 때는 경우의 수가 많이 나와요. 처음부터 바로 답이 나오는 경우가 많지는 않아요. 위 풀이에서는 두 번만에 답을 찾았지만 세 번, 네 번이 넘어가는 경우도 많이 나와요.
인수분해 공식 사용 팁
곱해서 상수항이 되는 두 수를 찾을 때 팁 한가지 알려드릴께요. 단, 위 X자 방법을 완전히 이해한 상태에서 보세요. 이해하지 않은 상태에서 보면 더 헷갈리니까요.
상수항의 부호와 일차항의 부호를 보고 경우의 수를 절반으로 줄이는 방법이에요. 이차항의 계수는 일단 보류하세요.
| 상수항의 부호 | 일차항의 부호 | 상수항이 되는 숫자 |
|---|---|---|
| (+) | (+) | 둘 다 (+) |
| (-) | 둘 다 (-) | |
| (-) | (+) | (+)의 절댓값 > (-)의 절댓값 |
| (-) | (+)의 절댓값 < (-)의 절댓값 |
2x2 + 7x + 3을 다시 볼까요? 곱해서 상수항 3이 되는 수는 (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1) 이렇게 4개가 있어요. 그런데 일차항이 +7x이므로 둘 다 양수인 (1, 3), (3, 1) 중 하나가 답이 되는 거에요. 2x2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)
x2 - 5x + 6을 보세요. 곱해서 상수항 6이 되는 수는 (2, 3), (-2, -3), (1, 6), (-1, -6)의 4개가 있어요. 그런데 일차항이 -5x 이므로 둘 다 음수인 (-2, -3), (-1, -6) 중 하나가 답이 되는 거죠. x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
2x2 - 3x - 5를 볼까요? 곱해서 상수항 -5가 되는 수는 (-1, 5), (5, -1), (1, -5), (-5, 1)의 4개가 있어요. 그런데 일차항이 -3x로 음수니까 음수의 절댓값이 더 큰 (1, -5), (-5, 1) 중 답이 있어요. 2x2 - 3x - 5 = (2x - 5)(x + 1)
이차방정식이 중근을 가질 조건
이차방정식의 해가 하나일 때, 이 해를 중근이라고 해요. 사실 해는 두 개인데, 이 두개가 중복되기 때문에 중근이라고 하는 겁니다.
해가 하나만 있다고 해서 중근이라고 하면 안되요. 예를 들어 x = 2, x = -5라는 해가 나왔는데, 문제에서 x > 0 이라는 조건이 주어져서 x = 2라는 해만 답이 될 때는 중근이라고 하지 않아요. x는 중복되는 게 아니니까요.
이차방정식이 중근을 가지는 지 확인하는 방법은 두 가지가 있는데, 이 글에서는 먼저 한가지만 알아볼꺼에요. 다른 한 가지는 판별식을 이용하는데 나중에 보도록 하죠.
이차방정식이 중근을 가질 조건
이차방정식이 중근을 가지려면 AB = 0 에서 살펴봤듯이 A2 = 0이라는 완전제곱식 형태가 되어야 해요. 이렇게 됐을 때 다항식 A = 0 이 되어서 똑같은 근이 두 개 생기잖아요.
이차방정식의 해가 중근 = 완전제곱식
전개의 반대과정이 인수분해니까 인수분해해서 완전제곱식이 되는 건 거꾸로 완전제곱식을 전개해서 이차방정식과 비교해도 되겠죠?
이차항의 계수가 1일 때
완전제곱식 (x + a)2을 전개해보면 x2 + 2ax + a2가 돼요.
여기서 x의 일차항의 계수와 상수항을 비교해 볼께요. 어떤 관계가 있나요?
x2 + □x + 9 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?
일차항의 계수인 □의 절반의 제곱이 상수항인 9와 같아야하니까 아래처럼 풀 수 있어요.
따라서 □는 6 또는 -6이 되네요.
일차항의 계수는 ± 값 2개가 있다는 점 주의하세요.
x2 - 10x + △ = 0가 중근을 가질 때 △의 값은?
일차항과 상수항의 관계를 이용해서 중근을 가질 때 계수들을 구할 수 있겠죠.
이차항의 계수가 1이 아닐 때
위 경우에는 이차방정식에서 이차항의 계수가 1일 때에 사용하는 방법이고요. 만약에 이차항의 계수가 1이 아니라면 양변을 이차항의 계수로 나눈 다음에(이차항의 계수를 1로 만든 다음) 같은 방법으로 하면 되겠지요.
아니면 아래 방법으로 구해도 되고요.
3x2 + □x + 75 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?
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