뺄셈
제곱근의 덧셈과 뺄셈
제곱근의 곱셈과 나눗셈에 이어 제곱근의 사칙연산 두 번째 제곱근의 덧셈과 뺄셈이에요.
일차방정식에서 공부했던 동류항이라는 거 기억하죠? 제곱근의 덧셈과 뺄셈의 기본적인 원리는 동류항의 계산과 비슷해요. 이걸 살짝 응용하면 돼요. 동류항 계산은 할 수 있잖아요.
덧셈, 뺄셈만 바로 하면 참 쉬운데, 앞에서 봤던 분모의 유리화, 제곱근 풀기 등의 과정이 복잡하게 들어있어요. 이런 과정들을 먼저 거친 이후에야 덧셈, 뺄셈할 수 있도록 식의 모양이 바뀌어요. 그러니까 이들도 소홀히 해서는 안 돼요.
또, 제곱근에서도 분배법칙이 성립하는지도 알아보죠.
제곱근의 덧셈과 뺄셈
제곱근의 곱셈과 나눗셈에서는 근호 안의 숫자끼리 곱하거나 나누면 됐어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서도 숫자끼리 더하거나 빼면 될까요? 
똑같은 수 2개를 더하니까 곱셈으로 바꿔서 계산할 수 있죠?
다른 걸 한번 해보죠.
곱셈을 덧셈으로 바꾼 다음에, 덧셈을 곱셈으로 바꿨어요. 처음과 끝만 보면 
동류항의 덧셈과 뺄셈에서 문자와 차수가 같은 항을 동류항이라고 하고, 이 동류항끼리만 덧셈, 뺄셈할 수 있다고 했어요. 이와 비슷하게 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근을 하나의 문자로 취급해버리세요.
제곱근을 문자 취급하고, 제곱근 앞의 정수를 계수 취급하면 위 그림처럼 간단히 계산할 수 있어요.
다음을 간단히 하여라.
제곱근의 덧셈과 뺄셈에서는 제곱근을 문자 취급해서 마치 동류항 계산하는 것처럼 계산하면 됩니다.
(2)에서는 제곱근 부분이 같은 항만 덧셈, 뺄셈을 할 수 있어요.
(3)은 얼핏 보면 근호 안의 숫자가 다르니까 계산할 수 없는 것처럼 보이죠. 그런데 근호 안에 제곱인 수가 있으면 제곱근의 성질을 이용해서 제곱인 수를 꺼낼 수 있어요. 제곱인 수를 꺼낸 다음에 근호 안에 남는 숫자를 비교해야 해요.
(4)는 뒤에 있는 항의 분모에 제곱근이 있네요. 이때는 분모의 유리화를 한 다음에 계산합니다.
제곱근의 분배법칙
제곱근에서도 분배법칙이 성립해요. 분배법칙은 어디에서나 다 성립합니다.
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유리수의 덧셈과 뺄셈
유리수의 사칙연산에 대해서 공부해보죠. 첫 번째 유리수의 덧셈과 뺄셈이에요.
유리수, 유리수의 분류에서 얘기했지만, 유리수 단원은 거의 모든 내용이 정수와 겹쳐요. 유리수의 덧셈과 뺄셈은 정수의 덧셈과 뺄셈과 완전히 같아요. 숫자만 정수에서 유리수로 바뀐 것뿐이에요.
정수의 덧셈과 덧셈에 대한 교환법칙, 분배법칙, 정수의 뺄셈, 정수의 덧셈과 뺄셈 혼합계산
원리도 같고, 계산 방법도 같으니 간단하게 정리만 하고 넘어가죠.
유리수의 덧셈
정수의 덧셈을 두 가지 경우로 나눴어요. 첫 번째는 부호가 같을 때죠. 부호가 같을 때는 공통부호를 그대로 쓰고, 숫자는 두 수의 절댓값을 더해줬죠. 부호가 다를 때는 절댓값이 큰 수의 부호를 적고, 숫자는 두 수의 절댓값의 차를 적었어요.
유리수에서도 똑같아요. 다만 유리수는 분수가 나오는 경우가 많으므로 통분을 해야 절댓값의 크기를 비교할 수 있어요.
다음을 계산하여라.
분수가 나왔으니까 통분해야 돼요. 그리고 부호가 같으면 공통부호에 절댓값의 합, 부호가 다르면 절댓값이 큰 수의 부호에 절댓값의 차를 적는 거지요.
유리수의 덧셈에서도 덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙이 성립해요. 유리수의 뺄셈에서는 둘 다 성립하지 않고요.
유리수의 뺄셈
정수의 뺄셈에서는 뺄셈을 덧셈으로 바꿨죠? (-)를 (+) 바꾸고 (-) 바로 뒤에 있는 정수의 부호를 반대로 바꿔줬었어요.
유리수의 뺄셈도 마찬가지예요. 같은 방법으로 유리수의 뺄셈을 덧셈으로 바꾸어 유리수의 덧셈을 계산하는 거지요.
다음을 계산하여라.
유리수의 뺄셈에서 첫 번째는 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 거예요. 그다음 위에서 했던 덧셈의 방법 그대로 계산하는 겁니다.
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정수의 덧셈과 정수의 뺄셈을 공부했는데요. 따로 배웠죠? 이제는 이 둘이 한꺼번에 있을 때 계산하는 방법을 공부할 거예요.
둘이 같이 있다는 건 계산할 게 많아진다는 것이기도 하지요. 따라서 연산기호와 부호를 주의해서 보세요.
정수의 덧셈과 뺄셈 혼합계산은 처음에는 어려워서 많이 틀리지만, 나중에 계산에 익숙해지면 부호를 잘못 봐서 틀리는 경우가 많아요. 연산기호와 부호를 세심하게 잘 볼 수 있도록 많이 연습하세요.
정수의 덧셈과 뺄셈 혼합계산
괄호가 있을 때
여러 정수의 덧셈과 뺄셈이 섞여 있을 때의 계산법이에요.
여러 연산이 섞여 있을 때는 모든 계산을 한 가지 연산으로 바꿔서 하면 좋아요. 정수의 뺄셈은 정수의 덧셈으로 바꿔서 계산하잖아요. 그러니까 모두 덧셈으로 만드는 게 더 쉽겠죠?
- 정수의 덧셈과 뺄셈이 혼합된 계산에서는 가장 먼저 뺄셈을 덧셈으로 바꿔요.
- 교환법칙을 이용해서 정수의 부호가 같은 것끼리 모아요. 부호가 같은 걸 더하는 게 다른 걸 더하는 것보다는 쉽잖아요.
- 부호가 같은 것끼리 다 더하면 양의 정수 하나와 음의 정수 하나가 남아요.
- 마지막으로 이 둘을 더해요.
사실 ②번 과정을 꼭 필요한 건 아니에요. 하지만 이렇게 하면 계산이 더 쉬워지니까 하는 거예요.
다음을 계산하여라.
(1) (+7) - (-6) - (+3) + (-2)
(2) (-3) + (+1) - (+2) - (-4)
순서대로 잘 해보세요.
첫 번째는 모든 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 거예요. 그 다음 양의 정수끼리, 음의 정수끼리 모아서 따로 계산하고, 마지막으로 양의 정수와 음의 정수를 더하는 거죠.
(1) (+7) - (-6) - (+3) + (-2)
= (+7) + (+6) + (-3) + (-2)
= (+13) + (-5)
= (+8)
(2) (-3) + (+1) - (+2) - (-4)
= (-3) + (+1) + (-2) + (+4)
= (-3) + (-2) + (+1) + (+4)
= (-5) + (+5)
= 0
괄호가 없을 때
괄호가 없는 정수의 덧셈과 뺄셈의 혼합계산이에요. 괄호가 없다는 건 정수의 부호가 나오지 않는다는 거예요. 정수에 부호가 없다는 건 양의 정수(자연수)라는 얘기죠. 양의 정수는 부호를 생략할 수 있으니까요.
부호가 없을 때에는 부호를 붙여서 양의 정수로 써주는 게 첫 번째예요. 부호를 써주면 자연스럽게 괄호를 쳐주게 되거든요. 괄호가 있는 계산은 위에서 했던 정수의 덧셈, 뺄셈 혼합계산 방법 그대로 하면 돼요.
3 - 7 + 5 - 2를 계산해볼까요? 얼핏 보면 자연수의 뺄셈이니까 계산할 수 있을 것 같은데, 3 - 7은 계산이 안 되죠. 여기에 나와 있는 숫자 3, 7, 5, 2는 전부 자연수예요. (+) 부호를 붙여서 양의 정수로 만들어주면 (+3) - (+7) + (+5) - (+2)라는 식으로 바꿀 수 있어요.
괄호가 있는 정수의 덧셈과 뺄셈으로 바꾼 다음에는 할 수 있겠죠?
다음을 계산하여라.
(1) 1 - 4 + 5 - 2
(2) 7 - 2 + 5 - 6
괄호가 없는 식에서는 각 자연수에 (+) 부호를 붙여 양의 정수로 만들어 줘야 해요. 그다음은 혼합계산의 과정을 그대로 따르고요.
(1) 1 - 4 + 5 - 2
= (+1) - (+4) + (+5) - (+2)
= (+1) + (-4) + (+5) + (-2)
= (+1) + (+5) + (-4) + (-2)
= (+6) + (-6)
= 0
(2) 7 - 2 + 5 - 6
= (+7) - (+2) + (+5) - (+6)
= (+7) + (-2) + (+5) + (-6)
= (+7) + (+5) + (-2) + (-6)
= (+12) + (-8)
= (+4)
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