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삼각비의 활용 - 예각삼각형의 높이에 이어 둔각삼각형의 높이 구하기입니다.

둔각삼각형의 높이 구하기도 예각삼각형의 높이 구하기와 크게 차이는 없어요. 높이를 구할 수 있는 조건도 같아요. 두 변의 길이와 끼인각을 알 때와 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때지요.

특히, 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때는 수선이 삼각형의 바깥쪽에 그려지는 것만 빼면 예각삼각형의 높이를 구하는 방법과 완전히 같아요.

이 글에서는 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때에 주의해서 보시면 됩니다.

둔각삼각형의 높이

두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때

두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때는 수선을 내리는데, 수선은 삼각형의 바깥쪽에 그어지게 됩니다. 크기를 모르는 각 중 하나에서 길이를 아는 변의 연장선에 수선을 내리면 돼요. 이때 생기는 작은 직각삼각형을 이용해서 삼각형의 높이를 구할 거예요.

둔각삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때에요. 각의 크기를 모르는 점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 

가 △ABC의 높이에요.

를 구하려면, 원래 있던 △ABC는 볼 필요 없고요. 새로 그은 수선 때문에 생긴 △ABH만 보면 돼요. △ABH에서는 c와 h가 들어있는 삼각비를 이용하면 되겠죠?

대신 기준각이 원래 있던 각이 아니라 새로 생긴 각이에요. ∠ABH죠. ∠CBH가 평각이므로 ∠ABH = 180° - ∠B로 구할 수 있어요.

다음 그림에서 a = 5cm, c = 6cm, ∠B = 120°일 때, △ABC의 높이를 구하여라.

점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 위 그림을 보세요. 가 높이에요. ∠ABH = 180° - 120° = 60° 고요.

△ABH에서

한 변의 길이와 양 끝각을 알 때

여기서도 마찬가지로 보조선을 그어야 해요. 수선을 그어야하는데 어디에 그어야 하나면 각의 크기를 모르는 꼭짓점에서 길이를 아는 변의 연장선으로 수선을 내려요. 그러면 작은 직각삼각형 한 개와 큰 직각삼각형 한 개가 만들어져요. 이 두 직각삼각형의 내각의 크기를 구해서 tan를 이용하면 높이를 구할 수 있어요.

한 변의 길이와 양 끝각을 알려줬네요. 점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형 두 개가 보이죠? 새로 생긴 큰 직각삼각형의 밑변에서 새로 생긴 작은 직각삼각형의 밑변을 빼면 원래 삼각형의 한 변의 길이가 되는 걸 알 수 있어요.  이걸 이용합니다.

이제부터 원래 있던 △ABC는 생각하지 마세요. 큰 직각삼각형 △ACH와 작은 직각삼각형 △ABH만 생각하면 됩니다.

먼저 큰 직각삼각형 △ACH를 보세요. 삼각형 내각의 합에 의해서 ∠CAH = 180° - 90° - ∠C = 90° - ∠C에요.

이제 작은 직각삼각형 △ABH를 보세요. ∠ABH = 180° - ∠B에요. 그리고 ∠BAH = 180° - 90° - (180° - ∠B) = ∠B - 90°죠.

에 위에서 구한 와 처음에 알려준 의 값을 대입하면 높이 를 구할 수 있어요.

아래 그림에서  = 4cm, ∠B = 120°, ∠C = 45°일 때 ABC의 높이를 구하여라.

점 A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 하지요. (위 그림 참조.)

△ACH에서 ∠CAH = 180° - 90° - 45° = 45°이므로

△ABH를 보세요. ∠ABH = 180° - 120° = 60°, ∠BAH = 90° - 60° = 30° 이므로 

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피타고라스의 정리에 이어 이번에는 삼각비입니다.

피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 세 변의 길이 사이의 관계였어요. 삼각비도 직각삼각형에서 변의 길이에 관한 내용입니다. 단순히 변의 길이가 아니라 변의 길이 사이의 비율에요.

피타고라스의 정리에서는 길이의 관계만 따졌는데, 삼각비는 각도에 관한 내용이 추가되었어요.

삼각비도 직각삼각형에서 구하는 거라서 피타고라스의 정리와 비슷한 부분이 조금 있지만 조금 더 어려운 내용이 나옵니다. 하지만 그 비율이라는 게 일정한 값을 가지고 있기때문에 복잡한 계산을 요구하지는 않으니 너무 걱정하지는 마세요.

삼각비

삼각비는 직각삼각형에서 두 길이의 비를 얘기해요. 꼭 직각삼각형이어야만 합니다. 직각삼각형이 아니면 안 돼요.

삼각비를 구할 때는 기준각이라는 게 있어요. 어떤 각을 하나 주고 그 각에 대한 삼각비를 구하는 거지요. 삼각비는 이 기준각의 크기에 따라 달라집니다. 변의 길이나 삼각형의 크기와 상관없이 기준각이 같으면 서로 다른 직각삼각형이라도 삼각비는 같아요. 이건 설명이 너무 길어져서 생략합니다. 그냥 이렇게만 알고 계시면 돼요.

직각삼각형에서 직각의 대변은 빗변이에요. 그리고 기준각의 대변을 높이로 남은 한 변을 밑변으로 부르기로 약속을 했어요. + 기호 양쪽에 있는 값을 서로 더한다고 약속한 것처럼 그냥 그렇게 딱 정했어요.

sin

sin이에요. 원래는 sine인데, 앞의 세 자만 따서 sin이라고 써요. 한글로 쓰면 사인인데, 읽을 때는 싸인이라고 읽습니다.

sin은 직각삼각형 두 변의 길이 중 빗변과 높이의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 로 구합니다.

cos

cos이에요. 원래는 cosine인데, 앞의 세 자만 따서 cos이라고 써요. 한글로 쓰면 코사인인데, 읽을 때는 코싸인이라고 읽습니다.

cos은 직각삼각형 두 변의 길이 중 빗변과 밑변의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 으로 구합니다.

tan

tan에요. 원래는 tangent인데, 앞의 세 자만 따서 tan이라고 써요. 탄젠트라고 쓰고 읽어요.

tan은 직각삼각형 두 변의 길이 중 밑변과 높이의 길이의 비예요.

기준각을 A라고 하면 로 구합니다.

각의 기호로 썼는데요. 각의 크기로 쓰기도 합니다. 기준각의 크기가 60°이면 sin60°라고 쓰기도 해요. 그럼 그림에서 각의 크기가 60°인 각을 찾아서 그 각을 기준각으로 삼으면 되죠. cos60°, tan60°도 마찬가지고요.

삼각비: 직각삼각형에서 두 변의 길이의 비
sin = , cos = , tan  =

삼각비를 쉽게 구하는 방법

삼각비를 쉽게 구하려면 삼각형을 원하는 모양으로 그려야 해요. 기준각이 왼쪽 아래에, 직각은 오른쪽 아래에 오게 삼각형을 그려요.

그리고 영어 s, c, t의 필기체를 쓰는 거지요. 영어 소문자 필기체 쓸 줄 알죠?

s는 sin, c는 cos, t는 tan를 구할 때 써요. s와 t는 1, 2번만 있으면 돼요.

삼각형을 위 그림처럼 돌려놓은 다음에 필기체를 쓰면 먼저 써지는 게 분모, 나중에 써지는 게 분자가 되는 거예요. sin의 s는 빗변에서 출발해서 높이로 이어지지요. 그래서 sin은 가 되는 거예요. cos의 c는 빗변에서 출발해서 밑변으로 이어지니까 cos은 , tan의 t는 밑변에서 시작해서 높이로 이어지니까 가 되는 거고요.

다음 직각삼각형 ABC에서 각 A에 대한 삼각비를 구하여라.

삼각비를 구하려면 빗변의 길이를 알아야 해요. 직각삼각형이니까 빗변의 길이는 피타고라스의 정리를 이용해서 구할 수 있어요. 피타고라스의 수 3, 4, 5니까 빗변의 길이는 5에요.

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이제부터 본격적으로 도형과 도형의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

우리가 알고 있는 도형들의 정확한 수학적 정의를 알아보고, 그 정의를 이용해서 증명도 해보죠. 증명된 명제는 정리로서 기억해야해요.

증명에 많이 사용되는 정의 중 가장 대표적인 게 삼각형의 합동조건이에요. 이 글에서도 삼각형의 합동조건을 계속 사용할 거니까 한 번 읽어보세요.

도형의 합동, 삼각형의 합동조건

이등변삼각형의 정의, 이등변삼각형의 성질

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이에요. 이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변으로 이루어진 각을 꼭지각이라고 해요. 그리고 꼭지각이 아닌 다른 두 각을 밑각이라고 하고, 꼭지각의 대변을 밑변이라고 해요.

이등변삼각형의 성질
- 두 밑각의 크기가 같다.
- 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

이등변삼각형이 무엇인지, 꼭지각과 밑각, 밑변은 어떤 것인지 대한 설명은 정의에 해당해요. 그리고 이등변삼각형의 성질은 참으로 밝혀진 명제, 즉 정리에 해당하죠. 정의와 정리의 차이를 알 수 있겠죠? 수학의 정의, 정리, 증명

그럼 참으로 밝혀진 명제인 이등변삼각형의 성질을 증명해볼까요. 일단 증명할 때는 가정과 결론, 증명으로 나눠서 해요.

이등변삼각형에서 두 밑각의 크기는 같다.

이등변삼각형이니까 두 변의 길이가 같아요. 이걸 가정으로 쓰고, "두 밑각의 크기가 같다"를 결론으로 하면 되네요.

가정: △ABC에서 이다.
결론: ∠B = ∠C이다

△ABC에서 꼭지각 ∠A의 각의 이등분선을 긋고 밑변과 만나는 점을 점 D라고 해보죠. 그러면 △ABD와 △ACD로 나뉘어요.

(1)    (가정)
(2) ∠BAD = ∠CAD    (∠A의 이등분)
(3) 는 공통

(1), (2), (3)에서 △ABD와 △ACD는 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 합동인 삼각형이에요. △ABD ≡ △ACD

따라서 대응각인 ∠B와 ∠C는 크기가 같죠.     (증명 끝.)

이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

이등변삼각형이니까 두 변의 길이가 같고요. 꼭지각의 이등분선이라고 했으니까 둘로 나눈 각은 크기가 같겠죠? 이걸 가정과 결론으로 써보죠.

가정: △ABC에서 , ∠BAD = ∠CAD이다.
결론: , 이다

(1)    (이등변삼각형, 가정)
(2) ∠BAD = ∠CAD    (∠A의 이등분, 가정)
(3) 는 공통

(1), (2), (3)에서 △ABD와 △ACD는 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 합동인 삼각형이에요. (4) △ABD ≡ △ACD

대응변인 선분 BD와 선분 CD의 길이는 같죠. (5) 이다

그리고, 대응각인 ∠BDA와 ∠CDA도 같아요. ∠BDA = ∠CDA
그런데 이 크기가 같은 두 각을 더하면 평각인 ∠BDC가 돼요. ∠BDA + ∠CDA = 180° 결국 (6) ∠BDA = ∠CDA = 90°인 거죠.

(4)에 의해 가 되고, (6)에 의해서 가 됩니다.     (증명 끝.)

이등변삼각형이 되는 조건

이등변삼각형이 어떤 삼각형인지 어떤 성질이 있는지 알아봤어요.

이번에는 반대로 어떤 삼각형이 있는데, 이게 이등변삼각형인지 아닌지 알아보려고 해요. 어떻게 알 수 있을까요?

이등변삼각형의 성질을 거꾸로 하면 돼요. 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같다고 했어요. 이걸 거꾸로 해서 세 내각 중 두 내각의 크기가 같은 삼각형이 이등변삼각형인 거죠.

이등변삼각형이 될 조건 - 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형

이것도 가정과 결론으로 나누어 증명해보죠.

가정: △ABC에서 ∠B = ∠C
결론:

△ABC에서 ∠A의 각의 이등분선을 긋고 밑변과 만나는 점을 점 D라고 해보죠. 그러면 △ABD와 △ACD로 나뉘어요.

(1) ∠BAD = ∠CAD    (∠A의 이등분)
(2) 는 공통

모든 삼각형 내각의 합은 180°에요. △ABD의 내각의 합과 △ACD의 내각의 합은 같죠.

∠BAD + ∠B + ∠ADB = ∠CAD + ∠C + ∠ADC인데, (1) ∠BAD = ∠CAD와 가정 ∠B = ∠C에 의해서 (3) ∠ADB = ∠ADC가 돼요. 결국 두 삼각형에서 세 각의 크기가 서로 같아요.

(1), (2), (3)에 의해서 △ABD와 △ACD는 한 변의 길이와 그 양끝각이 같은 합동이지요. (4) △ABD ≡ △ACD.

따라서 대응변인 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같아요.     (증명 끝.)

다음 그림에서 x를 구하여라.

그림에 보면 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같다고 표시되어 있네요. 즉 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형에서 밑각의 크기는 서로 같아요.

삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데, 한 각은 110° 다른 두 같은 x로 크기가 같아요.
x + x + 110 = 180
x = 35(°)