수학방

원에 내접하는 사각형의 성질을 두 가지 공부했어요. 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°라는 것과 한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다는 거지요. 그러면서 이 두 가지 성질의 역이 성립한다고 했죠? 바로 이 성질의 역이 사각형이 원에 내접하기 위한 조건이에요. 따라서 사각형이 원에 내접하기 위한 조건은 따로 공부할 게 없어요.

한가지 추가해야 할 게 있는데 그것도 이미 공부한 내용이에요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건이죠.

이 글은 새로운 걸 공부한다기보다는 이전에 공부했던 걸 한 번 더 정리하고 넘어간다고 생각하세요.

사각형이 원에 내접하기 위한 조건

사각형의 네 점이 원 위에 있을 때

사각형은 각이 네 개 또는 점이 네 개인 도형이죠? 사각형이 원에 내접한다는 말을 다르게 하면, 네 꼭짓점이 한 원 위에 있다고 얘기할 수 있겠죠?

네 점이 한 원 위에 있을 조건은 이미 공부했잖아요. 바로 그 조건을 만족시키는 네 점을 연결하면 원에 내접하는 사각형을 그릴 수 있어요.

네 점이 한 원 위에 있을 조건을 다시 한 번 정리해 보죠.

네 점 A, B, C, D가 한 원위에 있을 조건
점 C, 점 D가 에 대하여 같은 쪽에 있고
∠ACB = ∠ADB 일 때

한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°

원에 내접하는 사각형의 성질 첫 번째에요. 한 쌍의 대각의 합이 180°라는 거죠.

한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다.

원에 내접하는 사각형의 성질 두 번째에요.

항상 원에 내접하는 사각형

원에 내접하는 사각형은 위에서 말한 특별한 조건을 갖춰야만 해요. 사각형 중에서 위의 조건을 항상 만족시키는 사각형들이 있어요. 바로 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴이에요.

정사각형과 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 90°에요. 따라서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이므로 원에 내접하는 사각형이죠.

등변사다리꼴은 두 밑각의 크기가 같고, 위에 있는 각의 크기도 서로 같아요. 위에 있는 각의 크기를 a, 밑각의 크기를 b라고 한다면 내각의 크기의 합은 2a + 2b = 360°에서 a + b = 180°가 되죠. 즉 등변사다리꼴도 대각의 크기의 합이 180°로 항상 원에 내접하는 사각형이에요.

사각형이 원에 내접하는지 확인하기
네 점이 한 원 위에 있는지 확인 - 한 변을 기준으로 하여 같은 쪽에 있는 두 각의 크기가 같은지 확인
한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인지 확인
한 외각과 내대각의 크기가 같은지 확인

함께 보면 좋은 글

원의 외접사각형, 외접사각형의 성질
네 점이 한 원 위에 있을 조건
원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각
[중등수학/중2 수학] - 사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

삼각형의 중점 연결 정리에 이어 사다리꼴의 중점 연결 정리입니다. 평행사변형, 정사각형, 마름모의 중점 연결 정리는 따로 하지 않으니까 중점 연결 정리는 여기가 끝이에요.

사다리꼴의 중점 연결정리는 사다리꼴에 대각선을 그어서 삼각형을 만든 다음 삼각형의 중점 연결 정리를 적용하는 거예요.

그리고 등변사다리꼴의 중점 연결 정리에는 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질에서 공부했던 내용이 나오니까 기억이 나지 않는다면 미리 읽어두세요.

사다리꼴의 중점 연결 정리

사다리꼴에서 평행하지 않은 두 변의 중점을 각각 M, N이라고 하죠. 그리고 대각선과 중점을 연결한 직선이 만나는 점을 각각 P, Q라고 하고요.

그러면 아래 그림 같은 성질이 성립합니다.

중점을 연결한 직선

첫 번째 중점을 연결한 선이 다른 두 변과 평행한지부터 증명해보죠.

의 연장선과 의 연장선이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.

△AND와 △ENC가 생기죠.

두 삼각형에서
점 N은 의 중점이므로
∠AND = ∠ENC (맞꼭지각)
이므로 ∠ADN = ∠ECN (평행선에서 엇각)

따라서 두 삼각형은 ASA 합동이에요. △AND ≡ △ENC

합동인 삼각형에서 대응변의 길이는 같으므로 이죠.

△ABE에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리 때문에 이 성립해요.

등변사다리꼴에서는 이므로 결국 이 성립합니다.

중점을 연결한 직선의 길이

이번에는 중점을 연결한 직선의 길이를 구해볼까요?

사다리꼴의 윗변의 길이를 a, 아랫변의 길이를 b라고 해보죠. 점 A에서 점 C로 대각선을 긋고, 중점을 연결한 선과 만나는 점을 Q라고 할게요.

이므로 둘을 구해서 더하면 되겠죠?

△ABC에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

△ACD에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

중점을 연결한 직선과 대각선의 두 교점 사이의 거리

중점을 연결한 직선과 대각선이 만나는 점을 각각 점 P, Q라고 할게요.

로 구할 수 있어요.

△ABC에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

△ABD에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

위 그림에서 = 5cm, = 2cm일 때, a, b를 구하여라.

이므로 a = 2= 10(cm)

이고, 이므로 b = 2(5 + 2) = 14(cm)

등변사다리꼴의 중점 연결 정리

사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형에서 사다리꼴은 없었지요? 여기서 해보자고요.

등변사다리꼴에서는 두 변의 중점을 바로 연결하는 게 아니라 네 변의 중점을 모두 연결해요. 등변사다리꼴의 네 변의 중점을 각각 E, F, G, H라고 할 때 이 네 점을 연결한 □EFGH는 마름모가 됩니다.

점 A와 점 C를 연결하는 대각선을 그어보죠.

△ABC에서 이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 에요. △ADC에서 이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 에요. 정리해보면

점 B와 점 D를 연결하는 대각선을 그어서 같은 방법을 사용하면 를 구할 수 있어요.

등변사다리꼴의 성질에 따르면 두 대각선의 길이가 같아요. 이므로 결국 가 되어 네 변의 길이가 모두 같은 마름모가 됩니다.

함께 보면 좋은 글

삼각형의 중점연결 정리, 삼각형 중점연결 정리의 역
사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질
사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형

지금까지 사각형을 배워왔어요. 사각형별로 정의와 성질, 조건을 알아봤죠. 또 이러한 내용을 표로 정리도 해봤고요. 사각형의 정의와 성질, 조건

이 글에서는 이 사각형들의 다른 점을 비교하는 게 아니라 서로의 관련성을 알아볼 거예요. 서로 어떤 관계가 있는지 어떻게 하면 다른 사각형이 되는지요.

그리고 각 사각형의 특징을 가장 잘 알 수 있는 대각선에 대해서도 알아볼 거예요.

이미 배웠던 사각형의 정의와 성질, 조건을 잘 이해하고 있어야 해요.

여러 가지 사각형의 포함관계

그냥 사각형이 있어요.
이 사각형의 한 쌍의 대변이 평행하면 사다리꼴이에요.
사다리꼴에서 나머지 한 쌍의 대변도 평행하다면 모두 두 쌍의 대변이 평행하니까 평행사변형이 돼요.
평행사변형에서 내각의 크기가 모두 같으면 직사각형이죠? 또 평행사변형의 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모에요.
직사각형의 네 변의 길이가 같거나 마름모의 네 각의 크기가 모두 같으면 정사각형이 되지요.

이걸 집합으로 표시해보면

⊃의 방향 잘 보세요. ⊃의 닫힌 쪽이 부분집합이에요. 또 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}이고요.

조건이 하나씩 추가될 때마다 사각형의 범위가 줄어들어요. 사각형들의 포함관계를 이해할 수 있겠죠? 아래는 벤다이어그램으로 표시한 거예요.

여러 가지 사각형의 조건

자 이제는 하나의 사각형이 어떤 조건을 갖추면 다른 형태의 사각형이 되는지 알아볼 거예요. 각 사각형의 정의와 조건에 대해서 잘 이해하고 있어야 하는 내용입니다.

위 그림에서 사각형의 포함관계도 엿볼 수 있는데요. 화살표를 받는 쪽이 화살표를 받는 쪽에 포함되는 사각형이에요.

화살표 옆에 숫자가 보이죠? 그 숫자에는 사각형이 되려면 갖추어야 할 조건을 적어볼까요?

①번은 그냥 사각형이 사다리꼴이 되는 조건이에요. 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이죠? 따라서 ①번에는 "한 쌍의 대변이 평행"이라는 조건이 들어가야 해요. 사다리꼴의 정의

②번은 사다리꼴이 등변사다리꼴이 되는 조건이에요. 등변사다리꼴은 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴이니까 ②번에는 "밑변의 양 끝각이 같다."라는 조건이 들어가면 되겠고요. 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

③번은 사다리꼴이 평행사변형이 되는 조건이에요. 평행사변형이 되는 조건에서 총 다섯 가지의 조건을 알아봤어요. 그런데 사다리꼴이라는 전제가 주어져 있으니 다 쓰지는 않고, 이걸 이용하는 조건만 적어보죠. 사다리꼴은 이미 한 쌍의 대변이 평행하니까 나머지 한 쌍의 대변이 평행하면 두 쌍의 대변이 평행해지겠죠? 그래서 ③번에는 "다른 한 쌍의 대변도 평행"이라는 조건이 들어가면 되겠네요. 또 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으면 평행사변형이 될 수 있어요. 그래서 사다리꼴에서 "평행한 대변의 길이가 같다"가 되어도 괜찮습니다.

원래 조건이 5가지인데, 이건 그냥 사각형이나 사다리꼴이나 다 상관없이 적용되는 조건이니까 일반적인 사각형과 사다리꼴과 굳이 분리해서 생각할 필요는 없어요.

④번은 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이에요. 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형이에요. 따라서 평행사변형의 한 내각이 90°가 되면 직사각형이 되죠. ④번에는 한 내각의 크기가 90°라는 조건이 맞겠네요. 이걸 다르게 표현하면 이웃한 두 내각의 크기가 같다고도 할 수 있죠. 또는 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 이 조건을 써도 되고요. 직사각형이 되는 조건

⑤번은 평행사변형이 마름모가 되는 조건이에요. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이에요. 평행사변형의 이웃한 두 변의 길이가 같으면 마름모가 되죠. 따라서 ⑤번에는 이웃한 두 변의 길이가 같다고 쓰면 되겠네요. 또 마름모는 두 대각선이 서로를 수직이등분하지요? 평행사변형의 두 대각선이 서로 직교하면 마름모가 되니까 이걸 ⑤번에 써도 상관없어요. 마름모가 되는 조건

직사각형이 정사각형이 되는 조건은 ⑤번이고, 마름모가 정사각형이 되는 조건은 ④번이에요. 번호가 같다는 건 그 조건도 같다는 거니까 위에 있는 걸 그대로 쓰면 되지요.

정리해보죠.

1. 사각형 → 사다리꼴
   • 한 쌍의 대변이 평행
2. 사다리꼴 → 등변사다리꼴
   • 밑변의 양 끝각의 크기가 같다.
3. 사다리꼴 → 평행사변형
   • 다른 한 쌍의 대변이 평행
   • 평행한 한 쌍의 대변의 길이가 같다.
   • 참고. 사각형 → 평행사변형의 조건은 총 5개
4. (평행사변형 → 직사각형) = (마름모 → 정사각형)
   • 한 내각의 크기 = 90°
   • 이웃한 두 내각의 크기가 같다.
   • 두 대각선의 길이가 같다.
5. (평행사변형 → 마름모) = (직사각형 → 정사각형)
   • 이웃한 두 변의 길이가 같다.
   • 두 대각선이 서로 직교

여러가지 사각형의 대각선

사각형의 특징을 가장 잘 나타내는 것 한 가지를 고르라고 하면 대각선이에요. 각 사각형별로 대각선이 어떤 특징을 나타내고 어떤 차이가 있는 지를 표로 나타내봤어요. 같은 성질을 지닌 게 하나도 없죠? 따라서 대각선만 잘 봐도 그 사각형이 어떤 사각형인지 알 수 있어요.

예를 들어 문제를 푸는데 사각형의 대각선이 서로 직교해요. 대각선의 길이도 같으면 그 사각형은 정사각형이고, 길이가 같지 않으면 마름모가 되는 거죠.

함께 보면 좋은 글

평행사변형의 성질, 평행사변형의 특징
평행사변형이 되는 조건
직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질
사각형의 정의와 성질, 조건

사각형에 대해서 쭉 알아봤어요,

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 사다리꼴의 정의, 성질, 조건에 알아봤지요.

이 글에서는 이제까지 배웠던 사각형들의 내용을 합치고 정리해볼게요. 비슷한 것도 있고, 같은 것도 있고, 다른 것도 있으니까 잘 비교하고 구별해서 헷갈리지 않도록 하세요.

여기서는 각 사각형의 핵심적인 내용만 추릴 거니까, 자세한 내용이나 증명은 해당 글을 읽으세요.

아래에 표를 보면서 글자로 외우는 것도 좋지만 그림을 보면서 직접 펜으로 찍어가면서 외우세요. 예를 들면 펜으로 그림의 윗변과 아랫변을 가리키면서 "여기랑 여기랑 같고………" 뭐 이런 식으로 말이죠. 도형이니까 실제 도형을 보면서 그림에 맞게 외우는 것이 훨씬 더 좋은 방법이거든요.

여러 사각형의 정의와 성질, 조건

사각형의 정의와 성질, 조건

사각형	[정의]와 성질	조건
평행사변형	[두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형] 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 이웃한 두 내각의 크기의 합은 180° 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.	두 쌍의 대변이 평행한 사각형 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 사각형 두 대각선이 서로를 이등분하는 사각형 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같은 사각형
	평행사변형의 성질	평행사변형이 되는 조건
직사각형	[모든 내각의 크기가 같은 사각형 또는 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형] (평행사변형의 성질) 두 대각선의 길이가 같다.	한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형
	직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모	[네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) 두 대각선이 서로를 수직이등분	이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형 두 대각선이 서로 직교하는 평행사변형
	마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형	[네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) (직사각형의 성질) (마름모의 성질)	이웃하는 두 변의 길이가 같은 직사각형 두 대각선이 서로 직교하는 직사각형 한 내각이 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 마름모 두 대각선의 길이가 같은 마름모
	정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
등변사다리꼴	[한 쌍의 대변이 평행하고 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사각형] 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다. 대각선의 길이가 같다.
	등변사다리꼴의 정의와 성질

함께 보면 좋은 글

평행사변형의 성질, 평행사변형의 특징
평행사변형이 되는 조건
직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

이제 사다리꼴이에요. 사다리꼴은 이름 그대로 사다리처럼 생긴 도형이에요.

사다리꼴은 앞에서 했던 평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형과 달라요. 직사각형, 마름모, 정사각형은 모두 평행사변형에서 조금씩 변형되어 왔던 건데요. 사다리꼴은 평행사변형과 관계가 없어요. 크게 관계가 없는 대신 제일 헷갈릴 수 있는 게 사다리꼴이에요. 특히 평행사변형과의 차이에 대해서 잘 구별하세요.

사다리꼴 중에서도 등변사다리꼴에 대해서 배울 겁니다. 그냥 사다리꼴과 등변사다리꼴은 뭐가 다른 지도 잘 알고 있어야 합니다.

사다리꼴의 정의, 등변사다리꼴의 정의

평행사변형은 두 쌍의 대변이 평행한 사각형이에요. 반면에 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형입니다. 차이가 분명하죠?

등변사다리꼴은 사다리꼴 중에서 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴을 말해요. 밑변의 양끝각의 크기가 같으면 윗변의 양 끝각의 크기도 서로 같아요.

주의하세요. 등변사다리꼴은 두 쌍의 대변이 아니라 한 쌍의 대변이 평행하고, 대각이 아니라 밑변의 양 끝각의 크기가 같아요.

사다리꼴: 한 쌍의 대변이 평행한 사각형
등변사다리꼴: 밑변의 양 끝각의 크기가 서로 같은 사다리꼴

등변사다리꼴의 성질

등변사다리꼴의 성질이에요. 일반적인 사다리꼴의 성질이 아니니까 주의하세요.

등변사다리꼴에서 평행하지 않은 한 쌍의 대변은 길이가 같아요. 또 대각선의 길이도 같고요.

평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다.

등변사다리꼴은 // 이고, ∠B = ∠C에요.

점 D에서 와 평행인 선을 그리고, 와의 교점을 점 E라고 해보죠.

∠B와 ∠DEC는 평행선의 동위각으로 그 크기가 같아요. ∠B = ∠C이므로 ∠C = ∠DEC가 되죠.

이등변삼각형이 되는 조건에 따라 두 밑각의 크기가 같으므로 △DEC는 이등변삼각형이에요. =

□ABED는 두 쌍의 대변이 평행한 평행사변형이죠. 평행사변형의 성질에서 두 대변의 길이는 같으므로 =입니다.

결국 == 로 등변사다리꼴에서 평행하지 않은 한 쌍의 대변은 길이가 같아요.     (증명 끝.)

사실 등변사다리꼴에서 등변이라는 말은 변의 길이가 같다는 뜻이에요.

두 대각선의 길이가 같다.

△ABC와 △DCB를 보세요.

바로 위의 등변사다리꼴의 성질에서 평행하지 않은 한 쌍의 대변은 길이가 같다고 했으니  = ………(1)

등변사다리꼴에서 두 밑각의 크기가 같다고 했으니까 ∠B = ∠C ………(2)

는 공통 ………(3)

(1), (2), (3)에 의해서 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △ABC ≡ △DCB

대응변인 가 되죠.     (증명 끝.)

등변사다리꼴의 성질
평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다.
두 대각선의 길이가 같다.

함께 보면 좋은 글

평행사변형의 성질, 평행사변형의 특징
평행사변형이 되는 조건
직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
사각형의 정의와 성질, 조건