내대각
사인법칙, 사인법칙 증명
사인법칙은 공식이에요. 공식이니까 당연히 외워야겠죠? 그리고 사인법칙이 어떻게 유도되었는지 증명할 수 있어야 하고요.
사인법칙 증명 과정에 중학교 때 공부했던 원주각과 원에 내접하는 사각형, 외접, 외접원 등의 내용이 계속 나와요. 증명 자체는 어렵지 않지만 이미 잊어버린 내용일테니까 미리 한 번씩 읽어두세요.
[중등수학/중3 수학] - 원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질
[중등수학/중3 수학] - 원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각
사인법칙을 외워두면 중학교 때 삼각비를 이용해서 구했던 것들을 조금 더 쉬운 방법으로 구할 수 있어요.
사인법칙, 사인법칙 증명
삼각형 세 각의 크기에 대한 사인과 대변의 길이, 외접원의 반지름 사이의 관계를 정리해놓은 걸 사인법칙이라고 해요.
아래 그림에서 △ABC의 세 각을 A, B, C라고 하고 그 대변의 길이를 a, b, c라고 하죠. 외접원의 길이를 R이라고 하면 다음과 같은 관계가 성립해요.
△ABC의 외접원의 반지름을 R, 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때
어떻게 이런 성질이 생기는지 증명해보죠. 일단 하나의 각에 대해서만 증명하면 다른 각에 대한 건 똑같은 방법으로 증명할 수 있어요.
사인 법칙 증명 - 예각일 때
∠A가 예각일 때에요.
점 B에서 외접원의 중심 O를 지나는 BA'를 그었어요. 
중3 때 공부했던 원주각의 성질에 의하면 한 원에서 한 호의 원주각의 크기는 같아요. 호 BC의 원주각이므로 ∠A = ∠A'가 돼요. 또, 지름의 원주각은 90°니까 ∠A'CB = 90°죠.
sinA = sinA' = 
사인 법칙 증명 - 직각일 때
∠A = 90일 때는 쉽죠.
sinA = sin90° = 1이고, ∠A = 90°이면 대변 
사인 법칙 증명 - 둔각일 때
여기도 예각일 때와 마찬가지로 점 B에서 외접원의 중심 O를 지나는
원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각에 따르면 원에 내접하는 사각형의 한 쌍의 대각의 합은 180°예요. A + A' = 180°이므로 A = 180° - A'
sinA = sin(180° - A') = sinA' =
∠A가 예각, 직각, 둔각일 때 모두 
사인법칙의 사용
사인법칙은 삼각형의 세 각에서 각의 사인값과 길이의 비가 모두 같다는 거예요. 이를 이용해서 각의 크기와 변의 길이를 구할 수 있어요.
사인법칙의 사용
한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때
두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각의 크기를 알 때
두 번째 조건이 약간 특이하죠? 끼인각을 알려주는 게 아니라 끼인각이 아닌 각이 크기를 알려줄 때에요. 잘 보세요.
삼각비를 이용해서 일반 삼각형 변의 길이를 구할 때는 수선을 그어서 내려서 매우 복잡하게 구했잖아요. 이제부터는 그렇게 하지 않아도 삼각형 변의 길이와 각의 크기를 구할 수 있어요.
다음을 구하여라.
(1) △ABC에서 A = 30°, B = 60°, c = 3cm일 때, a, b, C를 구하여라.
(2) △ABC에서 a = 3cm, b = 3cm, B = 60°일 때, A, C, c를 구하여라.
(1)번은 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알려줬어요. C = 180° - (30° + 60°) = 90°
사인법칙 공식에 맞게 넣어보죠.
(2)번은 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각의 크기를 알려줬어요. 사인법칙 공식에 맞게 넣어보죠.
A = 60° or A = 120°인데 A = 120°이면 △ABC는 삼각형이 아니죠? 따라서 A = 60°에요.
A = B = 60°이므로 C = 60°가 되겠네요.
사실 세 각의 크기가 60°로 모두 같으니까 정삼각형으로 c = 3cm라는 걸 알 수 있어요. 위의 과정을 굳이 해볼 필요는 없겠네요.
A = 60°, C = 60°, c = 3cm
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네 점이 한 원 위에 있을 조건 - 두 번째
네 점이 한 원 위에 있을 조건은 전에 한 번 공부했어요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건에서 원주각과 대각의 합, 내대각을 이용한 조건을 공부했었죠.
이 글에서 할 건 했던 게 또 나오는 게 아니라 새로운 방법을 공부하는 거에요. 정확히 말해서 새로운 방법이라고 하는 것도 맞는 건 아니에요. 이미 배운 것이죠.
이미 배웠던 걸 네 점이 한 원 위에 있을 조건에 적용하는 것뿐이에요. 바로 원과 비례를 이용해서 네 점이 한 원 위에 있는지 알아볼 수 있어요. 그러니까 원과 비례에 대해서 알고 있어야겠죠?
네 점이 한 원 위에 있을 조건
원과 비례에서 두 가지를 공부했죠?
하나는 원의 두 현의 교점에서 각 현의 양쪽 끝점까지의 거리의 곱이 서로 같다는 것이었고요. 다른 하나는 현의 연장선(할선)의 교점에서 현의 양 끝점까지의 거리의 곱이 같다는 거였어요.
네 점이 한 원 위에 있을 조건 두 번째의 핵심은 바로 네 점이 현의 양 끝점이 되는 거예요.
네 점을 두 대각선으로 잇고 그 교점을 이용
아래 그림을 보세요.
네 점이 있는데, 대각선으로 이었더니 교점이 생겼죠? 원만 없다 뿐이지 원과 비례에서 했던 공식을 그대로 적용할 수 있어요.
왜 그럴까요? 원만 그려보면 간단히 알 수 있어요.
네 점이 원 위에 있으니까 네 점을 지나는 원을 그려보세요. 그러면 네 점은 현의 양 끝점이 되고, 교점이 있는 그림으로 바뀌었어요. 이건 원과 비례에서 봤던 그림과 완전히 같은 그림이에요.
이 유형의 문제를 풀 때는 원을 그려서 풀어야 해요. 원이 있으면 훨씬 유리하거든요.
다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있을 때 x를 구하여라.
네 점을 선분으로 이었을 때 교점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 곱이 같으므로 식을 세워보면
4 × x = 3 × 7
x = 
네 점을 두 선분으로 잇고 그 연장선의 교점을 이용
이번에는네 점을 두 개의 선분으로 잇고, 그 연장선의 교점이 나와 있을 때에요.
마찬가지로 네 점이 원 위에 있으니까 네 점을 지나는 원을 그려보자고요.
원과 비례 두 번째에서 봤던 그림과 똑같죠?
똑같은 그림인데, 원이 그려져 있으면 원과 비례, 원이 빠져있으면 네 점이 한 원 위에 있을 조건이에요.
다음 그림에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있고, 
연장선의 교점에서 각 꼭짓점까지의 거리의 곱이 같으므로 식을 세워보면,
(9 + 3) × 3 = (5 + x) × x
36 = 5x + x2
x2 + 5x - 36 = 0
(x + 9)(x - 4) = 0
x = 4 (x > 0)
네 점이 한 원 위에 있을 조건 총정리
네 점이 한 원 위에 있을 조건을 두 가지 공부했어요. 원 위에 있는 네 점을 선으로 연결하면 사각형이 되잖아요. 따라서 사각형이 원에 내접할 조건과 같다고 할 수도 있어요. 전에 공부했던 두 가지와 이 글에서 공부한 한 가지를 한 번에 정리해보죠.
- 네 점을 선분으로 연결하고 교점과 네 점 사이의 거리가 나와 있으면 원과 비례 이용합니다.
- 네 점과 이웃한 두 각의 크기가 나와 있으면 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용.
두 점을 선분으로 잇고, 선분을 이루는 두 점과 나머지 한 점으로 각을 만들어서 두 각의 크기가 서로 같을 때 - 원주각 이용 - 사각형이 그려져 있고, 대각의 크기나 외각의 크기가 나와 있으면 사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 이용
한 쌍의 대각의 합 = 180°
한 외각 = 내대각
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원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각
사각형에는 외접원이나 내접원이 항상 있는 게 아니라서 사각형의 외접원, 내접원이라는 표현은 잘 쓰지 않아요. 대신 원에 내접하는 사각형, 원에 외접하는 사각형 이렇게 쓰죠.
원의 외접사각형의 성질에서는 대변의 길이의 합이 같다는 걸 공부했어요. 그리고 그 역도 성립한다고 했죠. 이 글에서 공부할 원에 내접하는 사각형의 성질도 그 역이 성립하니까 잘 알아두면 좋아요.
원에 내접하는 사각형의 성질은 다음에 공부할 사각형이 원에 내접하기 위한 조건과 똑같으니까 여기서 잘 해놓으면 다음 글은 식은 죽 먹기에요.
원에 내접하는 사각형의 성질
한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°
원에 내접하는 사각형은 그 모양에 상관없이 한 쌍의 대각의 합은 항상 180°예요.
원의 중심 O에서 점 B와 점 D에 반지름을 그어볼까요?
그런 다음 호BCD를 보세요. 이 호에 대한 원주각은 ∠A예요. 원주각과 중심각의 크기에 따라 중심각 ∠BOD = 2∠A가 되겠죠?
호BAD에 대한 원주각은 ∠C예요. 마찬가지로 중심각 ∠BOD = 2∠C고요. ∠A의 중심각과 똑같은 ∠BOD지만 방향이 반대죠?
두 중심각을 더하면 360°가 돼요. 2∠A + 2∠C = 360°
∠A + ∠C = 180°
점 O에서 점 A와 점 C에 반지름을 그어서 같은 방법을 이용하면 ∠B + ∠D = 180°가 되는 것도 알 수 있어요.
한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다.
삼각형에서는 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각의 크기)의 합이었는데, 원에 내접하는 사각형에서도 비슷한 성질이 있어요.
여기서는 한 외각의 크기가 다른 내각의 크기의 합과 같은 게 아니라 내각의 대각의 크기와 같아요. 내각의 대각이라서 그 외각의 내대각이라고 합니다. 헷갈리기 쉬운데 대내각이 아니라 내대각이에요.
∠DCE를 한 외각이라고 하면, ∠DCB는 내각이죠. 그리고 ∠DCB의 대각인 ∠A가 내대각이에요.
∠A + ∠DCB = 180° (∵ 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°) ……… ①
∠DCB + ∠DCE = 180° (∵ 평각) ……… ②
① - ② 하면
∠A - ∠DCE = 0
∠A = ∠DCE
한 외각과 그 내대각의 크기가 같음을 알 수 있어요.
원에 내접하는 사각형의 성질
한 쌍의 대각의 크기의 합 = 180°
한 외각의 크기 = 내대각의 크기
다음 그림을 보고 x° + y°를 구하여라.
원에 내접하는 성질을 이용한 문제에요. 첫 번째 성질은 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°라는 것, 두 번째는 한 외각과 그 내대각의 크기가 같다는 거지요.
∠B + ∠D = 180°에서 ∠B = 90°이므로 ∠D = y° = 90°
∠DCB를 기준으로 외각인 ∠DCE와 내대각인 ∠A가 같으므로 x° = 70°
x° + y° = 90° + 70° = 160°
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