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1학년 때 다항식의 계산을 공부했어요. 특히 일차식의 덧셈과 뺄셈을 많이 연습했었죠? 이번 글에서는 다항식 중에서도 이차식의 덧셈과 뺄셈을 공부할 거예요. 그리고 문자가 한 개가 아니라 여러 개 있는 식도 계산할 거예요.

큰 틀에서 보면 1학년 때 했던 동류항의 계산과 똑같으니까 어렵게 생각할 필요는 없어요. 다만 항의 개수가 늘어나다 보니 뭔가 더 복잡해 보이고 어려워 보이는 것뿐이에요.

계산과정에서 실수가 많이 나올 수 있으니까 집중해서 보세요. 계산을 한 항에는 줄을 긋는 등의 표시를 하는 것도 괜찮은 방법이니까 사용해 보시고요. 

다항식의 덧셈과 뺄셈

1학년 때의 다항식의 계산과 달라진 것이 있다면 문자의 개수와 차수가 늘어났다는 거예요. 1학년 때는 문자가 한 개였고, 차수는 1이었죠. 이제는 문자의 개수가 2개 이상이고, 차수도 2로 높아져요.

하지만 문자와 차수가 같은 동류항끼리 묶어서 계산한다는 원칙만 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않죠.

2a + b + 3a - 2b라는 식을 볼까요? a라는 문자와 b라는 문자가 있어요. 2a와 3a가 동류항이고, b와 -2b가 동류항이죠. 따로 계산하면 돼요.

2a + b + 3a - 2b
= 2a + 3a + b - 2b
= 5a - b

괄호가 있으면 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고 동류항끼리 묶어서 계산해요. 또, 괄호가 여러 개 있으면 소괄호(), 중괄호{}, 대괄호[] 순으로 풀어요.

3(5a - 2b) - (3a + b)
= 15a - 6b - 3a - b
= 15a - 3a - 6b - b
= 12a - 7b

다항식의 계산: 문자와 차수가 같은 동류항끼리 계산
괄호가 있으면 분배법칙을 이용
소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로 괄호를 푼다.

다음을 간단히 하여라.
(1) 3(a + b) - 2(a - b)
(2) 3a + 2[b + 3{a + 3b - (2b - b)} + 3a]

괄호가 있으면 소괄호, 중괄호, 대괄호 순서로 분배법칙을 이용해서 풀고 동류항끼리 계산을 해요.

(1)은 분배법칙을 이용해서 풀어야겠네요.
3(a + b) - 2(a - b)
= 3a + 3b - 2a + 2b
= 3a - 2a + 3b + 2b
= a + 5b

(2)번은 괄호가 여러 개 있어요. 소괄호부터 차례로 하나씩 풀어보죠.
3a + 2[b + 3{a + 3b - (2b - b)} + 3a]
= 3a + 2[b + 3{a + 3b - b} + 3a]
= 3a + 2[b + 3{a + 2b} + 3a]
= 3a + 2[b + 3a + 6b + 3a]
= 3a + 2[7b + 6a]
= 3a + 14b + 12a
= 15a + 14b

이차식의 덧셈과 뺄셈

일차식은 최고차항의 차수가 1인 식이에요. 그럼 이차식은 최고차항의 차수가 2인 식을 말하겠죠? 이차식은 차수가 2인 항이 하나 더 생기는 것뿐이에요.

3a² + 5a - 1 이런 식이 이차식이죠. 이때 일차항이나 상수항이 없어도 이차식이에요. 3a² + 5a도 이차식이고, 3a² - 1도 이차식, 3a²만 있어도 이차식이에요. 하지만 이차항은 꼭 있어야 해요.

이차식을 계산한 후에 답을 쓸 때는 차수가 높은 수부터 내림차순으로 정리해요. 이차항, 일차항, 상수항의 순서로 쓰는 거죠. 순서가 다르다고 해서 틀린 건 아니지만, 내림차순으로 쓰기로 약속했어요.

이차식: 최고차항의 차수가 2인 다항식
동류항 계산: 이차항끼리, 일차항끼리, 상수항끼리 계산
내림차순: 이차항, 일차항, 상수항의 순서로

(2a² + 3a + 1) + (a² + 3)을 계산해보죠. a²라는 이차항, a의 일차항, 상수항으로 되어 있어요. 두 번째 괄호 안에는 일차항이 없지만 상관없어요.

(2a² + 3a + 1) + (a² + 3)
= 2a² + a² + 3a + 1 + 3
= 3a² + 3a + 4

여기서도 괄호가 있다면 분배법칙을 이용해서 풀어서 동류항끼리 묶어서 계산합니다.

2(a² + 3a + 1) - 3(a² + a - 1)
= 2a² + 6a + 2 - 3a² - 3a + 3
= 2a² - 3a² + 6a - 3a + 2 + 3
= -a² + 3a + 5

다음을 간단히 하여라.
(1) (2 - a - 3a²) + (4a² + 2a - 2)
(2) 3(a² + 3a + 3) + 4(a² - 3a) - 2

이차식에서는 동류항이 이차항, 일차항, 상수항의 세 항이 있으니까 따로 계산하면 돼요. 그리고 답을 쓸 때는 내림차순으로 쓰고요.

(1) (2 - a - 3a²) + (4a² + 2a - 2)
= -3a² + 4a² - a + 2a + 2 - 2
= a² + a

(2) 3(a² + 3a + 3) + 4(a² - 3a) - 2
= 3a² + 9a + 9 + 4a² - 12a - 2
= 3a² + 4a² + 9a - 12a + 9 - 2
= 7a² - 3a + 7

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지수법칙 두 가지를 공부했었죠? 밑이 같은 거듭제곱의 곱일 때는 밑을 그대로 써주고 지수는 더해주는 거였고요. 거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑은 그대로 쓰고, 지수를 곱해주는 거였어요.

지수법칙 두 번째는 나눗셈과 괄호가 있을 때의 거듭제곱이에요.

나눗셈에서는 지수의 크기가 중요해요. 지수의 크기에 따라 계산 방법이 달라지거든요. 괄호가 있을 때는 분수든 아니든 상관없이 공통된 특징이 있으니 이건 쉽게 이해할 거예요.

지수법칙

2⁵ ÷ 2³을 해볼까요? 지수를 풀어서 계산(약분)한 다음, 다시 거듭제곱으로 나타내보죠.

지수만 보면 5 - 3 = 2가 되죠. 밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 빼면 돼요. 여기까지는 지수법칙 첫 번째에서 했던 밑이 같은 거듭제곱의 곱과 비슷해요. 밑이 다르거나 나눗셈이 아니면 쓸 수 없다는 것까지 같지요.

이번에는 2⁵ ÷ 2⁵을 해보죠.

위처럼 밑은 그대로 쓰고, 지수의 차를 구해보면 2⁵ ÷ 2⁵ = 2^{5 - 5} = 2⁰이 되겠지요? 여기에서 2⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요. 지수가 같으면 나누기의 결과로 지수는 0이 되고, 밑이 2든 3이든 상관없이 모든 수의 0 제곱은 1이에요.

이번에는 2³ ÷ 2⁵를 해볼까요?

밑이 같고 지수의 나눗셈이니까 밑은 그대로 쓰고, 지수끼리 빼면 2³ ÷ 2⁵ = 2^{3 - 5} = 2^-2이 돼요. 지수가 -2인데, (-)는 분수라는 걸 말해요. 지수가 2인 분수꼴이라는 뜻이죠. 나누는 수의 지수가 클 때는 분수로 쓰되, 지수는 큰 것에서 작은 걸 빼주는 거지요.

위 세 경우에서 보듯이 거듭제곱의 나눗셈은 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 크기에 따라 계산 방법이 살짝 달라져요.

a ≠ 0이고, m, n이 자연수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) a⁶ ÷ a²
(2) b⁵ ÷ b³ ÷ b²
(3) c³ ÷ c⁷

밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈에서는 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 중 어디가 큰지에 따라 달라져요. 나누어지는 수의 지수가 크면 밑은 그대로 쓰고 지수의 차, 같으면 1, 나누어지는 수의 지수가 더 작으면 분수 형태예요.

(1) 나누어지는 수의 지수가 나누는 수의 지수보다 크네요.

a⁶ ÷ a²
= a^{6 - 2}
= a⁴

(2)에서는 항이 3개지만 밑이 같으면 한꺼번에 계산할 수 있어요.
b⁵ ÷ b³ ÷ b²
= b^{5 - 3 - 2}
= b⁰
= 1

(3)은 나눠지는 수의 지수가 더 작으니까 분수로 나오겠지요.

괄호가 있을 때 지수법칙

이번에는 여러 개의 문자나 수를 한꺼번에 거듭제곱할 때 어떻게 되는지 알아보죠.

(ab)³을 볼까요? ab를 3번 곱한 건데, 원래 a × b에서 곱셈기호가 생략된 거죠.

(ab)³
= (a × b)³                                 곱셈기호 살리기
= (a × b) × (a × b) × (a × b)
= (a × a × a) × (b × b ×b )     곱셈에 대한 교환법칙
= a³ × b³
= a³b³                                      곱셈기호 생략

첫 줄과 끝줄만 보면, (ab)³ = a³b³로 괄호 안에 있는 것들을 각각 세제곱한 것과 같아요.

분수의 거듭제곱도 분자, 분모를 각각 거듭제곱한 것과 같죠.

위 두 가지를 정리해 보면, 괄호로 묶여있는 걸 거듭제곱하면 괄호 안에 있는 것들을 각각 거듭제곱한 것과 같다는 걸 알 수 있어요.

b ≠ 0이고, m이 자연수일 때

다음을 간단히 하여라.

괄호 안에 있는 건 분수든 아니든 상관없이 각각을 거듭제곱해줘야 해요.

(1) (a³b²)²
= (a³)²(b²)²
= a^{3 × 2}b^{2 × 2}
= a⁶b⁴

(2)에서 (-a) = (-1) × a에요.
(-a)⁴ × (-b)³
= (-1)⁴a⁴ × (-1)³b³
= a⁴ × (-b³)
= -a⁴b³

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아직은 새로운 단원을 시작하기에 앞서 이 단원에서 사용할 기본적인 것들을 공부하는 단계입니다. 정확하게 이해를 해야 이 단원을 잘 이해할 수 있어요.

대입이라는 용어는 매우 자주 사용하는 용어라서 그 의미를 정확히 알고 있어야 해요. 식의 값의 뜻은 이름 그대로예요. 용어가 중요한 것도 아니고, 의미도 별거 없어요. 그냥 알고 넘어가면 되는 거예요.

어려운 내용은 아니지만, 연습이 좀 필요한 과정입니다. 교과서의 예제 문제를 꼭 풀어보세요.

대입

대입은 문자가 있는 식에서 문자 대신에 숫자를 넣는 거예요. 조금 더 쉽게 말하면 문자를 숫자로 바꾸는 거고요. 무작정 바꾸면 안 되고 문자와 숫자가 같을 때에만 가능해요.

축구에서 선수교체를 하면 경기를 하고 있던 선수는 빠지고, 벤치에 있던 선수가 대신 들어가죠? 대입도 마찬가지로 식에 원래 있던 걸 빼고 그 자리에 뺀 것과 같은 걸 넣는 거예요.

x = 2이고, x + 3이라는 식이 있다고 해보죠. x + 3이라는 식에 x = 2를 대입해볼까요? x가 2와 같으니까 x + 3이라는 식에서 x는 빼고, 그 자리에 2를 넣어도 식은 바뀌지 않죠? x + 3 = 2 + 3 = 5가 되겠죠.

하나만 더 해볼까요?

y = 5일 때, y - 3을 구해보죠. y - 3이라는 식에 y = 5을 대입하면 y는 없어지고 그 자리에 5가 들어가요. y - 3 = 5 - 3이 되어서 결국은 2가 돼요.

식의 값

문자에 수를 대입해서 식을 계산한 값을 식의 값이라고 해요. 위에서는 2가 바로 식의 값이 되는 거죠.

식의 값을 구하는 순서를 알아볼까요?

식을 간단히 하기 위해서 곱셈기호와 나눗셈기호의 생략한 식이라면 곱셈기호와 나눗셈기호를 다시 살려줘야 해요. 문자와 숫자사이, 문자와 문자 사이에서만 곱셈기호를 생략한다고 했잖아요. 지금 우리는 문자를 숫자로 바꿀 거예요. 그러면 숫자들끼리의 곱이라서 곱셈기호를 생략할 수 없게 돼요.

곱셈기호를 다시 살렸으면 문자를 지우고, 그 자리에 문자와 크기가 같은 숫자를 넣으세요.

x = 2일 때, 2x + 1을 구해보죠. 2x는 곱셈기호가 생략되어 있어요. 다시 써줘야 해요.

x = -2라면 어떨까요? 다른 건 같아요. 대신 음수니까 다른 기호와 헷갈리지 않도록 괄호를 쳐주는 게 다르죠.

x =  일 때 를 구해볼까요? 식에 x를 대입하면 이라는 이상한 식이 돼버리죠? 이럴 때는 분수를 나눗셈으로 바꿔서 대입해요.

식의 값 구하는 방법
생략한 곱셈, 나눗셈 기호를 다시 되살린다.
음수를 대입할 때는 괄호 사용.
분수는 나눗셈으로 바꿔서

a = 2, b = -3일 때 다음 식의 값을 구하여라.
(1) 2a + 3b
(2) a² + b³
(3)

(1)번에는 곱셈기호가 생략되어 있으니까 살려줘야겠네요. 또 b가 음수이므로 대입할 때 괄호를 사용해야 하고요.
2a + 3b
= 2 × a + 3 × b
= 2 × 2 + 3 × (-3)
= 4 + (-9)
= -5

(2) 거듭제곱일 때도 마찬가지로 음수에는 괄호를 쳐주세요.
a² + b³
= 2² + (-3)³
= 4 + (-27)
= -23

(3) 분수일 때는 나눗셈으로 바꿔서 해요. 하지만 이 문제에서는 바로 대입해도 상관없어요. 바로 대입해도 식의 모양이 이상해지지 않거든요.

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정수의 사칙연산 마지막 나눗셈입니다.

정수의 나눗셈은 하나도 어렵지 않아요. 왜냐하면, 정수의 곱셈하고 같으니까요. 정수의 곱셈만 할 줄 안다면 정수의 나눗셈은 거저먹기에요.

그리고 정수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 있는 사칙연산의 혼합계산도 공부할 겁니다. 곱하기와 더하기가 있는 식에서 무엇을 먼저 계산해야 하는지 알고 있죠? 여기에서는 거듭제곱까지 포함해서 여러 종류의 연산이 동시에 있을 때 어떻게 하는지 알아보죠.

정수의 나눗셈

정수의 곱셈에서 부호가 같은 두 정수의 곱은 (+), 부호가 다른 두 정수의 곱은 (-) 였죠? 거듭제곱과 여러 정수의 곱셈에서는 음수의 개수나 음수의 지수가 짝수면 (+), 홀수면 (-)였어요. 정수의 나눗셈도 정수의 곱셈과 같아요.

정수의 뺄셈은 정수의 덧셈으로 바꿀 수 있죠? 정수의 나눗셈도 정수의 곱셈으로 바꿀 수 있거든요. 그래서 정수의 곱셈과 나눗셈의 방법이 같아요.

그리고 0으로 나누는 경우는 생각하지 않아요. 그 어떤 경우라도 0으로 나누는 경우는 없어요.

정수의 나눗셈
부호가 같은 두 정수: 두 정수의 절댓값을 나눠주고, 부호는 (+)
(+) ÷ (+) = (+), (-) ÷ (-) = (+)
부호가 다른 두 정수: 두 정수의 절댓값을 나눠주고, 부호는 (-)
(+) ÷ (-) = (-), (-) ÷ (+) = (-)
 
음수의 개수가 0 또는 짝수일 때 → 결과는 (+)
음수의 개수가 홀수일 때 → 결과는 (-)

다음을 계산하여라.
(1) (+2) ÷ (+1)
(2) (+8) ÷ (-2)
(3) (-2) ÷ (+8)
(4) (-54) ÷ (-3) ÷ (+9) ÷ (-1)

(1)은 두 정수의 부호가 같으니까 (+)가 나오겠네요. (+2)

(2)에서는 두 정수의 부호가 다르니까 (-)에요. (-4)

(3)도 두 정수의 부호가 다르니까 (-)에요. (-¼)

(4) 총 4개의 정수가 있는데, 그 중 음수인 정수가 3개 있어요. 음수의 개수가 홀수이므로 부호는 (-)에요. (-54) ÷ (-3) ÷ (+9) ÷ (-1) = (-2)

정수의 덧셈과 정수의 곱셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립해요. 정수의 뺄셈에서는 성립하지 않죠. 정수의 나눗셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립할까요?

위 예제의 (2), (3)을 보세요. 정수는 같고, 위치만 달라요. 그런데 결과도 다르죠? 결국, 정수의 자리를 바꿔도 식의 결과가 같아야 교환법칙이 성립하는데, 그렇지 않다는 걸 알 수 있어요.

{(+4) ÷ (+2)} ÷ (-2) = (+2) ÷ (-2) = (-1)
(+4) ÷ {(+2) ÷ (-2)} = (+4) ÷ (-1) = (-4)
두 식에서 {}의 위치를 바꿨더니 식의 결과가 달라졌어요. 결합법칙이 성립하지 않음을 알 수 있죠.

정수의 사칙연산

정수의 사칙연산을 총정리해보죠. 정수의 사칙연산에서는 무엇보다도 부호가 가장 중요해요.

정수의 덧셈, 정수의 뺄셈, 정수의 곱셈

정수의 사칙연산 혼합계산

여러 연산이 혼합되어 있을 때는 계산을 먼저 하는 게 있어요. 연산의 우선순위라고 하는데, 다음의 순서대로 합니다.

1. 괄호. ( ) → { } → [ ]
2. 거듭제곱
3. ×, ÷
4. +, -
5. 앞에서부터 순서대로

다음을 계산하여라.
(1) (+2) + (-2) × (-3)²
(2) (+7) - {(-4) × (-1)} ÷ (+2)
(3) (+4) ÷ {(-3) + (+2)}³

(1)에는 +, ×, 거듭제곱의 연산이 있어요. 순서는 거듭제곱, ×, + 순이죠.
(+2) + (-2) × (-3)²
= (+2) + (-2) × (+9)
= (+2) + (-18)
= (-16)

(2)에는 -, ×, ÷ 가 있어요. ×와 ÷가 먼저인데, ×가 { } 로 안에 있으니까 가장 먼저고, ÷가 그다음, -가 가장 마지막이에요.
(+7) - {(-4) × (-1)} ÷ (+2)
= (+7) - (+4) ÷ (+2)
= (+7) - (+2)
= (+7) + (-2)
= (+5)

(3)에는 ÷와 거듭제곱이 있고 괄호 안에 +가 있어요. 가장 먼저 괄호 안을 계산하고 거듭제곱, 곱셈의 순서로 계산해요.
(+4) ÷ {(-3) + (+2)}³
= (+4) ÷ (-1)³
= (+4) ÷ (-1)
= -4

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