수학방

보통 한 단원을 공부할 때는 앞에서 공부하지 않았던 새로운 내용을 공부해요. 그런데 그게 완전히 생뚱맞게 새로운 내용은 아니에요. 앞에서 공부했던 것에 조금 추가하는 거지요. 그런데 많은 학생은 그 연관관계를 이해는 걸 상당히 어려워하죠.

이 글에서는 방정식이라는 식이 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요. 그러면 그 식의 관계에 대해서 더 잘 이해할 수 있고, 문제를 풀거나 내용을 이해하는 데 훨씬 더 도움이 되지요. 아주 중요한 내용입니다. 꼭 읽어보세요.

방정식의 변화

공부하는 식의 종류에는 여러 가지가 있어요. 방정식, 부등식, 함수 등이 있죠.

방정식을 어떤 순서로 공부했나요? 중학교 1학년 때는 일차방정식, 2학년 때는 연립방정식, 3학년 때는 이차방정식, 고등학교 1학년 때는 삼차, 사차 등의 고차방정식과 연립이차방정식을 공부해요.

학년이 올라갈수록 차수가 늘어나거나 식의 개수가 늘어나죠. 그래서 문제를 푸는 방법도 어려워져요. 그런데 이게 단순히 똑같은 범주의 방정식인 건만은 아니에요.

일차방정식을 하나 풀어보죠.

5 + 3x = x + 7
3x - x = 7 - 5
2x = 2
x = 1

등식의 성질을 이용해서 일차방정식을 풀었어요.

이번에는 연립방정식을 풀어보죠.

위의 식을 ①식, 아래 식을 ②식이라고 하면,

①식 + ②식
2x = 8
x = 4

①식 - ②식
2y = 2
y = 1

두 식을 더했더니 2x = 8이라는 식이 나왔죠? 이 식은 이 식은 미지수가 x뿐인 일차방정식이에요. 미지수가 2개인 연립방정식의 두 식을 더했더니 미지수가 1개인 일차방정식으로 식이 바뀌었어요.

두 식을 빼면 2y = 2라는 y에 대한 일차방정식이 나와요. 마찬가지로 미지수가 2개인 연립방정식이 미지수가 1개인 일차방정식으로 바뀌었죠.

두 식을 더하거나 빼서 연립방정식을 일차방정식으로 바꾸는 게 연립방정식 풀이의 핵심이에요.

이차방정식도 풀어보죠.

x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0

x - 2 = 0 → x = 2
x - 3 = 0 → x = 3

x² - 5x + 6 = 0를 인수분해하면 (x - 2)(x - 3) = 0인데, 좌변이 일차식 두 개의 곱으로 되어 있어요. 이 일차식은 일차방정식이고, 여기서 미지수 x의 값을 구했어요.

이차방정식을 인수분해하니까 일차방정식 2개 되었죠? 차수가 2차에서 1차로 낮아졌어요.

인수분해해서 이차방정식을 일차방정식으로 바꾸는 게 이차방정식 문제 푸는 방법이죠. 근의 공식을 이용하는 건 제외로 하고요.

고차방정식과 연립이차방정식은 예시는 생략하죠. 삼차, 사차의 고차방정식도 인수분해를 하죠? 그러면 삼차방정식이 이차방정식이 되고, 이 이차방정식은 다시 바로 위에서 했던 것처럼 인수분해해서 일차방정식 2개로 바꾸는 거죠. 결국, 삼차방정식은 일차방정식 3개로 바꿔서 풀어요.

• 일차방정식은 그대로 풀고요.
• 연립방정식은 식을 더하고 빼서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 이차방정식은 인수분해를 해서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 삼차방정식은 인수분해해서 이차방정식으로 모양을 바꾸고, 이 이차방정식은 인수분해를 한 번 더 해서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 사차, 오차도 계속 이런 식으로 풀죠.

우리가 문제를 푸는 건 그냥 이차방정식을 풀고, 연립방정식을 푸는 게 아니라 식의 형태를 우리가 기존에 알고 있는 식(일차방정식)으로 바꾸는 거예요.

연립방정식에서 두 식을 더하고 빼는 건 일차방정식으로 바꾸기 위해서예요. 이차방정식에서 인수분해를 하는 이유는 바로 인수분해를 해야 일차방정식으로 모양을 바꿀 수 있기 때문이죠. 인수분해를 왜 해야 하는지, 연립방정식의 두 식을 왜 더하고 빼야 하는지 이유를 알겠죠?

즉, 그 단원에서 실제로 공부하는 건 일차방정식으로 바꾸는 방법뿐이에요. 그 이후 과정인 일차방정식을 푸는 건 이미 알고 있는 거고요.

그러니까 방정식을 푸는 건 기본적으로 일차방정식의 풀이법 + 일차방정식으로 변환법이에요.

이곳 수학방에서 공부를 했던 분이라면 글 중간마다 차수가 낮아지고 미지수가 줄어드는 걸 설명한 부분이 꽤 많다는 걸 아실 거예요. 바로 일차방정식으로의 변환법을 다른 말로 하면 미지수의 개수와 식의 차수를 낮추는 방법이거든요.

일차방정식 따로 이차방정식 따로 있는게 아니라 그들의 관계를 이해하고 식이 어떻게 바뀌는지 이해하면 공부하는게 훨씬 더 쉬워질 거예요.

물론 이건 방정식에만 적용되는 건 아닙니다. 함수에도 다른 식에도 적용되는 거에요.

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연립방정식의 풀이법 - 가감법에 이은 연립방정식의 풀이 두 번째입니다. 첫 번째 글에서는 가감법에 대해서 알아봤는데요. 간단히 정리해볼까요?

연립방정식의 풀이에서 핵심은 바로 미지수의 개수를 줄이는 거였어요.

가감법은 두 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄이는 방법이었죠. 없애고자 하는 미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 같으면 두 식을 빼고, 미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 다르면 두 식을 더하는 거였죠.

이번 글에서 공부할 내용은 미지수의 계수가 절댓값이 다를 때는 어떻게 하는가에요.

앞에서 해봤던 가감법 풀이는 미지수의 계수의 절댓값이 같아서 더해주고 빼주고만 하면 됐는데, 미지수 계수의 절댓값이 다르면 어떻게 해야 할까요?

가감법 - 미지수의 계수의 절댓값이 다를 때

가감법 첫 번째에서 했던 것처럼 위에 있는 식을 ①식, 아래에 있는 식을 ②식이라고 이름 붙이고, 두 식의 좌변끼리 우변끼리 더해보세요.

5x - y + 4x + 3y = 8 + 14

각 변을 정리해보면 9x + 2y = 22가 돼요. 미지수의 개수가 줄어들지 않았어요. 그럼 두 식을 빼볼까요?

5x - y - (4x + 3y) = 8 – 14
5x - y - 4x - 3y = -6
x - 4y = -6

두 식을 빼 봐도 마찬가지로 미지수의 개수가 줄어들지 않아요.

두 식을 더하거나 빼서 미지수를 없애려면 없애려고 하는 미지수의 계수의 절댓값이 같아야 해요. 생각해보세요. 5x와 -5x를 더해야 x가 없어지겠죠? 5x에서 5x를 빼야 없어질 거 아니에요? 5x에서 4x를 빼거나 더해서는 x가 없어지지 않아요.

우리가 할 건 뭐냐면 미지수를 없앨 수 있게, 두 식의 미지수의 계수의 절댓값을 같게 만드는 거예요.

자 여기서 선택을 해야 합니다. 무슨 선택이냐면 어떤 미지수를 없앨 것인가를 고르는 거예요. 없앨 미지수를 선택할 때는 딱 한 가지 방법만 사용하세요. 각 미지수의 계수 절댓값의 최소공배수가 작은 쪽을 선택해요. 계산을 쉽게 하려면 숫자가 작아야 하니까 최소공배수가 작은 쪽을 선택하는 거예요.

x의 계수의 절댓값은 ①식이 5, ②식이 4, 두 수의 최소공배수는 20이에요. y의 계수의 절댓값은 ①식이 1, ②식이 3, 두 수의 최소공배수는 3이네요. 그럼 절댓값의 최소공배수가 작은 y를 없애기로 하죠.

지금부터 하는 건 미지수의 계수의 절댓값을 같게 하는 거예요. 그 이후의 과정에 앞서 했던 “연립방정식의 풀이법 – 가감법”과 같아요.

①식에 3을 곱해 볼게요. 식에 3을 곱한다는 말은 ①식의 모든 항에 3을 곱해주는 겁니다.

5x – y = 8
3(5x – y) = 3 × 8

①식에 3을 곱하면 15x - 3y = 24으로 바뀌는데 이 식을 ③식이라고 하죠

②식과 ③식을 비교해보세요. y의 계수의 절댓값이 같아졌죠? 자 그럼 이제 ②식과 ③식을 더하거나 빼서 미지수 y를 없애고 x만 남길 수 있다는 뜻이에요.

②식과 ③식의 y 계수는 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더해야겠네요.

15x - 3y + 4x + 3y = 24 + 14
19x = 38
x = 2

x = 2라는 값을 구했어요. 이렇게 나온 x = 2를 ①식, ②식 아무 식에나 대입하세요. ①식에 넣어보죠.

5 × 2 - y = 8
10 - y = 8
-y = -2
y = 2

y값도 구했네요. 연립방정식의 해는 x = 2, y = 2군요.

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해가 특수한 연립방정식

연립방정식이 무엇인지는 이해가 되죠? 연립방정식이란에서 살펴본 것처럼 연립방정식은 방정식을 두 개 이상 묶어놓은 걸 말해요. 그리고 간단한 예제도 풀어봤어요.

그런데 방정식의 공통 해를 찾기 위해서 일일이 숫자를 다 넣어봐야 할까요? 만약 미지수 x, y가 정수나 자연수라는 조건이 없다면 어떻게 하죠? 분수나 소수까지 일일이 넣어볼 수는 없는 노릇이잖아요.

그래서 숫자를 대입하지 않고 두 방정식을 변형해서 해를 구하는 방법을 알려줄게요.

연립방정식의 풀이 - 가감법

연립방정식을 푸는 방법은 두 가지가 있는데, 첫 번째는 가감법, 두 번째는 대입법이에요. 이 글에서는 가감법을 공부해 봐요.

연립방정식을 풀 때 가장 중요한 건 미지수의 개수를 줄이는 것입니다. 미지수가 2개이면 1개로 줄이는 거예요. 가감법과 대입법은 모두 미지수의 개수를 줄이는 방법이에요.

가감이란 말은 더하고 빼는 거죠. 그래서 가감법은 두 식을 서로 더하거나 빼서 미지수를 구하는 방법이에요. 두 식을 더한다는 게 무슨 말인지 이해가 안 되죠. 예제를 통해서 설명할게요.

미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 반대일 때 - 두 식을 더한다

다음 식을 만족시키는 자연수 x, y를 구하여라.

위에 있는 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②이라고 할게요. ①과 ②을 통째로 더해보죠. 두 식을 더한다는 건 등호를 기준으로 ①의 좌변과 ②의 좌변을 더하고 ①의 우변과 ②의 우변을 더하는 거예요.

① 좌변 + ② 좌변 = ① 우변 + ② 우변

x + y + x - y = 5 + 3

두 식을 더했더니 위처럼 되네요. 이제 좌변과 우변을 동류항끼리 계산해 보세요.

2x = 8

어떻게 됐나요? y가 없어지고 미지수가 x 하나뿐인 일차방정식으로 바뀌었죠? 미지수가 하나인 일차방정식은 우리가 1학년 때 공부했으니까 해를 구할 수 있죠.

x = 4

x = 4라는 값이 구해졌어요. x값을 구했으니까 y값을 구할 차례네요. y값을 구할 때는 x = 4를 이용합니다. x = 4를 ① 이나 ② 아무 식에나 넣어보죠. ①에 넣어볼까요? ①의 x 자리에 4를 대입했더니 아래 식처럼 바뀌었네요.

4 + y = 5

마찬가지로 미지수가 y 하나뿐인 일차방정식이 되었어요. 일차방정식을 풀어보면 y = 1이라는 값을 구할 수 있어요.

미지수가 x, y 2개였는데 그 미지수 값을 다 알아냈죠. x = 4, y = 1이 문제의 답이네요. (4, 1)이라고 써도 좋고요. 연립방정식이란에서 구한 해와 똑같죠?

이 문제에서는 ①과 ②에서 미지수 y의 계수의 절댓값이 1로 같고 부호가 반대지요? 이처럼 2개의 미지수 중 하나의 미지수의 절댓값이 같고 부호가 반대일 때는 두 식을 더해서 미지수의 개수를 줄여야 해요.

미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 같을 때 - 두 식을 뺀다.

다른 문제를 하나 더 풀어보죠.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

위에서 했던 것처럼 위에 있는 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②이라고 이름 붙이고, 두 식의 좌변끼리 우변끼리 더해보세요.

x + 2y + x - 3y = 6 + 1

각 변을 정리해보면 2x - y = 7가 돼요. 이상하죠? 위에서는 두 식을 더하면 미지수가 2개에서 하나로 줄었는데, 이번에는 미지수 2개가 그대로 있잖아요.

이럴 때는 두 식을 더하는 게 아니라 두 식을 빼보세요. 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리요. 두 식을 뺄 때는 ②의 좌변과 우변에 괄호를 넣는 것에 주의하세요.

① 좌변 - (② 좌변) = ① 우변 - (② 우변)

(x + 2y) - (x - 3y) = 6 - 1

위 식을 괄호를 풀어서 정리해보면
x + 2y - x + 3y = 5
5y = 5
y = 1

x가 없어지고 y만 남기 때문에 y값을 구할 수 있어요. 이 y = 1이라는 값을 ①이나 ② 아무 식에나 대입해보세요. ①에 대입해볼게요. 2y = 2 × y이니까 아래처럼 쓸 수 있어요.

x + 2 × 1 = 6
x + 2 = 6
x = 4

이제 x의 값도 구해졌네요. 그래서 위 연립방정식의 해는 x = 4, y = 1 이고요. (4, 1)이라고 써도 됩니다.

이 문제에서는 ①과 ②에서 미지수 x의 계수의 절댓값이 1로 같고 부호가 같아요 이처럼 2개의 미지수 중 하나의 미지수의 절댓값이 같고 부호가 같을 때는 두 식을 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요.

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