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유리수의 사칙연산 마지막 유리수의 곱셈과 나눗셈이에요.

유리수는 정수의 내용과 같아요. 이 글에서는 정수의 곱셈, 나눗셈과 다른 게 딱 하나 있어요. 바로 나눗셈에서 사용하는 역수인데요. 그것만 빼면 나머지는 완전히 같습니다. 연산법칙이 성립하는 것도 마찬가지고요.

정수의 곱셈, 곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 정수의 나눗셈, 정수의 사칙연산 혼합계산

정수와 유리수의 공통점과 차이점을 잘 기억하세요.

유리수의 곱셈과 나눗셈

유리수의 계산에서 부호를 정하는 게 제일 중요하죠. 부호는 음수의 거듭제곱의 지수와 음수의 개수에 따라 달라져요. 양수의 거듭제곱은 무조건 +로, 양수가 몇 개가 있던지 무조건 +에요. 음수만 영향을 준다는 걸 기억하세요.

부호를 결정했으면 그 숫자도 결정해야겠죠? 곱셈에서는 숫자(절댓값)를 곱하면 돼요. 나눗셈에서도 그냥 숫자끼리 나누기를 하면 돼요

다른 방법도 있어요. 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 것처럼 나눗셈을 곱셈으로 바꿔서 계산하는 거죠. 나눗셈을 곱셈으로 바꿀 때는 역수라는 걸 이용해요. 어떤 두 수를 곱했을 때 1이 되는 수를 서로 역수라고 하는 건 알고 있지요? 간단히 말해 분수의 분자와 분모를 서로 바꾸는 거잖아요. 단, 0은 역수가 없어요.

나눗셈에서는 ÷를 ×로 바꾸고 나누는 수를 역수로 바꾸는데, 이때 나누는 수의 부호는 바꾸지 않아요.

이것 하나만 주의하면 돼요.

역수로 바꾸면서 나눗셈이 곱셈으로 되었으니까 곱셈하는 방법 그대로 계산하면 돼요.

정수의 덧셈과 곱셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하죠? 정수의 뺄셈과 나눗셈에서는 성립하지 않고요. 마찬가지로 유리수의 덧셈과 곱셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하지만, 뺄셈과 나눗셈에서는 성립하지 않아요.

다음을 계산하여라.

역수를 이용해서 나눗셈을 곱셈으로 바꿔서 계산해보죠.

유리수의 사칙연산, 혼합계산

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등이 섞여 있는 계산식에서 먼저 계산해야 할 것과 나중에 해야 할 것이 있어요. 정수의 사칙연산에서의 순서와 같아요.

1. 괄호. ( ) → { } → [ ]
2. 거듭제곱
3. ×, ÷
4. +, -
5. 앞에서부터 차례대로

다음을 계산하여라.

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정수의 사칙연산 마지막 나눗셈입니다.

정수의 나눗셈은 하나도 어렵지 않아요. 왜냐하면, 정수의 곱셈하고 같으니까요. 정수의 곱셈만 할 줄 안다면 정수의 나눗셈은 거저먹기에요.

그리고 정수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 있는 사칙연산의 혼합계산도 공부할 겁니다. 곱하기와 더하기가 있는 식에서 무엇을 먼저 계산해야 하는지 알고 있죠? 여기에서는 거듭제곱까지 포함해서 여러 종류의 연산이 동시에 있을 때 어떻게 하는지 알아보죠.

정수의 나눗셈

정수의 곱셈에서 부호가 같은 두 정수의 곱은 (+), 부호가 다른 두 정수의 곱은 (-) 였죠? 거듭제곱과 여러 정수의 곱셈에서는 음수의 개수나 음수의 지수가 짝수면 (+), 홀수면 (-)였어요. 정수의 나눗셈도 정수의 곱셈과 같아요.

정수의 뺄셈은 정수의 덧셈으로 바꿀 수 있죠? 정수의 나눗셈도 정수의 곱셈으로 바꿀 수 있거든요. 그래서 정수의 곱셈과 나눗셈의 방법이 같아요.

그리고 0으로 나누는 경우는 생각하지 않아요. 그 어떤 경우라도 0으로 나누는 경우는 없어요.

정수의 나눗셈
부호가 같은 두 정수: 두 정수의 절댓값을 나눠주고, 부호는 (+)
(+) ÷ (+) = (+), (-) ÷ (-) = (+)
부호가 다른 두 정수: 두 정수의 절댓값을 나눠주고, 부호는 (-)
(+) ÷ (-) = (-), (-) ÷ (+) = (-)
 
음수의 개수가 0 또는 짝수일 때 → 결과는 (+)
음수의 개수가 홀수일 때 → 결과는 (-)

다음을 계산하여라.
(1) (+2) ÷ (+1)
(2) (+8) ÷ (-2)
(3) (-2) ÷ (+8)
(4) (-54) ÷ (-3) ÷ (+9) ÷ (-1)

(1)은 두 정수의 부호가 같으니까 (+)가 나오겠네요. (+2)

(2)에서는 두 정수의 부호가 다르니까 (-)에요. (-4)

(3)도 두 정수의 부호가 다르니까 (-)에요. (-¼)

(4) 총 4개의 정수가 있는데, 그 중 음수인 정수가 3개 있어요. 음수의 개수가 홀수이므로 부호는 (-)에요. (-54) ÷ (-3) ÷ (+9) ÷ (-1) = (-2)

정수의 덧셈과 정수의 곱셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립해요. 정수의 뺄셈에서는 성립하지 않죠. 정수의 나눗셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립할까요?

위 예제의 (2), (3)을 보세요. 정수는 같고, 위치만 달라요. 그런데 결과도 다르죠? 결국, 정수의 자리를 바꿔도 식의 결과가 같아야 교환법칙이 성립하는데, 그렇지 않다는 걸 알 수 있어요.

{(+4) ÷ (+2)} ÷ (-2) = (+2) ÷ (-2) = (-1)
(+4) ÷ {(+2) ÷ (-2)} = (+4) ÷ (-1) = (-4)
두 식에서 {}의 위치를 바꿨더니 식의 결과가 달라졌어요. 결합법칙이 성립하지 않음을 알 수 있죠.

정수의 사칙연산

정수의 사칙연산을 총정리해보죠. 정수의 사칙연산에서는 무엇보다도 부호가 가장 중요해요.

정수의 덧셈, 정수의 뺄셈, 정수의 곱셈

정수의 사칙연산 혼합계산

여러 연산이 혼합되어 있을 때는 계산을 먼저 하는 게 있어요. 연산의 우선순위라고 하는데, 다음의 순서대로 합니다.

1. 괄호. ( ) → { } → [ ]
2. 거듭제곱
3. ×, ÷
4. +, -
5. 앞에서부터 순서대로

다음을 계산하여라.
(1) (+2) + (-2) × (-3)²
(2) (+7) - {(-4) × (-1)} ÷ (+2)
(3) (+4) ÷ {(-3) + (+2)}³

(1)에는 +, ×, 거듭제곱의 연산이 있어요. 순서는 거듭제곱, ×, + 순이죠.
(+2) + (-2) × (-3)²
= (+2) + (-2) × (+9)
= (+2) + (-18)
= (-16)

(2)에는 -, ×, ÷ 가 있어요. ×와 ÷가 먼저인데, ×가 { } 로 안에 있으니까 가장 먼저고, ÷가 그다음, -가 가장 마지막이에요.
(+7) - {(-4) × (-1)} ÷ (+2)
= (+7) - (+4) ÷ (+2)
= (+7) - (+2)
= (+7) + (-2)
= (+5)

(3)에는 ÷와 거듭제곱이 있고 괄호 안에 +가 있어요. 가장 먼저 괄호 안을 계산하고 거듭제곱, 곱셈의 순서로 계산해요.
(+4) ÷ {(-3) + (+2)}³
= (+4) ÷ (-1)³
= (+4) ÷ (-1)
= -4

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정수의 덧셈과 정수의 뺄셈을 공부했는데요. 따로 배웠죠? 이제는 이 둘이 한꺼번에 있을 때 계산하는 방법을 공부할 거예요.

둘이 같이 있다는 건 계산할 게 많아진다는 것이기도 하지요. 따라서 연산기호와 부호를 주의해서 보세요.

정수의 덧셈과 뺄셈 혼합계산은 처음에는 어려워서 많이 틀리지만, 나중에 계산에 익숙해지면 부호를 잘못 봐서 틀리는 경우가 많아요. 연산기호와 부호를 세심하게 잘 볼 수 있도록 많이 연습하세요.

정수의 덧셈과 뺄셈 혼합계산

괄호가 있을 때

여러 정수의 덧셈과 뺄셈이 섞여 있을 때의 계산법이에요.

여러 연산이 섞여 있을 때는 모든 계산을 한 가지 연산으로 바꿔서 하면 좋아요. 정수의 뺄셈은 정수의 덧셈으로 바꿔서 계산하잖아요. 그러니까 모두 덧셈으로 만드는 게 더 쉽겠죠?

1. 정수의 덧셈과 뺄셈이 혼합된 계산에서는 가장 먼저 뺄셈을 덧셈으로 바꿔요.
2. 교환법칙을 이용해서 정수의 부호가 같은 것끼리 모아요. 부호가 같은 걸 더하는 게 다른 걸 더하는 것보다는 쉽잖아요.
3. 부호가 같은 것끼리 다 더하면 양의 정수 하나와 음의 정수 하나가 남아요.
4. 마지막으로 이 둘을 더해요.

사실 ②번 과정을 꼭 필요한 건 아니에요. 하지만 이렇게 하면 계산이 더 쉬워지니까 하는 거예요.

다음을 계산하여라.
(1) (+7) - (-6) - (+3) + (-2)
(2) (-3) + (+1) - (+2) - (-4)

순서대로 잘 해보세요.

첫 번째는 모든 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 거예요. 그 다음 양의 정수끼리, 음의 정수끼리 모아서 따로 계산하고, 마지막으로 양의 정수와 음의 정수를 더하는 거죠.

(1) (+7) - (-6) - (+3) + (-2)
= (+7) + (+6) + (-3) + (-2)
= (+13) + (-5)
= (+8)

(2) (-3) + (+1) - (+2) - (-4)
= (-3) + (+1) + (-2) + (+4)
= (-3) + (-2) + (+1) + (+4)
= (-5) + (+5)
= 0

괄호가 없을 때

괄호가 없는 정수의 덧셈과 뺄셈의 혼합계산이에요. 괄호가 없다는 건 정수의 부호가 나오지 않는다는 거예요. 정수에 부호가 없다는 건 양의 정수(자연수)라는 얘기죠. 양의 정수는 부호를 생략할 수 있으니까요.

부호가 없을 때에는 부호를 붙여서 양의 정수로 써주는 게 첫 번째예요. 부호를 써주면 자연스럽게 괄호를 쳐주게 되거든요. 괄호가 있는 계산은 위에서 했던 정수의 덧셈, 뺄셈 혼합계산 방법 그대로 하면 돼요.

3 - 7 + 5 - 2를 계산해볼까요? 얼핏 보면 자연수의 뺄셈이니까 계산할 수 있을 것 같은데, 3 - 7은 계산이 안 되죠. 여기에 나와 있는 숫자 3, 7, 5, 2는 전부 자연수예요. (+) 부호를 붙여서 양의 정수로 만들어주면 (+3) - (+7) + (+5) - (+2)라는 식으로 바꿀 수 있어요.

괄호가 있는 정수의 덧셈과 뺄셈으로 바꾼 다음에는 할 수 있겠죠?

다음을 계산하여라.
(1) 1 - 4 + 5 - 2
(2) 7 - 2 + 5 - 6

괄호가 없는 식에서는 각 자연수에 (+) 부호를 붙여 양의 정수로 만들어 줘야 해요. 그다음은 혼합계산의 과정을 그대로 따르고요.

(1) 1 - 4 + 5 - 2
= (+1) - (+4) + (+5) - (+2)
= (+1) + (-4) + (+5) + (-2)
= (+1) + (+5) + (-4) + (-2)
= (+6) + (-6)
= 0

(2) 7 - 2 + 5 - 6
= (+7) - (+2) + (+5) - (+6)
= (+7) + (-2) + (+5) + (-6)
= (+7) + (+5) + (-2) + (-6)
= (+12) + (-8)
= (+4)

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