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중3 때, 한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서 이차방정식의 계수가 유리수이고, m + n가 근이면 m - n도 근이 된다고 했어요. 이 글은 위 내용의 확장판입니다.

켤레근은 켤레복소수하고 비슷하죠? 이 둘을 연관 지어서 공부하면 이해하는 데 도움이 될 겁니다. 켤레근을 이용하면 이차방정식의 근을 조금 더 쉽게 구할 수 있어요.

이차방정식의 켤레근이 무엇이고, 이 켤레근은 어떤 성질을 가졌는지 알아보죠.

이차방정식의 켤레근

켤레라는 말은 켤레복소수, 켤레복소수의 성질에서 들어본 적이 있어요. 복소수에서 허수부분의 부호를 반대로 바꾼 복소수를 서로의 켤레복소수라고 한다고 했지요.

이차방정식의 근이 복소수일 때, 허수부분의 부호가 반대인 두 근을 서로 켤레근이라고 해요.

대신 이때는 이차방정식의 계수가 모두 실수여야 해요. 계수에 허수가 들어있으면 켤레근이 생기지 않아요.

x² + ix + 1 = 0의 근을 구해보죠.

두 근이 로 -i의 부호는 그대로여서 켤레관계가 아니죠? 허수가 포함된 항이 두 개 이상이 되고, 이때 모든 허수항의 부호가 반대로 되어야 하는데, 그렇지 않아서 켤레근이 생기지 않는 거예요.

근이 복소수가 아니라 실수일 때도 켤레근이 생겨요. 바로 무리수의 부호가 서로 반대인 두 근을 켤레근이라고 합니다.

x² - 5x + 5 = 0의 해를 구해보죠.

두 근이 로 무리수부분의 부호가 반대죠? 이런 근을 켤레근이라고 하는 거예요.

무리수 부분의 부호가 반대인 켤레근을 가지려면 이차방정식의 계수가 모두 유리수여야 해요.

이차방정식의 켤레근
이차방정식의 계수가 유리수일 때: 무리수 부분의 부호가 서로 반대인 근
이차방정식의 계수가 실수일 때: 허수 부분의 부호가 서로 반대인 근

이차방정식 켤레근의 성질

근의 공식을 잘 보면 ±을 기준으로 해서 유리수부분과 무리수부분으로 나뉘거나 실수부분과 허수부분으로 나뉘게 돼요. 이 ±때문에 켤레근은 항상 함께 이차방정식의 근이 되는 걸 알 수 있어요.

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)일 때,

이차방정식 켤레근의 성질
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)일 때
a, b, c 가 유리수이고 m + n가 근이면 m - n도 이차방정식의 근 (m, n은 유리수, n ≠ 0, 는 무리수)
a, b, c 가 실수이고 m + ni가 근이면 m - ni도 이차방정식의 근 (m, n은 실수, n ≠ 0)

위에서 조심해야할 게 의 유리수, i앞의 실수 n ≠ 0이라는 거예요. 만약에 m = 3이고 n = 0이라면 x = 3 + 0i or x = 3 – 0i가 되어 x = 3이라는 중근을 갖는 것처럼 보이죠.

하지만 한 근이 3이라고 해서 반드시 중근이 되는 건 아니에요. (x – 1)(x – 3) = 0은 한 근이 3이지만 다른 근은 1이잖아요.

이차방정식의 계수가 유리수이고 한 근이 무리수 근일 때, 이차방정식의 계수가 실수이고 한 근이 복소수 근일 때만 위의 관계가 성립한다는 걸 알아두세요.

이차방정식 x² + ax + b = 0의 한 근이 5 + 3i일 때, 실수 a, b를 구하여라.

이차방정식의 계수는 1, a, b인데 a, b가 실수라고 했으니 이 이차방정식은 복소수로 된 켤레근을 가져요. 한 근이 5 + 3i라고 했으니 다른 한 근은 5 - 3i가 되겠네요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 a, b를 구해보죠.

두 근의 합 = -a = 5 + 3i + 5 - 3i = 10
a = -10

두 근의 곱 = b = (5 + 3i)(5 - 3i) = 25 + 9 = 34

따라서 a = -10, b = 34

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이차방정식 구하기 두 번째입니다. 이전 글 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서는 두 근이 주어졌을 때와 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식을 구하는 법을 알아봤어요.

이번 글에서는 두 근이 아니라 한 근만 알려줬을 때, 이차방정식을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 근을 하나만 알려줬다고 해서 근이 하나만 있는 건 아니에요. 중근이라서 하나만 가르쳐주는 경우도 있지만 근이 두 개인데 그 중 하나만 알려주는 경우도 있거든요. 두 경우를 잘 구분하고, 어떻게 근을 구하는 지 알아보죠.

중근을 알려주었을 때

중근이라는 건 같은 근이 두 개가 있다는 뜻이죠? 따라서 한 근을 α라고 한다면 다른 근 역시 α라고 할 수 있죠.

두 근이 α, β이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0

위 식에 대입해보면 a(x - α)(x - α) = 0이라서 좌변을 정리하면 a(x - α)² = 0라는 식이 돼요.

주어진 근이 중근이라면 기존에 사용했던 방법에 그대로 대입해서 구할 수 있다는 얘기에요. 공식의 모양이 아래처럼 바뀝니다.

중근이 α이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)² = 0

x = 3을 중근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.

공식에 바로 대입하죠.

2(x - 3)² = 0
2(x² - 6x + 9) = 0
2x² - 12x + 18 = 0

생각보다 어렵지 않죠?

계수가 유리수인 이차방정식

계수가 유리수인 이차방정식은 새로운 내용이 아니에요. 복잡한 이차방정식의 풀이에서 봤던 계수가 소수나 분수인 이차방정식을 말합니다. 물론 여기에는 계수가 정수인 이차방정식도 포함하는 거죠. 즉, 우리가 다루었던 모든 이차방정식을 그냥 이름만 거창하게 붙여놓은 거예요.

계수가 유리수인 이차방정식의 특징이 있어요. 계수가 유리수고 한 근이 무리수면 다른 한 근을 계산해보지 않아도 구할 수 있어요.

근의 공식을 한 번 생각해보세요.

ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)

근은 유리수 부분과 무리수 부분으로 나눠져 있어요. 그런데 유리수 부분은 같고, 무리수 부분은 부호만 다르죠. 한 근은이고 다른 한 근은이니까요.

그러니까 주어진 근이 무리수라면 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대인 것이죠. 한 근만 알려줬지만 실제는 두 근 모두를 알려준 거예요.

계수가 유리수고 한 근이 m + n이면
⇒ 다른 한 근은 m - n
(m, n은 유리수, ≠ 0)

두 근을 구한 다음에는 합과 곱을 이용해서 이차방정식을 구합니다.

두 근의 합이 m이고, 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x² - mx + n) = 0
a(x² - 합x + 곱) = 0

한 근이 2 -이고 계수가 유리수인 이차방정식을 구하여라. (단 이차항의 계수는 2이다.)

일단 계수가 유리수이고, 근은 무리수에요. 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대라고 했죠? 한 근이 2 - 라면 다른 근은 2 + 에요.

두 근의 합은 (2 - ) + (2 + ) = 4
두 근의 곱은 (2 - )(2 + ) = 4 - 5 = -1

따라서 문제에서 구하는 답은 아래와 같아요.

2(x² - 4x - 1) = 0
2x² - 8x - 2 = 0

주의 해야할 내용 - 근이 유리수라면

여기서 주의해야할 것이 하나 있는데요. 계수가 유리수이더라도 근이 유리수면 위 관계는 성립하지 않는다는 거예요.

예를 들어 한 근이 3이라고 하죠. 3은 3 +이니까 무리수 부분의 부호만 바꿔서 다른 근을 구하면 3 - = 3이 되죠? 그렇다면 두 근 모두 3이니까 중근이라고 할 수 있을까요?

절대 안됩니다. 중근이었다면 중근이라고 분명히 얘기를 해 줬을 거예요.

(x – 1)(x – 3) = 0의 경우처럼 한 근이 3일 때 다른 근이 1이 될 수도 있거든요. 이런 경우에는 이차방정식의 해의 정의에 따라 3을 식에 대입해서 다른 계수를 구하는 방법으로 풀어야 해요

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