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부채꼴 호의 길이와 넓이를 중학교 1학년 때 구해봤어요. (부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이) 이때는 각이 육십분법으로 표시되어 있었죠. 이제는 육십분법이 아니라 호도법으로 표시된 각을 이용해서 부채꼴 호의 길이와 넓이를 구해봐요.

공식을 유도하는 과정은 육십분법에서 했던 과정과 똑같아요. 각을 표시하는 방법만 달라지는 거니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 앞으로는 육십분법이 아니라 호도법으로 각을 나타낼 거니까 여기에 나오는 공식을 외워두세요.

부채꼴 호의 길이와 넓이

반지름의 길이가 r인 원에서 중심각의 크기가 θ라디안인 부채꼴 호의 길이를 l이라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.

부채꼴 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 원의 둘레와 비례식을 세워보죠.

2π : 2πr = θ : l
l = rθ

원의 넓이와 부채꼴의 넓이도 비례식을 세워볼까요?

2π : πr² = θ : S

위의 부채꼴 호의 길이에서 l = rθ이므로 이걸 넓이 공식에 대입해보면 이 돼요. rl이라는 공식은 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이 공식도 나왔던 공식이에요.

반지름이 r이고 중심각의 크기가 x°인 부채꼴 호의 길이와 넓이는 다음과 같아요.

이글에서는 육십분법을 호도법으로 바꾼 거니까 다른 건 그냥 다 두고 각도를 나타내는 부분만 바꿔보죠. 360°는 2π(라디안), 중심각 x°는 θ(라디안)로 바꿔봐요.

공식을 유도할 수 있겠죠?

부채꼴 호의 길이
반지름이 r이고, 중심각의 크기가 θ인 부채꼴 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면
l = rθ
S = r²θ = rl

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 π인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 &pi니까 둘레 l = rθ = 4 × π = 4π(cm)

S = r²θ = × 4² × π = 8π(cm²)

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앞서 원주각과 중심각의 크기에서는 원주각은 중심각의 절반이고, 중심각은 원주각의 두 배라는 걸 공부했어요.

1학년 때, 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴의 넓이가 정비례한다는 걸 공부했어요. 현의 길이는 중심각의 크기와 전혀 상관이 없다는 것까지요.

이 글에서는 원주각과 중심각의 관계, 부채꼴 중심각의 크기와 부채꼴 호의 길이는 정비례한다는 사실 두 가지를 하나로 합쳐서 원주각의 크기와 호의 길이는 서로 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요.

원주각의 크기와 호의 길이

원주각과 중심각의 크기에서 원주각의 크기는 중심각 크기의 절반이라고 했어요. 서로 다른 두 호에 대한 원주각의 크기가 같으면 중심각의 크기도 서로 같아져요. 1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이도 같다는 걸 공부했어요.

이 두 가지를 정리해보면, 서로 다른 두 호에 대한 원주각의 크기가 같으면 중심각이 같고, 중심각이 같으면 호의 길이가 같아요. 즉 크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이가 같아지죠.

서로 다른 두 호에서 원주각의 크기가 같다. → 중심각의 크기가 같다. → 호의 길이가 같다.

∠APB = ∠CQD
  → ∠AOB = ∠COD   (∵ 2∠APB = ∠AOB, 2∠CQD =  ∠COD)
  → 호AB = 호CD

이 명제의 역도 성립해요. 호의 길이가 같으면 이에 대한 원주각의 크기도 같아요.

한 원 또는 지름이 같은 원에서
크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 같다.
길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다.

원주각의 크기와 호의 길이는 정비례

1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 부채꼴의 중심각과 호의 길이는 정비례한다는 걸 공부했어요. 호에 대한 중심각은 원주각의 두 배니까 중심각 자리에 원주각을 넣으면 역시 비례가 성립하지요. 

∠AOB : ∠COD = 호AB : 호CD
 → 2∠APB : 2∠CQD = 호AB : 호CD  ( ∵  2∠APB = ∠AOB, 2∠CQD = ∠COD)
 → ∠APB : ∠CQD = 호AB : 호CD

한 원 또는 지름이 같은 원에서
원주각의 크기 ∝ 호의 길이
중심각의 크기 ∝ 호의 길이
현의 길이는 중심각, 원주각의 크기와 비례하지 않는다.

그림처럼 원 위에 8개의 점이 있다. 이 점들 간의 거리가 모두 같을 때, 다음을 구하여라.
(1) 호EF의 중심각과 크기가 같은 원주각을 갖는 호를 모두 찾아라.
(2) ∠DBE와 같은 길이의 호를 갖는 원주각을 모두 찾아라.

우선 각 점들 간의 거리가 같다고 했으니 각 점들로 이루어진 호의 길이가 같겠죠? 이 호의 길이를 a라고 놓아보죠. 또 각 호의 길이가 같으니까 이 호의 길이에 대한 원주각의 크기도 같은데, 이 각을 x라고 놓아보죠.

(1) 호EF의 길이는 a이고, 원주각의 크기는 x에요. 중심각의 크기는 2x겠네요.
즉, 문제는 원주각의 크기가 2x인 호를 찾으라는 건데, 크기가 2x인 원주각은 ∠EAG, ∠DBF, ∠AGC이므로 호EG와 호DF, 호AC가 되겠네요.

(2) ∠DBE에 대한 호의 길이는 a이고 원주각의 크기는 x에요. 호의 길이가 같으면 원주각의 크기도 같아요. 각의 크기가 x인 원주각은 ∠EBF, ∠BEA네요.

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이 글에서는 원주각과 중심각에 대해서 공부합니다.

1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 중심각이 뭔지는 공부했어요. 중심각은 부채꼴에서 호와 반지름 두 개로 이루어진 각을 말했는데요.

이 글에서는 부채꼴이 아니라 호에 관해서 배우기 때문에 호의 중심각이라고 합니다. 호의 중심각과 부채꼴의 중심각은 그림이 똑같아요. 다만 기준을 어디에 두고 보느냐에 따라 이름이 달라지는 것 뿐이죠.

원주각의 뜻과 성질, 그리고 원주각과 중심각의 관계에 대해서 알아보죠.

원주각과 중심각의 크기

원주각은 이름 그대로 원주에 있는 각 이에요. 원주는 원의 둘레를 말하죠? 그러니까 원 위에 있는 각인데, 그냥 원 위에 있는 게 아니에요. 원 위에 가 있다면 그 나머지 부분이 있잖아요. 그 나머지 부분 위에 임의의 한 점 P를 잡고, 호의 양 끝점인 점 A, 점 B와 점 P를 연결해서 만들어진 ∠APB를 에 대한 원주각이라고 해요.

중심각은 에서 양 끝점인 점 A, 점 B와 원의 중심 점 O를 연결해서 만든 ∠AOB를 말합니다.

2 × 원주각 = 중심각
원주각 = ½ 중심각

중심각은 원주각의 두 배에요. 증명해볼까요? 세 가지 경우로 나누어서 증명해보죠.

원의 중심 O가 ∠APB 내부에 있을 때

점 P와 점 O를 연결하는 선을 하나 그어보죠. 이 선이 원주와 만나는 점을 점 Q라고 할게요.

△OAP와 △OBP가 생기는데요.

△OAP에서  = 반지름 r이므로 △OAP는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 성질에 따라 두 밑각의 크기가 같으니까 ∠OAP = ∠OPA죠.

삼각형 외각의 크기에서 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각의 합)이라는 걸 공부했죠? ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA

△OBP에서  = 반지름 r이므로 △OBP는 이등변삼각형이에요. ∠OBP = ∠OPB

한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB

중심각 ∠AOB = ∠AOQ + ∠BOQ = 2∠OPA + 2∠OPB = 2(∠OPA + ∠OPB) = 2∠APB입니다.

따라서 ∠AOB = 2∠APB.   (증명 끝.)

원의 중심 O가 ∠APB 외부에 있을 때

점 P와 점 O를 연결하는 선을 하나 긋고 이 선이 원주와 만나는 점을 점 Q라고 할게요.

△OAP와 △OBP가 생기는데요.

△OAP에서  = 반지름 r이므로 △OAP는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 성질에 따라 두 밑각의 크기가 같으니까 ∠OAP = ∠OPA죠.

삼각형 외각의 크기에서 한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA

△OBP에서  = 반지름 r이므로 △OBP는 이등변삼각형이에요. ∠OBP = ∠OPB

한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB

중심각 ∠AOB = ∠BOQ - ∠AOQ = 2∠OPB - 2∠OPA = 2(∠OPB - ∠OPA) = 2∠APB입니다.

따라서 ∠AOB = 2∠APB.   (증명 끝.)

원의 중심 O가 위에 있을 때

증명이 제일 쉬운데요.

△OBP에서  = 반지름 r이므로 △OBP는 이등변삼각형이에요. ∠OBP = ∠OPB

한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠AOB = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB = 2∠APB

∠AOB = 2∠APB    (증명 끝.)

원주각의 성질

한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 같다.

위 증명에서 세 가지 경우를 봤는데, 모두 원주각의 크기는 중심각의 절반이었어요. 세 원주각이 같다는 얘기잖아요. 원주각의 위치에 상관없이 원과 호가 같으면 원주각의 크기도 같아요.

지름에 대한 원주각의 크기는 90°

이번에는 중심각이 평각인 180°일 경우를 보죠.

중심각이 평각이 되는 경우는 지름일 때 또는 반원일 때에요. 원주각은 중심각 크기의 절반이니까 이때의 원주각은 90°가 되겠죠?

원주각의 크기가 90°라는 건 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 만들어진다는 거예요. 삼각비, sin, cos, tan, 피타고라스의 정리와 연관된 문제가 출제된다는 것도 예상할 수 있겠죠?

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원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 원과 그 친구들에 대해서 알아봤어요.

이제는 원에 대해서 조금 더 알아보죠. 초등학교 때 원의 넓이와 원의 둘레를 구했는데, 공식 기억하고 있죠?

원의 둘레 공식, 원의 넓이 공식
원의 둘레 = 반지름 × 2 × 3.14
원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 3.14

솔직히 원의 넓이와 원의 둘레를 구하는 게 계산하기 귀찮았잖아요. 조금만 실수해도 틀렸다고 하고.

이제 이런 걱정할 필요가 없어요. 원의 둘레, 원의 넓이를 구하는 방법이 매우 쉬워졌거든요.

원주율

원주율은 원의 지름에 대한 원의 둘레의 길이의 비를 말해요. 이건 초등학교 때 이미 공부했어요. 숫자로 하면 얼마라고 했나요? 3.14죠.

이제 중학교에서는 3.14라는 걸 쓰지 않아요. 왜냐? 계산하기 복잡할 뿐만 아니라 3.14가 정확한 숫자가 아니니까요.

중학교에서는 3.14 대신에 π라는 걸 써요. 파이라고 읽어요. 한글 모음 ㅠ처럼 생겼는데, 아래에 세로로 그어진 부분의 끝을 왼쪽과 오른쪽으로 살짝 나오게 써요. 앞으로 계산할 때 3.14 대신에 π를 쓰세요.

원의 둘레와 원의 넓이

원의 둘레 길이와 원의 넓이 구하는 공식이 아래처럼 바뀌었어요.

반지름의 길이를 r (Radius), 원의 둘레의 길이를 l(Length), 원의 넓이를 S(Square)라고 해보죠.

원의 둘레 길이(원주, l)와 넓이(S)
l = 2 × 반지름 × 3.14 = 2πr
S = 반지름 × 반지름 × 3.14 = πr²

예를 들어 반지름이 10cm인 원의 둘레는 10cm × 2 × 3.14 = 62.8cm라고 하지 않고, 2 × π × 10cm = 20πcm라고 써요.

넓이는 10cm × 10cm × 3.14 = 314cm²이 아니라 π × (10cm)² = 100πcm²이라고 하고요.

3.14를 곱하지 않아도 되니까 계산이 훨씬 간결해졌죠?

부채꼴 호의 길이와 부채꼴의 넓이

이번에는 부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이에 대해서 생각해보죠.

부채꼴에서도 원의 반지름은 r(Radius), 부채꼴의 호의 길이를 l(Length), 부채꼴의 넓이를 S(Square), 중심각의 크기를 x°라고 해보죠.

부채꼴에서 호의 길이는 부채꼴의 중심각에 정비례한다고 했어요. 원의 중심각이라는 용어는 없지만 원도 부채꼴처럼 중심에 각이 있죠? 한 바퀴 뺑 돌았으니까 이 각의 크기는 360°잖아요. 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 부채꼴의 중심각에서 부채꼴의 호의 길이를 구하는 예제에서 비례식을 이용해서 풀었었죠? 여기서도 비례식으로 풀어보죠.

원의 중심각 : 원의 둘레 = 부채꼴의 중심각 : 부채꼴 호의 길이
360 : 2πr = x : l
360 × l = 2πr × x
l = 2πr × x ÷ 360

부채꼴의 넓이도 중심각에 정비례한다는 사실을 이용해서 비례식으로 풀어보죠.

원의 중심각 : 원의 넓이 = 부채꼴의 중심각 : 부채꼴의 넓이
360 : πr² = x : S
360 × S = πr² × x
S = πr² × x ÷ 360

부채꼴 호의 길이(l)와 넓이(S)

넓이 구하는 공식이 두 개죠? 아래에 있는 공식은 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식이에요.

가끔은 부채꼴의 중심각을 가르쳐주지 않고 부채꼴 호의 길이를 알려주고 넓이를 구하는 경우도 있거든요. 부채꼴 호의 길이를 이용할 수 있도록 넓이 구하는 공식을 조금 변형하면 돼요.

아래 그림을 보고 색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이를 구하여라.

(1)은 도넛 모양이네요. 색칠한 부분 전체의 둘레는 바깥에 있는 큰 원의 둘레와 안에 있는 작은 원의 둘레를 더해줘야겠죠?
바깥 큰 원의 둘레 = 2πr = 2π × 6 = 12π
안쪽 작은 원의 둘레 = 2πr = 2π × 4 = 8π
전체의 둘레 = 12π + 8π = 20π(cm)네요.

넓이는 큰 원의 넓이에서 작은 원의 넓이를 빼줘야겠죠?
큰 원의 넓이 = πr² = π6² = 36π
작은 원의 넓이 = πr² = π4² = 16π
36π - 16π = 20π(cm²)군요.

오른쪽 (2)에서는 45°만큼 비어있어요. 따라서 이 부채꼴의 중심각은 (360° - 45°) = 315°예요.

둘레의 길이는 중심각이 315°인 부채꼴 호의 길이에 반지름 6cm를 두 번 더해줘야겠죠?
부채꼴 호의 길이 = 2πr × x ÷ 360 = 2π × 6 × 315 ÷ 360 = 10.5π
색칠한 부분 둘레의 길이는 (10.5π + 12)cm군요.

넓이는 중심각이 315°인 부채꼴의 넓이를 구하면 되겠네요.
부채꼴의 넓이 = πr² × x ÷ 360 = π6² × 315 ÷ 360 = 31.5π(cm²)입니다.

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다각형에 이어 이번에는 원이에요.

다각형은 여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면도형이었어요.

이번에는 선분이 아닌 것들로 둘러싸인 도형을 공부할 거예요. 바로 원과 그 친구들이죠.

원은 초등학교 때 지름, 반지름, 넓이 구하는 걸 하면서 공부했어요. 그때의 내용이 또 나와요. 하지만 고맙게도 계산은 훨씬 쉬워졌어요. 기대하세요.

원, 호, 현, 활꼴, 부채꼴

원은 한 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들로 이루어진 도형이에요. 그리고 그 한 점을 원의 중심이라고 하고, 일정한 거리를 우리는 반지름이라고 하지요.

호는 원의 일부분인데, 원 위의 두 점을 양 끝으로 하는 원의 일부를 말해요. 이때 양 끝점이 A, B이면 호 AB라고 부르고 기호로 로 나타내요. 선분 AB는 AB 위에 반듯한 선을 그어서 로 표시했는데, 호는 AB 위에 곡선을 그어서 표시해요.

A와 B를 양 끝점으로 하고, 중간에 점 C를 지나는 호는 정확한 경로를 알 수 있게 호 ACB라고 불러요.

현은 원 위의 두 점을 이은 선분을 말해요. 현이 지나는 두 점이 AB이면 현 AB라고 부르고 기호로 로 표시해요. 현은 반듯한 선분이라서 기호도 그냥 선분 기호를 사용해요.

현 중에서 원의 중심을 지나는 현을 지름이라고 하고, 지름은 현 중에서 길이가 가장 길어요.

활꼴은 이름 그대로 활처럼 생겼어요. 호와 현으로 이루어진 도형을 말해요.

부채꼴은 부채모양처럼 생겼고요. 호와 원의 반지름 두 개로 이루어진 도형이에요. 부채꼴에는 두 반지름이 원의 중심에서 만나서 생기는 각이 있지요? 이 각을 부채꼴의 중심각이라고 불러요.

부채꼴과 중심각

부채꼴의 중심각은 중요한 의미가 있어요. 바로 중심각에 따라 부채꼴 호의 길이와 부채꼴의 넓이가 달라지기 때문이죠.

하나의 원이나 합동인 두 원에서

• 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이가 같다
• 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 부채꼴의 넓이도 같다.
• 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 현의 길이도 같다.
• 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴 호의 길이
• 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴의 넓이
• 부채꼴의 중심각과 현의 길이는 정비례하지 않는다.

위에서 ∝ 표시는 정비례 표시에요. 중심각이 2배, 3배로 커지면 그에 따라 부채꼴 호의 길이도 2배, 3배로 길어진다는 뜻이에요. 부채꼴의 넓이도 마찬가지고요. 단, 현의 길이는 정비례하지 않아요.

아래 그림을 보고 x의 길이를 구하시오.

위 그림에서 x는 부채꼴 호의 길이에요. 한 원에서 부채꼴의 중심각과 부채꼴 호의 길이는 정비례한다고 했어요.

위에 있는 부채꼴의 중심각은 40°이고, 호의 길이는 xcm예요. 아래에 있는 부채꼴의 중심각은 120°이고 호의 길이는 9cm고요. 정비례하니까 비례식으로 풀어보죠.

40° : xcm = 120° : 9cm
120° × xcm = 40° × 9cm
x = 40 × 9 ÷ 120
x = 3

x는 3cm네요.

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