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절댓값 기호를 포함한 부등식은 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나누어서 계산해요.

이 글에서는 절댓값 기호가 두 개 있을 때의 풀이법이에요. 한 개 있을 때와 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 작을 때로 나눠서 푸는데, 절댓값 기호가 두 개가 있으니까 총 네 가지 경우의 수가 생기겠죠?

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 해봤던 내용이에요. 등호만 부등호로 바뀐 거니까 잘 이해하길 바라요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질의 성질에서 절댓값 기호가 있을 때는 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나눠서 한다고 했죠?

절댓값 기호가 두 개인 부등식에서는 조건의 개수만 많아진 것일 뿐 원리는 같아요.

절댓값 기호를 포함한 부등식은 아래와 같은 순서대로 문제를 풀어요.

1. 절댓값안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
2. ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
3. 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
4. 부등식의 해를 구한다.
5. 부등식의 해가 ③에서 적용한 x의 범위 조건에 맞는지 확인
6. 해가 조건을 만족시키는 경우에만 부등식의 해
7. 각 범위에서 구한 모든 해가 문제의 답

|2x - 6| - |x - 6| > 0를 한 번 풀어보죠.

먼저 |2x - 6|부터 보죠.
2x - 6 ≥ 0 → x ≥ 3
2x - 6 < 0 → x < 3

이번에는 |x - 6|을 볼까요?
x - 6 ≥ 0 → x ≥ 6
x - 6 < 0 → x < 6

총 네 가지 경우가 생기는데, 이걸 수직선에 그려보면 아래처럼 돼요.

3과 6 사이에 겹치는 부분이 생기죠? 이 부분은 하나로 합치는 거예요. 원래는 범위가 네 개였는데, 세 개로 줄어든 거죠.

절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 거 기억나나요? 절댓값 안이 0이 되게 하는 숫자들을 경계로 해서 범위를 나누면 돼요. 절댓값 안이 0이 되는 숫자는 3, 6이니까 이 두 수를 이용해서 범위를 구한 것과 같은 거죠.

x < 3, 3 ≤ x < 6, 6 ≤ x의 세 가지 경우의 해를 구해볼까요

1. x < 3일 때 (2x - 6 < 0, x - 6 < 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   -(2x - 6) + (x - 6) > 0
   -2x + 6 + x - 6 > 0
   -x > 0
   x < 0
   조건에서 x < 3이므로 ∴ x < 0
2. 3 ≤ x < 6일 때 (2x - 6 ≥ 0, x - 6 < 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   2x - 6 + (x - 6) > 0
   2x - 6 + x - 6 > 0
   3x - 12 > 0
   3x > 12
   x > 4
   조건에서 3 ≤ x < 6이므로 ∴ 4 < x < 6
3. x ≥ 6 일 때 (2x - 6 > 0, x - 6 ≥ 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   2x - 6 - (x - 6) > 0
   2x - 6 - x + 6 > 0
   x > 0
   조건에서 x ≥ 6이므로 ∴ x ≥ 6
   

세 가지 경우를 나눠서 각 조건에 맞는 해를 구했어요. 이 세 가지 해 모두가 문제의 답이에요. x < 0 or 4 < x < 6 or x ≥ 6이에요. 그런데 4 < x < 6과 x ≥ 6은 합칠 수 있겠죠?

따라서 답은 x < 0 or x > 4예요.

|x + 1| + |3 - x| - 6 > 0의 해를 구하여라.

|x + 1|부터 보죠.
x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
x + 1 < 0 → x < -1

이번에는 |3 - x|을 볼까요?
3 - x ≥ 0 → x ≤ 3
3 - x< 0 → x > 3

총 네 개의 범위가 생기는데, 겹치는 걸 하나로 합치면 x < -1, -1 ≤ x ≤ 3, 3 < x 세 가지 범위가 생겨요.

1. x < -1 일 때 (x + 1 < 0, 3 - x > 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   -(x + 1) + 3 - x - 6 > 0
   -x - 1 + 3 - x - 6 > 0
   -2x - 4 > 0
   2x < -4
   x < -2
   조건에서 x < -1이므로 ∴ x < -2
2. -1 ≤ x ≤ 3 일 때 (x + 1 ≥ 0, 3 - x ≥ 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   x + 1 + 3 - x - 6 > 0
   -2 > 0
   해 없음.
3. x > 3일 때 (x + 1 > 0, 3 - x < 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   x + 1 - (3 - x) - 6 > 0
   x + 1 - 3 + x - 6 > 0
   2x - 8 > 0
   2x > 8
   x > 4
   조건에서 x > 3이므로 ∴ x > 4

세 가지 해가 모두 해이므로 x < -2 or x > 4가 답입니다.

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절댓값이 들어있는 식은 기본적으로 절댓값 안의 부호가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어요. 해당 조건에 맞게 식을 전개하고 각각의 해를 찾아서 답을 구하죠.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이는 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이와 거의 비슷해요. 방정식이 부등식으로 바뀐 것뿐이에요. 다만, 부등식은 해가 딱 하나로 떨어지지 않아서 방정식보다는 조금 더 어려워요. 수직선을 그려보는 것도 이해하는 데 도움이 될 겁니다.

절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질에서 문제를 어떻게 풀었었나요? 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눴죠? 그리고 각 조건에 맞게 식을 전개해서 해를 구했어요. 각 조건과 구해진 해의 공통부분이 답이 되는데, 조건이 두 개니까 조건별로 나온 해가 모두 답이에요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이도 위와 같은 방법으로 해를 구해요. 여기에 연립부등식, 연립부등식의 풀이를 섞어 놓은 거예요.

|ax + b| > m (m > 0)의 해를 구해볼까요?

ⅰ) ax + b ≥ 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때)
|ax + b| > m
ax + b > m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b > m이죠? (∵ 0 < m < ax + b)

ⅱ) ax + b < 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 작을 때)
|ax + b| > m
-(ax + b) > m
ax + b < -m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b < -m이죠? (∵ ax + b < -m < 0)

결국 |ax + b| > m의 해를 구할 때는 따로 조건을 나누지 않고 ax + b < -m 또는 ax + b > m의 해를 구하면 돼요.

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 절댓값 안의 부호의 범위와 상관없이 그냥 구했던 것처럼 여기서도 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.

이번에는 |ax + b| < m (m > 0)일 때를 볼까요?

ⅰ) ax + b ≥ 0일 때
|ax + b| < m
ax + b < m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 0 ≤ ax + b < m이죠? (∵ m > 0)

ⅱ) ax + b < 0일 때
|ax + b| < m
-(ax + b) < m
ax + b > -m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 -m < ax + b < 0이죠? (∵ -m < 0)

이 두 개를 연립해보면 -m < ax + b < m이 돼요.

여기서도 마찬가지로 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 (a, b, m은 실수, m > 0)
|ax + b| > m → ax + b < -m 또는 ax + b > m
|ax + b| < m → -m < ax + b < m

식에 있는 부등호를 잘 보세요. 이 방향에 따라 해가 달라져요.

다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) |2x + 4| > 8
(2) |x - 2| + 4 < 6
(3) |4x - 2| ≥ 10

절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 크면 해는 -m보다 작고 m보다 커요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 작으면 해는 -m과 m사이고요.

(1) |2x + 4| > 8

절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크네요.

2x + 4 > 8
2x > 4
x > 2

2x + 4 < -8
2x < -12
x < -6

따라서 해는 x < -6 or x > 2

(2) 좌변에 절댓값, 우변에 상수 꼴로 바꿔준 다음 계산해요.

|x - 2| + 4 < 6
|x - 2| < 2

정리했더니 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 작아요.

-2 < x - 2 < 2
0 < x < 4

(3) 부등호가 어떤 건지는 상관없어요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크거나 같으므로 클 때와 똑같은 방법으로 풀면 됩니다.

|4x - 2| ≥ 10

4x - 2 ≤ -10
4x ≤ -8
x ≤ -2

4x - 2 ≥ 10
4x ≥ 12
x ≥ 3

따라서 해는 x ≤ -2 or x ≥ 3

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