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고1 곱셈공식의 변형은 고1 곱셈공식에서 항을 이항시켜서 만든 거예요. 솔직히 말해서 이항을 잘 한다면 곱셈공식의 변형을 외울 필요는 없어요. 괜히 외우려다가 원래의 곱셈공식과 헷갈리기만 할 뿐이죠.

원래의 곱셈공식에서 이항을 해서 만든 게 곱셈공식의 변형이라서 기본적으로 두 개는 같은 거예요. 2 + 3 = 5와 2 = 5 - 3이 같은 거잖아요. 실제로 문제에서는 원래의 곱셈공식에 대입해서 풀다가 필요할 때 숫자를 이항시키는 게 훨씬 쉬워요.

그렇다고 모든 변형 공식이 필요없는 게 아니에요. 그 중에는 꼭 외워야하는 곱셈공식의 변형도 있으니 설명을 잘 보세요. 이 글에서는 곱셈공식의 변형을 외우려고 하지 말고, 어떻게 만들어지는 지 잘 이해해야해요.

곱셈공식의 변형

곱셈공색의 변형에서 가장 핵심은 이항이에요. 항의 부호를 바꿔서 반대 변으로 넘기는 걸 이항이라고 하죠? 아래는 중학교 때 공부했던 곱셈공식의 변형이에요.

a² + b² = (a + b)² - 2ab
           = (a - b)² + 2ab
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(a - b)² = (a + b)² - 4ab

세 번째 줄이 어떻게 만들어지는지 이해하고, 외우세요.

고1 곱셈공식의 변형을 알아보죠. 앞서 공부했던 곱셈공식에서 몇몇 항을 이항해서 여러가지 곱셈공식의 변형을 만들 수 있어요.

(1) a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
(2) a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
     a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
(3) a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc
(4) a² + b² + c² - ab - bc - ca =  {(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}

마지막 (4)은 (3)번의 가운데에 있는 괄호안을 정리한 거예요. 어떻게 위 공식들이 변형되었는지 확인해보죠.

(1) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
     a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)

(2) (a + b)³ = a³ + 3ab(a + b) + b³
     a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

(3) (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc
     a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc

(4) a² + b² + c² - ab - bc - ca
  =  × 2(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
  =  × (2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca)
  =  × (a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²)
  =  {(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}

곱셈공식의 변형은 기본 곱셈공식에서 항을 이항한 것에 지나지 않기때문에 굳이 외울 필요는 없어요. 오히려 원형과 헷갈리기만 할 뿐이거든요. 계산할 때 숫자를 대입한 다음에 이항해도 문제는 풀 수 있어요. 단, 마지막에 있는 (4)번은 곱셈공식에 없는거니까 외워두세요.

x + y + z = 6, x² + y² + z² = 14, xyz = 6일 때, x³ + y³ + z³를 구하여라.

곱셈공식의 변형을 이용하지 않고 곱셈공식 원형을 이용해서 문제를 풀어보죠.

곱셈공식 중에서 세 제곱인 세 항이 들어있는 공식은 (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) = x³ + y³ + z³ - 3xyz에요. 그런데, -xy - yz - zx의 값을 모르니 이 공식에 대입할 수 없어요.

-xy - yz - zx = -(xy + yz + zx)의 값을 구할 수 있는 공식은 (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)네요. 대입해보죠.

6² = 14 + 2(xy + yz + zx)
2(xy + yz + zx) = 36 - 14
xy + yz + zx = 11
-(xy + yz + zx) = -11

(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) = x³ + y³ + z³ - 3xyz
6(14 - 11) = x³ + y³ + z³ - 3 × 6
18 = x³ + y³ + z³ - 18
x³ + y³ + z³ = 36

곱셈공식 원형을 이용해서 문제를 풀어도 아무런 지장없이 풀 수 있어요.

분수꼴 곱셈공식의 변형

분수 형태의 곱셈공식이에요. (a + b)² = a² + 2ab + b²에서 a = x, b = 로 바꿨다고 생각하세요. 2ab = 2x = 2이네요.

(x + )² = x² + 2x· +
x² +  = (x + )²  - 2

(x - )² = x² - 2x· +
x² +  = (x - )²  + 2

x² +  = (x + )²  - 2
                 = (x - )²  + 2

우 변 두 개를 같다고 놓고, -2와 +2를 한 번씩 이항해보죠.

(x + )²  - 2  = (x - )²  + 2

(x + )²  = (x - )²  + 4
(x - )²  = (x + )²  - 4

x +  = 3일 때, 다음을 구하여라.
(1) x² +
(2) x³ +

(1) (x + )² = x² + 2x· +
x² + = (x + )² - 2
               = 3² - 2
               = 7

(2) (x + )³ = x³ + 3x·(x + ) +
x³ + = (x + )³ - 3(x + )
               = 3³ - 3·3
               = 27 - 9
               = 18

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곰셈공식의 변형은 곱셈공식과 등식의 변형을 하나로 합친 내용이에요.

곱셈공식은 다섯 가지가 있었는데, 모두 외우고 있죠? 필수공식이니까 반드시 외워야 해요. 그리고 등식의 변형에서 가장 기본이 되는 건 이항이었어요. 이 두 가지만 잘 알고 있으면 이번 글은 비교적 쉽게 넘어갈 수 있는 내용이에요.

곱셈공식의 모양을 바꾸면 새로운 공식이 나오는데, 외우면 좋아요. 하지만 헷갈려서 외우기가 어렵다면 외우지 않아도 돼요. 단 원리는 꼭 이해해야 하고, 곱셈공식을 변형할 수 있어야 해요.

곱셈공식의 변형

곱셈공식의 변형 - 제곱의 합

곱셈공식(완전제곱식, 합차공식 외)은 총 다섯 가지가 있었는데, 그중 완전제곱식 두 가지 있었죠?

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

이 두 공식의 우변에서 2ab를 이항해서 모양을 바꿀 거예요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² - 2ab = a² + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a - b)² + 2ab = a² + b²

첫 번째 곱셈공식은 두 수의 합(a + b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a² + b²)으로 이루어져 있어요. 두 번째 곱셈공식은 두 수의 차(a - b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a² + b²)으로 되어 있고요. 그러니까 두 수의 합/차, 곱, 제곱한 것의 합 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있는 거죠. 두 수가 무엇인지는 구할 필요가 없어요.

a² + b² = (a + b)² - 2ab
           = (a - b)² + 2ab

곱셈공식의 변형 공식은 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않는다면 굳이 외우지 말고, 변형하는 방법만 알아두세요. 문제 푸는 데 전혀 지장이 없으니까요.

변형된 곱셈공식을 이용해서 문제를 풀 때는 문제에서 구하라고 하는 것과 문제에서 주어진 것들이 들어있는 공식을 사용해야 해요. x + y를 구하라고 하는 문제에서 엉뚱하게 (x - y)가 들어있는 공식을 사용해서는 안 되겠죠?

어떤 두 수 x, y의 합이 5이고, 곱이 10일 때 x² + y²을 구하여라.

합과 곱을 주고 제곱한 것의 합을 구하는 문제예요. 세 가지가 들어있는 공식은 (a + b)² = a²+ 2ab + b²이네요. 각 자리에 수를 대입해볼까요?

5² = x² + 20 + y²
x² + y² = 25 - 20
x² + y² = 5

곱셈공식의 변형 - 합의 제곱, 차의 제곱

변형된 곱셈 공식을 보면 둘 다 좌변이 a² + b²예요. 그러니까 두 공식의 우변을 서로 같다고 놓을 수도 있겠죠? 그런 다음 2ab를 이항해보죠.

(a + b)² - 2ab = (a - b)² + 2ab
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(a - b)² = (a + b)² - 4ab

합의 제곱, 차의 제곱, 두 수의 곱 중 두 가지를 알면 나머지를 구할 수 있는 공식이에요. 두 수가 어떤 수인지 몰라도 상관없는 거죠. 두 수의 합이 아니라 합의 제곱, 두 수의 차가 아니라 차의 제곱이라는 걸 주의하세요.

새로운 공식들이 만들어졌어요. 외우면 좋겠지만 외우지 못하겠다면 변형하는 방법을 잘 이해하면 돼요.

x + y = 4, x² + y² = 10일 때 다음을 구하여라.
(1) xy
(2) (x - y)²

두 수의 합과 제곱의 합이 주어졌어요. 두 가지가 들어있는 공식은 (x + y)² = x² + 2xy + y²이에요. 여기서 모르는 xy를 구할 수 있어요.

(1) 4² = 10 + 2xy
2xy = 6
xy = 3

(2)는 차의 제곱을 구하라고 했어요. 차의 제곱이 들어있는 공식은 (x - y)² = x² - 2xy + y²이죠. 대입하면
(x - y)² = 10 - 2 × 3
(x - y)² = 10 - 6
(x - y)² = 4

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사실 이제까지 해온 모든 과정은 이 글의 내용을 위해서 공부한 것이라고 해도 과언이 아니에요. 이 단원의 핵심이 바로 오늘 공부할 내용입니다.

일차방정식의 뜻과 풀이는 한 단원에서 제일 중요한 것뿐 아니라, 중1 수학에서 핵심 중의 핵심인 내용입니다. 매우 중요하죠.

설명과 원리는 비교적 간단하니까 문제 푸는 연습을 많이 하세요. 암산까지는 아니더라도 막힘없이 문제를 푸는 수준까지는 되어야 합니다.

이항

등식의 성질에서 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 같은 수를 빼도 등식은 성립한다고 했어요. 그리고 이 등식의 성질을 이용해서 미지수 x의 값을 구했죠.

2x + 3 = 9에서 좌변의 3을 없애주려고 양변에서 3을 빼줬어요.
2x + 3 - 3 = 9 - 3

여기서 우변은 그대로 두고, 좌변만 계산을 해보면 3 - 3은 0이 되니까 2x만 남죠.
2x = 9 - 3

처음 식 2x + 3 = 9와 두 번째 식 2x = 9 - 3을 비교해볼까요?

다른 건 다 그대로인데, 좌변에 + 3이 없어지고, 우변에 - 3이 생겼죠? 좌변에 있던 상수항은 없어지고, 우변에는 상수항과 부호가 반대인 새로운 상수항이 생겼어요.

이걸 원래 좌변에 있던 항의 부호를 반대로 바꿔서 우변으로 옮기는 것으로 생각하게 된 거죠. 이렇게 함으로써 좌변에서 상수항을 계산했던 과정을 생략할 수 있거든요.

이처럼 등식의 성질을 이용해서 등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 등호의 반대쪽으로 옮기는 것을 이항이라고 해요. 이건 좌변에 있는 걸 부호를 바꾸어 우변으로 옮길 수도 있고, 우변에 있는 걸 부호를 반대로 바꿔서 좌변에 써 줄 수 있어요. 상수항만 되는 게 아니라 모든 항이 가능해요.

3 = x - 4에서 우변의 - 4를 좌변으로 옮기면서 부호를 반대로 바꿔주면
3 + 4 = x가 되지요.

3x - 2 = 6 - x라는 식이 있을 때, x가 있는 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항하면
3x + x = 6 + 2가 돼요.

일차방정식의 뜻

일차방정식은 일단 이름에서 방정식이라는 걸 알 수 있어요. 그리고 차수가 1이라는 것도 알 수 있죠. 일차방정식은 차수가 1인 방정식을 말해요.

식 자체만 봐서는 일차방정식인지 아닌지 알 수 없어요. 일차방정식인지 판단하기 전에 모든 항을 좌변으로 이항해서 동류항끼리 계산을 해야 해요. 계산한 뒤에 좌변이 일차식이 되는지를 봐야 알 수 있어요. 일차방정식은 (일차식) = 0의 형태거든요.

2x + 3 = 5의 모든 항을 좌변으로 이항해서 정리해보죠.
2x + 3 - 5 = 0
2x - 2 = 0

이 식은 미지수 x의 차수가 1인 일차방정식이 맞네요.

2(x + 3) = 6 + 2x의 모든 항을 좌변으로 이항시켜 보죠.
2(x + 3) - 6 - 2x = 0
2x + 6 - 6 - 2x = 0
0 = 0

모든 항을 좌변으로 이항해서 정리했는데, 미지수 x가 없어요. 그래서 차수가 0이 되었죠. 2(x + 3) = 6 + 2x를 봤을 때, x의 차수가 1이었는데, 정리를 해보니까 x가 없어졌어요. 그냥 봤을 때는 일차방정식처럼 보이지만 실제는 아니라는 거죠. 따라서 일차방정식인지 아닌지를 알아볼 때는 이항과 동류항 정리를 꼭 해봐야 합니다.

다음 중 일차방정식을 모두 고르시오.
(1) 2(x + 3) = -2x + 3
(2) 2(x + 3) = 2x + 3
(3) x² + x - 1 = x² - x - 1
(4) x² + x - 1 = -x² - x - 1

일차방정식인지 아닌지 알아볼 때는 모든 항을 좌변으로 이항해서 정리한 식이 일차식인지 보는 거예요.

(1) 2(x + 3) = -2x + 3의 모든 항을 이항시켜보죠.
2(x + 3) + 2x - 3 = 0
2x + 6 + 2x - 3 = 0
4x + 3 = 0

좌변이 x에 관한 일차식이므로 일차방정식이 맞네요.

(2) 2(x + 3) = 2x + 3
2(x + 3) - 2x - 3 = 0
2x + 6 - 2x - 3 = 0
3 = 0

일단 3과 0은 같지 않으니까 틀린 등식인데다가 좌변에 문자가 없이 상수항만 있으니 차수가 0이 되어 일차식도 아니고, 방정식도 아닌 식이네요.

(3) x² + x - 1 = x² - x - 1
x² + x - 1 - x² + x + 1
2x = 0

좌변이 x에 관한 일차식이므로 일차방정식이군요.

(4) x² + x - 1 = -x² - x - 1
x² + x - 1 + x² + x + 1 = 0
2x² + 2x = 0

최고차항의 차수가 2이므로 이차방정식입니다.

보기에서 (1)과 (3)이 일차방정식입니다.

일차방정식의 풀이

일차방정식의 풀이는 기본적으로 이항과 등식의 성질을 이용해요. 등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이에서 x = (숫자)꼴로 만들어서 해를 구했어요.

여기서도 마찬가지예요. x = (숫자) 꼴로 만들어요.

1. x가 포함된 모든 항은 좌변으로, x가 없는 항(상수항)은 모두 우변으로 이항
2. 각 변을 정리하여 ax = (숫자)꼴로
3. x의 계수 a로 양변을 나눈다.

다음 방정식을 풀어라.
(1) 2x + 4 = 3x - 5
(2) 5 + 3x = x + 7

방정식을 푼다는 말은 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값, 해를 구하라는 얘기예요. 방정식을 풀 때는 좌변에는 x가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항하고, 동류항을 계산한 다음 x의 계수로 나눠주는 거죠.

(1) 2x + 4 = 3x - 5
2x - 3x = -5 - 4
-x = -9
x = 9

(2) 5 + 3x = x + 7
3x - x = 7 - 5
2x = 2
x = 1

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