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지금까지 가감법, 대입법, 두 직선의 위치관계 등 여러 가지 방법을 이용해서 연립일차방정식의 해를 구해 봤어요. 이 글에서는 연립일차방정식의 해를 구하는 새로운 방법으로 역행렬을 이용하는 방법을 알아볼 거예요.

역행렬을 이용해서 연립일차방정식의 해가 몇 개인지 알아보고 해를 구할 수 있다면 해를 구하는 것까지 해볼 거예요. 해를 구할 수 없다면 왜 그런지 어떤 특징 때문에 해를 구할 수 없는지도 알아볼 거예요 .

역행렬, 연립방정식, 직선의 위치관계 등 여러 내용이 섞여서 나오니까 주의해서 잘 보세요.

역행렬과 연립일차방정식

연립방정식 을 행렬로 나타낼 수 있어요.

좌변의 행렬을 곱셈해보면 연립방정식이 나오는 걸 확인할 수 있죠.

행렬이니까 역행렬을 이용해서 x, y를 구할 수 있겠죠? 물론 역행렬이 존재한다면 말이죠.

ⅰ) ad - bc ≠ 0일 때(역행렬이 존재할 때)

위 행렬을 계산해보면, x, y의 값을 구할 수 있겠죠? 따라서 연립방정식 는 ad - bc ≠ 0일 때 한 쌍의 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

ⅱ) ad - bc = 0일 때(역행렬이 존재하지 않을 때)

역행렬이 없으면 위와 같은 방법으로 해를 구할 수 없어요.

ad - bc = 0
ad = bc

해가 특수한 연립방정식에서 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우가 있었죠?

(x의 계수비) = (y의 계수비) = (상수항의 비) → 해가 무수히 많다
(x의 계수비) = (y의 계수비) ≠ (상수항의 비) → 해가 하나도 없다.

에서는  (x의 계수비) = (y의 계수비)이니까 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우예요. p와 q의 비를 적용해보면 정확히 알 수 있어요.

다른 방법으로 생각해보죠. 연립방정식  에서  ax + by = p와 cx + dy = q는 직선의 방정식이에요. 두 직선의 방정식의 교점은 연립방정식의 해잖아요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 교점의 개수를 이용해서 연립일차방정식의 해를 구했어요.

기울기가 같고, y절편이 같다 → 두 직선은 일치 → 연립일차방정식의 해는 무수히 많다.
기울기가 같고, y절편이 다르다 → 두 직선은 평행 → 연립일차방정식의 해는 없다.

는 기울기가 같다는 뜻이고, y절편인 p, q의 값을 비교해보면 더 정확히 알 수 있겠죠.

정리해보면 연립일차방정식을 행렬로 나타냈을 때, 역행렬이 존재하면 한 쌍의 해를 갖고, 역행렬이 존재하지 않으면 해가 무수히 많거나 하나도 없을 수 있다는 거예요.

역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.

역행렬을 이용하여 연립방정식 의 해를 구하여라.

연립방정식을 행렬로 나타내보죠.

D = ad - bc = 5 × 3 - (-1) × 4 = 15 + 4 = 19 ≠ 0이므로 역행렬을 가져요. 한 쌍의 해를 구할 수 있죠.

x = 2, y = 2네요.

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중학교 2학년 때 공부했던 연립방정식은 미지수가 x, y 두 개 있는 일차방정식 두 개를 묶은 연립일차방정식이었어요. 고등학교에서 공부할 연립방정식은 미지수의 개수도 한 개 늘어났고, 식의 개수도 한 개 늘어나요. 미지수가 x, y, z 세 개있는 일차방정식 세 개를 묶은 연립일차방정식이지요.

연립방정식을 푸는 방법으로 가감법과 대입법을 공부했어요. x, y중 한 미지수의 계수의 절댓값을 똑같게 해서 식을 더하고 빼는 게 가감법, 두 식 중 한 식을 한 문자에 대하여 정리해서 다른 식에 대입하는 게 대입법이었지요.

미지수가 3개인 연립일차방정식

연립방정식을 풀 때 가장 중요한 것은 미지수의 개수를 줄이는 것이에요. 미지수의 개수가 2개인 연립일차방정식은 우리가 풀 수 있잖아요. 그래서 미지수의 개수가 3개인 연립방정식은 우리가 풀 수 있는 형태로 바꿔서 풀어요.

미지수의 개수 줄이기
미지수가 3개인 연립일차방정식
→ 미지수가 2개인 연립일차방정식으로 변환
→ 미지수가 1개인 일차방정식으로 변환

그럼 미지수의 개수를 어떻게 줄이느냐? 바로 가감법과 대입법으로 줄이죠.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

미지수 2개인 연립일차방정식인데, 연습 삼아 풀어보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더하면 되겠네요.

3x = 6
x = 2

x = 2를 두 식 중 아무 식에나 대입해요.
2 - y = 1
y = 1

x = 2, y = 1이라는 해를 구했어요.

가감법을 통해서 x, y 2개의 미지수 중 y를 없앴더니 남은 x의 값을 구할 수 있었어요. 그리고 x를 원래 식에 대입해서 y의 값을 구했지요.

이번에는 미지수가 3개이고 식도 3개인 연립일차방정식을 풀어보죠.

미지수가 x, y, z 세 개이고, 식이 세 개예요. 위에서부터 차례대로 ①, ②, ③식이라고 해보죠.

세 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요. 한 번의 계산으로 미지수의 값을 구할 수 없어요. 일단 미지수가 3개니까 2개로 줄여야 해요. 세 식 중에서 아무거나 두 개를 고르세요. ①, ②를 골라보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대네요. 가감법으로 두 식을 더하면 y가 없어지고, x, z 두 개의 미지수만 남겠죠?

x + y - z = 0 … ①
2x - y + 3z = 9 … ②

3x + 2z = 9 … ① + ② = ④

다음은 문제에서 또 두 개의 식을 골라요. ①, ③을 골라보죠. 앞에서 y를 없앴죠? 그럼 여기서도 y가 없어지도록 가감법을 해요. y를 없애려면 ① × 2 - ③을 해야겠네요.

2x + 2y - 2z = 0  … ① × 2
x + 2y + z = 8 … ③

x - 3z = -8 … ① × 2 - ③ = ⑤

④, ⑤ 식을 보면 x, z만 있는 연립방정식이에요. 미지수가 두 개인 것은 금방 해결할 수 있죠?

3x + 2z = 9 … ④
3x - 9z = -24 … ⑤ × 3

11z = 33 … ④ - ⑤ × 3
z = 3

z = 3을 ⑤에 대입하면 x = 1

x = 1, z = 3을 원래 식 중 아무 식에나 대입해요. ①에 대입하면 y = 2네요.

x = 1, y = 2, z = 3이 답이에요.

미지수가 3개인 연립일차방정식의 풀이법이에요. 상당히 복잡하지만 하나씩 따지고 보면 어렵지는 않아요. 가감법으로 미지수의 개수를 줄여나간다는 것만 잘 기억하세요.

1. 세 식 중 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 한 문자를 제거
   ⇒ 미지수의 개수를 2개로
2. 다른 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 ①에서 제거한 것과 같은 문자를 제거
   ⇒ 미지수의 개수를 2개로
3. ①, ②에서 만들어진 두 식을 연립하여 미지수의 값을 구함
   ⇒ 미지수가 2개인 연립방정식의 풀이
4. ③에서 구한 두 미지수의 값을 원래 식 중 하나에 대입하여 나머지 미지수를 구함
   ⇒ 마지막으로 구하는 미지수는 ①, ②에서 제거한 미지수

다음 연립방정식을 풀어라.

순서대로 ①, ②, ③이라고 할게요.

①, ③을 골라서 z를 없애보죠.

2x + y - z = 8 … ①
3x + 2y + z = 11 … ③

5x + 3y = 19 … ① + ③ = ④

이번에는 ②, ③을 골라볼까요. 앞에서 z를 없앴으니 여기서도 z를 없애야 해요.

x - y + 3z = -4 … ②
9x + 6y + 3z = 33 … ③ × 3

-8x - 7y = -37 … ② - ③ × 3 = ⑤

④, ⑤식은 x, y만 있는 연립방정식이니까 풀 수 있어요.

35x + 21y = 133 … ④ × 7
-24x - 21y = -111 … ⑤ × 3

11x = 22  … ④ × 7 + ⑤ × 3
x = 2

x = 2를 ④에 대입하면 y = 3

x = 2, y = 3을 ①에 대입하면 z = -1

x = 2, y = 3, z = -1이 답이네요.

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