삼각형의 합동
삼각형의 닮음 조건, 삼각형 닮음의 조건
닮은 도형에 대해서 공부하고 있어요. 어떤 도형을 닮은 도형이라고 하는지, 어떤 성질이 있는지, 어떤 위치에 있는지요. 이 글에서는 닮음비를 알려주지 않았을 때, 두 삼각형이 닮은 도형이 되려면 어떤 조건을 갖춰야 하는지 알아보죠.
먼저, 삼각형의 닮음 조건은 삼각형의 합동조건과 같아요. 아주 작은 차이만 있어요. 이 차이는 쉽게 이해할 수 있을 겁니다. 참고로 삼각형의 합동조건은 삼각형의 작도 조건과도 같으니까 꼭 알고 있어야 하는 조건이에요. 앞으로도 계속 나와요.
삼각형의 닮음 조건
먼저 삼각형의 합동 조건부터 얘기해볼까요? 세 가지가 있죠?
- SSS 합동: 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때
- SAS 합동: 두 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때
- ASA 합동: 한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 양 끝각의 크기가 같을 때
합동은 두 도형의 닮음비가 1 : 1일 때에요. 비가 1 : 1이니까 대응변의 길이가 같겠죠? 그런데 닮음은 1 : 1이 아닌 경우도 있으니까 대응변의 길이가 달라요. 대신 대응변의 길이의 비가 같죠. 따라서 삼각형의 닮음 조건은 삼각형의 합동조건에서 "길이가 같다."를 "길이의 비가 같다."로 바꾸면 돼요.
또 한 가지 차이가 있는데요. 삼각형은 각이 세 개고 내각의 합은 180°죠? 두 삼각형에서 두 쌍의 대응각 크기가 같으면 자동으로 나머지 한 쌍의 대응각 크기도 같아서 결국 세 쌍의 대응각 크기가 다 같아요. 세 쌍의 대응각의 크기가 같으면 닮은 도형이잖아요. 따라서 세 번째 ASA에서 두 쌍의 대응각의 크기만 같으면 돼요. 한 쌍의 대응변의 길이의 비가 같은지는 굳이 확인하지 않아도 된다는 거죠. 두 쌍의 대응각의 크기만 같으면 되니까 ASA 닮음이 아니라 AA 닮음이라고 해요.
| 합동 | 닮음 |
|---|---|
| SSS 합동 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때 |
SSS 닮음 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때 |
| SAS 합동 두 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 |
SAS 닮음 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 |
| ASA 합동 한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 양 끝각의 크기가 같을 때 |
AA 닮음 |
다음 그림에서 
(1)
(2) ∠C = ∠F
문제에서 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 한 쌍의 대응각의 크기가 같다고 했네요. 그런데 이 대응각이 길이의 비가 같은 대응변 사이의 끼인각은 아니네요.
(1) 번에서 한 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다는 조건이 추가된다면 결국 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같아지므로 두 삼각형은 SSS 닮음이 됩니다.
또, 
(2) 번에서 한 쌍의 대응각의 크기가 같다는 조건이 나왔어요. 이 대응각은 길이의 비가 같은 두 쌍의 대응변 사이의 끼인 각이 아니죠. 따라서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 AA 닮음입니다.
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직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건
이번 글에서는 직각삼각형에 대해서 공부할 거예요. 직각삼각형이란 무엇인지 두 직각삼각형이 합동이 되려면 어떤 조건이 있는지요.
먼저 삼각형의 합동 조건을 혹시 기억하고 있나요? 삼각형의 합동조건은 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도와 같아요.
SSS 합동: 세 변의 길이가 같은 두 삼각형은 합동이다.
SAS 합동: 두 변의 길이와 사이에 끼인각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.
ASA 합동: 한 변의 길이와 양 끝각의 크기가 같은 두 삼각형은 합동이다.
직각삼각형
직각삼각형은 삼각형의 세 내각 중에서 한 각이 직각(90°)인 삼각형을 말해요. 한 각이 직각이면 나머지 두 각은 모두 예각이 되겠죠? 삼각형 내각의 합은 180°인데, 한 각이 90도면 나머지 두 각을 더해서 90°가 되어야 하잖아요.
직각삼각형에서 직각인 각은 영어 Right Angle의 첫 글자를 따서 R이라고 씁니다. 직각이 아닌 두 예각은 그냥 Angle의 A를 따서 쓰고요. 직각의 대변인 변을 빗변이라고 하는데, 알파벳 H(Hypotenuse)로 쓰고요. 빗변이 아닌 다른 두 변은 S(Side)라고 해요.
직각삼각형의 합동조건
직각삼각형도 삼각형이기 때문에 삼각형의 합동조건을 그대로 따릅니다. 하지만 이름에서 알 수 있듯이 한 각이 직각이에요. 그래서 일반적인 삼각형의 합동 조건에 추가로 두 가지 경우가 더 있어요.
삼각형의 합동을 SSS, SAS, ASA합동이라고 불렀던 것처럼 직각삼각형에도 이런 이름으로 합동 조건을 불러요.
직각삼각형의 합동조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동
일단 직각이 있고, 빗변의 길이는 같아요.(RH) 거기에 추가로 다른 한 변의 길이가 같은지 예각의 크기가 같은지 보는 거죠.
RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 같은 두 직각삼각형은 합동
가정: ∠C = ∠F = 90°, 
결론: △ABC ≡ △DEF
증명: 삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 ∠A = ∠D에요.
빗변의 길이가 같고(가정) 빗변의 양쪽 끝각의 크기가 같은 ASA 합동입니다.
따라서 △ABC ≡ △DEF (증명 끝.)
RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 같은 두 직각삼각형은 합동
가정: ∠C = ∠F = 90°,
결론: △ABC ≡ △DEF
증명: △DEF를 빗변이 왼쪽에 있는데, 오른쪽으로 오게 반 바퀴만 돌려보죠. 
그러면
삼각형 내각의 합은 180°에요. ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°에서 ∠C = ∠F이고 ∠B = ∠E이므로 (1) ∠A = ∠D에요.
빗변의 길이와 한 변의 길이가 같고(가정) 그 사이에 끼인각의 크기가 같은 SAS 합동이에요.
△ABC ≡ △DEF (증명 끝.)
다음 그림에서 ∠BAC = 90°이고, 
△ABD를 보세요. 삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데 ∠ADB가 90°니까 다른 두 각의 합은 90°에요. ∠BAD + ∠ABD = 90°
∠DAE는 평각이라서 180°인데, ∠BAC가 90°니까 ∠BAD + ∠CAE = 90°가 되어야겠죠?
∠BAD + ∠ABD = 90°
∠BAD + ∠CAE = 90°
두 식을 빼면, ∠ABD = ∠CAE가 돼요.
변 AE의 길이는 대응변인 변 BD의 길이와 같아요. 5cm죠? 선분 DE의 길이가 8cm이고 선분 AE의 길이가 5cm이므로 선분 AD의 길이는 3cm가 됩니다.
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이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건
이제부터 본격적으로 도형과 도형의 성질에 대해서 알아볼 거예요.
우리가 알고 있는 도형들의 정확한 수학적 정의를 알아보고, 그 정의를 이용해서 증명도 해보죠. 증명된 명제는 정리로서 기억해야해요.
증명에 많이 사용되는 정의 중 가장 대표적인 게 삼각형의 합동조건이에요. 이 글에서도 삼각형의 합동조건을 계속 사용할 거니까 한 번 읽어보세요.
이등변삼각형의 정의, 이등변삼각형의 성질
이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이에요. 이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변으로 이루어진 각을 꼭지각이라고 해요. 그리고 꼭지각이 아닌 다른 두 각을 밑각이라고 하고, 꼭지각의 대변을 밑변이라고 해요.
이등변삼각형의 성질
- 두 밑각의 크기가 같다.
- 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
이등변삼각형이 무엇인지, 꼭지각과 밑각, 밑변은 어떤 것인지 대한 설명은 정의에 해당해요. 그리고 이등변삼각형의 성질은 참으로 밝혀진 명제, 즉 정리에 해당하죠. 정의와 정리의 차이를 알 수 있겠죠? 수학의 정의, 정리, 증명
그럼 참으로 밝혀진 명제인 이등변삼각형의 성질을 증명해볼까요. 일단 증명할 때는 가정과 결론, 증명으로 나눠서 해요.
이등변삼각형에서 두 밑각의 크기는 같다.
이등변삼각형이니까 두 변의 길이가 같아요. 이걸 가정으로 쓰고, "두 밑각의 크기가 같다"를 결론으로 하면 되네요.
가정: △ABC에서 
결론: ∠B = ∠C이다
△ABC에서 꼭지각 ∠A의 각의 이등분선을 긋고 밑변과 만나는 점을 점 D라고 해보죠. 그러면 △ABD와 △ACD로 나뉘어요.
(1)
(2) ∠BAD = ∠CAD (∠A의 이등분)
(3) 
(1), (2), (3)에서 △ABD와 △ACD는 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 합동인 삼각형이에요. △ABD ≡ △ACD
따라서 대응각인 ∠B와 ∠C는 크기가 같죠. (증명 끝.)
이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
이등변삼각형이니까 두 변의 길이가 같고요. 꼭지각의 이등분선이라고 했으니까 둘로 나눈 각은 크기가 같겠죠? 이걸 가정과 결론으로 써보죠.
가정: △ABC에서
결론: 
(1)
(2) ∠BAD = ∠CAD (∠A의 이등분, 가정)
(3)
(1), (2), (3)에서 △ABD와 △ACD는 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 합동인 삼각형이에요. (4) △ABD ≡ △ACD
대응변인 선분 BD와 선분 CD의 길이는 같죠. (5)
그리고, 대응각인 ∠BDA와 ∠CDA도 같아요. ∠BDA = ∠CDA
그런데 이 크기가 같은 두 각을 더하면 평각인 ∠BDC가 돼요. ∠BDA + ∠CDA = 180° 결국 (6) ∠BDA = ∠CDA = 90°인 거죠.
(4)에 의해
이등변삼각형이 되는 조건
이등변삼각형이 어떤 삼각형인지 어떤 성질이 있는지 알아봤어요.
이번에는 반대로 어떤 삼각형이 있는데, 이게 이등변삼각형인지 아닌지 알아보려고 해요. 어떻게 알 수 있을까요?
이등변삼각형의 성질을 거꾸로 하면 돼요. 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같다고 했어요. 이걸 거꾸로 해서 세 내각 중 두 내각의 크기가 같은 삼각형이 이등변삼각형인 거죠.
이등변삼각형이 될 조건 - 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형
이것도 가정과 결론으로 나누어 증명해보죠.
가정: △ABC에서 ∠B = ∠C
결론:
△ABC에서 ∠A의 각의 이등분선을 긋고 밑변과 만나는 점을 점 D라고 해보죠. 그러면 △ABD와 △ACD로 나뉘어요.
(1) ∠BAD = ∠CAD (∠A의 이등분)
(2)
모든 삼각형 내각의 합은 180°에요. △ABD의 내각의 합과 △ACD의 내각의 합은 같죠.
∠BAD + ∠B + ∠ADB = ∠CAD + ∠C + ∠ADC인데, (1) ∠BAD = ∠CAD와 가정 ∠B = ∠C에 의해서 (3) ∠ADB = ∠ADC가 돼요. 결국 두 삼각형에서 세 각의 크기가 서로 같아요.
(1), (2), (3)에 의해서 △ABD와 △ACD는 한 변의 길이와 그 양끝각이 같은 합동이지요. (4) △ABD ≡ △ACD.
따라서 대응변인 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같아요.
다음 그림에서 x를 구하여라.
그림에 보면 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같다고 표시되어 있네요. 즉 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형에서 밑각의 크기는 서로 같아요.
삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데, 한 각은 110° 다른 두 같은 x로 크기가 같아요.
x + x + 110 = 180
x = 35(°)
도형의 합동, 삼각형의 합동조건
이제 도형의 기초 단원의 마지막이에요
양이 상당히 많았네요. 점, 선, 면부터 시작해서 위치관계, 작도까지
직접 그림을 그려보지 않으면 이해가 잘되지 않아서 어렵긴 하지만 몸으로 익힌 거라서 한 번 이해하면 머리에 조금 더 오래 남는 단원이기도 해요.
이제 마지막이니까 앞에서 했던 내용을 잘 기억해보세요. 오늘 할 내용의 절반은 앞에서 했던 내용과 같아요. 절반은 거저 먹는 거예요.
도형의 합동
합동이에요. 합동은 함께 모여서 일을 하는 걸 말하는데, 여기서 말하는 합동은 그게 아니에요
도형을 모양이나 크기를 바꾸지 않고 옮겨서 다른 도형에 완전히 포갤 수 있을 때 두 도형을 합동이라고 해요. 쉽게 말해서 도형을 뒤집고 돌려봐서 두 도형이 똑같으면 합동인 거예요.
기호로는 ≡로 표시해요. 작대기가 세 개예요. =에 -을 하나 더 해서 -가 총 세 개입니다.
모양과 크기를 바꾸지 않고 위치만 바꾼 거니까 두 도형의 모양과 크기는 같겠죠? 넓이도 같아요.
합동인 두 도형에서 꼭짓점도 각도 변도 모두 포개지겠죠? 이렇게 포개지는 걸 대응한다고 하는데 포개지는 변을 대응변, 포개지는 각을 대응각, 포개지는 꼭짓점을 대응점이라고 해요.
삼각형을 이용해서 조금 더 설명할게요
아래 △ABC와 △DEF가 있어요. 이 두 삼각형은 서로 합동이에요. △DEF를 180° 돌리면 △ABC와 포개지거든요.
대응점을 찾아보죠. 대응점은 도형을 포갰을 때 서로 겹치는 점이에요. 서로가 서로에게 대응점이에요.
점 A - 대응점 - 점 D
점 B - 대응점 - 점 E
점 C - 대응점 - 점 F
이번에는 대응변을 찾아볼까요? 변 AB와 변 DE가 서로 포개져요. 그러니까 변 AB의 대응변은 변 DE이죠. 대응변의 길이는 서로 같아요. 당연하죠. 서로 포개지는 거니까요.
변 AB - 대응변 - 변 DE
변 BC - 대응변 - 변 EF
변 CA - 대응변 - 변 FD
∠A와 ∠D도 서로 포개지죠. 그러니까 서로가 서로의 대응각이에요. 대응각의 크기도 서로 같아요.
∠A - 대응각 - ∠D
∠B - 대응각 - ∠E
∠C - 대응각 - ∠F
도형의 합동을 기호로 ≡로 표시한다고 했으니 두 △ABC, △DEF가 합동이면 △ABC ≡ △DEF로 표시할 수 있어요. 이때 꼭 기억해야하는 한 가지가 있는데요. 바로 두 삼각형을 적을 때, 대응점의 순서가 같아야한다는 거예요.
△ABC는 이름을 적을 때, A, B, C의 순서로 적었어요. 그러니까 그와 합동인 삼각형은 A의 대응점인 D, B의 대응점인 E, C의 대응점인 F의 순서로 적은 △DEF라는 거예요
△DEF와 △DFE, △EDF, △EFD, △FDE, △FED는 하나의 삼각형을 부르는 여러 이름이에요. 하지만 △ABC에 합동인 삼각형을 부를 때는 꼭 △DEF라는 이름을 써야 해요.
그럼 △CBA과 합동인 삼각형은 뭐라고 불러야 할까요? 각 C, B, A의 대응점을 순서대로 붙인 △FED죠.
이거 중요해요. 그림을 봐서 대응점을 잘 못 찾을 때 이름만 보고도 금방 알 수 있어야 해요.
삼각형의 합동조건
위의 내용은 모든 평면도형에 적용되는 내용이에요. 삼각형이든 사각형이든 오각형이든 상관없어요.
삼각형의 합동조건은 삼각형에만 적용되는 거예요. 다만 새로운 건 아니에요. 이미 공부했던 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도의 연장선이거든요.
삼각형을 작도할 수 있는 조건은 세 가지가 있었어요. 세 변의 길이가 주어졌을 때, 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어졌을 때, 한 변의 길이와 양 끝각이 주어졌을 때죠?
삼각형의 합동 조건도 세 가지가 있어요. 뭘까요? 차이가 있다면 두 삼각형 사이에서 생기는 조건이므로 하나 또는 둘이 아니라 한 쌍, 두 쌍이라고 쓰는 거죠.
- SSS 합동: 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때
- SAS 합동: 두 쌍의 대응변의 길이와 끼인각의 크기가 같을 때
- ASA 합동: 한 쌍의 대응변의 길이와 양쪽 끝각의 크기가 같을 때
S는 변을 나타내는 side, A는 각을 나타내는 angle의 첫 글자를 딴 거예요. SSS는 세 변, SAS는 두 변과 끼인 각, ASA 는 한 변과 양 끝각이라는 걸 조금 더 쉽게 기억할 수 있어요.
삼각형의 작도, 삼각형의 합동의 세 조건이 모두 같아요. 따로 외울 필요 없겠죠?
아래 두 삼각형은 서로 합동이다. 그림을 보고 물음에 답하시오.
(1) 두 삼각형은 삼각형의 합동 조건 중 어디에 해당하는가?
(2) 변 BA의 대응변은?
(3) ∠F와 포개지는 각은?
(4) 점 E에 대응하는 점은?
(1)번, 숫자는 쓰여 있지 않지만 그림을 보면 아랫변에 길이가 같다는 표시가 되어 있고, 양 끝각에 각 표시가 되어 있는 걸로 봐서 삼각형의 합동조건 중 세 번째인 한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때에 해당하는 걸 알 수 있어요.
(2)번, 두 삼각형이 합동이니까 기호로 표시하면 △ABC ≡ △DEF로 쓸 수 있지요? 변 BA의 대응변을 물어봤어요. 그러면 변 DE가 되겠죠? 그런데 우리 삼각형의 이름을 부를 때 어떻게 하기로 했어요? 대응점의 순서대로 부르기로 했잖아요. 그러니까 변을 말할 때도 대응점의 순서대로 하면 변 DE가 아니라 변 ED가 되어야겠죠? 사실 변이나 각에서는 이름을 대응점 순서대로 하지 않아도 상관없어요. 하지만 삼각형과의 통일성을 위해서 이렇게 연습하세요.
(3) ∠F와 포개지는 각은 ∠F의 대응각을 찾으라는 얘기죠? ∠F의 대응각은 ∠C네요.
(4) 점 E에 대응하는 점은 점 E의 대응점 즉, 점 B네요.
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