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고등학교 수학 첫 시간이네요. 고등학교 수학은 중학교 수학과 비교하면 수준차가 확연히 납니다. 갑자기 어려워져요. 특히 학년이 올라갈수록 그 격차는 심해집니다.

내용 자체도 어렵고 양도 많고요. 설명도 글이나 그림보다는 식이나 기호 위주로 되어 있어서 알아보기가 힘들 겁니다. 하지만 중학교에 배운 수학 내용을 탄탄히 해온 학생이라면 충분히 공부할 수 있으니까 너무 걱정하지 마세요.

고등학교 수학은 한꺼번에 몰아서 공부하거나 벼락치기가 안되니까 매일 조금씩 공부를 하세요.

처음으로 할 내용은 집합인데, 집합은 중1 수학에서 공부했던 내용을 정리하고 복습하는 과정을 가져보죠. 자세한 설명은 중1 수학 목록에서 보세요. 부분집합과 부분집합의 개수를 구하는 과정을 조금 더 다뤄보도록 하겠습니다.

집합

집합에 관련된 내용은 많지만 일단 가장 기본적인 것 몇 가지만 정리해볼까요?

• 집합: 구체적이고 객관적인 기준에 맞는 대상들의 모임. 알파벳 대문자로 표시
• 원소: 집합을 이루는 대상 하나하나. 알파벳 소문자로 표시
  • a가 집합 A의 원소일 때, a ∈ A
  • b가 집합 A의 원소가 아닐 때, b A
• 집합의 표현방법
  • 원소나열법: 집합에 속하는 모든 원소를 { }안에 열거하는 방법.
    A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
  • 조건제시법: 원소들의 공통된 성질이나 조건을 나타내는 방법.
    A = {x|x는 12의 양의 약수}
  • 벤다이어그램: 그림으로 표현
    
• 집합의 분류
  • 유한집합: 원소의 개수가 유한개여서 셀 수 있는 집합
    공집합: 원소의 개수가 0개인 집합
  • 무한집합: 원소의 개수를 셀 수 없는 집합
• n(A): 집합 A의 원소의 개수

부분집합

중학교 1학년 때, 집합의 포함관계 - 부분집합, 진부분집합과 부분집합의 성질에서 했던 내용을 정리해보죠.

두 집합 A, B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때, A를 B의 부분집합이라고 하고 기호로 A ⊂ B라고 나타내요. 1이 모든 수의 약수인 것처럼 공집합 는 모든 집합의 부분집합이죠. 모든 수가 자기 자신을 약수로 갖는 것처럼 집합에서도 자기 자신을 부분집합으로 가져요.

임의의 원소 a에 대하여, a ∈ A일 때 a ∈ B이면 A ⊂ B
⊂ A, A ⊂ A
A ⊂ B, B ⊂ C ↔ A ⊂ B ⊂ C ↔ A ⊂ C

진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합을 말해요. 자기 자신은 부분이라고 할 수 없잖아요. 기호로 나타내면 A ⊂ B이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합이라고 합니다.

두 집합 A와 B가 서로 같은 지도 부분집합을 이용해서 알 수 있어요. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A와 B는 서로 같은 집합이에요. A의 모든 원소가 B에 들어있고, B의 모든 원소가 A에 들어있으니까 서로 같은 거지요. 숫자에서와 마찬가지로 등호(=)를 써서 A = B라고 표시합니다. A ⊂ B이고 B ⊂ A ↔ A = B

부분집합의 개수 구하기

이것도 중1 때 했던 내용이에요. 부분집합의 개수 구하기, 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기에 보면 왜 이런 방법으로 구하는지 설명이 되어 있어요. 기억이 나지 않는다면 한 번 보고 오세요.

n(A) = n일 때
집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2ⁿ - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2ⁿ - 2^{n - k}

진부분집합은 자기 자신을 제외한 부분집합이니까 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼서 구해요.

특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합은 애초부터 그 원소를 포함하지 않은 집합으로 생각하면 됩니다. 애초부터 원소에 포함되지 않았으면 부분집합에도 포함되지 않으니까요. 또 특정 원소 k개를 포함하는 부분집합은 특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합에 그 원소들을 넣어주는 것으로 생각하면 쉬워요. 따라서 둘은 개수가 서로 같은 거예요.

마지막에 있는 게 처음으로 나오는 건데요. 적어도 한 개가 들어있는 것의 개수를 바로 구하기 어려우니까 반대로 생각해봤어요. 적어도 한 개를 포함하는 것의 반대는 하나도 들어있지 않은 거잖아요. 그래서 전체에서 한 개도 들어있지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구하는 거죠. 하나도 들어있지 않는 부분집합의 개수는 (특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)에요.
(특정 원소 k 개중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수)
= (전체 부분집합의 개수) - (특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)

집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때 다음을 구하여라.
(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수
(2) 2, 4를 반드시 포함하는 부분집합의 개수
(3) 2, 4중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수

(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하라고 했는데, 애초부터 A라는 집합이 2, 4를 포함하지 않았다고 생각해보죠. 이 집합을 B라고 한다면 B = {1, 3, 5}에요. (B의 부분집합의 개수) = (2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수)이므로 2³ = 8이에요.

공식을 이용해서 바로 구해보면 n(A) = 5이고, 2, 4라는 두 개의 원소를 포함하지 않으니까 2^{5 - 2} = 2³ = 8(개)이에요. 공식으로 바로 구해도 같네요.

(2)번은 (1)에서 구한 B의 부분집합에는 2, 4가 들어있지 않으니까 거기에 2, 4를 모두 넣어준다고 생각하면 돼요. 따라서 개수가 같죠. 8개에요.

(3)번 2, 4중 적어도 하나를 포함한다는 건 2를 포함하거나 4를 포함하거나 2, 4 둘 다를 포함하는 거예요. 전체 부분집합의 개수에서 2, 4를 둘 다 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구해요. 2⁵ - 2^{5 - 2} = 32 - 8 = 24(개)

두 집합 A = {x|x는 5 이하의 자연수}, B = {1, 3, 5}일 때 B ⊂ X ⊂ A를 만족하는 X의 개수를 구하여라.

문제가 좀 복잡하네요. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5}

B ⊂ X니까 X는 B의 모든 원소를 포함하고 있어요. 그리고 X ⊂ A죠. 정리해보면 X는 B의 원소인 {1, 3, 5}를 포함하는 A의 부분집합이에요.

특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 구하는 공식을 사용하면 되겠네요.

2^{5 - 3} = 4

X를 직접 구하는 게 아니라 개수만 구하는 거니까 답은 4개입니다.

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부분집합의 개수를 구하는 방법을 기억하고 있죠? 부분집합의 개수는 원소의 개수만큼 2를 거듭제곱 하는 거죠.

A = {1, 2, 3, 4, 5}이라면 2⁵ = 32니까 부분집합의 수는 32개네요.

이제 여기서 조금 더 어려운 문제를 풀어보죠. A의 부분집합 중에서 2가 들어있지 않은 부분집합의 개수는 몇 개일까요? 반대로 2를 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 몇 개일까요?

특정 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수

A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때, 2를 포함하지 않는 부분집합을 구해보죠.

1. 원소가 하나도 없는 공집합:
2. 원소가 한 개인 부분집합: {1}, {3}, {4}, {5}
3. 원소가 두 개인 부분집합: {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}
4. 원소가 세 개인 부분집합: {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {3, 4, 5}
5. 원소가 네 개인 부분집합: {1, 3, 4, 5}

직접 구해봤더니 16개네요.

좀 더 쉬운 방법으로 구해볼까요? A라는 집합에 애초부터 2라는 원소가 없다고 생각해보세요. 그리고 A대신 B라고 이름 붙여볼까요? B = {1, 3, 4, 5}라는 집합이 되겠네요. 이 집합의 부분집합의 개수는 2⁴ = 16, 총 16개네요.

처음부터 2라는 원소를 가지고 있지 않다면 당연히 그 집합의 부분집합에는 2라는 원소가 포함되지 않겠죠. 이 방법을 이용해서 A의 부분집합 중 2를 포함하지 않는 부분집합을 구하면 16개가 나와요.

그럼 A의 부분집합 중 2와 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수도 구할 수 있겠네요. 처음부터 2, 4를 포함하고 있지 않다고 생각하면 C = {1, 3, 5}가 되고, 원소의 개수는 세 개, 2³ = 8, 8개가 되겠네요.

정리해보면 특정한 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 원래 원소 개수에서 특정한 원소 개수를 뺀 만큼 2를 거듭제곱하는 겁니다.

특정 원소를 포함하는 부분집합의 개수

이번에는 반대로 반드시 2를 포함하는 부분집합의 개수를 구해볼까요?

2를 포함하는 부분집합은 2를 포함하지 않는 부분집합에서 구하면 쉬워요. 2를 포함하지 않는 부분집합을 모두 구한 다음에 거기에 2를 집어넣으면 되거든요.

위에서 직접 구해본 부분집합이 있죠. 거기에 전부 다 2를 집어넣어 볼게요.

1. 원소가 하나도 없는 공집합: {2}
2. 원소가 한 개인 부분집합: {1, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}
3. 원소가 두 개인 부분집합: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}
4. 원소가 세 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}
5. 원소가 네 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4, 5}

모든 부분집합이 2를 포함하고 있어서 원소의 개수가 한 개씩 늘었어요. 부분집합의 개수는 총 16개고요.

2를 포함하는 부분집합은 2를 포함하지 않는 부분집합에 원소 2를 집어넣어서 찾았어요. 그렇다면 그 개수는 몇 개일까요? 2를 포함하는 부분집합의 개수와 2를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 같아요.

그래서 2를 포함하는 부분집합의 개수는 2를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하는 것과 똑같은 방법으로 구합니다.

2⁴ = 16 개입니다.

부분집합의 개수 구하기

n(A) = n일 때
집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2ⁿ - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2ⁿ - 2^{n - k}

진부분집합은 자기 자신을 제외한 부분집합이니까 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼서 구해요.

특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합은 애초부터 그 원소를 포함하지 않은 집합으로 생각하면 됩니다. 애초부터 원소에 포함되지 않았으면 부분집합에도 포함되지 않으니까요. 또 특정 원소 k개를 포함하는 부분집합은 특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합에 그 원소들을 넣어주는 것으로 생각하면 쉬워요. 따라서 둘은 개수가 서로 같은 거예요.

마지막에 있는 게 처음으로 나오는 건데요. 적어도 한 개가 들어있는 것의 개수를 바로 구하기 어려우니까 반대로 생각해봤어요. 적어도 한 개를 포함하는 것의 반대는 하나도 들어있지 않은 거잖아요. 그래서 전체에서 한 개도 들어있지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구하는 거죠. 하나도 들어있지 않는 부분집합의 개수는 (특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)에요.
(특정 원소 k 개중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수)
= (전체 부분집합의 개수) - (특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)

집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때 다음을 구하여라.
(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수
(2) 2, 4를 반드시 포함하는 부분집합의 개수
(3) 2, 4중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수

(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하라고 했는데, 애초부터 A라는 집합이 2, 4를 포함하지 않았다고 생각해보죠. 이 집합을 B라고 한다면 B = {1, 3, 5}예요. (B의 부분집합의 개수) = (2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수)이므로 2³ = 8이에요.

공식을 이용해서 바로 구해보면 n(A) = 5이고, 2, 4라는 두 개의 원소를 포함하지 않으니까 2^{5 - 2} = 2³ = 8(개)이에요. 공식으로 바로 구해도 같네요.

(2)번은 (1)에서 구한 B의 부분집합에는 2, 4가 들어있지 않으니까 거기에 2, 4를 모두 넣어준다고 생각하면 돼요. 따라서 개수가 같죠. 8개에요.

(3)번 2, 4중 적어도 하나를 포함한다는 건 2를 포함하거나 4를 포함하거나 2, 4 둘 다를 포함하는 거예요. 전체 부분집합의 개수에서 2, 4를 둘 다 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구해요. 2⁵ - 2^{5 - 2} = 32 - 8 = 24(개)

두 집합 A = {x|x는 5 이하의 자연수}, B = {1, 3, 5}일 때 B ⊂ X ⊂ A를 만족하는 X의 개수를 구하여라.

문제가 좀 복잡하네요. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5}

B ⊂ X니까 X는 B의 모든 원소를 포함하고 있어요. 그리고 X ⊂ A죠. 정리해보면 X는 B의 원소인 {1, 3, 5}를 포함하는 A의 부분집합이에요.

특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 구하는 공식을 사용하면 되겠네요.

2^{5 - 3} = 4

X를 직접 구하는 게 아니라 개수만 구하는 거니까 답은 4개입니다.

부분집합이 무엇인지 이제 정확히 알겠죠? 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되어 있을 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고 기호로 A ⊂ B로 나타냅니다.

이제는 부분집합을 직접 구해볼 거예요. 부분집합을 구하는 과정은 어렵지 않습니다.

다만, 원소의 개수가 많으면 부분집합을 구하기 귀찮기는 하죠.

부분집합 구하기

부분집합을 구할 때 가장 쉬운 방법은 원소의 개수를 0개부터 하나씩 늘려가면서 구하는 겁니다.

A = {1, 2, 3, 4}의 부분집합을 구해보죠.

1. 첫 번째 원소의 개수가 하나도 없는 부분집합, 즉 공집합
2. 원소의 개수가 하나인 부분집합: {1}, {2}, {3}, {4}
3. 원소의 개수가 두 개인 부분집합: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
4. 원소의 개수가 세 개인 부분집합: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}
5. 원소의 개수가 네 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4}

원소의 개수가 다섯 개인 부분집합은 없겠죠.

이렇게 원소의 개수를 하나씩 늘려서 찾다 보니 총 16개의 부분집합을 구했네요.

부분집합의 개수 구하기

부분집합의 개수는 위처럼 직접 부분집합을 구해서 그 개수를 셀 수도 있겠지요. 하지만 너무 비효율적이에요.

그래서 공식으로 알아두면 좋아요. 공식은 [중등수학/중2 수학] - 경우의 수를 이용하면 쉽게 구할 수 있어요.

A = {1, 2, 3, 4}의 부분집합에는 1을 포함하는 부분집합이 있을 수 있어요. 반대로 1을 포함하지 않는 부분집합도 있겠지요. 그러니까 부분집합에 1이 있거나 없거나 두 가지 경우가 생기죠.

또, A의 부분집합 중에는 2를 포함하는 부분집합과 2를 포함하지 않는 부분집합이 있을 거예요. 역시 두 가지 경우네요.

3, 4도 마찬가지로 포함하거나 포함하지 않거나 각각 두 가지 경우가 생기죠.

각 원소 1, 2, 3, 4에서 두 가지씩 경우의 수가 생기는데 이는 동시에 발생하는 사건으로 곱의 법칙을 사용하는 게 맞죠?

원소별로 경우의 수가 2가지씩 생기므로 이를 모두 곱하면 부분집합의 개수를 구할 수 있어요.

부분집합의 개수 = 2를 원소의 개수만큼 곱
집합 A의 원소의 개수가 n개 일 때, 집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ

A = {1, 2, 3, 4}에서 원소의 개수는 네 개죠. 그래서 2를 네 번 곱해주면 되는데, 2⁴ = 16이네요.

직접 구해본 부분집합의 수를 세어봤더니 역시 16개였죠. 어때요? 개수만 구하려고 할 때는 그냥 위 공식을 이용하는 것이 좋겠죠?

부분집합을 직접 구해야 하는 문제가 나올 수도 있어요. 이럴 때 공식을 이용해서 부분집합의 개수를 먼저 구한 다음에 그 개수에 맞게 부분집합을 찾는 것도 좋은 방법입니다.

집합의 포함관계 - 부분집합에서 부분집합의 뜻에 대해 알아봤어요. 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고, 기호로는 A ⊂ B로 나타낸다고 말이죠.

이글에서는 부분집합의 성질에 대해서 자세히 알아보죠.

부분집합의 성질

집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)에서 이야기한 공집합과 부분집합의 관계에 대해서 알아보죠.

어떤 학교가 있어요. 학교에는 교실이 있겠죠? 총 10개의 교실이 있는데, 9개 교실에는 학생이 20명씩 공부하고 있어요. 나머지 한 교실은 사용하지 않고 비여 있어요. 여기서 학생을 원소라고 하고, 교실과 학교를 집합이라고 해보죠.

학교 → 집합 U
10개의 교실 → 집합 A, 집합 B, 집합 C, , … 집합 J

A 교실의 학생 → a1, a2, a3, … a20
B 교실의 학생 → b1, b2, b3, … b20

9개의 교실은 원소가 20개인 유한집합이고, 빈 교실은 유한집합 중에서도 원소가 0개인 공집합이죠?

n(A) = n(B) = 20, n(j) = 0

학생이 20명씩 있는 9개의 교실은 학교의 일부분이니까 학교라는 집합의 부분집합이겠죠? 빈 교실에는 학생이 한 명도 없지만, 이 역시 학교라는 공간 안에 있으니까 학교의 부분이에요. 따라서 이 빈 교실이라는 집합도 학교라는 집합의 부분집합인 거죠.

A ⊂ U, B ⊂ U, J ⊂ U

즉, 원소가 하나도 없는 공집합도 전체의 부분집합이라는 거예요.

이번에는 학교 전체를 보죠. 학교의 모든 학생은 학교 안에 있죠? 학교 바깥에 있는 학생은 없잖아요. 학교의 모든 학생(원소)이 학교에 있으니까 학교라는 집합은 학교라는 집합의 부분집합이라고 할 수 있죠?

집합 A의 모든 원소가 집합 A에 들어있으면 부분집합의 정의에 따라 집합 A는 집합 A의 부분집합이에요.

위 두 가지에서 부분집합의 성질을 알 수 있어요.

1. 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. -> ⊂ A
2. 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. -> A ⊂ A

진부분집합

진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합을 말해요.

엄밀히 말해서 자기 자신은 자기 자신의 부분이라고 할 수 없잖아요. 그래서 진짜 부분집합을 진부분집합이라고 해요.

기호로 표현하면 A ⊂ B이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합이라고 해요.

서로 같은 집합

부분집합의 관계를 이용해서 두 부분집합이 같은지를 알 수도 있어요.

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 들어있을 때 집합 A는 집합 B의 부분집합이에요. 이때, 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 들어있다면 어떨까요? 집합 B는 집합 A의 부분집합이겠죠.

서로가 서로의 부분집합일 때, 두 집합은 서로 같은 집합이에요. A의 모든 원소가 B에 들어있고, B의 모든 원소가 A에 들어있으려면 둘이 서로 같을 때 빼고는 없거든요.

서로 같은 집합은 수에서와 마찬가지로 A = B라고 써요. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A = B

서로 다른 두 집합이 있을 때 두 집합 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼까요?

태티서라는 유닛 그룹이 있죠? 태연, 티파니, 서현으로 구성된 그룹이에요. 다시 말해 태티서라는 집합은 태연, 티파니, 서현이라는 원소로 되어 있어요. 그런데 이 세 명은 모두 소녀시대의 멤버이기도 하니까 소녀시대라는 집합의 원소라고 할 수도 있어요. 그럼 태티서라는 집합과 소녀시대라는 집합은 어떤 관계가 있을까요?

부분집합

어떤 집합 A의 모든 원소가 다른 집합 B의 원소일 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 합니다.

따라서 태티서라는 집합의 모든 원소(태연, 티파니, 서현)가 소녀시대라는 집합의 원소이므로 집합 태티서는 집합 소녀시대의 부분집합이에요.

만약, 집합의 원소 중 단 한 개라도 다른 집합에 포함되지 않을 때는 부분집합이라고 할 수 없어요.

슈펴주니어-M이라는 유닛을 보죠. 슈퍼주니어-M을 집합이라고 한다면 멤버인 시원, 려욱, 규현, 동해, 헨리, 조미, 은혁, 성민은 원소라고 할 수 있어요. 그런데 이중 헨리와 조미는 슈퍼주니어의 멤버(원소)가 아니죠? 그래서 슈퍼주니어-M은 슈퍼주니어의 부분집합이라고 할 수 없어요.

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, C = {6, 7, 8, 9, 10, 11}

위 처럼 세 개의 집합이 있다고 해보죠.

집합 B의 원소인 0, 1, 2, 3, 4, 5는 집합 A에 모두 포함되어 있어요. 그래서 집합 B는 집합 A의 부분집합이라고 할 수 있어요. 집합 C의 원소 중 6, 7, 8, 9, 10은 집합 A에 다 들어있는데, 11이 들어있지 않아요. 집합 A에 포함되지 않은 11 때문에 집합 C는 집합 A의 부분집합이라고 할 수 없는 거죠.

위 내용을 벤다이어그램으로 표시하면 아래처럼 되겠군요.

부분집합의 표현

부분집합은 "포함하다. 들어있다."는 뜻을 가진 Contain이라는 단어의 첫 글자 C를 따서 ⊂라는 기호로 표시해요.

⊂의 벌어진 쪽에 더 큰 집합을 쓰고 닫힌 쪽에 작은 집합(포함되는 집합)을 써요.

"B는 A의 부분집합이다"는 B ⊂ A로 표시하죠.

위에서 C는 A의 부분집합이 아니었죠? 그럼 이건 기호로 어떻게 나타낼까요? 원소의 표시방법에서 원소가 아니다는 ∈에 선하나 그어서 로 나타낸다고 했죠. 여기서도 마찬가지로 ⊂에 선하나 그어서 로 나타내요.

따라서 "C는 A의 부분집합이 아니다"는 C  A로 나타내요.