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조립제법 두 번째에요.

이번에 할 조립제법은 개념이해를 잘해야 해요. 조립제법의 방법은 같은데, 그 결과를 해석하는 게 달라지거든요.

조립제법은 다항식의 나눗셈을 조금 더 편리하게 하려고 하는 거예요. 즉, 몫과 나머지를 좀 더 쉬운 방법으로 구하려고 하는 거죠. 그런데 나누는 식의 x의 계수가 1이 아니면 조립제법으로 구한 몫이 틀리게 나와요.

왜 틀린 값이 나오는지, 틀린 값을 어떻게 해야 정확한 몫을 구할 수 있는지 알아보죠.

조립제법 - 나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때

조립제법 1 - 조립제법 하는 법

다항식의 나눗셈을 검산식으로 나타내보죠. f(x) = (x - α)Q(x) + R(x)에요. 조립제법을 할 때 나누는 식 = 0이 되는 x를 이용해요. x = α가 되겠죠.

나누는 식의 계수가 1이 아니라 ax + b라면 f(x) = (ax + b)Q(x) + R(x)에요. 조립제법을 하려면 나누는 식 = 0이 되는 x = 를 이용해야 해요.

(2x³ - 5x² + 5x - 4) ÷ (2x - 3)을 해보죠. 나누는 식 = 0이 되게 하는 x = 이고, f(x)의 계수는 2 -5 5 -4에요.

몫은 2x² - 2x + 2, 나머지는 -1이 나왔네요.

이 문제는 다항식의 나눗셈 마지막 예제에서 해봤던 문제인데, 그 결과를 비교해보죠.

몫은 x² - x + 1, 나머지는 -1이네요.

나머지는 같은데, 몫이 다르죠?

왜냐하면, 조립제법에서 x = 을 넣어서 했죠? f(x)를 (2x - 3)으로 나눈 게 아니라 (x - )으로 나눈 결과라서 그래요.

두 경우 모두 나누는 식 = 0이 되게 하는 x는 같지만 식은 다르잖아요. 이런 차이때문에 몫이 달라지는 거예요.

R = -1로 같으니까 (나누는 식 × 몫) 부분만 보죠.

원래 우리가 구하려고 했던 몫이 x² - x + 1이라는 걸 알 수 있어요.

매번 이렇게 할 수는 없잖아요. 간단하게 구하는 방법이 있어요.

우리가 구하려고 했던 Q(x)인데, 조립제법을 통해서 구한 건 aQ(x)인 거죠. 따라서 조립제법으로 구한 몫을 나누는 식의 x의 계수로 나눠주면 원래 구하려고 했던 몫을 구할 수 있어요.

(2x² - 2x + 2) ÷ 2 = x² - x + 1

나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때 조립제법
조립제법의 방법은 같음.
진짜 몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)

f(x)를 x - 3으로 나눈 몫이 2x² - 4x + 2이고 나머지는 1이라고 한다. f(x)를 (2x - 6)으로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

f(x) = (x - 3)(2x² - 4x + 2) + 1이네요. 전개해서 f(x)를 구한 다음에 (2x - 6)으로 나누는 조립제법을 해야겠지요?

설마 진짜로 이렇게 하는 학생은 없겠죠? x - 3 = 0을 0이 되게 하는 x와 2x - 6 = 0이 되게 하는 x가 같으니까 조립제법과 실제 나눗셈 사이의 관계를 이용하면 되는 문제에요. 굳이 전개할 필요가 없어요.

f(x) = (x - 3)(2x² - 4x + 2) + 1
      = (2x - 6)Q(x) + R

어떤 방법을 이용하든 나머지는 같으니까 R = 1이에요.

(x - 3)(2x² - 4x + 2) = (2x - 6)Q(x)
(x - 3)(2x² - 4x + 2) = 2(x - 3)Q(x)
Q(x) = (2x² - 4x + 2) ÷ 2
Q(x) = x² - 2x + 1

몫은 x² - 2x + 1, 나머지는 1

몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)으로 바로 구해도 돼요.

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조립제법 1 - 조립제법 하는 법

다항식의 나눗셈은 계산하기 정말 복잡하죠? 귀찮기도 하고요.

그래서 하기 싫은 다항식의 나눗셈을 좀 더 쉽게 하는 방법을 알려드립니다. 그게 바로 조립제법이에요. 조립제법은 다항식의 나눗셈에서 계수들의 규칙을 찾아서 만든 방법인데, 원리는 교과서에 설명되어 있을 거예요. 이 글에서는 원리보다는 조립제법을 실제로 하는 방법에 대해서 얘기할게요.

조립제법을 이용하면 다항식의 나눗셈을 할 필요 없이 몫과 나머지를 구할 수 있어요. 물론 나머지만 구하려면 나머지정리를 이용하면 더 쉽고요.

조립제법은 나중에 공부할 인수분해에서도 아주 유용하게 쓰이니까 꼭 할 줄 알아야 해요.

조립제법

다항식의 나눗셈은 최고차항과 계수를 비교해서 한 단계씩 풀어나갔었죠? 조립제법에서는 계수만 가지고 해요. 차수는 생각하지 않아도 되죠.

조립제법을 할 때는 가장 먼저 할 일은 f(x)와 나누는 식을 내림차순으로 정리하는 거예요.

x² + 3x - 4를 x - 1로 나누는 걸 조립제법으로 해보죠.

1. ㄴ자 모양으로 선을 그어요. 왼쪽 위에는 나누는 식 = 0이 되게 하는 x를 적어요. 이 경우에는 x = 1이네요. 오른쪽에는 내림차순으로 정리한 f(x)의 계수들을 순서대로 적어요.
2. 가장 왼쪽에 있는 계수 1은 그냥 바로 아래로 내려서 적어요.
3. ②에서 내린 1과 왼쪽에 있는 1을 곱한 1을 오른쪽 위에 적어요.
4. 두 번째 있는 계수 3과 바로 아래에 있는 1을 더한 4를 그 아래에 적어요.
5. ④에서 구한 4와 왼쪽에 있는 1을 곱한 4를 오른쪽 위에 적어요.
6. 세 번째에 있는 -4와 바로 아래 있는 4를 더한 0을 그 아래에 적고 ㄴ을 한 번 더 그려주세요.

ㄴ의 아래에 있는 숫자들이 몫과 나머지인데요. 가장 오른쪽에 있는 숫자가 나머지이고, 그 외의 부분이 몫이에요. 몫은 오른쪽부터 상수항, x의 계수, x²의 계수, x³의 계수예요. 앞 계산에서는 x의 계수까지밖에 없네요.

결론은 x² + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0 라는 거지요.

보기에서는 항의 개수가 몇 개 없어서 그런데, 항의 개수가 많다고 하더라도 오른쪽 옆으로 한 칸씩 옮겨가면서 ③, ④를 반복하면 돼요.

다항식의 나눗셈에서는 바로 위에 있는 식과 아래에 있는 식을 빼서 계산했어요. 그런데 조립제법에서는 위, 아래에 있는 계수를 더합니다. 이거 조심하세요.

주의해야 할 게 하나 더 있는데, 빈자리는 0으로 채워야 해요. f(x) = x³ - x + 1을 나누는 조립제법을 할 때는 f(x)의 계수가 3개라서 ①단계에 1   -1   1의 세 숫자만 쓰는 경우가 있는데, 그러면 안 돼요. f(x)에 x²이 없죠? 이때는 x²의 계수가 0이기 때문이에요. 따라서 ㄴ에 f(x)의 계수를 쓸 때, 1  0  -1  1의 네 숫자를 써야 해요. x³ + x² - x의 경우에는 1  1  -1이 아니라 상수항이 0이니까 1  1  -1  0을 써줘야 하고요. 계수의 개수는 최고차항의 차수보다 1개 많아요.

다음을 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2x³ + 3x² - x - 2) ÷ (x + 1)
(2) (x³ - 2x + 5) ÷ (x + 2)

(1)번은 나누는 식 = 0이 되게 하는 x = -1이고, f(x) = 2x³ + 3x² - x - 2로 계수만 적으면 2   3   -1   -2에요.

가장 앞에 있는 최고차항의 계수는 그냥 바로 아래로 내리고, -1과 곱해서 위로 올리고, 다음 계수와 더하고 …  이 과정을 계속하면 아래 그림처럼 조립제법을 할 수 있어요.

가장 오른쪽에 있는 숫자 0이 나머지이고, 그 외 3숫자는 몫인데, 오른쪽부터 상수항, x 계수, x² 계수이므로 몫은 2x² + x - 2에요.

몫: 2x² + x - 2, 나머지: 0
나머지가 0이니까 2³ + 3x² - x - 2는 x + 1로 나누어떨어지네요.

(2)번은 나누는 식 = 0이 되는 x = -2, f(x) = x³ - 2x + 5인데, 조심해야 하는 게 x²이 없지요? 계수가 0이에요. 따라서 적을 때는 1   0   -2   5를 적어야 해요.

몫: x² - 2x + 2, 나머지: 1

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중학교에서 했던 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 하나였어요. 다항식 중에서도 단항식으로 나누었던 거죠. 숫자끼리 약분하고, 지수는 뺄셈을 통해서 계산할 수 있었죠.

고등학교 과정에서 공부하는 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 두 개이상인 다항식이에요. 항이 여러 개 있다보니까 약분을 하거나 지수법칙을 적용할 수 없는 경우가 생기죠.

이럴 때 어떻게 나눗셈을 하는지 알아보죠. 차수와 계수에 주목해서 보세요.

글로 설명하기가 참 어려운 내용이라서 그림을 잘 보고 이해해보세요.

다항식의 나눗셈

숫자의 나눗셈을 먼저 해볼까요? 55 ÷ 3을 해보죠. 세로로 나누기를 할 때, 아래 그림처럼 해요.

십의 자리 숫자 5에서 3을 나누고, 나머지 2를 내려서 일의 자리 숫자 5를 붙이고, 25에서 3을 나누고, 24를 뺀 나머지 1을 쓰죠?

다항식의 나눗셈도 이렇게 해요. 차이가 있다면 숫자의 자리가 아니라 차수를 이용한다는 거예요. 나누는 식의 최고차항과 계수와 차수가 같아지도록 하는 것이 핵심이에요.

숫자는 나눗셈을 할 때, 나눠지는 수의 뒷자리에 맞게 뒤에서부터 몫을 쓰는데, 다항식의 나눗셈에서는 앞에서부터 써요.

(x² + 3x - 4) ÷ (x - 1)을 해보죠.

다항식의 나눗셈

1. 나눠지는 식의 최고차항은 2차고 나누는 식이 최고차항이 1차니까 나누는 식에 x를 곱하면 차수가 같아지죠?
   (x - 1) × x = x² - x
2. (나눠지는 식) - (나누는 식 × x) = x² + 3x  - (x - 1)x = 4x, -4는 그대로 아래로
3. x - 1은 최고차항이 1차, 4x - 4도 최고차 항이 1차로 같지만 계수가 다르니까 계수를 똑같이 만들어 주려면 (x - 1) × 4 = 4x - 4
4. 두 식을 빼줍니다. (4x - 4) - (x - 1) × 4 = 0

55 ÷ 3의 결과를 55 = 3 × 18 + 1로 쓰잖아요. 이 때 55를 나눠지는 수, 3을 나누는 수, 18을 몫, 1을 나머지라고 하죠? (나눠지는 수) = (나누는 수) × (몫) + (나머지)

다항식 A를 0아닌 다항식 B로 나누었을 때 몫을 Q, 나머지를 R이라고 해서 A = BQ + R (B ≠ 0)라고 써요.

위 나눗셈의 결과는 x² + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0으로 쓰는 거죠. + 0은 생략해도 돼요.

30 ÷ 3을 해보면 30 = 3 × 10이라고 써요. 나머지가 0이니까 30은 3으로 나눠어 떨어진다고 하죠? 다항식에서도 나머지 R = 0이면 나누어 떨어진다고 해요. 위 보기에서 x² + 3x - 4는 (x - 1)로 나누어 떨어진다고 해요.

숫자의 나눗셈에서 나머지는 항상 나누는 수보다 작아요. 같거나 크면 안되죠? 다항식의 나눗셈에서는 나머지는 나누는 수보다 차수가 작아요. 위 예제에서는 나누는 식은 1차식, 나머지는 상수항이니까 0차죠? 이거 주의하세요.

다음 다항식의 나눗셈을 하고, 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2x³ + 3x² - x - 2) ÷ (x + 1)
(2) (2x³ - 5x² + 5x - 4) ÷ (2x - 3)

나눠지는 식의 최고차항을 찾아서 나눠지는 식의 최고차항과 비교해야 해요. 이 때, 계수와 차수가 같아지도록 숫자나 문자를 곱하는 거죠.

(1)을 계산해 볼까요?

몫은 2x² + x - 2, 나머지는 0이네요. 2x³ + 3x² - x - 2는 x + 1로 나누어 떨어지는 군요.

(2)번을 해보죠.

몫은 x² - x + 1, 나머지는 -1이네요.

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