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부채꼴 호의 길이와 넓이를 중학교 1학년 때 구해봤어요. (부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이) 이때는 각이 육십분법으로 표시되어 있었죠. 이제는 육십분법이 아니라 호도법으로 표시된 각을 이용해서 부채꼴 호의 길이와 넓이를 구해봐요.

공식을 유도하는 과정은 육십분법에서 했던 과정과 똑같아요. 각을 표시하는 방법만 달라지는 거니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 앞으로는 육십분법이 아니라 호도법으로 각을 나타낼 거니까 여기에 나오는 공식을 외워두세요.

부채꼴 호의 길이와 넓이

반지름의 길이가 r인 원에서 중심각의 크기가 θ라디안인 부채꼴 호의 길이를 l이라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.

부채꼴 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 원의 둘레와 비례식을 세워보죠.

2π : 2πr = θ : l
l = rθ

원의 넓이와 부채꼴의 넓이도 비례식을 세워볼까요?

2π : πr² = θ : S

위의 부채꼴 호의 길이에서 l = rθ이므로 이걸 넓이 공식에 대입해보면 이 돼요. rl이라는 공식은 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이 공식도 나왔던 공식이에요.

반지름이 r이고 중심각의 크기가 x°인 부채꼴 호의 길이와 넓이는 다음과 같아요.

이글에서는 육십분법을 호도법으로 바꾼 거니까 다른 건 그냥 다 두고 각도를 나타내는 부분만 바꿔보죠. 360°는 2π(라디안), 중심각 x°는 θ(라디안)로 바꿔봐요.

공식을 유도할 수 있겠죠?

부채꼴 호의 길이
반지름이 r이고, 중심각의 크기가 θ인 부채꼴 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면
l = rθ
S = r²θ = rl

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 π인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 &pi니까 둘레 l = rθ = 4 × π = 4π(cm)

S = r²θ = × 4² × π = 8π(cm²)

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삼각형의 무게중심은 매우 중요한 내용입니다. 꼭 알고 있어야 해요.

이번에는 삼각형의 무게중심과 삼각형 넓이의 관계를 알아볼 거예요. 언제나 그랬듯이 설명은 거창하지만, 결론은 쉬워요. 이 글에서는 딱 하나의 결론만 나와요.

그렇다고 결론만 보지 말고 설명도 잘 보세요. 설명을 잘 이해하지 못하면 응용문제를 풀 수 없거든요.

삼각형의 외심과 내심에서는 넓이와 관련된 내용이 없었으니 헷갈리지는 않을 거예요.

삼각형의 중선과 넓이

먼저 삼각형의 중선과 삼각형의 넓이에 대해서 알아보지요.

삼각형의 중선은 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선이에요.

△ABC에 중선을 그어서 △ABD, △ACD의 두 삼각형으로 나눴어요.

평행선과 삼각형의 넓이, 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비에서 두 삼각형의 높이가 같으면 밑변의 길이의 비와 넓이의 비가 같다고 했어요. 여기서는 밑변의 길이도 같으니 넓이도 같겠죠.

위 그림에서는 로 밑변의 길이가 같아요. 높이도 같고요. 따라서 두 삼각형 △ABD, △ACD의 넓이는 같아요. 즉, 중선으로 나누어진 두 삼각형의 넓이가 같은 거죠.

△ABC의 중선
△ABD = △ACD = △ABC

삼각형의 무게 중심과 넓이

△ABC에 세 중선을 그 교점을 G라고 해보죠. G는 삼각형의 무게중심이에요.

위에서 봤던 것처럼 중선으로 나누어진 삼각형은 넓이가 같아요.

△ABC의 중선 → △ABD  = △ACD ……… ①

이번에는 무게중심 G와 B, C로 이루어진 삼각형을 보죠.

△GBC의 중선  → △GBD = △GCD ……… ②

연립방정식의 풀이법 - 가감법처럼 ① - ②를 해보면

△ABD - △GBD = △ACD - △GCD
△GAB = △GCA

같은 방법으로 계산하면 결국 △GAB, △GBC, △GCA 세 삼각형의 넓이가 모두 같음을 알 수 있어요.

△ABC에서 삼각형의 무게중심이 G일 때,
△GAB = △GBC  = △GCA = △ABC

조금 더 들어가 볼까요?

△GBC의 중선  → △GBD = △GCD = △GBC

△GCA의 중선  → △GCE  = △GAE = △GCA

△GAB의 중선  → △GAF = △GBF = △GAB

△GAB = △ABC이므로 결국 △GAF = △GBF = △GAB = △ABC이에요. 다른 모든 삼각형에서도 똑같아요.

△ABC에서 삼각형의 무게중심이 G이고 각 변의 중점이 D, E, F일 때
△GBD = △GCD  = △GCE  = △GAE = △GAF = △GBF
= △GAB = △GBC = △GCA
= △ABC

다음 평행사변형 ABCD에서 점 O는 두 대각선 와 의 교점, 점 F는 의 중점, 점 E는 와 의 교점이다. □ABCD의 넓이가 30cm²일 때, □OEFC의 넓이를 구하여라.

평행사변형의 성질에 따르면 두 대각선은 서로를 이등분해요. 따라서 죠. 도 △ABC의 중선이라는 거죠. 점 E는 두 중선 , 의 교점이므로 무게중심이에요.

를 그어보세요. □OEFC는 넓이가 같은 두 개의 삼각형으로 나누어지는데, 여기서 하나의 삼각형은 전체 삼각형 △ABC의 넓이의 이에요.

□OEFC = △EFC + △EOC= △ABC + △ABC = △ABC에요.

평행사변형과 넓이에서 평행사변형의 대각선으로 나누어진 두 삼각형의 넓이는 평행사변형의 넓이의 절반이에요. △ABC = □ABCD

자 이제 이 식을 위 식에 대입해보죠.

□OEFC = △EFC + △EOC = △ABC = × □ABCD = × 30 = 5(cm²)

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