수학방

이차방정식의 풀이법 중 가장 쉬운 방법은 인수분해를 이용한 방법이에요. 이전 단원에서 인수분해 연습을 많이 해봤으니 이번에 공부할 내용은 그리 어렵지 않을 거예요.

AB = 0

어떤 두 수 a, b를 곱했더니 0이 되었어요. 이게 의미하는 게 뭘까요? 두 수 중의 하나는 반드시 0이라는 뜻이에요. 물론 두 수 모두가 0일 수도 있어요.

마찬가지로 두 다항식을 곱했더니 0이 되었다는 건 두 식 중 하나는 0이라는 거죠. 두 식 모두가 0일 수도 있고요.

AB = 0 은 A = 0 이거나 B = 0이라는 얘기입니다.

AB = 0       <=>     A = 0 or B = 0

이 성질(?)을 이용해서 이차방정식을 풀 수 있어요.

이차방정식 ax²+ bx + c = 0의 좌변을 인수분해해서 다항식의 곱으로 표시하면 AB = 0 의 꼴로 바뀌겠죠. 여기에서 다항식 A = 0일 때의 x 값, B = 0일 때의 x값이 이차방정식의 해가 되는 거예요.

x² - 5x + 6 = 0의 해를 구하여라.

이차방정식의 좌변인 x² – 5x + 6을 인수분해하면 (x – 2)(x – 3) = 0이죠. 두 다항식을 곱했더니 0이 되었단 말은 x – 2 = 0이거나 x – 3 = 0이라는 뜻이에요. 즉, x = 2이거나 x = 3 이라는 거죠. 그래서 위 이차방정식의 해는 x = 2 또는 x = 3입니다.

2x² + 8x + 8 = 0의 해를 구하여라.

좌변을 인수분해하면

2x²+ 8x + 8 = 0
2(x² + 4x + 4) = 0
2(x + 2)² = 0

2(x + 2)² = 0은 2 × (x + 2) × (x + 2) = 0이죠. 제일 앞에 있는 2는 0이 될 수 없어요. 그래서 상수 부분은 그냥 넘어갑니다. x + 2 = 0 이거나 x + 2 = 0인데, 어차피 둘이 똑같으니까 한 번만 써주면 돼요. 그래서 위 문제에서 이차방정식의 해는 x = -2예요.

이처럼 이차방정식의 해 두 개가 같아서 결과적으로 해가 하나만 있을 때 이 해를 중근이라고 합니다. 이차방정식이 중근을 가지려면 완전제곱식 형태가 되어야하는 데 자세한 건 다음에서 알아보죠.

1학년 때 일차방정식의 뜻, 이항을 공부했죠? 2학년 때는 연립방정식을 공부했고요. 3학년 때는 새로운 방정식을 공부할 거예요. 기본적으로 방정식이니까 1, 2학년 때 공부했던 방정식의 특징을 그대로 다 가지고 있어요.

새로 공부할 방정식은 이차방정식이에요. 방정식이 뭔지는 다 알죠? 식에 미지수가 있어서 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말해요. 앞에 이차라는 말이 붙어있으니까 최고차항의 차수가 2인 방정식이 바로 이차방정식이에요.

x에 관한 일차방정식은 x가 한 번만 곱해져 있었죠. 이차방정식은 x가 두 번 곱해져서 x²으로 표현할 수 있는 식입니다.

ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)

이차방정식을 위 형태로 나타내는데, 이런 형태를 일반형이라고 불러요. 만약에 a = 0이라면 최고차항의 차수가 1이라서 이차방정식이라고 할 수 없겠죠. 그래서 a ≠ 0인지 꼭 확인해야 해요.

b와 c는 0이어도 상관없어요. 최고차항인 x²항만 있으면 되니까요.

이차방정식인지는 모든 동류향을 정리해서 계산한 후의 모양으로 판단해요. 괄호가 있으면 괄호를 풀고 더할 건 더하고 뺄 건 빼야겠죠.

이차방정식의 해, 근

방정식의 해(또는 근)는 그 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 말해요. 일차방정식에서는 해가 몇 개였죠? 식 하나에 해가 한 개였어요. 이차방정식에서는 최대 2개까지 해를 가질 수 있어요. 최대 2개까지란 말은 하나일 수도 있고, 없을 수도 있고, 두 개일 수도 있다는 얘기예요. 해의 개수에 관한 건 나중에 더 공부하기로 하죠.

해를 두 개를 갖기때문에 각각의 해를 보통은 α, β로 써요. 알파, 베타라고 읽고요.

x= α가 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해라면 x = α를 대입했을 때 식이 참이돼요.

x = α가 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해 <=> a × α² + b × α + c = 0

이차방정식의 해는 문제에서 특별한 조건이 없다면 실수 전체의 범위에서 구합니다. 무리수도 해가 될 수 있어요.

방정식과 일차방정식을 이미 공부했으니까 이차방정식이라는 용어에 대해서는 그리 어렵지 않게 이해할 수 있을 거예요.

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이제까지 연립방정식과 그 풀이법(가감법, 대입법)에 대해서 알아봤어요. 이번 글에서는 이런 방법들을 응용해서 실제로 어떻게 문제를 푸는 지 설명할게요.

연립방정식의 활용에서 제일 중요한 것은 식을 세우는 과정이에요. 문제에서 요구하는 값을 구할 수 있는 식을 제대로 세우는 연습을 많이 해야 해요.

일차방정식의 활용 1, 일차방정식의 활용 2에서 했던 내용과 큰 차이는 없어요. 식이 연립방정식이라는 것 빼고는요. 즉, 연립방정식 방정식 2개를 만들어야 해요. 그때의 기억을 되살려보세요.

연립방정식의 활용 문제 푸는 단계

1. 구하려고 하는 것을 x, y로
   연립방정식을 활용하는 문제에서 첫 번째 해야 할 일은 문제에서 구하는 것이 무엇인지를 파악하는 거예요. 대부분은 문제 마지막에 "…?을 구하여라."라고 나오니까 금방 찾을 수 있어요. 문제에서 구하라고 하는 것을 미지수, x, y로 놓습니다.
2. 연립방정식 세우기
   문제에서 준 정보와 미지수를 잘 조합해서 식을 세워야 해요. 연립방정식 문제니까 식은 당연히 2개가 나오겠죠.
3. 연립방정식 풀기
   만들어진 연립방정식을 가감법과 대입법을 이용해서 풉니다.
4. 결과 확인
   푼 결과가 실제로 맞는지 확인하세요.

시간, 거리, 속력에 관한 문제

거리, 시간, 속력에 관한 문제는 수학에서는 빼놓지 않고 나오는 문제에요. 일차방정식은 물론 이차방정식, 부등식, 함수에서까지 모든 영역에서 나오는 문제입니다. 수학뿐 아니라 과학시간에도 배우는 내용이죠.

그래서 거리, 속력, 시간 구하는 공식을 꼭 외워야 해요.

왼쪽에 있는 그림을 기억하세요. 가로로 그어져 있는 선을 분수에서 사용하는 그 가로선이라고 생각하면 되겠죠.

이 유형에서 주의해야 할 건 단위에요. 단위가 시간인지 분인지 km인지 m 인지 꼭 확인해야 해요.

선영이는 집에서 학교까지 3km를 가는 동안 처음에는 시속 3km의 속력으로 걷다가 중간에 시속 5km의 속력으로 뛰어서 총 40분이 걸렸다. 선영이가 학교까지 뛰어간 거리를 구하여라.

집에서 학교까지의 거리가 3km니까 걸어간 거리를 x, 뛰어간 거리를 y라고 하면 x + y = 3이에요.

이번에는 시간을 한 번 계산해보죠. 그런데 속력은 단위가 시속이므로 시단위이고 걸린 시간은 40분으로 분단위예요. 두 시간의 단위를 맞추려면 40분을 시간으로 바꿔줘야 해요.

걸어간 시간 = , 뛰어간 시간 = , 총 걸린 시간 = 

연립방정식이 만들어졌어요.

①식에서 y = 3 - x

②식에 대입하면
5x + 3(3 - x) = 10
5x - 3x + 9 = 10
2x = 1
x = 0.5
y = 2.5

따라서 선영이가 학교까지 뛰어간 거리는 2.5km네요.

농도에 관한 문제

농도에 관한 문제 역시 빠지지 않고 나오는 문제입니다. 어쩔 수 없지만, 공식을 외워야 하고요.

농도에 관한 문제에서도 g과 kg의 단위에 주의하세요.

두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때

• (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
• (A + B) 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
• (A + B) 의 농도 = (A + B)의 소금의 양 / (A + B) 소금물의 양  * 100

어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.

소금물 A을 가열했을 때

• 가열한 후의 소금양 = 가열 전의 소금양
• 가열한 후의 소금물의 양 = 가열 전 소금물의 양 - 증발한 물의 양

소금물 A에 물만 넣었을 때

• 물을 넣은 후의 소금양 = 물을 넣기 전의 소금양
• 물을 넣은 후의 소금물의 양 = 물을 넣기 전의 소금물의 양 + 넣은 물의 양

8% 소금물에 5% 소금물을 섞어서 6% 소금물 600g을 만들려고 한다. 8% 소금물과 5% 소금물의 양을 구하여라.

두 소금물을 섞어서 600g의 소금물을 만든다고 했으니까, 8% 소금물의 양을 x, 5% 소금물의 양을 y라고 하면 x + y = 600이라는 식을 하나 만들 수 있어요.

8% 소금물과 5% 소금물에 들어있는 소금의 양을 합치면 6% 소금물 600g에 들어있는 소금의 양과 같아요. 이걸 식으로 써보죠.

(8% 소금물에 들어있는 소금의 양) + (5% 소금물에 들어있는 소금의 양) = (6% 소금물에 들어있는 소금의 양)

연립방정식이 만들어졌네요.

①식에서 y = 600 - x

②식에 대입하면
8x + 5(600 - x) = 3600
3x = 600
x = 200
y = 400

8% 소금물은 200g, 5% 소금물은 400g이네요.

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지금까지 배운 연립방정식은 일차식이라서 기본적으로 해는 (x, y)의 한 쌍만 존재해요. 그런데 그렇지 않은 경우가 있어요. 아주 특이하게 해가 무수히 많은 경우도 있고 해가 하나도 없는 경우가 있거든요.

어떤 경우에 해가 무수히 많고, 어떤 경우에 해가 하나도 없는지 알아볼까요?

해가 무수히 많은 경우

해가 무수히 많다는 건 일차방정식 두 개를 공통으로 만족하게 하는 해가 많다는 뜻이죠. 즉 두 방정식을 참이 되게 하는 (x, y) 순서쌍이 무수히 많다는 얘기에요.

위 연립방정식을 가감법으로 풀어볼까요?

위의 식을 ①식이라고 하면 ①식에 2를 곱해서 x의 계수의 절댓값을 똑같게 만들어 주면 어떻게 되나요? 4x + 2y = 16이 돼서 ②식과 같은 식이 되어 버려요.

① x 2 - ②을 해보면 좌변은 0, 우변도 0이 되서 0x + 0y = 0이라는 식이 만들어져버리죠. x, y의 값을 구할 수가 없어요.

이렇게 생각해보세요. 정수, 자연수 등의 특별한 조건이 없는 한 미지수가 2개인 일차방정식의 해의 개수는 무수히 많아요. ①식에 2를 곱했더니 ②식과 같아졌어요. 결국, 같은 식이라는 얘기죠. 두 식이 같으니까 해도 당연히 같겠죠. 그래서 공통으로 만족하게 하는 해도 무수히 많은 거죠.

해가 무수히 많은지 알아보려면 직접 계산해서 0 = 0 꼴이 나오는 경우를 찾아도 되지만 계수를 비교해서 알아내는 간단한 방법이 있어요.

①식과 ②식에서 x의 계수끼리, y의 계수끼리, 상수항끼리의 비를 구해서 비교해보는 거예요. 위 예제에서 x 계수의 비는 , y 계수의 비는 , 상수항의 비는 으로 모두 로 같아요.

연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 식의 x, y의 계수비와 상수항의 비가 모두 같아야 해요.

주의. 계수를 비교할 때는 계수의 부호까지도 포함해야 해요.

계수비는 이 아니라 이 되는 거예요.

해가 하나도 없는 경우

이와는 반대로 해가 하나도 없을 때도 있어요.

가감법으로 풀기 위해서 ①식에 2를 곱해서 ②식을 빼보죠.

0x + 0y = 2

위처럼 나오는 군요. 좌변은 0인데, 우변은 2에요. 말이 안 되죠. 0과 2가 같을 수는 없잖아요.

①식에 2를 곱했더니 어떻게 바뀌었나요? 2x - 2y = 18이 되었죠? ②식과 비교해보면 좌변은 같아요. 그런데 우변이 다르죠. x, y에 똑같은 값을 넣었는데 결과가 다르게 나온다는 거예요. 결국 무슨 말이냐면 두 식을 동시에 만족하는 해가 없다는 거죠.

해가 없을 때도 두 식의 계수비를 비교해서 알아낼 수 있어요. x와 y의 계수비는 같지만 상수항의 비는 다를 때 해가 하나도 없답니다.

기타

혹시 x 계수와 상수항의 비는 같은데 y 계수의 비가 다를 때는 어떻게 될지 궁금하지 않나요? 아래 예제 문제를 풀어보시면 궁금증을 해결할 수 있을 거예요.

제대로 풀었다면 이전에 우리가 봤던 것처럼 x, y의 한 쌍의 해가 나올 거예요. 특히 계수비가 다른 y = 0이고요.

y 계수의 비와 상수항의 비는 같고 x 계수의 비만 다를 때도 해를 한 개 구할 수 있어요.

연립방정식을 푸는 기본 방법인 가감법과 대입법에 대해서 연습을 많이 해야 해요.

오늘은 복잡한 연립방정식을 푸는 방법에 대해서 설명할 거예요. 복잡한 연립방정식을 푸는 방법의 핵심은 복잡한 걸 복잡하지 않게 바꾸는 거예요.

실제 연립방정식을 푸는 건 가감법과 대입법을 이용해서 풀어요. 새로운 방법으로 푸는 게 아니니 쫄지(?) 마세요. 우리가 할 건 가감법과 대입법으로 풀 수 있게 모양을 바꾸는 것뿐이랍니다. 게다가 복잡한 일차방정식의 풀이에서 이미 해봤던 내용이고요.

오늘 공부할 내용은 나중에 다룰 부등식에서도 똑같이 적용되는 거니까 잘 익혀두세요. 부등식뿐 아니라 거의 대부분의 식에서 써먹을 수 있어요.

괄호가 있는 연립방정식의 풀이

괄호가 있는 식은 괄호를 풀어서 정리해야 합니다. 괄호는 분배법칙을 이용해서 풀고, 동류항끼리 계산해서 간단히 하는 거예요.

위 문제에는 ①식과 ②식에 각각 괄호가 있잖아요. ①식의 괄호를 풀어서 동류항끼리 계산해보죠.
3x - 2x + 2y = 2
x + 2y = 2

②식도 마찬가지로 괄호를 풀어서 정리해 볼게요.
6x - 6y - 3x = -5
3x - 6y = -5

결국 문제를 아래의 연립방정식 문제로 바꿀 수 있어요.

위처럼 생긴 연립방정식은 가감법이나 대입법으로 풀 수 있겠죠?

계수가 분수인 연립방정식의 풀이

미지수의 계수가 분수일 때는 분모의 최소공배수를 모든 항에 곱해서 계수를 정수로 바꿔야 해요. 계수가 분수인 것보다 정수인 것이 계산하기가 훨씬 쉽겠죠.

위의 식을 ①식이라고 하면 ①식에서 x 계수의 분모인 2와 y계수의 분모인 3의 최소공배수 6을 ①식에 곱해줍니다. ①식의 모든 항에 6을 곱하면 식은 3x - 2y = 18로 바뀌게 돼요.

②식에서 x의 계수의 분모는 4, y 계수의 분모는 3이니까 둘의 최소공배수 12를 ②식에 곱해주면 3x - 4y = 12가 되겠군요.

주의할 점은 x, y 뿐 아니라 우변에 있는 상수항에도 같은 수를 곱해줘야 하는 거예요.

문제를 오른쪽에 있는 모양으로 바꾸면 이제 풀 수 있겠죠?

계수가 소수인 연립방정식의 풀이

이번에는 계수가 소수인 경우랍니다. 계수가 소수일 때는 식에 10의 거듭제곱인 수(10, 100, 1000)를 곱해서 계수를 정수로 바꿔줍니다.

①식에 10을 곱해서 x + 2y = 6으로 바꿀 수 있겠네요.

②식에도 10을 곱하면 3x + 2y = 10이 되고요.

문제가 아래처럼 바뀌었습니다.

A = B = C 꼴인 연립방정식의 풀이

A = B = C 꼴인 연립방정식에서는 A = B, B = C, C = A라는 세 식을 만들 수 있어요. 이 중 2개만 골라서 연립방정식을 만들어 풀면 돼요.

A = B, B = C, C = A로 만들 수 있는 연립방정식은 위 세 가지 형태입니다. 이 중에서 아무거나 하나 골라서 풀어도 해는 모두 같아요.

2x + y = 4x + 5y + 2 = x - 3y - 7

문제에 나온 식을 A = B, B = C, C = A의 세 식으로 만들어 보죠.

위처럼 세 개짜리 연립방정식이 나오는데요. 이 중에서 아무거나 두 개를 고르면 돼요. ①, ②식을 골라서 동류항 정리를 해보면

위에 있는 연립방정식으로 모양을 바꿨으니 이제는 풀 수 있겠죠.

다시 얘기하지만, 연립방정식을 푸는 새로운 방법이 아니에요. 우리가 배웠던 가감법, 대입법을 쓸 수 있도록 그 모양을 바꾸는 과정이에요.

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연립방정식의 풀이 두 번째 방법인 대입법이에요.

먼저 가감법을 정리해볼까요. 연립방정식에서 각 문자의 계수 중 절댓값의 최소공배수가 작은 미지수의 절댓값이 같아지도록 각 식에 적당한 수를 곱해요. 그다음 계수의 부호가 같으면 두 식을 서로 빼고, 계수의 부호가 다르면 두 식을 더해서 미지수를 소거하는 방법이었어요.

가감법보다 대입법은 조금 더 쉬운 방법일 수 있어요.

대입이라는 단어가 무슨 뜻인지는 알고 있죠? 맞아요. 대신 넣은 거예요. 서로 바꾸는 거죠. "x = 2를 대입한다."라는 말은 "x 자리에 2를 넣고 x는 지운다."라는 뜻이죠. (대입, 식의 값)

연립방정식의 대입법도 마찬가지입니다.

대입법의 첫 번째 단계는 연립방정식에서 하나의 식을 고른 다음에 그 식을 한 문자에 대해서 정리하는 거예요. 한 문자에 대하여 정리하는 건 x = Oy + O처럼 좌변에 문자 하나, 우변에는 그 문자를 제외한 다른 문자와 상수항의 합 형태로 식을 바꾸는 거예요.

식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 다른 식의 문자 자리에 대입하는 게 대입법이에요.

연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째에서 봤던 예제인데요, 대입법으로 한 번 풀어볼까요?

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

위의 식을 ①식, 아래 식을 ②식이라고 할게요.

①식을 y에 대해서 정리해보죠. 좌변에 y만 남기고 나머지는 전부 우변으로 이항해보세요.

y = 5x - 8로 바꿀 수 있네요. 이제 이 식을 ②식의 y자리에 대입합니다. 괄호를 쓰는 게 좋아요.

4x + 3 × (5x - 8) = 14라는 식이 됐네요. 이 식을 정리해서 x를 구해볼까요?

4x + 15x - 24 = 14
19x = 38
x = 2

x = 2라는 값을 얻었습니다. 이렇게 얻은 x = 2를 ①, ②식 중 아무 곳에나 넣어보죠. ①식에 넣어볼까요?

5 × 2 - y = 8
10 - y = 8
-y = -2
y = 2

y값도 구했네요. 연립방정식의 해는 x = 2, y = 2가 되는군요.

가감법으로 구했을 때와 대입법으로 구했을 때 모두 (2, 2)라는 해를 얻었어요.

두 방법 모두로 구해도 해는 같으니까 본인이 쉽다고 생각하는 방법으로 문제를 풀면 돼요.

가감법, 대입법 중 어떤 방법으로 풀지?

대개 미지수의 계수가 1이면 대입법이 편해요. 또는 계수로 식의 모든 항을 나눴을 때 정수가 되는 식도 대입법이 편리합니다. 가감법에서 계수를 맞추는 작업을 하지 않아도 되니까요.

연립방정식의 한 식이 x + y = 5라면 x = 5 - y라는 식으로 바꿔서 풀면 되겠죠.

또 연립방정식에 2x + 4y = 8이라는 식이 있다면 모든 항을 x의 계수인 2로 나눠서 x + 2y = 4로 바꾼 다음 x = 4 - 2y처럼 x에 대해서 정리할 수도 있지요.

2x + 3y = 7처럼 미지수의 계수로 모든 항을 나눴을 때 정수가 아닌 분수 형태가 되는 경우에는 가감법이 더 편리합니다.

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중학교 2학년 수학 목차입니다.

각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.

중1 수학 목차
중3 수학 목차

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1. 유리수
   • 유한소수와 무한소수
   • 순환소수와 순환마디
   • 순환소수를 분수로 나타내기
   • 순환소수와 유리수, 순환소수의 대소비교, 순환소수의 사칙연산
2. 식의 계산
   • 지수법칙 - 곱셈, 거듭제곱
   • 지수법칙 - 나눗셈, 분수, 괄호
   • 단항식의 곱셈과 나눗셈
   • 다항식의 덧셈과 뺄셈
   • 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈
3. 연립방정식
   • 미지수가 2개인 일차방정식
   • 연립방정식이란?
   • 연립방정식의 풀이법 - 가감법 첫번째
   • 연립방정식의 풀이법 - 가감법 두번째
   • 연립방정식의 풀이법 - 대입법
   • 복잡한 연립방정식의 풀이
   • 해가 특수한 연립방정식
   • 연립방정식의 활용
4. 부등식
   • 부등식의 뜻
   • 부등식의 성질
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   • 여러가지 일차부등식
   • 부등식의 활용
5. 일차함수
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2. 도형의 닮음
   • 닮은 도형, 도형의 닮음
   • 닮은 도형의 성질
   • 삼각형의 닮음 조건
   • 직각삼각형에서의 닮음
   • 삼각형에서 평행선과 길이의 비 1
   • 삼각형에서 평행선과 길이의 비 2
   • 평행선 사이의 선분의 길이의 비
   • 삼각형의 각의 이등분선과 닮음
   • 삼각형의 중점 연결 정리
   • 사다리꼴의 중점 연결 정리
   • 삼각형의 무게중심
   • 삼각형의 무게중심과 넓이
   • 닮은 도형의 넓이의 비, 닮은 도형의 둘레의 비
   • 닮은 도형의 부피의 비, 닮은 도형의 겉넓이의 비
   • 닮은 도형의 활용
3. 피타고라스의 정리
   • 피타고라스의 정리, 피타고라스 정리의 증명
   • 유클리드의 증명, 가필드의 증명
   • 삼각형 세 변의 길이와 각의 크기
   • 사각형과 피타고라스의 정리
   • 직각삼각형과 피타고라스의 정리, 히포크라테스의 초승달
4. 확률
   • 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙
   • 경우의 수 공식 - 한 줄 세우기
   • 경우의 수 공식 - 대표 뽑기
   • 확률이란, 확률 공식
   • 확률의 성질, 여사건의 확률
   • 확률의 계산, 확률의 덧셈, 확률의 곱셈
   • 연속하여 뽑는 확률의 계산

연립방정식의 풀이법 - 가감법에 이은 연립방정식의 풀이 두 번째입니다. 첫 번째 글에서는 가감법에 대해서 알아봤는데요. 간단히 정리해볼까요?

연립방정식의 풀이에서 핵심은 바로 미지수의 개수를 줄이는 거였어요.

가감법은 두 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄이는 방법이었죠. 없애고자 하는 미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 같으면 두 식을 빼고, 미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 다르면 두 식을 더하는 거였죠.

이번 글에서 공부할 내용은 미지수의 계수가 절댓값이 다를 때는 어떻게 하는가에요.

앞에서 해봤던 가감법 풀이는 미지수의 계수의 절댓값이 같아서 더해주고 빼주고만 하면 됐는데, 미지수 계수의 절댓값이 다르면 어떻게 해야 할까요?

가감법 - 미지수의 계수의 절댓값이 다를 때

가감법 첫 번째에서 했던 것처럼 위에 있는 식을 ①식, 아래에 있는 식을 ②식이라고 이름 붙이고, 두 식의 좌변끼리 우변끼리 더해보세요.

5x - y + 4x + 3y = 8 + 14

각 변을 정리해보면 9x + 2y = 22가 돼요. 미지수의 개수가 줄어들지 않았어요. 그럼 두 식을 빼볼까요?

5x - y - (4x + 3y) = 8 – 14
5x - y - 4x - 3y = -6
x - 4y = -6

두 식을 빼 봐도 마찬가지로 미지수의 개수가 줄어들지 않아요.

두 식을 더하거나 빼서 미지수를 없애려면 없애려고 하는 미지수의 계수의 절댓값이 같아야 해요. 생각해보세요. 5x와 -5x를 더해야 x가 없어지겠죠? 5x에서 5x를 빼야 없어질 거 아니에요? 5x에서 4x를 빼거나 더해서는 x가 없어지지 않아요.

우리가 할 건 뭐냐면 미지수를 없앨 수 있게, 두 식의 미지수의 계수의 절댓값을 같게 만드는 거예요.

자 여기서 선택을 해야 합니다. 무슨 선택이냐면 어떤 미지수를 없앨 것인가를 고르는 거예요. 없앨 미지수를 선택할 때는 딱 한 가지 방법만 사용하세요. 각 미지수의 계수 절댓값의 최소공배수가 작은 쪽을 선택해요. 계산을 쉽게 하려면 숫자가 작아야 하니까 최소공배수가 작은 쪽을 선택하는 거예요.

x의 계수의 절댓값은 ①식이 5, ②식이 4, 두 수의 최소공배수는 20이에요. y의 계수의 절댓값은 ①식이 1, ②식이 3, 두 수의 최소공배수는 3이네요. 그럼 절댓값의 최소공배수가 작은 y를 없애기로 하죠.

지금부터 하는 건 미지수의 계수의 절댓값을 같게 하는 거예요. 그 이후의 과정에 앞서 했던 “연립방정식의 풀이법 – 가감법”과 같아요.

①식에 3을 곱해 볼게요. 식에 3을 곱한다는 말은 ①식의 모든 항에 3을 곱해주는 겁니다.

5x – y = 8
3(5x – y) = 3 × 8

①식에 3을 곱하면 15x - 3y = 24으로 바뀌는데 이 식을 ③식이라고 하죠

②식과 ③식을 비교해보세요. y의 계수의 절댓값이 같아졌죠? 자 그럼 이제 ②식과 ③식을 더하거나 빼서 미지수 y를 없애고 x만 남길 수 있다는 뜻이에요.

②식과 ③식의 y 계수는 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더해야겠네요.

15x - 3y + 4x + 3y = 24 + 14
19x = 38
x = 2

x = 2라는 값을 구했어요. 이렇게 나온 x = 2를 ①식, ②식 아무 식에나 대입하세요. ①식에 넣어보죠.

5 × 2 - y = 8
10 - y = 8
-y = -2
y = 2

y값도 구했네요. 연립방정식의 해는 x = 2, y = 2군요.

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연립방정식이 무엇인지는 이해가 되죠? 연립방정식이란에서 살펴본 것처럼 연립방정식은 방정식을 두 개 이상 묶어놓은 걸 말해요. 그리고 간단한 예제도 풀어봤어요.

그런데 방정식의 공통 해를 찾기 위해서 일일이 숫자를 다 넣어봐야 할까요? 만약 미지수 x, y가 정수나 자연수라는 조건이 없다면 어떻게 하죠? 분수나 소수까지 일일이 넣어볼 수는 없는 노릇이잖아요.

그래서 숫자를 대입하지 않고 두 방정식을 변형해서 해를 구하는 방법을 알려줄게요.

연립방정식의 풀이 - 가감법

연립방정식을 푸는 방법은 두 가지가 있는데, 첫 번째는 가감법, 두 번째는 대입법이에요. 이 글에서는 가감법을 공부해 봐요.

연립방정식을 풀 때 가장 중요한 건 미지수의 개수를 줄이는 것입니다. 미지수가 2개이면 1개로 줄이는 거예요. 가감법과 대입법은 모두 미지수의 개수를 줄이는 방법이에요.

가감이란 말은 더하고 빼는 거죠. 그래서 가감법은 두 식을 서로 더하거나 빼서 미지수를 구하는 방법이에요. 두 식을 더한다는 게 무슨 말인지 이해가 안 되죠. 예제를 통해서 설명할게요.

미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 반대일 때 - 두 식을 더한다

다음 식을 만족시키는 자연수 x, y를 구하여라.

위에 있는 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②이라고 할게요. ①과 ②을 통째로 더해보죠. 두 식을 더한다는 건 등호를 기준으로 ①의 좌변과 ②의 좌변을 더하고 ①의 우변과 ②의 우변을 더하는 거예요.

① 좌변 + ② 좌변 = ① 우변 + ② 우변

x + y + x - y = 5 + 3

두 식을 더했더니 위처럼 되네요. 이제 좌변과 우변을 동류항끼리 계산해 보세요.

2x = 8

어떻게 됐나요? y가 없어지고 미지수가 x 하나뿐인 일차방정식으로 바뀌었죠? 미지수가 하나인 일차방정식은 우리가 1학년 때 공부했으니까 해를 구할 수 있죠.

x = 4

x = 4라는 값이 구해졌어요. x값을 구했으니까 y값을 구할 차례네요. y값을 구할 때는 x = 4를 이용합니다. x = 4를 ① 이나 ② 아무 식에나 넣어보죠. ①에 넣어볼까요? ①의 x 자리에 4를 대입했더니 아래 식처럼 바뀌었네요.

4 + y = 5

마찬가지로 미지수가 y 하나뿐인 일차방정식이 되었어요. 일차방정식을 풀어보면 y = 1이라는 값을 구할 수 있어요.

미지수가 x, y 2개였는데 그 미지수 값을 다 알아냈죠. x = 4, y = 1이 문제의 답이네요. (4, 1)이라고 써도 좋고요. 연립방정식이란에서 구한 해와 똑같죠?

이 문제에서는 ①과 ②에서 미지수 y의 계수의 절댓값이 1로 같고 부호가 반대지요? 이처럼 2개의 미지수 중 하나의 미지수의 절댓값이 같고 부호가 반대일 때는 두 식을 더해서 미지수의 개수를 줄여야 해요.

미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 같을 때 - 두 식을 뺀다.

다른 문제를 하나 더 풀어보죠.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

위에서 했던 것처럼 위에 있는 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②이라고 이름 붙이고, 두 식의 좌변끼리 우변끼리 더해보세요.

x + 2y + x - 3y = 6 + 1

각 변을 정리해보면 2x - y = 7가 돼요. 이상하죠? 위에서는 두 식을 더하면 미지수가 2개에서 하나로 줄었는데, 이번에는 미지수 2개가 그대로 있잖아요.

이럴 때는 두 식을 더하는 게 아니라 두 식을 빼보세요. 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리요. 두 식을 뺄 때는 ②의 좌변과 우변에 괄호를 넣는 것에 주의하세요.

① 좌변 - (② 좌변) = ① 우변 - (② 우변)

(x + 2y) - (x - 3y) = 6 - 1

위 식을 괄호를 풀어서 정리해보면
x + 2y - x + 3y = 5
5y = 5
y = 1

x가 없어지고 y만 남기 때문에 y값을 구할 수 있어요. 이 y = 1이라는 값을 ①이나 ② 아무 식에나 대입해보세요. ①에 대입해볼게요. 2y = 2 × y이니까 아래처럼 쓸 수 있어요.

x + 2 × 1 = 6
x + 2 = 6
x = 4

이제 x의 값도 구해졌네요. 그래서 위 연립방정식의 해는 x = 4, y = 1 이고요. (4, 1)이라고 써도 됩니다.

이 문제에서는 ①과 ②에서 미지수 x의 계수의 절댓값이 1로 같고 부호가 같아요 이처럼 2개의 미지수 중 하나의 미지수의 절댓값이 같고 부호가 같을 때는 두 식을 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요.

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연립방정식이라는 용어가 조금 생소하죠? 연립방정식은 2개 이상의 방정식을 묶어놓은 걸 말해요. 연립방정식의 해는 묶여있는 방정식을 모두 만족시키는 미지수의 값입니다.

우리가 배울 연립방정식은 미지수가 2개인 방정식 2개를 묶어놓은 방정식이에요. 각각의 방정식의 해를 구한 다음에 양쪽 모두를 만족시키는 해, 즉 양쪽 모두에 포함된 해를 찾으면 됩니다.

예제를 하나 풀어보죠.

다음 연립방정식을 만족시키는 자연수 x, y를 구하여라.

먼저 첫 번째 방정식의 해를 구해보죠. x, y가 자연수라고 했으니까

• x = 1일 때 y = 4
• x = 2일 때 y = 3
• x = 3일 때 y = 2
• x = 4일 때 y = 1

총 네 개가 나오네요. 순서쌍으로 표시하면 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)가 되겠고요.

두 번째 방정식의 해는

• x = 4일 때 y = 1
• x = 5일 때 y = 2
• x = 6일 때 y = 3
• x = 7일 때 y = 4
• …

계속해서 나오는군요. 순서쌍으로 표시하면 (4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), … 이렇게 되겠죠.

연립방정식의 해는 묶여 있는 식을 모두 만족시키는 해. 즉 공통근을 구해야 해요. 양쪽 모두에 (4, 1)이 들어있으니까 이 연립방정식의 해는 (4, 1)이 되는 걸 알 수 있어요. 다르게 표현하면 x = 4, y = 1이라고 해도 좋고요.

1학년 때 공부했던 방정식에 대해서 정리해 볼게요.

먼저 등식이라는 게 있었어요. 등호(=)를 기준으로 양쪽에 수나 식이 있어서 양쪽의 값이 같다는 것을 나타내는 식이죠. 방정식은 미지수를 포함하고 있어서 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠. 다른 말로는 미지수가 특정한 값을 가질 때만 참이 되는 식이라고도 해요. 그리고 식을 참이 되게 하는 특정한 값을 해 또는 근이라고 하고요.

차수는 미지수가 곱해져 있는 횟수죠. 미지수 x가 한 번 곱해져 있으면 일차식, 두 번 곱해져 있으면 이차식 이렇게요. 일차방정식은 미지수의 차수가 1인 방정식을 말해요.

방정식을 푼다는 말은 방정식의 해를 구한다, 즉 방정식이 참이 되게 하는 미지수의 값을 구한다는 뜻이죠.

여기까지 이해가 다 되죠?

미지수가 2개인 일차방정식

1학년 때 배웠던 방정식은 미지수가 하나이고, 차수도 1인 방정식이었죠. 아래 같은 모양이었어요.

ax + b = 0 (a, b는 상수)

이제 공부할 방정식은 미지수가 2개인 방정식이에요. 차수는 일차이고요. 미지수가 2개이기 때문에 보통은 하나를 x, 다른 하나를 y라고 써요.

ax + by + c = 0 (a, b, c는 상수)

해를 쓰는 방법도 약간 달라요. 1학년 때 방정식의 해를 쓸 때 x = 2 이런 식으로 썼죠. 미지수가 2개인 방정식에서는 해를 x = 2, y = 3 이렇게 쓰기도 하고 (2, 3)처럼 순서쌍으로 나타내기도 해요. 중요한 건 x와 y 두 개를 동시에 써야 한다는 거예요. 순서쌍으로 쓸 때는 (x, y)의 순서로 씁니다.

예제 문제를 하나 풀어볼까요?

일차방정식 2x + y = 10을 만족하는 자연수 x, y를 구하여라.

x, y가 자연수라고 했으니까 x에 1부터 숫자를 계속 넣어가면서 식을 만족시키는 y값을 구했더니 위 표처럼 나왔어요. 그럼 이 표를 보고 방정식의 해를 어떻게 쓸까요?

x = 1, y = 8 또는 x = 2, y = 6 또는 x = 3, y = 4 또는 x = 4, y = 2 이렇게 총 네 개를 쓰면 돼요. 순서쌍으로 표시해보면 (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)가 됩니다.

이런 방정식을 풀 때에는 미지수 x, y가 정수인지 자연수인지 잘 확인한 다음에 각각에 알맞은 수를 넣어서 찾으면 돼요.

집합의 종류가 참 많죠? 이번에는 여집합과 차집합입니다.

여집합과 차집합은 교집합, 합집합과 대비되는 개념이에요. 그렇다고 완전히 반대되는 것도 아니고요. 차집합의 "차"가 일반적인 사칙연산의 "빼기"와 다르니 차이를 잘 구별하셔야 해요.

여집합

여집합을 공부하기 전에 전체집합에 관해 얘기해보죠.

전체집합은 어떤 집합이 주어졌을 때 모든 대상을 포함하는 집합이에요. 조금 어렵나요? 그냥 말 그대로 주어진 전부를 하나의 집합이라고 생각하면 쉬워요. 주어진 집합은 전체집합의 부분집합이죠.

일반적으로 전체집합은 Universal의 첫 글자를 따서 U라고 합니다. 합집합 기호 ∪와 혼동하지 마세요.

전체집합의 부분집합인 A에 대하여 집합 U의 원소 중 A에 속하지 않는 원소로 이루어진 집합을 여집합이라고 해요. 쉽게 말하면 A에 속하지 않은 원소들로 이루어진 집합이죠. 더 쉽게 얘기하면 A가 아닌 것들의 집합이고요.

여집합을 나타내는 기호는 Complementary의 첫 글자를 따서 C로 표시해요. 대신 그냥 C가 아니라 마치 지수를 나타내는 것처럼 집합 기호의 오른쪽 위에 작은 글씨로 나타내죠. A의 여집합은 기호로 A^c라고 표시해요.

U = {1, 2, 3, 4, 5}이고 A = {1, 2, 3}이라면 A의 여집합은 A에 속하지 않는 4, 5로 이루어진 집합으로 A^c = {4, 5}에요. A의 원소가 아니라고 해서 6, 7, 8 이런 숫자들을 포함한 {4, 5, 6, 7, 8}도 될까요? 정답은 아니에요. 왜냐하면 6, 7, 8이라는 숫자는 전체집합 U의 원소가 아니기 때문이죠.

A와 A^c 둘 다 전체집합 U의 부분집합이에요.

벤다이어그램으로 그리면 아래처럼 되지요. 흰색이 집합 A, 배경색이 있는 부분이 A의 여집합이고, 둘을 모두 합친 게 전체집합 U입니다.

여집합을 조건제시법으로 나타내면 A^c= {x|x ∈ U, x A}로 나타낼 수 있어요.

차집합

차집합의 정의는 집합 A에는 속하지만, 집합 B에는 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합을 말해요. 순수하게(?) A에만 있는 원소들의 집합이죠. 바꿔말해 집합 A의 원소에서 집합 B의 원소를 제외하고 남은 원소들로 이루어진 집합이라고 표현할 수도 있죠.

차집합은 이름에서 알 수 있듯이 집합에서 다른 집합을 뺀 집합이에요. 그런데 우리가 아는 빼기가 아니랍니다.

바구니에 사과, 배, 귤이 하나씩 들어있다고 치죠. 그 바구니에서 사과와 감을 빼내면 뭐가 남을까요? 바구니에 사과는 들어있으니까 사과를 뺄 수는 있겠죠. 그런데 바구니에는 감이 없어서 감을 빼낼 수 없어요. 그러니까 그냥 넘어가죠. 그럼 바구니에는 배와 귤이 남아있겠네요.

집합에서 빼기는 원소들을 빼는 겁니다. 그런데 뺄 수가 없을 때는 그냥 넘어가는 거예요.

두 집합 A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}이 있어요. 집합 A에서 집합 B를 뺀다는 얘기는 A의 원소에서 B의 원소를 하나씩 지운다는 뜻이에요. 일단 A에서 3, 4를 뺍니다. 그다음 5, 6을 빼야 하는데 A에는 5, 6이 없으니까 그냥 패스…… 그럼 A에는 1, 2가 남네요.

차집합은 A - B라고 써요. 따라서 A - B = {1, 2}인 거죠. 반대로 B - A={5, 6}이군요.

위 벤다이어그램에서 A - B는 색으로 표시된 {1, 2} 부분이에요. 3, 4는 A에 들어있지만 B에도 들어있어서 순수하지(?) 않아요.

조건제시법으로 나타내면 A - B = {x|x ∈ A, x B}입니다.

U = {x|x는 10 이하의 자연수}, A = {x|x는 6의 약수}, B = {x|x는 9의 약수}일 때, 다음을 구하여라.
(1) A^c와 B^c
(2) A - B와 B - A

일단, 원소나열법으로 바꿔서 나타내볼까요?

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 3, 9}

(1) 여집합은 해당 집합의 원소가 아니지만 전제집합 U에는 포함된 원소로 이루어진 집합이에요. A^c는 A의 원소는 아니지만 U에는 포함된 원소들로 이루어진 집합이죠.

A^c = {4, 5, 7, 8, 9, 10}
B^c = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

(2) 차집합 A - B는 집합 A에는 속하지만 집합 B에는 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이죠.

A - B = {2, 6}
B - A = {9}

집합에서 여러 가지를 공부했어요. 집합, 원소, 공집합, 유한집합, 무한집합, 부분집합, 진부분집합 등이요.

이 글에서 공부할 집합은 교집합과 합집합이에요.

교집합과 합집합은 집합에서 가장 중요한 내용이라고 할 수 있어요. 실제 집합에서 나오는 대부분 문제가 교집합과 합집합의 형태로 된 집합에 관한 문제거든요. 주의 깊게 보세요.

교집합

두 집합 A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}가 있어요.

여기에서 2는 A의 원소이니까 기호로 2 ∈ A라고 표시할 수 있겠네요. 마찬가지로 2는 B의 원소이니까 2 ∈ B로 표시할 수도 있겠죠. 그럼, 2는 A의 원소이면서 동시에 B의 원소도 됩니다. 2 ∈ A이고 2 ∈ B

4도 2와 마찬가지로 A의 원소이면서 동시에 B의 원소네요.

두 개 이상의 집합에 모두 포함된 원소들로 이루어진 집합을 교집합이라고 해요. A에도 속하고, B에도 속하는 원소들로 이루어진 집합이요.

위의 예에서는 2, 4가 A, B 양쪽에 모두 들어있으니까 이 두 원소로 이루어진 {2, 4}가 A와 B의 교집합이죠.

주의해야 할 건 양쪽에 들어있는 원소를 전부 포함하는 집합을 교집합이라고 하는 거예요. 2가 양쪽에 들어있다고 해서 {2}이라는 집합을 교집합이라고 하지 않아요. 마찬가지로 {4}라는 집합을 교집합이라고 하지도 않지요. 양쪽에 들어있는 원소가 모두 다 포함된 {2, 4}만 교집합이라고 합니다.

교집합은 기호로 ∩라고 표시해요. 그러니까 집합 A와 집합 B의 교집합은 A ∩ B로 표시하죠.

위 예에서 집합 A와 집합 B의 교집합은 A ∩ B = {2, 4}가 되겠네요. 벤다이어그램으로 그려보면 아래 그림처럼 그릴 수 있어요.

벤다이어그램에서 A와 B가 겹치는 부분이 바로 교집합입니다.

원소 x가 집합 A에 포함되고, 집합 B에도 포함되니까 기호로 표시하면 x ∈ A, x ∈ B가 되겠죠. 교집합을 조건제시법으로 나타낼 때 A ∩ B = {x|x ∈ A이고 x ∈ B}라고 합니다. 무슨 뜻인지 이해할 수 있죠?

합집합

합집합은 집합 A에 속하거나 집합 B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합이에요. A, B 둘 중 아무 데나 속하면 돼요. A에만 속해도 되고, B에만 속해도 되고 A와 B 양쪽 모두에 속해도 상관없어요. 기호로는 ∪로 표시합니다. 집합 A와 집합 B의 합집합은 A ∪ B로 표시하죠. 알파벳 대문자 U가 아니에요.

집합의 표현 방법을 공부할 때 원소나열법에서 중복되는 원소는 한 번만 쓰기로 했죠. {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5}가 아니라 {1, 2, 3, 4, 5}로 말이죠.

합집합을 구할 때는 일단 두 집합의 원소를 모두 쓰는데 대신 중복되는 원소는 한 번만 써요. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}니까 A와 B의 합집합은 {1, 2, 3, 4, 5}입니다.

위 벤다이어그램에서 A와 B의 영역을 모두 합한 것이 A와 B의 합집합이에요.

합집합을 조건제시법으로 나타내면 A ∪ B = {x|x ∈ A 또는 x ∈ B}로 쓸 수 있죠.

A = {x|x는 6의 약수}, B = {x|x는 12의 약수}, C = {x|x는 10 이하의 홀수}, D = {x|x는 10 이하의 짝수}일 때, 다음을 구하여라.
(1) A ∩ B
(2) B ∪ C
(3) C ∩ D

조건제시법으로 나와 있는데 원소나열법으로 바꿔서 표시해보죠.

A = {1, 2, 3, 6}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
C = {1, 3, 5, 7, 9}
D = {2, 4, 6, 8, 10}

교집합(∩)은 양쪽 집합 모두에 포함된 원소로 이루어진 집합, 합집합(∪)은 어느 한쪽에라도 포함된 원소로 이루어진 집합이에요.

(1) A ∩ B는 A에도 속하고, B에도 속한 원소들로 이루어진 집합을 구해야겠네요.
A ∩ B = {1, 2, 3, 6}

(2) B ∪ C는 B나 C 둘 중 어느 하나에 속하거나 양쪽 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이에요. 대신 중복되는 건 한 번만 쓰고요.
B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12}

(3) C ∩ D는 집합 C와 집합 D 양쪽 모두에 공통으로 속하는 원소들로 이루어진 집합이에요. 근데, C는 홀수의 집합이고, D는 짝수의 집합이므로 공통으로 속하는 원소가 없죠? 원소가 아무것도 없는 집합이니까 공집합이네요.
C ∩ D = {   } = 

부분집합의 개수를 구하는 방법을 기억하고 있죠? 부분집합의 개수는 원소의 개수만큼 2를 거듭제곱 하는 거죠.

A = {1, 2, 3, 4, 5}이라면 2⁵ = 32니까 부분집합의 수는 32개네요.

이제 여기서 조금 더 어려운 문제를 풀어보죠. A의 부분집합 중에서 2가 들어있지 않은 부분집합의 개수는 몇 개일까요? 반대로 2를 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 몇 개일까요?

특정 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수

A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때, 2를 포함하지 않는 부분집합을 구해보죠.

1. 원소가 하나도 없는 공집합:
2. 원소가 한 개인 부분집합: {1}, {3}, {4}, {5}
3. 원소가 두 개인 부분집합: {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}
4. 원소가 세 개인 부분집합: {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {3, 4, 5}
5. 원소가 네 개인 부분집합: {1, 3, 4, 5}

직접 구해봤더니 16개네요.

좀 더 쉬운 방법으로 구해볼까요? A라는 집합에 애초부터 2라는 원소가 없다고 생각해보세요. 그리고 A대신 B라고 이름 붙여볼까요? B = {1, 3, 4, 5}라는 집합이 되겠네요. 이 집합의 부분집합의 개수는 2⁴ = 16, 총 16개네요.

처음부터 2라는 원소를 가지고 있지 않다면 당연히 그 집합의 부분집합에는 2라는 원소가 포함되지 않겠죠. 이 방법을 이용해서 A의 부분집합 중 2를 포함하지 않는 부분집합을 구하면 16개가 나와요.

그럼 A의 부분집합 중 2와 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수도 구할 수 있겠네요. 처음부터 2, 4를 포함하고 있지 않다고 생각하면 C = {1, 3, 5}가 되고, 원소의 개수는 세 개, 2³ = 8, 8개가 되겠네요.

정리해보면 특정한 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 원래 원소 개수에서 특정한 원소 개수를 뺀 만큼 2를 거듭제곱하는 겁니다.

특정 원소를 포함하는 부분집합의 개수

이번에는 반대로 반드시 2를 포함하는 부분집합의 개수를 구해볼까요?

2를 포함하는 부분집합은 2를 포함하지 않는 부분집합에서 구하면 쉬워요. 2를 포함하지 않는 부분집합을 모두 구한 다음에 거기에 2를 집어넣으면 되거든요.

위에서 직접 구해본 부분집합이 있죠. 거기에 전부 다 2를 집어넣어 볼게요.

1. 원소가 하나도 없는 공집합: {2}
2. 원소가 한 개인 부분집합: {1, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}
3. 원소가 두 개인 부분집합: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}
4. 원소가 세 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}
5. 원소가 네 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4, 5}

모든 부분집합이 2를 포함하고 있어서 원소의 개수가 한 개씩 늘었어요. 부분집합의 개수는 총 16개고요.

2를 포함하는 부분집합은 2를 포함하지 않는 부분집합에 원소 2를 집어넣어서 찾았어요. 그렇다면 그 개수는 몇 개일까요? 2를 포함하는 부분집합의 개수와 2를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 같아요.

그래서 2를 포함하는 부분집합의 개수는 2를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하는 것과 똑같은 방법으로 구합니다.

2⁴ = 16 개입니다.

부분집합의 개수 구하기

n(A) = n일 때
집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2ⁿ - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2ⁿ - 2^{n - k}

진부분집합은 자기 자신을 제외한 부분집합이니까 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼서 구해요.

특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합은 애초부터 그 원소를 포함하지 않은 집합으로 생각하면 됩니다. 애초부터 원소에 포함되지 않았으면 부분집합에도 포함되지 않으니까요. 또 특정 원소 k개를 포함하는 부분집합은 특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합에 그 원소들을 넣어주는 것으로 생각하면 쉬워요. 따라서 둘은 개수가 서로 같은 거예요.

마지막에 있는 게 처음으로 나오는 건데요. 적어도 한 개가 들어있는 것의 개수를 바로 구하기 어려우니까 반대로 생각해봤어요. 적어도 한 개를 포함하는 것의 반대는 하나도 들어있지 않은 거잖아요. 그래서 전체에서 한 개도 들어있지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구하는 거죠. 하나도 들어있지 않는 부분집합의 개수는 (특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)에요.
(특정 원소 k 개중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수)
= (전체 부분집합의 개수) - (특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)

집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때 다음을 구하여라.
(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수
(2) 2, 4를 반드시 포함하는 부분집합의 개수
(3) 2, 4중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수

(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하라고 했는데, 애초부터 A라는 집합이 2, 4를 포함하지 않았다고 생각해보죠. 이 집합을 B라고 한다면 B = {1, 3, 5}예요. (B의 부분집합의 개수) = (2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수)이므로 2³ = 8이에요.

공식을 이용해서 바로 구해보면 n(A) = 5이고, 2, 4라는 두 개의 원소를 포함하지 않으니까 2^{5 - 2} = 2³ = 8(개)이에요. 공식으로 바로 구해도 같네요.

(2)번은 (1)에서 구한 B의 부분집합에는 2, 4가 들어있지 않으니까 거기에 2, 4를 모두 넣어준다고 생각하면 돼요. 따라서 개수가 같죠. 8개에요.

(3)번 2, 4중 적어도 하나를 포함한다는 건 2를 포함하거나 4를 포함하거나 2, 4 둘 다를 포함하는 거예요. 전체 부분집합의 개수에서 2, 4를 둘 다 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구해요. 2⁵ - 2^{5 - 2} = 32 - 8 = 24(개)

두 집합 A = {x|x는 5 이하의 자연수}, B = {1, 3, 5}일 때 B ⊂ X ⊂ A를 만족하는 X의 개수를 구하여라.

문제가 좀 복잡하네요. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5}

B ⊂ X니까 X는 B의 모든 원소를 포함하고 있어요. 그리고 X ⊂ A죠. 정리해보면 X는 B의 원소인 {1, 3, 5}를 포함하는 A의 부분집합이에요.

특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 구하는 공식을 사용하면 되겠네요.

2^{5 - 3} = 4

X를 직접 구하는 게 아니라 개수만 구하는 거니까 답은 4개입니다.

부분집합이 무엇인지 이제 정확히 알겠죠? 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되어 있을 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고 기호로 A ⊂ B로 나타냅니다.

이제는 부분집합을 직접 구해볼 거예요. 부분집합을 구하는 과정은 어렵지 않습니다.

다만, 원소의 개수가 많으면 부분집합을 구하기 귀찮기는 하죠.

부분집합 구하기

부분집합을 구할 때 가장 쉬운 방법은 원소의 개수를 0개부터 하나씩 늘려가면서 구하는 겁니다.

A = {1, 2, 3, 4}의 부분집합을 구해보죠.

1. 첫 번째 원소의 개수가 하나도 없는 부분집합, 즉 공집합
2. 원소의 개수가 하나인 부분집합: {1}, {2}, {3}, {4}
3. 원소의 개수가 두 개인 부분집합: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
4. 원소의 개수가 세 개인 부분집합: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}
5. 원소의 개수가 네 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4}

원소의 개수가 다섯 개인 부분집합은 없겠죠.

이렇게 원소의 개수를 하나씩 늘려서 찾다 보니 총 16개의 부분집합을 구했네요.

부분집합의 개수 구하기

부분집합의 개수는 위처럼 직접 부분집합을 구해서 그 개수를 셀 수도 있겠지요. 하지만 너무 비효율적이에요.

그래서 공식으로 알아두면 좋아요. 공식은 [중등수학/중2 수학] - 경우의 수를 이용하면 쉽게 구할 수 있어요.

A = {1, 2, 3, 4}의 부분집합에는 1을 포함하는 부분집합이 있을 수 있어요. 반대로 1을 포함하지 않는 부분집합도 있겠지요. 그러니까 부분집합에 1이 있거나 없거나 두 가지 경우가 생기죠.

또, A의 부분집합 중에는 2를 포함하는 부분집합과 2를 포함하지 않는 부분집합이 있을 거예요. 역시 두 가지 경우네요.

3, 4도 마찬가지로 포함하거나 포함하지 않거나 각각 두 가지 경우가 생기죠.

각 원소 1, 2, 3, 4에서 두 가지씩 경우의 수가 생기는데 이는 동시에 발생하는 사건으로 곱의 법칙을 사용하는 게 맞죠?

원소별로 경우의 수가 2가지씩 생기므로 이를 모두 곱하면 부분집합의 개수를 구할 수 있어요.

부분집합의 개수 = 2를 원소의 개수만큼 곱
집합 A의 원소의 개수가 n개 일 때, 집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ

A = {1, 2, 3, 4}에서 원소의 개수는 네 개죠. 그래서 2를 네 번 곱해주면 되는데, 2⁴ = 16이네요.

직접 구해본 부분집합의 수를 세어봤더니 역시 16개였죠. 어때요? 개수만 구하려고 할 때는 그냥 위 공식을 이용하는 것이 좋겠죠?

부분집합을 직접 구해야 하는 문제가 나올 수도 있어요. 이럴 때 공식을 이용해서 부분집합의 개수를 먼저 구한 다음에 그 개수에 맞게 부분집합을 찾는 것도 좋은 방법입니다.