수학방

이차방정식과 일차방정식의 연립방정식를 풀 때는 일차식을 이차식에 대입했어요. 이차방정식 두 개가 연립된 연립이차방정식의 풀이에서는 이차방정식 중의 하나를 인수분해하고, 인수분해된 일차식을 이차방정식에 대입해서 풀었죠.

이 글에서 공부할 연립이차방정식의 풀이는 이차방정식로 된 연립이차방정식에서 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않는 경우예요. 이차식을 그대로 사용할 수가 없으니까 일차식으로 바꿔야 하는데, 이게 이 글에서 가장 중요한 내용입니다.

이차식을 어떻게 일차식으로 바꾸는지 알아보죠.

연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이

연립이차방정식의 기본 풀이는 일차방정식을 만들고, 이 일차방정식을 이차방정식과 연립해서 푸는 거예요.

연립이차방정식에서 이차방정식 중 하나가 인수분해되면 인수분해를 해서 일차방정식 두 개를 얻어요. 이 일차방정식들과 이차방정식을 이용해서 새로운 연립이차방정식을 두 개 만들어서 해를 구했어요.

두 이차방정식이 모두 인수분해가 안 될 때도 일차식을 얻어야하는데, xy항이 있을 때와 없을 때가 달라요. xy항이 없을 때는 인수분해를 하지 않아도 일차방정식을 얻을 수 있고, xy항이 있으면 인수분해를 해야 일차방정식을 얻을 수 있어요.

xy항이 없을 때 - 최고차항 제거

두 이차방정식이 모두 인수분해되지 않고, xy항이 없으면 최고차항을 없애요. 최고차항이 2차니까 없애면 일차항으로만 된 일차방정식이 남겠죠. 남은 일차방정식과 문제에서 주어진 이차방정식 중 하나를 연립해서 새로운 연립이차방정식을 만들어서 푸는 겁니다.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

연립이차방정식에서 위의 식을 ①, 아래 식을 ②이라고 해보죠. 두 식 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 없으니까 최고차항인 x²을 제거해보죠. ① × 2 - ② × 3하면 되겠네요.

6x² + 4y - 10x = 8 … ① × 2
6x² - 15y + 9x = 27 … ② × 3

19y - 19x = -19 … ① × 2 - ② × 3
x - y = 1

일차방정식이 생겼는데 이 일차방정식과 이차방정식 중 하나를 골라서 새로운 연립이차방정식을 만들어요. ①을 골라보죠.

일차방정식과 이차방정식의 연립이므로 일차방정식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 이차방정식에 대입해요.

x - y = 1
y = x - 1      → ①에 대입

3x² + 2(x - 1) - 5x = 4
3x² + 2x - 2 - 5x - 4 =0
3x² - 3x - 6 = 0
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0

x = -1 or x = 2
y = -2 or y = 1    (∵ y = x - 1)

xy 항이 있을 때 - 상수항 제거

연립이차방정식에서 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 있으면 상수항을 제거해요. 이렇게 없앤 식을 인수분해할 수 있는데, 인수분해하면 일차식 두 개의 곱으로 되죠? 두 일차방정식과 원래 문제 있던 이차방정식을 이용해서 새로운 연립이차방정식을 만들어 풀면 됩니다. 이때 이차방정식이 두 개인데, 아무거나 선택해도 상관없어요.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

연립이차방정식에서 위의 식을 ①, 아래 식을 ②이라고 해보죠. 두 식 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 있으니까 상수항을 제거해보죠. ① × 2 + ②하면 상수항이 없어지겠네요.

2x² - 2xy + 2y² = 14 … ① × 2
4x² - 9xy + y² = -14 … ②

6x² - 11xy + 3y² = 0 … ① × 2 + ②

(2x - 3y)(3x - y) = 0
2x - 3y = 0 or 3x - y = 0

상수항을 제거하고 인수분해를 했더니 두 일차식의 곱이 됐어요. 이 두 일차방정식과 원래의 이차방정식 중 하나를 연립해서 새로운 연립이차방정식을 만들어요. ①을 골라보죠.

새롭게 만들어진 연립이차방정식을 풀어볼까요? 연립이차방정식의 풀이에서 일차방정식과 이차방정식이 연립된 연립이차방정식에서는 일차방정식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 이차방정식에 대입해서 푼다고 했어요.

왼쪽의 연립이차방정식부터 풀어보죠.

2x - 3y = 0
     → ①에 대입

y = ±2   (∵ )

이번에는 오른쪽 연립이차방정식을 풀어보죠.

3x - y = 0
y = 3x     → ①에 대입

x² - x × 3x + (3x)² = 7
x² - 3x² + 9x² = 7
7x² = 7
x² = 1
x = ± 1
y = ± 3   (∵ y = 3x)

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체육 시간에 한 사람도 빠짐없이 모두 운동장으로 집합!

집합이라는 말 많이 들어본 말이죠. 집합이 뭐죠? 바로 "모이는 것"이죠. 집합은 모임과 같은 말이에요.

그런데 수학에서의 집합은 그냥 모이는 게 아니에요. 조금 다릅니다. 수학에서의 집합이 무엇을 말하는 지 좀 더 자세히 알아보죠.

앞으로 집합에 대해서 공부할 건데, 집합이 뭔지 모르면 앞으로 한 발짝도 나갈 수 없어요. 집합의 의미를 정확하게 이해하고, 문제 나오는 보기 중에서 집합이 어떤 것인지 파악할 줄 있어야 해요.

집합

집합은 그냥 모임이 아니라 대상이 분명한 것들의 모임이에요. 어떤 기준이 있는데, 이 기준에 딱 들어맞는 것들의 모임이죠. 근데 이 기준이 약간 까다로워요. 누가 봐도 똑같이 생각할 수 있는 아주 객관적이고 명확한 기준이어야 한다는 거예요. 기준이 명확해야 그 기준에 맞는 대상들을 분명히 알 수 있거든요.

잘 생긴 사람의 모임은 일반적인 상식으로는 모임이라고 할 수 있겠지만, 수학에서 말하는 모임, 즉 집합이라고 할 수는 없어요. 잘생겼다는 기준이 사람마다 다르기 때문이죠. 같은 사람을 보고도 어떤 사람은 잘생겼다고 하고, 다른 사람은 잘생기지 않았다고 할 수 있어서 그 집합의 대상이 분명하지 않게 되죠.

비슷한 예로는 키가 큰 사람들의 모임, 공부 잘하는 학생의 모임, 맛있는 과일의 모임 등의 있어요.

어떤 사람은 사과를 맛있다고 하고 또 다른 사람은 사과는 맛이 없다고 생각할 수도 있지요. 이처럼 기준이 객관적이지 않으면 집합이라고 할 수 없어요.

또 공부 잘하는 사람들의 모임을 볼까요? 수학 시험에서 100점 맞은 학생이 이 모임에 포함된다고 해보죠. 이 학생은 누가 봐도 공부를 잘하는 학생이니까 객관적인 기준이라고 할 수 있죠. 그런데 공부를 잘한다는 기준이 명확하지 않아요. 99점 맞은 학생을 모임에 포함할 수 있을까요? 98점 맞은 학생은요? 몇 점까지가 공부를 잘하는 건지 딱 정해져있지 않아요. 그래서 이 경우도 집합이라고 할 수 없어요.

위의 것들을 수학의 집합으로 바꾼다면, 키가 180cm 이상인 사람의 모임, 수학점수가 90점 이상인 학생들의 모임 등으로 바꿔야겠네요.

집합에도 쉽게 알아볼 수 있는 이름이 있으면 좋겠죠? 그래서 수학에서는 간단하게 알파벳 대문자를 사용합니다. 집합 A, 집합 B 이렇게요. 알파벳 대문자를 이용하면 간단하면서도 구별하기 쉽고 수학 기호로 표시하기도 편리하거든요.

다음 중 집합에 해당하는 것의 기호를 모두 쓰시오.
A. 축구를 좋아하는 사람의 모임
B. 10보다 작은 자연수의 모임
C. 중학생의 모임
D. 영어를 잘하는 사람들의 모임
E. 머리가 좋은 사람들의 모임

집합은 그 대상이 명확해야 해요. 경우에 따라서 달라지면 안 돼요.

A는 축구를 좋아하는 것과 좋아하지 않는 걸 나눌 수 있는 명확한 기준은 없어요. 어느 정도가 되어야 축구를 좋아한다고 할 수 있는지 명확하지 않아요. 예를 들어 일주일에 한 시간 축구하면 축구를 좋아한다고 할 수 있나요? 아니면 매일 한 시간씩 하면 축구를 좋아한다고 할 수 있을까요? 그 기준이 명확하지 않죠? 또 다른 예로 철수가 "나는 축구를 좋아해."라고 생각한다고 해보죠. 그런데 영철이는 "철수는 축구를 좋아한다고 할 정도는 아니야."라고 생각한다면 어떨까요? 이 경우에 사람에 따라서 철수가 축구를 좋아하는지 아닌지 판단이 다르죠. 그래서 집합이 아니에요.

B는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9가 10보다 작은 자연수에요. 이건 어떻게 해도 바뀌지 않아요. 그래서 집합이에요.

C는 중학생은 중학교에 다니는 사람이에요. 학교에 다니는지는 해당 학교에 소속되어 있는지를 확인하면 되니까 분명하게 알 수 있죠. 그래서 집합이에요.

D는 영어를 잘한다는 기준이 명확하지 않죠? 영어 점수 90점 넘은 사람은 영어를 잘하고, 89점 맞은 사람은 영어를 못한다고 할 수 없잖아요. 그래서 집합이 아니에요.

E는 머리가 좋은 것도 아이큐를 기준으로 할 것인지 이해력, 암기력을 기준으로 할 것인지 기준이 명확하지 않죠. 설령 이 중의 하나를 고르다고 하더라도 암기력 혹은 이해력이 얼마나 뛰어나야 머리가 좋은 건지 나눌 수 없어요. 그래서 집합이 아니에요. 참고로 멘사라는 곳은 아이큐 148 이상인 사람들만 모이는 곳으로 아이큐 148이라는 명확한 기준이 있으니 집합이라고 할 수 있어요.

답은 B, C가 되겠네요.

연립방정식 중에서도 이차식이 포함된 연립이차방정식의 풀이입니다.

연립일차방정식에서는 미지수가 3개였고 차수는 1차였죠? 식 세가 연립된 형태였어요. 연립이차방정식은 미지수가 2개고 차수가 2차에요. 식은 두 개입니다. 생긴 게 다르니까 금방 구별할 수 있겠죠?

연립이차방정식 중에서는 이차방정식 두 개가 연립된 경우도 있고, 일차방정식 한 개와 이차방정식 한 개가 연립된 경우도 있어요. 각각의 풀이법을 알아보죠.

연립이차방정식의 풀이

방정식의 차수를 결정할 때는 여러 항 중에서 최고차항의 차수를 이용하죠? 마찬가지로 연립방정식에서도 가장 높은 차수의 방정식에 따라 이름이 붙어요. 연립방정식 중에서 이차인 방정식이 차수가 가장 높으면 그 연립방정식은 연립이차방정식이라고 합니다.

앞서 공부했던 미지수가 3개인 연립일차방정식에서는 세 방정식에서 가장 차수가 높은 방정식이 1차여서 연립일차방정식이라고 한 거예요.

연립이차방정식 - 일차방정식과 이차방정식

일차방정식 한 개와 이차방정식 한 개가 연립된 경우에요. 이때는 대입법을 사용해요. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 다음에 이차방정식에 대입하는 거죠. 그럼 이차방정식의 미지수가 1개가 되니까 일반적인 이차방정식의 풀이를 이용해서 미지수의 값을 구해요. 이렇게 구한 미지수의 값을 일차방정식에 대입해서 나머지 한 개도 구하는 겁니다.

1. 일차방정식을 한 문자에 관하여 정리
2. ①을 이차방정식에 대입
3. ②의 이차방정식 풀기
4. ③의 해를 일차방정식에 대입하여 나머지 미지수를 구함

다음 연립방정식을 풀어라.

일차방정식과 이차방정식으로 되어 있는 연립방정식이에요. 일차방정식을 ①, 이차방정식을 ②라고 해보죠.

일차방정식 ①을 y에 대해서 정리해요.

x + y = 2
y = 2 - x … ③

③을 ②에 대입해요. x² + (2 - x)² = 10으로 x에 관한 이차방정식이네요. x를 구해볼까요?

x² + (2 - x)² = 10
x² + x² - 4x + 4 = 10
2x² - 4x - 6 = 0
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = -1 or 3

이차방정식이니까 x의 값이 두 개예요. 이 두 개를 ①에 대입해서 y를 구할 수 있어요. x = -1이면 y = 3, x = 3 이면 y = -1이네요.

결국 해는 x = -1, y = 3 or x = 3, y = -1입니다.

이차방정식에서는 해가 두 개예요. 그래서 일차방정식과 이차방정식의 연립방정식에서는 해가 두 쌍이 됩니다. 이차방정식의 해가 중근이면 한 쌍이 나올 수도 있고요.

연립이차방정식 - 두 이차방정식

이차방정식이 두 개일 경우예요. 위에서 일차방정식과 이차방정식이 있을 때는 푸는 법을 공부했죠? 그러니까 이차방정식이 두 개있는 것도 일차방정식과 이차방정식이 연립한 것으로 바꾸면 풀 수 있겠죠? 어떻게 바꾸느냐면 바로 인수분해를 하는 거예요.

이차방정식 중 하나를 인수분해해서 일차식 두 개의 곱으로 바꿔요. 이 일차식과 이차방정식으로 새로운 연립방정식을 세워요. 그러면 원래는 이차방정식 두 개로 되어있던 한 개의 연립방정식이 일차방정식과 이차방정식으로 된 두 개의 연립방정식이 되죠. 각각의 연립방정식에서 해를 구하는 겁니다.

각각에서 2쌍씩 해가 나오니까 총 해의 개수는 4쌍이에요.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

두 식 중 위의 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②라고 해보죠. 두 식 중 하나를 인수분해해야 하는데, ②가 인수분해가 되는군요.

x² + xy - 6y² = 0
(x - 2y)(x + 3y) = 0

인수분해를 했더니 두 일차식의 곱으로 바뀌었어요. x - 2y = 0, x + 3y = 0 두 식과 ①을 이용해서 두 개의 연립방정식을 만들어요.

왼쪽의 연립이차방정식부터 풀어보죠. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후에 이차방정식에 대입해요.

x - 2y = 0
x = 2y     → ①에 대입

x² + y² = 25
(2y)² + y² = 25    (∵ x = 2y)
5y² = 25
y² = 5
y = ±
x = ±2    (∵ x = 2y)

오른쪽 연립방정식을 풀어볼까요?

x + 3y = 0
x = -3y     → ①에 대입

x² + y² = 25
(-3y)² + y² = 25    (∵ x = -3y)
10y² = 25
2y² = 5
y =
x =     (∵ x = -3y)

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중학교 2학년 때 공부했던 연립방정식은 미지수가 x, y 두 개 있는 일차방정식 두 개를 묶은 연립일차방정식이었어요. 고등학교에서 공부할 연립방정식은 미지수의 개수도 한 개 늘어났고, 식의 개수도 한 개 늘어나요. 미지수가 x, y, z 세 개있는 일차방정식 세 개를 묶은 연립일차방정식이지요.

연립방정식을 푸는 방법으로 가감법과 대입법을 공부했어요. x, y중 한 미지수의 계수의 절댓값을 똑같게 해서 식을 더하고 빼는 게 가감법, 두 식 중 한 식을 한 문자에 대하여 정리해서 다른 식에 대입하는 게 대입법이었지요.

미지수가 3개인 연립일차방정식

연립방정식을 풀 때 가장 중요한 것은 미지수의 개수를 줄이는 것이에요. 미지수의 개수가 2개인 연립일차방정식은 우리가 풀 수 있잖아요. 그래서 미지수의 개수가 3개인 연립방정식은 우리가 풀 수 있는 형태로 바꿔서 풀어요.

미지수의 개수 줄이기
미지수가 3개인 연립일차방정식
→ 미지수가 2개인 연립일차방정식으로 변환
→ 미지수가 1개인 일차방정식으로 변환

그럼 미지수의 개수를 어떻게 줄이느냐? 바로 가감법과 대입법으로 줄이죠.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

미지수 2개인 연립일차방정식인데, 연습 삼아 풀어보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더하면 되겠네요.

3x = 6
x = 2

x = 2를 두 식 중 아무 식에나 대입해요.
2 - y = 1
y = 1

x = 2, y = 1이라는 해를 구했어요.

가감법을 통해서 x, y 2개의 미지수 중 y를 없앴더니 남은 x의 값을 구할 수 있었어요. 그리고 x를 원래 식에 대입해서 y의 값을 구했지요.

이번에는 미지수가 3개이고 식도 3개인 연립일차방정식을 풀어보죠.

미지수가 x, y, z 세 개이고, 식이 세 개예요. 위에서부터 차례대로 ①, ②, ③식이라고 해보죠.

세 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요. 한 번의 계산으로 미지수의 값을 구할 수 없어요. 일단 미지수가 3개니까 2개로 줄여야 해요. 세 식 중에서 아무거나 두 개를 고르세요. ①, ②를 골라보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대네요. 가감법으로 두 식을 더하면 y가 없어지고, x, z 두 개의 미지수만 남겠죠?

x + y - z = 0 … ①
2x - y + 3z = 9 … ②

3x + 2z = 9 … ① + ② = ④

다음은 문제에서 또 두 개의 식을 골라요. ①, ③을 골라보죠. 앞에서 y를 없앴죠? 그럼 여기서도 y가 없어지도록 가감법을 해요. y를 없애려면 ① × 2 - ③을 해야겠네요.

2x + 2y - 2z = 0  … ① × 2
x + 2y + z = 8 … ③

x - 3z = -8 … ① × 2 - ③ = ⑤

④, ⑤ 식을 보면 x, z만 있는 연립방정식이에요. 미지수가 두 개인 것은 금방 해결할 수 있죠?

3x + 2z = 9 … ④
3x - 9z = -24 … ⑤ × 3

11z = 33 … ④ - ⑤ × 3
z = 3

z = 3을 ⑤에 대입하면 x = 1

x = 1, z = 3을 원래 식 중 아무 식에나 대입해요. ①에 대입하면 y = 2네요.

x = 1, y = 2, z = 3이 답이에요.

미지수가 3개인 연립일차방정식의 풀이법이에요. 상당히 복잡하지만 하나씩 따지고 보면 어렵지는 않아요. 가감법으로 미지수의 개수를 줄여나간다는 것만 잘 기억하세요.

1. 세 식 중 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 한 문자를 제거
   ⇒ 미지수의 개수를 2개로
2. 다른 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 ①에서 제거한 것과 같은 문자를 제거
   ⇒ 미지수의 개수를 2개로
3. ①, ②에서 만들어진 두 식을 연립하여 미지수의 값을 구함
   ⇒ 미지수가 2개인 연립방정식의 풀이
4. ③에서 구한 두 미지수의 값을 원래 식 중 하나에 대입하여 나머지 미지수를 구함
   ⇒ 마지막으로 구하는 미지수는 ①, ②에서 제거한 미지수

다음 연립방정식을 풀어라.

순서대로 ①, ②, ③이라고 할게요.

①, ③을 골라서 z를 없애보죠.

2x + y - z = 8 … ①
3x + 2y + z = 11 … ③

5x + 3y = 19 … ① + ③ = ④

이번에는 ②, ③을 골라볼까요. 앞에서 z를 없앴으니 여기서도 z를 없애야 해요.

x - y + 3z = -4 … ②
9x + 6y + 3z = 33 … ③ × 3

-8x - 7y = -37 … ② - ③ × 3 = ⑤

④, ⑤식은 x, y만 있는 연립방정식이니까 풀 수 있어요.

35x + 21y = 133 … ④ × 7
-24x - 21y = -111 … ⑤ × 3

11x = 22  … ④ × 7 + ⑤ × 3
x = 2

x = 2를 ④에 대입하면 y = 3

x = 2, y = 3을 ①에 대입하면 z = -1

x = 2, y = 3, z = -1이 답이네요.

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삼차방정식 중에서 특이한 형태의 삼차방정식 하나를 더 공부할 거예요. x³ = 1인데요. 그냥 보면 x = 1이라는 실근이 하나보이죠? x = 1 말고 허근이 더 있는데, 이 허근을 오메가(ω)라고 해요. 그런데 이 ω가 재밌는 성질이 있어요. 그래서 이 글에서는 오메가의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

오메가 (ω)의 성질을 외울 수 있으면 외우면 좋아요. 너무 헷갈려서 외우기 어렵다면 성질을 유도할 수 있어야 해요. ω²이 정확하게 무슨 값인지는 몰라도 "ω²이 특정한 값을 갖고 있다"는 사실은 기억하고 있어야 한다는 얘기죠. 성질의 정확한 값을 모르더라도 성질이 있다없다 정도만 기억하고 있다가 문제에 맞게 유도할 수 있을 정도는 되어야 합니다.

x³ = 1 허근 오메가(ω)의 성질

삼차방정식 x³ = 1의 해를 구해보죠.

x³ = 1
x³ - 1 = 0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0
x = 1 or

인수분해 공식 a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)을 이용해서 인수분해 했고, 근의 공식을 이용해서 근을 구했어요.

허근 를 볼까요? = ω (오메가)라고 한다면 켤레근을  =  (오메가 바)라고 할 수 있죠?

일단 ω와 는 x³ = 1의 근이니까 ω³ = 1,  = 1이에요.

또, x² + x + 1의 두 근이기도 하므로 ω² + ω + 1 = 0, 이에요. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해서 두 근의 합과 곱도 구할 수 있어요.

이라는 얘기는 ω와 가 서로에게 곱셈에 대한 역원 즉, 역수라는 얘기예요. ,

또 위 성질들을 합쳐서 다음 성질도 유도해 낼 수 있어요.

x³ = 1의 허근 ω의 성질

x3 = 1의 한 허근 ω	켤레근
ω3 = 1	= 1
ω2 + ω + 1 = 0

x³ = 1의 한 허근을 ω라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) ω²⁰¹³ + ω²⁰¹⁴ + ω²⁰¹⁵ + … + ω²⁰¹⁹
(2)

x³ = 1
x³ - 1 =0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0
ω³ = 1, ω² + ω + 1 = 0, 등 많은 성질이 있어요.

(1) ω²⁰¹³ + ω²⁰¹⁴ + ω²⁰¹⁵ + … + ω²⁰¹⁹
= ω²⁰¹³(1 + ω + ω²) + ω²⁰¹⁶(1 + ω + ω²) + ω²⁰¹⁹
= (ω³)⁶⁷¹(1 + ω + ω²) + (ω³)⁶⁷²(1 + ω + ω²) + (ω³)⁶⁷³
= 1 × 0 + 1 × 0 + 1           (∵ ω³ = 1, ω² + ω + 1 = 0)
= 1

x³ = -1 허근 오메가(ω)의 성질

삼차방정식 x³ = -1에서도 비슷한 성질을 알 수 있어요. 둘을 헷갈리지 마세요.

x³ = -1
x³ + 1 = 0
(x + 1)(x² - x + 1) = 0
x = -1 or

한 허근 = ω, 켤레근  = 라고 해보죠.

x³ = 1에서와 같은 방법을 이용하면 아래의 성질을 유도할 수 있어요.

x³ = -1의 허근 ω의 성질

x3 = -1의 한 허근 ω	켤레근
ω3 = -1	= -1
ω2 - ω + 1 = 0

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인수분해, 인수분해 공식
항등원과 역원, 연산법칙

이차방정식 근과 계수와의 관계에서는 이차방정식의 두 근의 합과 곱, 계수 사이의 재밌는 관계를 공부했었죠?

삼차방정식에도 세 근의 합과 곱, 계수 사이의 재미있는 관계를 공부할 거예요. 이 관계를 알면 삼차방정식만 보고 세 근의 합과 곱을 구할 수 있어요. 또, 합과 곱이 포함된 여러 가지 응용된 식의 값도 구할 수 있고요.

삼차방정식의 근과 계수와의 관계는 세 근의 합과 곱, 곱셈공식이 섞여서 나오니까 곱셈공식을 다 외우고 있어야 풀 수 있어요. 곱셈공식을 얼른 보고 오세요.

삼차방정식 근과 계수와의 관계

이차방정식은 보통 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)으로 쓰죠? 삼차방정식은 보통 ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)으로 써요. 또 이차방정식의 두 근은 α, β라고 하고, 삼차방정식의 세 근은 α, β, γ라고 해요.

이차항의 계수가 a이고 α, β를 근으로 하는 이차방정식은 a(x - α)(x - β) = 0으로 쓰죠? 그럼 삼차항의 계수가 a이고 세 근이 α, β, γ인 삼차방정식은 어떻게 쓸까요? a(x - α)(x -  β)(x - γ) = 0으로 써요.

곱셈공식 중에 다음과 같은 공식이 있었어요. 이 곱셈공식을 이용해서 전개해보죠.

(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc

a(x - α)(x -  β)(x - γ) = 0
a{x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x - αβγ} = 0
ax³ - a(α + β + γ)x² + a(αβ + βγ + γα)x - aαβγ = 0

이 전개식과 ax³ + bx² + cx + d = 0을 비교하면 삼차방정식의 세 근과 계수와의 관계를 알 수 있어요.

b = - a(α + β + γ)  →  α + β + γ =
c = a(αβ + βγ + γα)  →  αβ + βγ + γα =
d = - aαβγ  →  αβγ =

삼차방정식 근과 계수와의 관계
ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)의 세 근을 α, β, γ라고 할 때
α + β + γ =
αβ + βγ + γα =
αβγ =

삼차방정식 2x³ - 4x² + 6x - 8 = 0의 세 근을 α, β, γ라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β + γ
(2) αβ + βγ + γα
(3) αβγ
(4)
(5) α² + β² + γ²
(6) α³ + β³ + γ³

근과 계수와의 관계에 이용해서 풀어야 해요. 특히 (5), (6)번은 곱셈공식과 곱셈공식의 변형까지 이용해야 하고요.

(1) α + β + γ =

(2) αβ + βγ + γα =

(3) αβγ =

(5) 곱셈공식 중에 (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) 공식이 있었어요.

(α + β + γ)² = α² + β² + γ² + 2(αβ + βγ + γα)
2² = α² + β² + γ² + 2 × 3
α² + β² + γ² = -2

(6)번은 곱셈공식의 변형 중에서 a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc를 이용해요.
α³ + β³ + γ³
= (α + β + γ)(α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα) + 3αβγ
= (α + β + γ){α² + β² + γ² - (αβ + βγ + γα)} + 3αβγ
= 2 × (-2 - 3) + 3 × 4
= 2

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이 글에서 공부할 상반방정식은 고차방정식 중에서도 어려운 방정식이에요. 상반방정식의 풀이법은 굉장히 길고 복잡해요. 하지만 앞에서 공부했던 여러 가지 방정식의 풀이법을 잘 이해하고 있다면 풀 수는 있으니까 너무 두려워할 필요는 없어요

상반방정식의 풀이에서 중요한 건 곱셈공식의 변형과 치환 두 가지에요. 곱셈공식의 변형과 치환은 이 단원뿐 아니라 아주 많이 사용되므로 연습을 많이 하면 할수록 좋으니까 자주 연습을 해두세요.

지금부터 상반방정식의 풀이를 해볼 텐데, 과정이 어렵고 복잡하니까 주의해서 잘 보세요.

상반방정식

방정식은 일단 x에 대해 내림차순으로 정리해요. 그래야 최고차항도 파악하기 쉽고 풀이도 쉬우니까요.

방정식을 내림차순으로 정리했을 때, ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0됐다고 해보죠. 계수만 보면 a, b, c, b, a로 c를 중심으로 좌우대칭이에요. 이처럼 한 계수를 중심으로 다른 계수가 좌우대칭인 방정식을 상반방정식이라고 해요. ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a = 0처럼 계수를 포함해서 좌우대칭인 경우도 상반방정식이에요.

보통은 5차와 4차 방정식을 다루니까 위처럼 나타냈어요.

이런 상반방정식은 다른 고차방정식과 풀이법이 약간 달라요. 곱셈공식의 변형에서 봤던 분수꼴의 곱셈공식과 고차방정식의 풀이 - 치환을 이용해서 풉니다.

최고차항의 차수가 짝수일 때

x⁴ + 3x³ + 2x² + 3x + 1 = 0을 보죠. 계수가 1, 3, 2, 3, 1로 2를 중심으로 해서 좌우대칭이죠?

1. 일단 x = 0은 방정식의 해가 아니므로 이 방정식에서 x ≠ 0이에요. 따라서 양변을 대칭의 기준이 되는 x²으로 나눌 수 있죠? 양변을 x²으로 나눠보죠.
   
2. 항의 자리를 한 번 바꿔보죠.
   
3. 자리를 바꿨더니 앞의 두 항은 곱셈공식의 변형에서 봤던 분수꼴의 곱셈공식으로 묶을 수 있고, 세 번째, 네 번째 항은 3으로 묶을 수 있죠?
   
4. 이제 x + = t로 치환해보죠.
   t² - 2 + 3t + 2 = 0
   t² + 3t = 0
   t(t + 3) = 0
5. t = x + 이므로 다시 대입해보면
   (x + )(x +  + 3) = 0
6. x + = 0, x +  + 3 = 0 에서 x의 값을 구해야 합니다.
   
   x + = 0의 양변에 x를 곱해보죠.
   x² + 1 = 0
   x = ±i
   
    x +  + 3 = 0의 양변에 x를 곱해보죠.
   x² + 1 + 3x = 0
   x² + 3x + 1 = 0
   

결국 답은 x = ±i or 입니다.

되게 복잡해 보이는데요. 핵심은 대칭의 기준이 되는 x²으로 나누는 것과 x + = t로 치환하는 거예요.

1. 상반방정식의 양변을 대칭의 기준이 되는 x²으로 나눈다.
2. 항의 위치를 바꾼다.
3. 분수꼴의 곱셈공식을 이용해서 항을 묶는다.
4. x + = t로 치환하여 인수분해
5. t = x + 로 원래 값 대입
6. 양변에 x를 곱하여 x를 구한다.

최고차항의 차수가 홀수일 때

최고차항의 차수가 홀수면 짝수일 때보다 딱 한 단계만 더 거쳐요. 최고차항의 차수를 하나 낮추는 과정이요. 차수를 하나 낮추면 나머지는 최고차항의 차수가 짝수인 상반방정식의 풀이와 완전히 같으니까 위 과정을 잘 이해해두세요.

최고차항의 차수가 홀수인 상반방정식은 x = -1을 무조건 근으로 가져요.
f(x) = ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a이라고 하면
f(-1) = -a + b - c + c - b + a = 0

x⁵ - 7x⁴ + x³ + x² - 7x + 1 = 0을 풀어보죠.

x = -1이 근이면 (x + 1)을 인수로 가지니까 조립제법으로 한 번 나눠요.

(x + 1)(x⁴ - 8x³ + 9x² - 8x + 1) = 0이 되죠.

뒤에 있는 식이 최고차항이 짝수인 상반방정식이네요. 이 이후에는 위에서 했던 과정을 그대로 반복해서 풀면 돼요.

최고차항의 차수가 홀수인 상반방정식의 풀이
주어진 식을 (x + 1)로 조립제법
이후에는 최고차항의 차수가 짝수인 상반방정식의 풀이 순서대로

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이차방정식을 풀 때는 인수분해를 해서 근을 구하거나 근의 공식을 이용해서 근을 구해요. 둘 중 하나를 선택할 수 있어요. 하지만 삼차이상의 고차방정식에서는 일단 무조건 인수분해를 해야 해요. 따라서 고차방정식의 풀이에서는 인수분해를 잘하는 것이 중요해요.

고차방정식을 인수분해하는 방법은 다항식을 인수분해하는 방법과 같아요. 앞에서 공부했던 인수분해 방법들에 대해서 복습하는 차원이라고 생각하세요.

고차방정식 중에서 치환을 이용해서 푸는 문제와 복이차식의 풀이법을 공부해보죠.

고차방정식의 풀이

이 글에서 공부할 건 복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식에서 했던 내용이에요. 고차방정식을 인수분해하고, 이후에 근을 구하는 과정만 추가된 것뿐입니다.

고차방정식의 풀이 - 치환

치환은 식의 특정한 부분을 다른 문자나 식으로 바뀌어 계산하고, 계산이 끝난 이후에는 원래의 식으로 되돌려주는 걸 말하죠.

치환할 때는 대부분 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 쳐진 부분이 있어서 눈에 금방 띄어요. 눈에 금방 띄지 않는다면 인수분해나 전개를 해서 치환할 부분을 찾아야 해요.

공통부분이 없을 때는 서로 다른 부분을 치환하기도 합니다.

• 공통부분이 있으면 바로 치환
• 공통부분이 없으면 전개 or 변형해서 치환
서로 다른 부분을 서로 다른 문자로 치환

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) (x² - 4x)² + 7x² - 28x + 12 = 0
(2) (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3

(1)번은 공통인 부분이 눈에 띄지 않죠? 하지만 괄호로 쳐진 부분이 있어요. 그곳을 잘 이용하면 인수분해할 수 있어요.
(x² - 4x)² + 7x² - 28x + 12 = 0
(x² - 4x)² + 7(x² - 4x) + 12 = 0
t² + 7t + 12 = 0                        (∵ x² - 4x = t로 치환)
(t + 3)(t + 4) = 0
(x² - 4x + 3)(x² - 4x + 4) = 0    (∵ t = x² - 4x)
(x - 1)(x - 3)(x - 2)² = 0
x = 1 or 3 or 2(중근)

(2)번 같은 문제는 곱셈공식, 곱셈공식 유도에서 봤는데, 상수항이 가장 작은 것과 가장 큰 것을 묶고, 나머지 두 개를 묶어서 따로 전개해서 푸는 거라고 했어요.

(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 3
(x - 1)(x - 4)(x - 2)(x - 3) = 3     (∵두 개씩 짝짓기)
(x² - 5x + 4)(x² - 5x + 6) = 3      (∵ 각각을 전개)
(t + 4)(t + 6) = 3                         (∵ x² - 5x = t로 치환)
t² +10t + 24 = 3
t² + 10t + 21 = 0
(t + 3)(t + 7) = 0
(x² - 5x + 3)(x² - 5x + 7) = 0      (∵ t = x² - 5x)

마지막에서 둘 다 인수분해가 안 되니까 근의 공식을 이용해야겠네요.

고차방정식의 풀이 - 복이차식

복이차식은 짝수차로만 이루어진 식을 말해요. 이때는 x²를 t로 치환해서 풀어요. t로 치환해서 인수분해가 되면 위에서 했던 대로 치환을 이용해서 풀면 돼요.

치환했는데 인수분해가 안 되면 다른 방법을 이용합니다. 이때는 식에 적당한 t 일차항을 빼주거나 더해줘서 t에 대한 완전제곱식이 될 수 있도록 해야 해요. 완전제곱식에서 일차항과 상수항은 아래와 같은 관계가 있죠?

이렇게 완전제곱식을 만들면 A² - B²꼴로 모양이 바뀌는데, 인수분해 공식 - 합차공식을 이용해서 인수분해합니다.

• 복이차식: x² → t로 치환
  • 인수분해되면 인수분해
  • 인수분해 안 되면 t항을 적당히 더해주고 빼서 A² - B²로 변형 → 합차공식으로 인수분해

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x⁴ - 5x² + 4 = 0
(2) x⁴ - 3x² + 1 = 0

(1) 복이차식이니까 x² = t로 치환해보죠.
x⁴ - 5x² + 4 = 0
t² - 5t + 4 = 0
(t - 1)(t - 4) = 0
(x² - 1)(x² - 4) = 0
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) = 0
x = ±1 or ±2

(2) x² = t로 치환해보죠.
x⁴ - 3x² + 1 = 0
t² - 3t + 1 = 0        (∵ x² = t로 치환)
t² - 2t + 1 - t = 0    (∵ -3t = -2t - t)
(t - 1)² - t = 0
(x² - 1)² - x² = 0   (∵t = x²)
(x² + x - 1)(x² - x - 1) = 0

근의 공식으로 근을 구하면 가 돼요.

여기서는 완전제곱식을 만들기 위해서 t 일차항을 더해주고 뺀 것이 아니라 원래 있던 t 일차항을 둘로 나눴어요.

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일차방정식, 이차방정식까지 공부했는데요. 이제부터는 그보다 차수가 더 높은 방정식을 공부할 거예요. 이차방정식보다 차수가 더 높으니까 삼차방정식, 사차방정식, … 이죠.

이런 방정식들을 고차방정식이라고 하는데, 고차방정식의 풀이방법을 공부할 거예요. 또 이차방정식을 인수분해했던 것처럼 고차방정식의 인수분해도 해볼거고요.

고차방정식은 차수가 높고 항이 많긴 하지만 기본 원리는 이차방정식과 같고, 다항식의 인수분해에서 삼차식, 사차식의 인수분해를 해봤던 걸 함께 적용하면 되는 거니까 앞의 내용을 잘 이해하고 있다면 비교적 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

고차방정식의 풀이

x² - 2x + 1 = 0은 x에 대한 이차방정식이죠? 그럼 x³ + x² - 2x + 1 = 0은 뭘까요? 최고차항이 x에 대한 3차니까 삼차방정식이에요. x⁴ + x³ + x² - 2x + 1 = 0은 x에 대한 최고차항이 4차라서 사차방정식이죠.

이처럼 3차 이상의 방정식을 고차방정식이라고 해요. 차수와 근의 개수가 같은 건 알고 있죠? 삼차방정식은 근이 세 개, 사차방정식은 근이 네 개예요.

이차방정식을 풀 때는 인수분해를 하거나 근의 공식을 이용해서 근을 구했어요. 고차방정식에서는 인수분해를 해서 근을 구할 수는 있지만, 근의 공식을 바로 적용할 수는 없어요.

따라서 고차방정식을 풀 때는 (일차식) × (일차식) × (일차식) = 0이나 (일차식) × (이차식) = 0, (이차식) × (이차식) = 0의 형태로 인수분해를 해서 일차식에서는 해를 바로 구하고, 이차식은 근의 공식으로 해를 구해야 해요.

고차방정식의 풀이

1. 인수분해
2. 일차식에서는 해를 바로 구하고
   이차식에서는 근의 공식 이용

고차방정식의 인수분해

이차방정식에서 인수분해를 하는 방법은 크게 두 가지였죠? 인수분해 공식을 이용하는 방법과 인수정리를 이용한 인수분해요. 고차방정식은 항의 개수와 차수가 다를 뿐 방법은 똑같아요.

고차방정식의 인수분해 - 인수분해 공식

인수분해 공식 중 차수가 3차 이상인 공식은 몇 개 안 되요. 잘 외워두세요.

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
x⁴ - y⁴ = (x² + y²)(x² - y²) = (x² + y²)(x + y)(x - y)

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x³ - 16x = 0
(2) x³ - 27 = 0
(3) x⁴ - 16 = 0

문제가 비슷비슷해 보이지만 조금씩 다르죠?

(1)번 인수분해에서 가장 기본은 공통인수로 묶기에요. 두 항에 공통인수 x가 있죠?
x³ - 16x = 0
x(x² - 16) = 0
x(x + 4)(x - 4) = 0
x = 0 or ±4

(2)는 두 항이 모두 세제곱인 항이에요.
x³ - 27 = 0
x³ - 3³ = 0
(x - 3)(x² + 3x + 9) = 0

앞의 일차식은 해를 바로 구할 수 있지만, 뒤의 이차식은 근의 공식을 이용해야겠네요.

x = 3

x = 3 or 

(4)번은 두 항이 모두 네제곱인 항이네요.
x⁴ - 16 = 0
(x⁴ - 2⁴) = 0
(x² + 2²)(x² - 2²) = 0
(x² + 2²)(x + 2)(x - 2) = 0
(x² + 4)(x + 2)(x - 2) = 0

x = ±2i or ±2

고차방정식의 인수분해 - 인수정리 이용

인수분해 공식이 몇 개 안 되다 보니까 인수분해가 안 되는 경우도 많아요. 이때는 인수정리와 조립제법을 이용해서 인수분해를 해야 해요.

인수정리를 이용한 인수분해가 뭐였죠? 다항식의 우변을 0으로 놓고 인수분해를 하는 거였잖아요. 다항식의 우변이 0인 게 바로 방정식이니까 그 방법 그대로 사용하면 돼요.

방정식 f(x)에서 f(α) = 0을 만족하는 α는 아래 방법으로 찾아요. 이렇게 찾은 α가 방정식의 해가 되는 거죠.

1. ±1
2. 

모든 해를 이 방법으로 찾을 필요는 없고요 한두 개를 찾은 다음에 인수분해해서 찾아야 해요. 근이 무리수이거나 복소수이면 이 방법으로 찾을 수 없으니까요.

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) x⁴ + x³ - 3x² - x + 2 = 0
(2) x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2 = 0

(1)번에서 f(x) =  x⁴ + x³ - 3x² - x + 2라고 하면
f(1) = 1 + 1 - 3 - 1 + 2 = 0
f(-1) = 1 - 1 - 3 + 1 + 2 = 0

f(α) = 0이 되는 α = 1, -1로 두 개나 찾았네요. 그러면 굳이 α 찾는 공식을 적용할 필요가 없어요. 그냥 넘어가죠.

1과 -1을 이용해서 조립제법을 해보죠.

x⁴ + x³ - 3x² - x + 2 = 0
(x - 1)(x + 1)(x² + x - 2) = 0
(x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 0
(x - 1)²(x + 1)(x + 2) = 0

인수정리와 조립제법을 이용했더니 식이 인수분해가 되었어요.

x = -2 or -1 or 1(중근) 이네요.

(2)번 f(x) =  x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2라고 놓으면
f(1) = 1 - 4 + 6 - 5 + 2 = 0
f(-1) = 1 + 4 + 6 + 5 + 2 = 18

f(2) = 16 - 32 + 24 - 10 + 2 = 0
f(-2) = 16 + 32 + 24 + 10 + 2 = 84

f(α) = 0 이 되는 α = 1, 2네요. 조립제법을 해보죠.

x⁴ - 4x³ + 6x² - 5x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2)(x² - x + 1) = 0

뒤에 이차식은 인수분해가 안 되니까 근의 공식을 이용해서 근을 찾아야겠네요.

x = 1 or 2 or 입니다.

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이차방정식은 두 개의 근을 가져요. 근을 구하면 근의 부호를 알 수 있어요. 하지만 부호만 알고 싶을 때는 근을 구하지 않고 이차방정식의 판별식과 근과 계수와의 관계를 이용하면 근들의 부호를 알 수 있어요.

근 하나하나의 부호를 정확하게 알 수는 없지만 둘의 부호가 같다 다르다 정도는 알 수 있죠. 또 둘의 부호가 같을 때에는 둘 다 양수인지 음수인지도 알 수 있고요.

이차방정식의 판별식과 근과 계수와의 관계를 이용해서 이차방정식 실근의 부호를 판별하는 방법을 알아보죠.

이차방정식 실근의 부호

복소수에는 대소관계나 부호가 없어서 허근이면 부호를 판별할 수 없어요. 실수는 부호가 있어서 실근일 때만 부호를 판별해요. 따라서 근의 부호를 판별할 때는 실근이라는 조건을 만족해야 해요.

이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 이차방정식이 실근을 가지려면 D ≥ 0이어야 한다고 했어요.

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 두 근의 부호를 판별하려면 실근을 갖도록 D = b² - 4ac ≥ 0이어야 해요.

이차방정식 실근의 부호를 판별할 때는 두 근의 합과 두 근의 곱을 이용해요.

두 근 α, β가 둘 다 양수면 어떨까요? 두 근의 합 α + β > 0이겠죠? 두 근의 곱 αβ > 0일 거예요.

반대로, 두 근 α, β가 둘 다 음수면 어떨까요? 두 근의 합 α + β < 0이고, 두 근의 곱 αβ > 0이죠.

만약에 두 근 α, β의 부호가 서로 반대면 어떨까요? 하나는 양수, 하나는 음수라면 말이죠. 일단 두 근의 합은 α, β의 절댓값에 따라 달라질 수 있어요. 양수인 근의 절댓값이 크면 합은 양수, 음수인 근의 절댓값이 크면 합은 음수예요. 근을 모르는 상태에서는 두 근의 합의 부호를 알 수가 없어요.

양수와 음수를 곱하니까 두 근의 곱 αβ < 0이에요. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 αβ = 이죠.
αβ < 0
 < 0
ac < 0
-4ac > 0
b² - 4ac > b²

b² 은 실수의 제곱으로 0보다 크거나 같으니까 D = b² - 4ac > 0이에요. αβ < 0이면 항상 D > 0이므로 D ≥ 0인지 굳이 확인할 필요가 없어요.

두 근이 부호가 반대일 때는 D ≥ 0은 확인할 필요가 없고 α + β의 부호는 알 수 없으니 αβ < 0인지만 확인하면 되는 거죠.

이차방정식 실근의 부호
ax² + bx + c = 0(a, b, c는 실수, a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때
두 근이 모두 양수: D ≥ 0, α + β > 0, αβ > 0
두 근이 모두 음수: D ≥ 0, α + β < 0, αβ > 0
두 근의 부호가 반대: αβ < 0

이차방정식 x² + 5x + 4 = 0의 근을 α, β라고 할 때 α, β의 부호를 판별하여라.

근의 부호를 판별하려면 판별식 D, 두 근의 합 α + β, 두 근의 곱 αβ의 부호를 알아봐야 해요.

D = 5² - 4 × 1 × 4 = 25 - 16 = 9 > 0이므로 서로 다른 실근 두 개를 갖는군요. 부호를 판별할 수 있어요..

이차방정식에서 두 근의 합과 곱의 부호를 알려면 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해요.

α + β = -5 < 0이므로 둘 다 음수일 수도 있어요. 또 부호가 반대고 음수인 근의 절댓값이 큰 경우일 수도 있지요.

αβ = 4 > 0이므로 두 근의 부호가 같네요.

결국 이차방정식의 두 근 α, β는 둘 다 음수입니다

실제로 이차방정식의 근은 -1, -4로 둘 다 음수예요.

이차방정식 x² - 4x + (k - 3) = 0의 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 k의 범위를 구하여라.

이차방정식의 두 근을 α, β라고 할 때 두 근이 모두 양수이려면 D ≥ 0, α + β > 0, αβ > 0이어야 해요.

이차항의 계수가 짝수니까 D/4를 이용해보죠.
D/4 = (-2)² - 1 × (k - 3) ≥ 0
4 - k + 3 ≥ 0
k ≤ 7

α + β = 4 > 0이네요. k가 들어있지 않으니까 문제와 직접적인 관계는 없어요.

αβ = k - 3 > 0
k > 3

k ≤ 7과 k > 3을 동시에 만족해야 하므로 3 < k ≤ 7입니다.

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이차방정식의 해를 구할 때, 인수분해를 했었죠? 그런데 또 이차방정식의 인수분해라니 약간 이상할 거예요.

방정식의 해를 구할 때 인수분해 공식을 사용해서 인수분해할 수 있어요. 이글에서는 인수분해 공식을 사용할 수 없을 때 인수분해하는 방법에 대해서 공부할 거예요.

이차방정식을 인수분해해서 해를 구하는 과정을 거꾸로만 하면 되는 쉬운 내용이에요.

인수분해 공식을 사용할 수 없을 때 이차방정식을 인수분해하는 방법을 알아보죠.

이차방정식의 인수분해

이차방정식을 인수분해하려면 인수분해 공식을 이용하죠. 그런데 이 공식은 계수가 정수인 경우에 사용할 수 있어요. 그나마도 X자 방법을 할 수 있을 때죠. X자 방법을 사용할 수 없거나 계수가 분수, 소수, 무리수가 들어있다면 인수분해하기가 힘들죠.

2x² - 2x + 2 = 0 이런 식은 인수분해 공식으로 인수분해할 수 없죠?

이럴 때 아주 간단한 방법으로 인수분해를 할 수 있어요. 보통은 이차방정식을 인수분해해서 근을 구하죠? 이 과정을 거꾸로 해서 근을 구한 다음에 인수분해를 하는 거예요.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때, 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해 아래 식을 유도할 수 있어요.

α + β =
-a(α + β) = b

αβ =
aαβ = c

ax² + bx + c = 0에 위에서 구한 b, c를 넣어보죠.
ax² + bx + c = 0
ax² - a(α + β)x + aαβ = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0
a(x - α)(x - β) = 0

이차방정식의 두 근과 이차항의 계수를 알면 a(x - α)(x - β) = 0로 인수분해를 할 수 있겠죠?

이차방정식의 두 근을 알아내려면 근의 공식을 이용하면 돼요.

이차방정식의 인수분해
1. 인수분해 공식을 이용해서 인수분해
2. 인수분해 공식을 사용할 수 없으면 근의 공식으로 근을 구하고, 이차항의 계수와 두 근을 이용해서 인수분해

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근이 α, β일 때,
a(x - α)(x - β) = 0

다음 이차방정식을 복소수 범위에서 인수분해하여라.
(1) x² - 5x + 3 = 0
(2) 2x² - 2x + 2 = 0

일단 인수분해 공식을 이용해서 인수분해를 할 수 있다면 공식을 이용하세요. 공식으로 안 되면 그때 근을 구해서 하는 겁니다.

(1) 인수분해 공식으로 인수분해가 안 되니 근을 구해서 해야겠네요.

x² - 5x + 3 = 0

(2)번도 근을 구해보죠. 이차항의 계수가 2네요.

2x² - 2x + 2 = 0

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중3 때, 한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서 이차방정식의 계수가 유리수이고, m + n가 근이면 m - n도 근이 된다고 했어요. 이 글은 위 내용의 확장판입니다.

켤레근은 켤레복소수하고 비슷하죠? 이 둘을 연관 지어서 공부하면 이해하는 데 도움이 될 겁니다. 켤레근을 이용하면 이차방정식의 근을 조금 더 쉽게 구할 수 있어요.

이차방정식의 켤레근이 무엇이고, 이 켤레근은 어떤 성질을 가졌는지 알아보죠.

이차방정식의 켤레근

켤레라는 말은 켤레복소수, 켤레복소수의 성질에서 들어본 적이 있어요. 복소수에서 허수부분의 부호를 반대로 바꾼 복소수를 서로의 켤레복소수라고 한다고 했지요.

이차방정식의 근이 복소수일 때, 허수부분의 부호가 반대인 두 근을 서로 켤레근이라고 해요.

대신 이때는 이차방정식의 계수가 모두 실수여야 해요. 계수에 허수가 들어있으면 켤레근이 생기지 않아요.

x² + ix + 1 = 0의 근을 구해보죠.

두 근이 로 -i의 부호는 그대로여서 켤레관계가 아니죠? 허수가 포함된 항이 두 개 이상이 되고, 이때 모든 허수항의 부호가 반대로 되어야 하는데, 그렇지 않아서 켤레근이 생기지 않는 거예요.

근이 복소수가 아니라 실수일 때도 켤레근이 생겨요. 바로 무리수의 부호가 서로 반대인 두 근을 켤레근이라고 합니다.

x² - 5x + 5 = 0의 해를 구해보죠.

두 근이 로 무리수부분의 부호가 반대죠? 이런 근을 켤레근이라고 하는 거예요.

무리수 부분의 부호가 반대인 켤레근을 가지려면 이차방정식의 계수가 모두 유리수여야 해요.

이차방정식의 켤레근
이차방정식의 계수가 유리수일 때: 무리수 부분의 부호가 서로 반대인 근
이차방정식의 계수가 실수일 때: 허수 부분의 부호가 서로 반대인 근

이차방정식 켤레근의 성질

근의 공식을 잘 보면 ±을 기준으로 해서 유리수부분과 무리수부분으로 나뉘거나 실수부분과 허수부분으로 나뉘게 돼요. 이 ±때문에 켤레근은 항상 함께 이차방정식의 근이 되는 걸 알 수 있어요.

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)일 때,

이차방정식 켤레근의 성질
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)일 때
a, b, c 가 유리수이고 m + n가 근이면 m - n도 이차방정식의 근 (m, n은 유리수, n ≠ 0, 는 무리수)
a, b, c 가 실수이고 m + ni가 근이면 m - ni도 이차방정식의 근 (m, n은 실수, n ≠ 0)

위에서 조심해야할 게 의 유리수, i앞의 실수 n ≠ 0이라는 거예요. 만약에 m = 3이고 n = 0이라면 x = 3 + 0i or x = 3 – 0i가 되어 x = 3이라는 중근을 갖는 것처럼 보이죠.

하지만 한 근이 3이라고 해서 반드시 중근이 되는 건 아니에요. (x – 1)(x – 3) = 0은 한 근이 3이지만 다른 근은 1이잖아요.

이차방정식의 계수가 유리수이고 한 근이 무리수 근일 때, 이차방정식의 계수가 실수이고 한 근이 복소수 근일 때만 위의 관계가 성립한다는 걸 알아두세요.

이차방정식 x² + ax + b = 0의 한 근이 5 + 3i일 때, 실수 a, b를 구하여라.

이차방정식의 계수는 1, a, b인데 a, b가 실수라고 했으니 이 이차방정식은 복소수로 된 켤레근을 가져요. 한 근이 5 + 3i라고 했으니 다른 한 근은 5 - 3i가 되겠네요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 a, b를 구해보죠.

두 근의 합 = -a = 5 + 3i + 5 - 3i = 10
a = -10

두 근의 곱 = b = (5 + 3i)(5 - 3i) = 25 + 9 = 34

따라서 a = -10, b = 34

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이번에도 중3 때 공부했던 내용에 대해서 복습하는 거예요.

이차방정식의 해를 구하는 게 아니라, 이차방정식의 해를 알려주고 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 문제에요. 때로는 해를 알려주는 대신에 두 근의 합과 곱을 알려주고 이차방정식을 구하는 문제도 나오죠.

새로운 내용은 아니고 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 하면 되는 내용이에요.

이럴 경우에 어떻게 이차방정식을 구하는지 알아봐요.

두 수를 근으로 하는 이차방정식

두 수를 근으로 하는 이차방정식을 구하는 방법은 인수분해를 이용해서 이차방정식의 해를 구하는 과정을 거꾸로 거스르는 거예요. 그러니까 해를 이용해서 인수분해가 된 식을 만들고 그 식을 전개하는 거죠. 인수분해의 반대는 전개니까요.

x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1 or x = 2

두 근을 α, β라고 하고 위 과정을 거꾸로 해보죠.

x = α or x = β
(x - α)(x - β) = 0
x² - (α + β)x + αβ = 0

-2, 3을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식을 구하여라.

두 근이 -2, 3이니까 인수분해가 된 식으로 바꿔보면
(x + 2)(x - 3) = 0
x² - x - 6 = 0

이번에는 이차항의 계수가 1이 아닌 경우를 알아보죠. 위 예제를 살짝 바꿔볼까요?

-2, 3을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.

(x + 2)(x - 3) = 0
x² - x - 6 = 0

이차항의 계수가 2라고 했으니까 위 식의 이차항의 계수를 2로 바꿔서 2x² - x - 6 = 0이 될까요? 방정식의 해를 식에 대입하면 식이 성립해야 하죠? 그런데 x = -2를 식에 대입해보면 식이 성립하지 않아요. 즉 이 방정식은 -2를 해로 갖지 않는 식이라는 거예요.

이차방정식의 계수가 2이면 단순히 이차항의 계수만 2로 바꿔주는 게 아니라 식 전체에 곱해줘야 해요. 해를 구하려고 인수분해할 때 공통인수 2로 묶였다고 생각해야 합니다.

2(x + 2)(x - 3) = 0
2(x² - x - 6) = 0
2x² - 2x - 12 = 0

이차항의 계수가 1이 아니라 a일 때는 이차항의 계수만 a로 바꿔주는 게 아니라 식 전체에 a를 곱해줘야 한다는 점에 주의하세요.

두 근이 α, β이고, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0

두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식

위 공식을 전개해볼까요?

a(x - α)(x - β) = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0

위 전개식에 두 근의 합과 곱이 들어있어요. 일차항의 계수는 두 근의 합의 부호를 바꾼 것이고, 상수항은 두 근의 곱이죠. 그리고 제일 앞에 이차항의 계수 a를 곱해주는 모양이네요.

이번에는 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해서 유도해볼까요?

두 근의 합 α + β와 두 근의 곱 αβ가 주어져 있을 때, 이차방정식을 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)이라고 해보죠.

α + β =
-a(α + β) = b

αβ =
aαβ = c

ax² + bx + c = 0에 위에서 구한 b, c를 넣어보죠.
ax² + bx + c = 0
ax² - a(α + β)x + aαβ = 0
a{x² - (α + β)x + αβ} = 0

어떤 방법을 이용하던 결과는 똑같아요.

두 근의 합이 m이고 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x² - mx + n) = 0
a(x² - 합x + 곱) = 0

여기서도 마찬가지로 이차항의 계수는 단순히 이차항의 계수만 바꿔주는 게 아니라 a를 식 전체에 곱해줘야 해요.

이차방정식 x² - 3x + 6 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β, αβ를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식
(2) α + 1, β + 1을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방정식

이차방정식이 인수분해가 되지 않아요. 근의 공식을 이용해서 근을 구할 수도 있지만, 무리수인 근을 더하고 곱하는 과정을 굳이 거치지 않고도 문제를 풀 수 있어요. 두 근을 직접 구하기보다 두 근의 합과 곱을 이용해서 풀면 되죠.

이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의해서 α + β = 3, αβ = 6

(1) α + β = 3, αβ = 6이므로 3, 6을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하라는 거네요.

2(x - 3)(x - 6) = 0
2(x² - 9x + 18) = 0
2x² - 18x + 36 = 0

(2)는 문제에서 구하는 이차방정식의 두 근이 α + 1, β + 1이니까 이들의 합과 곱을 구해보죠.
(α + 1) + (β + 1) = α + β + 2 = 3 + 2 = 5
(α + 1)(β + 1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 3 + 1 = 10

x² - 5x + 10 = 0

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이차방정식의 근과 계수와의 관계는 중3 때 근과 계수와의 관계에서 했어요. 내용은 전혀 달라지지 않았습니다. 완전히 똑같아요. 대신 이걸 활용하는 문제가 조금 더 어려워진 것뿐이에요.

근과 계수와의 관계 공식을 잊어버렸다면 이 글을 통해서 한번 더 복습하고 앞으로는 잊어버리지 않도록 하세요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계 문제에서는 곱셈공식의 변형을 이용한 문제들이 많이 나오니까 이 공식들도 기억하고 있어야 해요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 근은 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요.

이차방정식의 두 근을 α, β라고 하고  , 라고 해보죠.

두 근의 합과 계수와의 관계

일단 두 근 α, β를 더 해보죠.

두 근의 곱과 계수와의 관계

이번에는 두 근을 곱해볼게요.

정리해보면 아래 공식을 얻을 수 있어요.

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
α + β = -$\frac{b}{a}$    αβ = $\frac{c}{a}$

두 근의 차와 계수와의 관계

이번에는 차를 구해보죠. 차는 α, β 중 어느 것이 더 큰지 모르니까 절댓값을 이용해서 구해요.

분자는 근의 공식에서 뒤에 있는 제곱근 부분으로 판별식 D에 루트 씌워놓은 거고, 분모는 |a|네요.

위 공식을 이용해서 차를 구하는 경우보다는, 두 근의 합(α + β)와 두 근의 곱(αβ)를 이용해서 구하는 경우가 훨씬 많아요. 이때, 곱셈공식의 변형을 사용해요.

2x² + 4x - 8 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β
(2) αβ
(3) α² + β²
(4) (α + 1)(β + 1)
(5)
(6) |α - β|

(1) α + β =

(2) αβ =

(3) α² + β²은 곱셈공식의 변형을 이용한 문제예요.
α² + β²
= (α + β)² - 2αβ
= (-2)² - 2 × (-4)
= 4 + 8 = 12

(4) (α + 1)(β + 1)는 곱셈공식을 이용해서 전개해야겠네요.
(α + 1)(β + 1)
= αβ + α + β + 1
= -4 + (-2) + 1
= -5

(5) 는 통분해서 계산해보죠.

(6) 두 근의 차는 두 근의 합, 두 근의 곱, 곱셈공식의 변형을 이용해서 구하고, 절댓값으로 표현합니다.
(α - β)² = (α + β)² - 4αβ
(α - β)² = (-2)² - 4 × (-4)
(α - β)² = 4 + 16
(α - β)² = 20
|α - β| = 

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이차방정식의 근은 인수분해를 하거나 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 근의 공식을 이용해서 구한 근이 실수인지 허수인지에 따라서 부르는 이름이 달라져요. 실근과 허근이라는 표현을 언제 사용하는지 알아보죠.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)에서 b² - 4ac를 이차방정식의 판별식이라고 하고 D라고 써요. 이차방정식의 판별식을 이용해서 근의 개수를 알 수 있었죠.

이 글에서는 이차방정식의 판별식을 이용해서 근의 개수뿐 아니라 근의 종류를 알아볼 거예요. D > 0, D = 0일 때는 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용과 똑같으니까 D < 0일 때를 주목해서 보세요.

이차방정식의 실근, 중근, 허근

이차방정식 x² + 3x + 2 = 0의 해를 구해보죠.

x² + 3x + 2 = 0
(x + 1)(x + 2) = 0
x = -1 or -2

두 개의 근을 구했어요. 두 수는 모두 실수죠? 실수인 근이니까 실근이라고 해요.

x² + 4x + 4 = 0
(x + 2)² = 0
x = -2

완전제곱식일 때는 근이 두 개인데, 두 개가 같아서 중근이라고 하지요?

이번에는 이차방정식 x² + x + 1 = 0의 두 근을 구해보죠. 인수분해가 안 되니까 근의 공식으로 해를 구해야 해요.

ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)

근호 안이 -3이어서 허수단위 i를 이용해서 표현해봤어요. 근이 허수에요. 허수인 근이니까 허근이라고 합니다.

이차방정식의 판별식

중3 때, 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용에서 판별식을 이용해서 근의 개수를 구할 수 있었어요.

ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)의 판별식
D = b² - 4ac

판별식 D > 0이면 두 개의 근, D = 0이면 중근, D < 0이면 근이 없다고 했지요.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)의 근은 에요.

전에는 실수 체계에 대해서만 알고 있어서 D < 0이면 제곱근 안이 음수니까 D < 0일 때는 근이 없다고 공부했던 거예요. 복소수 체계에서는 제곱근 안이 0보다 작은 걸 허수라고 하죠. 따라서 D < 0일 때는 허수가 근이라는 걸 알 수 있어요.

D < 0이면 의 두 근을 갖는데, 제곱근 안이 0보다 작은 허근이지요. 분자의 가운데가 하나는 (+), 다른 하나는 (-)로 두 허근은 서로 달라요.

D > 0일 때는 두 개의 근을 갖는데, 이들은 모두 실수에요. 제곱근 안이 양수로 무리수니까요.

D = 0일 때는 중근을 갖는데 이것 역시 실수죠.

이처럼 판별식 D를 이용해서 근의 개수와 근의 종류를 알 수 있어요.

문제를 풀 때, 실근인지 허근인지 두 근이 서로 같은지 다른지를 잘 구별해야 해요.

복소수 단원을 제외한 문제에서 특별한 언급이 없으면 답을 실수범위에서만 구했는데, 방정식에서는 특별한 언급이 없는 한 허근까지도 구해야 합니다.

x² + 3x - 4 + k = 0가 실근을 가질 때, k 값의 범위를 구하여라.

실근을 갖는다는 얘기는 D > 0이어서 서로 다른 두 실근을 가질 수도 있지만, D = 0으로 중근을 가질 수도 있어요. 따라서 D ≥ 0이어야 해요.

b² - 4ac ≥ 0
3² - 4 × 1 × (-4 + k) ≥ 0
9 + 16 - 4k ≥ 0
4k ≤ 25

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