허수단위
복소수의 사칙연산, 분모의 실수화
복소수라는 수를 공부했으니까 이제 이 수를 이용해서 사칙연산을 해봐야겠죠? 복소수의 사칙연산은 제곱근의 사칙연산과 아주 비슷해서 금방 할 수 있을 거예요. 지금까지 해왔던 미지수가 들어있는 식의 계산법의 기본이 되는 동류항 계산을 살짝 응용하면 되거든요. 기본 원리만 기억하세요.
분모의 실수화라는 과정을 거치는데, 이건 분모의 유리화와 거의 같아요. 유리수가 실수로 숫자만 바뀐 것뿐이에요. 그리고 허수와 허수단위의 의미를 잘 파악하고 있다면 복소수의 곱셈도 어렵지 않을 거예요.
이미 여러 수의 체계에서 사칙연산을 연습해왔고, 복소수의 사칙연산도 이와 크게 다르지 않으니까 어렵게 느낄 필요는 없어요.
복소수의 사칙연산
복소수의 덧셈과 뺄셈
동류항의 덧셈과 뺄셈에서는 문자와 차수가 같은 항끼리 서로 더하고 뺐어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서도 근호부분을 하나의 문자로 취급해서 동류항 계산하는 것처럼 계산했고요.
복소수의 덧셈과 뺄셈도 같아요. 복소수는 a + bi의 형태로 되어있지요. 사칙연산을 할 때는 i를 하나의 문자로 취급해서 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산합니다.
a, b, c, d가 실수일 때
(3 + 4i) + (5 + 6i) = (3 + 5) + (4 + 6)i = 8 + 10i가 되는 거죠.
실수부분, 허수부분에 유리수, 무리수가 들어있을 수 있는데, 이때는 유리수끼리, 무리수끼리 나누어서 계산하면 됩니다.
복소수의 곱셈
복소수의 곱셈은 곱셈공식을 이용해서 전개하면 돼요.
(2 + 3i)(4 + 5i) = 8 + 22i + 15i2
그런데 허수와 허수단위에서 i는 -1의 제곱근이라고 했지요? 따라서 i2 = -1이에요. 대입에 보면
(2 + 3i)(4 + 5i)
= 8 + 22i + 15i2
= 8 + 22i - 15
= -7 + 22i
분모의 실수화
복소수의 나눗셈은 조금 어려워요.
제곱근의 나눗셈을 할 때, 분모의 유리화라는 걸 했어요. 곱셈공식의 합차공식을 이용했지요? 분모에서 무리수 앞의 부호를 반대로 바꾼 수를 분자, 분모에 곱해줬어요.
복소수의 나눗셈에서는 이와 비슷한 분모의 실수화라는 걸 해야 해요. 분모의 실수화는 이름처럼 분모를 실수로 만들어주는 거예요. 방법은 분모의 유리화와 비슷해요. 허수부분의 앞 부호를 반대로 바꿔서 분자, 분모에 곱해주는 거지요.
허수부분의 앞 부호를 반대로 바꾼 걸 켤레복소수라고 하죠? 결국, 분모의 켤레복소수를 분자, 분모에 곱해주는 걸 분모의 실수화라고 해요.
| 분모의 유리화 | 분모의 실수화 |
|---|---|
| 무리수인 분모를 유리수로 | 복소수인 분모를 실수로 |
| 분모의 무리수부분 앞 부호를 반대로 | 분모의 허수부분의 앞 부호를 반대로 (분모의 켤레복소수를 분자, 분모에 곱) |
다음을 간단히 하여라.
(1) (2 + i) - (3 - 2i)
(2) (3i + 4)(2 - 5i)
(3) (1 + i) ÷ (1 - i)
(1) 복소수의 덧셈은 i를 하나의 문자 취급해서 실수부분끼리, 허수부분끼리 나눠서 계산해요.
(2 + i) - (3 - 2i)
= (2 - 3) + (1 + 2)i
= -1 + 3i
(2) 복소수의 곱셈은 곱셈공식을 이용해서 전개하는데, i2 = -1이라는 걸 기억하세요.
(3i + 4)(2 - 5i)
= 6i + 8 - 15i2 - 20i
= 8 + 15 + 6i - 20i (∵ i2 = -1)
= 23 - 14i
(3) 복소수의 나눗셈은 분모의 실수화를 통해서 계산합니다.
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복소수, 허수와 허수단위
이제까지 실수에 대해서 공부했는데, 이 글부터는 허수와 복소수라는 새로운 수의 체계를 공부합니다. 실수는 실제로 존재하는 수로 Real Number잖아요. 허수는 실제로 존재하지 않는 수예요.
복소수라고 부르는 수는 고등학교 교육과정에서 가장 넓은 수의 체계이며, 더는 새로운 수를 공부하지 않아요. 수의 체계로는 마지막이죠.
허수와 실수의 차이를 알아보고, 복소수는 어떻게 생긴 수이고, 어떤 특징이 있는지 알아보죠.
복소수가 같을 조건을 예제를 통해서 공부해봐요.
허수와 허수단위
1의 제곱근은 제곱해서 1이 되는 수로 ±1이고, 2의 제곱근은 제곱해서 2가 되는 수로 
-1의 제곱근은 얼마일까요? 그런데 (실수)2 ≥ 0이니까 제곱해서 -1이 되는 실수는 있을 수 없죠. 중학교에서도 음수의 제곱근은 생각하지 않는다고 공부했어요. 하지만 기호를 이용해서 억지로 만들어보면 ±
실수는 실제로 존재하는 수인데, 이 수는 실수가 아니라서 다른 수를 생각하게 된 거죠. 실제로 존재하지 않는 가짜 수라서 허수라고 해요. 영어로는 imaginary number라고 하고요.
허수에서 가장 기본이
허수단위 i를 이용해서 숫자를 표시할 수 있어요.
주의하세요. 
허수는 양수, 음수의 부호가 없어요. 부호가 없으니 크기 비교도 할 수 없고요. 2i가 3i보다 작다고 얘기해서는 안 돼요 어떤 것이 더 큰지 비교할 수 없어요.
복소수
실수와 허수가 섞여 있는 수를 생각해볼 수 있죠? 두 실수 a, b와 허수단위 i를 이용해서 a + bi 형태의 수를 만들 수 있는데, 이 수를 복소수라고 해요. 위의 예에서 허수단위 i를 이용해서 여러 수를 표현해봤는데, i앞에 있는 수는 다 실수죠?
복소수 a + bi에서 a를 실수부분, b를 허수부분이라고 해요.
복소수 a + bi에서 b = 0이면 실수부분인 a만 남죠? 이게 지금까지 공부해왔던 실수예요.
b ≠ 0이면 허수단위가 살아있어서 허수가 되는데, a = 0이면 허수부분인 bi만 남죠? 이때 bi를 순수하게 허수부분만 있는 수라고 해서 순허수라고 해요. 순허수는 제곱하면 음수가 되는 특징이 있어요. i는 -1의 제곱근이니까 제곱하면 -1이 돼요. 따라서 (bi)2 = b2i2 = -b2이죠.
b ≠ 0이고, a ≠ 0이면 실수부분과 허수부분이 모두 살아있죠? 이때를 순허수 아닌 허수라고 합니다. 정수 아닌 유리수와 비슷하죠?
(x2 - 2x - 8 + xi - 4i)를 제곱했더니 음수가 되었다. x의 값을 구하여라.
제곱했더니 음수가 되었다는 말은 이 수가 순허수라는 얘기예요. 즉 실수부분 = 0, 허수부분 ≠ 0이라는 거죠.
x2 - 2x - 8 + xi - 4i
= (x2 - 2x - 8) + (x - 4)i
주어진 수에서 실수부분이 0이 되는 x를 찾아보죠.
x2 - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4, -2
그런데, 여기서 허수부분 x - 4 ≠ 0이니까 x = -2가 되어야 합니다.
복소수가 같을 조건
두 무리수 a + b
마찬가지로 두 복소수 a + bi와 c + di가 서로 같으려면 실수 부분끼리 같고, 허수 부분끼리 같아야 해요.
a + bi = c + di ↔ a = c, b = d (a, b, c, d는 실수)
2x + 3y + 4i - 3x + 2yi = 0을 만족하는 x, y의 값을 구하여라.
일단 좌변을 실수부분과 허수부분으로 정리해볼 수 있어요. 그리고 0 = 0 + 0i로 실수부분 = 0, 허수부분 = 0이므로 정리한 좌변과 비교하면 되겠죠.
2x + 3y + 4i - 3x + 2yi = 0
(2x + 3y - 3x) + (4 + 2y)i = 0
(-x + 3y) + (4 + 2y)i = 0
-x + 3y = 0, 4 + 2y = 0이므로 연립방정식 문제네요.
y = -2, x = -6
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