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피타고라스의 정리는 수많은 방법으로 증명이 이루어졌어요. 그중에서 가장 유명한 증명 방법인 유클리드의 증명과 가필드의 증명 방법에 대해서 알아보죠.

피타고라스의 정리, 피타고라스 정리의 증명에서도 피타고라스의 증명과 바스카라의 증명을 알아봤지만, 이 글에서 설명할 유클리드의 증명과 가필드의 증명도 아주 유명한 증명이라서 꼭 이해해야 해요.

피타고라스의 증명 방법은 이 외에도 엄청나게 많아요. 그걸 다 알 필요는 없지만 그래도 두 글에서 설명했던 몇 가지 정도는 알고 있어야 해요.

유클리드의 증명

유클리드의 증명은 좀 까다로운 방법을 이용해서 증명합니다.

직각삼각형 세 변의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 그리고 그 넓이를 비교해서 증명하는 방법이에요. 아래 그림에서 같은 색으로 표시된 곳의 넓이가 같아요.

파란색으로 표시된 사각형의 넓이는 이고, 빨간색으로 표시된 사각형의 넓이는 이예요. □ABHI의 넓이는 이고요. 넓이의 비교를 통해서  =  +  이라는 걸 알 수 있는 거죠.

그림 중에서 필요한 부분만 따로 떼서 보시죠.

첫 번째, 두 번째 그림에서 밑변의 길이가 변 BE의 길이이고, 높이는 변 BC의 길이이기 때문에 (△BCE의 넓이) = (△ABE의 넓이)가 성립해요.

세 번째, 네 번째 그림에서도 밑변의 길이(변 BH의 길이)와 높이가 같으므로 (△CBH의 넓이) = (△JBH넓이)가 성립해요

이번에는 두 번째, 세 번째 삼각형을 보죠.

□BCDE가 정사각형이기 때문에 에요. □ABHI도 정사각형이기 때문에 입니다. 두 번째 그림의 ∠EBA = 90° + ∠CBA이고, 세 번째 그림의 ∠CBH = 90° + ∠CBA로 ∠EBA = ∠CBH가 되죠. 따라서 두 번째, 세 번째 그림에서 두 삼각형은 SAS 합동이에요. 두 도형이 합동이면 넓이가 같죠?

첫 번째, 두 번째 그림에서 삼각형은 넓이가 같고(합동 아님), 두 번째, 세 번째 그림의 삼각형은 합동으로 넓이가 같고, 세 번째 네 번째 그림의 삼각형은 넓이가 같아요(합동 아님). (1) = (2) ≡ (3) = (4)

이를 통해서 첫 번째 그림의 삼각형과 네 번째 그림의 삼각형의 넓이가 같다는 걸 알 수 있어요. (△BCE의 넓이) = (△BHJ의 넓이). 삼각형의 넓이가 같으니까 그 넓이가 2배인 사각형의 넓이도 같겠죠?

(□BCDE의 넓이) = 2 (△BCE의 넓이) = 입니다.

위 과정을 반복하면 □ACFG에서 같은 결론을 얻어서 두 사각형의 넓이가 같다는 걸 알 수 있고요.

결국 (□BCDE의 넓이) + (□ACFG의 넓이) = (□ABHI의 넓이)라는 걸 알 수 있지요. 정사각형의 넓이는 변의 길이의 제곱인데, 세 정사각형의 변의 길이는 직각삼각형 △ABC의 세 변의 길이이므로 △ABC에서 피타고라스의 정리가 성립함을 증명할 수 있는 거죠.

가필드의 증명

가필드의 증명은 직각삼각형 두 개를 연결하고, 거기에 선을 그어서 사다리꼴을 만들고 그 넓이를 비교하는 거예요.

□ABDE의 넓이 = △ABC의 넓이 + △CDE의 넓이 + △ACE의 넓이에요.

△ACE의 넓이를 먼저 구해보죠. 삼각형 △ABC 내각의 크기의 합은 180°에요. 그리고 ∠BCD는 평각으로 180°고요.

삼각형 △ABC 내각의 크기의 합은 180° = ∠A + ∠B + ∠C
∠BCD는 평각 180° = ∠ACB + ∠ACE + ∠ECD

∠C = ∠ACB, ∠A = ∠ ECD이므로 ∠ACE = ∠B = 90°

따라서 △ACE의 넓이는 c²이에요.

위 식을 완성해보죠. 사다리꼴 넓이 공식 알고 있죠?  × (윗변 + 아랫변) × (높이)

□ABDE의 넓이 = △ABC의 넓이 + △CDE의 넓이 + △ACE의 넓이
(a + b)² = ab × 2 + c²

(a + b)² = ab × 2 + c²
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + b² = c²

△ABC에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같음을 증명했어요.

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학교를 졸업한 지 오랜 시간이 지난 분들도 1학기 때 공부했던 근의 공식과 이 글에서 공부할 피타고라스의 정리는 들으면 기억이 난다고 할 거에요.

피타고라스의 정리는 이처럼 학교를 졸업한 지 몇 년이 지나도 기억나는 대표적인 공식이죠. 왜 기억할까요? 매우 오랫동안 매우 많은 시간을 공부했으니까요. 즉, 앞으로 수학 시간에 계속해서 나오는 아주 중요한 공식이라는 얘기예요.

이 글의 내용을 주의 깊게 보시면 앞으로 수학 시간에 헤매는 일은 줄어들 겁니다.

피타고라스의 정리

직각삼각형 ABC에서 각 꼭짓점의 대변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 빗변 c의 제곱은 다른 두 변 a, b의 제곱의 합과 같다.
a² + b² = c²

피타고라스의 정리의 증명

피타고라스 정리를 증명하는 방법은 10가지도 넘어요. 그 방법을 다 소개할 수는 없고, 몇 가지만 하죠.

피타고라스의 정리 증명 - 피타고라스의 증명

교과서에서도 설명하는 내용이고 가장 많이 이용하는 증명방법이에요. 핵심은 빗변이 아닌 두 변의 길이의 합을 한 변의 길이로 하는 정사각형을 만드는 거에요.

ΔABC에서 변 AC와 변 BC의 연장선을 그려서 한 변의 길이가 a + b인 정사각형을 만들어요.

그리고 그림처럼 점 A, E, G, B를 잡으세요. 그러면 큰 사각형은 작은 사각형 하나와 삼각형 네 개로 이루어지죠. 넓이를 구해볼까요?

(□CDFH의 넓이) = □AEGB + 4 × (ΔABC의 넓이) 가 돼요. 이 식에 길이를 넣어보면,

(a + b)² = c² + 4 × ½ab
a² + 2ab + b² = c² + 2ab
a² + b² = c²

ΔABC에서 a² + b² = c²가 성립함을 알 수 있어요.

피타고라스의 정리 증명 - 바스카라의 증명

이번 증명의 핵심은 빗변의 길이를 한 변의 길이로 하는 정사각형을 만드는 거에요.

ΔABC와 합동인 삼각형 네 개를 붙여서 위 그림처럼 빗변을 한 변으로 하는 정사각형을 만듭니다. 큰 사각형은 작은 사각형 한 개와 삼각형 네 개로 이루어져 있습니다.

(□ABDE의 넓이) = □CFGH + 4 × (ΔABC의 넓이)
c² = (b - a)² + 4 × ½ab
c² = a² - 2ab + b² + 2ab
a² + b² = c²

ΔABC에서 a² + b² = c²가 성립함을 알 수 있어요.

피타고라스의 정리를 증명하는 다른 방법은 유클리드의 증명, 가필드의 증명 - 피타고라스의 정리 증명에서 확인하세요.

피타고라스 정리의 역

정리와 역이 무슨 말인지는 알고 있죠? 2학년 때 배웠던 내용인데, 수학에서 정의, 정리, 증명, 명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역에서 확인할 수 있어요.

역은 가정과 결론을 바꾼 걸 말해요.

피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 빗변 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.
피타고라스 정리의 역: 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 a² + b² = c²이면 c가 빗변인 직각삼각형이다.

피타고라스의 정리에 자주 나오는 숫자들

피타고라스의 정리를 이용하는 문제에서 한 변의 길이를 구하는 건 공식에 넣어서 구하면 돼요. 식에 제곱이 들어있기 때문에 길이가 제곱근이 되는 경우도 있어요.

그런데 매번 공식에 넣어서 구하는 것도 귀찮잖아요. 그래서 피타고라스의 정리에서 자주 나오는 길이는 외워두면 편리해요.

세 변의 순서는 가장 짧은 변: 중간: 빗변의 순서에요.

세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5인 삼각형은 직각삼각형이에요. 3² + 4² = 5²가 되거든요. 3cm, 4cm, 5cm인 경우만 되는 것이 아니라 길이의 비가 3:4:5인 경우 모두가 직각삼각형이에요. 6cm, 8cm, 10cm인 삼각형도 9cm, 12cm, 15cm인 삼각형도 직각삼각형이라는 거지요.

세 변의 길이의 비가 5:12:13인 경우도 직각삼각형이에요.

세 변의 길이의 비가 1:1:인 경우도 직각삼각형이에요. 이 경우에는 두 변의 길이가 같으니까 직각이등변삼각형이죠.

세 변의 길이의 비가 1::2인 경우도 직각삼각형이에요. 이 삼각형은 나중에 삼각비할 때 또 나오니까 꼭 외워두세요.

세 변의 길이가 6cm, xcm, 10cm인 삼각형이 있다. 이 삼각형이 직각삼각형일 때, x값들의 합을 구하시오.

직각삼각형이니까 피타고라스의 정리에 대입해보면 x을 구할 수 있어요. 그런데 문제에서 "값들의 합"이라고 했어요. 그러니까 x가 하나가 아니라는 뜻이에요.

세 변의 길이가 6, x, 10이에요. 10이 빗변의 길이라고 하면 식은 6² + x² = 10²가 돼요.
36 + x² = 100
x² = 64
x = 8 (x >0)

이번에는 10이 아니라 x가 빗변을 때를 구해보죠. 6² + 10² = x²
136 = x²
x =
x = (x > 0)

직각삼각형에서 빗변의 길이가 가장 기니까 6은 빗변이 될 수 없어요. 따라서 x값들의 합은 8 + 가 되겠네요.

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