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사각형에 대해서 쭉 알아봤어요,

평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 사다리꼴의 정의, 성질, 조건에 알아봤지요.

이 글에서는 이제까지 배웠던 사각형들의 내용을 합치고 정리해볼게요. 비슷한 것도 있고, 같은 것도 있고, 다른 것도 있으니까 잘 비교하고 구별해서 헷갈리지 않도록 하세요.

여기서는 각 사각형의 핵심적인 내용만 추릴 거니까, 자세한 내용이나 증명은 해당 글을 읽으세요.

아래에 표를 보면서 글자로 외우는 것도 좋지만 그림을 보면서 직접 펜으로 찍어가면서 외우세요. 예를 들면 펜으로 그림의 윗변과 아랫변을 가리키면서 "여기랑 여기랑 같고………" 뭐 이런 식으로 말이죠. 도형이니까 실제 도형을 보면서 그림에 맞게 외우는 것이 훨씬 더 좋은 방법이거든요.

여러 사각형의 정의와 성질, 조건

사각형의 정의와 성질, 조건

사각형	[정의]와 성질	조건
평행사변형	[두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형] 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 이웃한 두 내각의 크기의 합은 180° 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.	두 쌍의 대변이 평행한 사각형 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 사각형 두 대각선이 서로를 이등분하는 사각형 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같은 사각형
	평행사변형의 성질	평행사변형이 되는 조건
직사각형	[모든 내각의 크기가 같은 사각형 또는 한 내각의 크기가 90°인 평행사변형] (평행사변형의 성질) 두 대각선의 길이가 같다.	한 내각의 크기가 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형
	직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건
마름모	[네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) 두 대각선이 서로를 수직이등분	이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형 두 대각선이 서로 직교하는 평행사변형
	마름모의 성질, 마름모가 되는 조건
정사각형	[네 각의 크기가 모두 같고, 네 변의 길이가 모두 같은 사각형] (평행사변형의 성질) (직사각형의 성질) (마름모의 성질)	이웃하는 두 변의 길이가 같은 직사각형 두 대각선이 서로 직교하는 직사각형 한 내각이 90° 또는 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 마름모 두 대각선의 길이가 같은 마름모
	정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건
등변사다리꼴	[한 쌍의 대변이 평행하고 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사각형] 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같다. 대각선의 길이가 같다.
	등변사다리꼴의 정의와 성질

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평행사변형에 대해서 공부하고 있는데요. 이번에는 평행사변형의 넓이에 대해서 알아볼 거예요.

평행사변형도 사각형이니까 넓이를 구하는 건 알고 있을 거예요.

여기서는 평행사변형을 여러 개의 삼각형으로 나누고, 그 삼각형들의 넓이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 또 그 삼각형들의 넓이와 평행사변형의 넓이 사이의 관계도 알아볼 거고요.

삼각형의 넓이를 비교할 때, 평행사변형의 성질을 이용하니까 앞의 내용에 대한 이해가 있어야 해요.

평행사변형과 넓이

대각선을 하나만 그었을 때

평행사변형 □ABCD에 대각선을 하나 그으면 아래 그림처럼 두 개의 삼각형으로 나뉘어요. 두 삼각형의 넓이를 알아보죠.

평행사변형의 성질에서 두 대변의 길이가 각각 같다고 했으니,  = 입니다. △ABC에서 밑변은 , 높이는 점 A에서 까지의 거리죠. △CDA에서 밑변은 , 높이는 점 C에서 까지의 거리에요.

두 삼각형 △ABC와 △CDA에서 밑변의 길이와 높이가 같으므로 두 삼각형의 넓이는 같아요. S₁ = S₂. 두 삼각형 넓이의 합이 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 두 삼각형은 서로 넓이가 같으므로 삼각형 한 개의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이죠.

대각선을 두 개 그었을 때

이번에는 □ABCD에 대각선을 두 개 그었어요. 네 개의 삼각형이 생겼네요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠. 평행사변형의 성질에서 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다고 했어요. 따라서  = ,  = 입니다.

△OAB와 △OCD를 볼까요?  = ,  = 이고, 맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD에요. 두 삼각형은 SAS합동이죠. 합동이니까 넓이가 같아요. S₁ = S₃

△OAD와 △OCB도 SAS 합동이므로 넓이가 같죠. S₂ = S₄

△OAB와 △OAD를 보세요. 두 삼각형은 밑변의 길이가 같고( = ), 높이도 점 A에서 까지의 거리로 같아요. 따라서 넓이도 같죠. S₁ = S₄

결국 S₁ = S₂ = S₃= S₄가 됩니다. 네 삼각형 넓이의 합은 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 네 삼각형의 넓이가 서로 모두 같으니 삼각형 하나의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이 되겠죠?

평행사변형 □ABCD의 넓이가 60cm²일 때 색칠한 △OAB의 넓이를 구하여라.

평행사변형에 대각선을 그어서 생기는 네 개의 삼각형은 모두 넓이가 같아요. 또 전체 평행사변형의 넓이의 입니다.

△OAB =  × 60

△OAB = 15(cm²)

임의의 점에서 꼭짓점으로 선을 그었을 때

이번에는 평행사변형 □ABCD 내부에 대각선의 교점이 아닌 임의의 점 P를 잡아요. 점 P에서 네 꼭짓점에 선을 그으면 네 개의 삼각형이 생기죠. 이 네 삼각형의 넓이 관계에 대해서 알아볼까요?

, 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그어보죠. 또 , 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그려보죠.

두 직선 때문에 □ABCD에 총 네 개의 평행사변형이 만들어졌어요. 이 글 처음에 나온 것처럼 평행사변형을 구성하는 두 개의 삼각형은 넓이가 같잖아요. 작은 평행사변형에서 넓이가 같은 삼각형끼리 번호를 붙였어요.

그림에서 같은 색으로 칠해진 삼각형의 넓이를 구해보죠. 노란색으로 된 부분은 (△PAB의 넓이) + (△PCD의 넓이) = S₁ + S₃  = ① + ② + ③ + ④에요. 연두색으로 된 부분은 (△PAD의 넓이) + (△PBC의 넓이) = S₂ + S₄ = ① + ② + ③ + ④죠. 따라서 S₁ + S₃ = S₂ + S₄가 성립하죠.

평행사변형 내부에 임의의 점 P에서 네 꼭짓점으로 선을 그었을 때, 마주 보는 삼각형의 넓이의 합이 서로 같아요. 이 두 부분의 넓이가 같으므로 각 영역은 전체 사각형 넓이의 절반이 되죠.

여기는 S₁, S₂, S₃, S₄의 넓이가 같지 않아요. 이 점에 주의하세요.

평행사변형 □ABCD의 내부에 임의의 점 P를 잡고, 꼭짓점에 선을 그었더니 네 개의 사각형이 생겼다. 평행사변형 □ABCD의 넓이가 100cm²이고, △PAB의 넓이가 30cm²일 때, △PCD의 넓이를 구하여라.

위 그림에서 △PAB + △PCD = □ABCD이므로

30 + △PCD =  × 100

△PCD = 20(cm²)

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평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에서 평행사변형이 어떤 특징을 가지고 있는지 알아봤어요. 대변과 대각, 대각선에 관한 내용이었지요.

이 글에서는 어떤 사각형이 평행사변형이 되는지 알아볼 거예요. 그리고 왜 그렇게 되는지 증명도 해볼거고요.

평행사변형이 되는 조건은 총 다섯 가지인데, 그중에 네 가지가 평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에 나오는 내용이에요. 평행사변형의 성질과 조건이 깊은 관계가 있으니까 잘 비교해보세요.

새로운 내용은 하나밖에 없으니까 그것만 주의 깊게 보면 되겠네요.

평행사변형이 되는 조건

평행사변형이 되는 조건 중에 네 가지가 평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에 나오는 거라고 했으니까, 평행사변형의 성질을 다시 정리해보죠.

• 평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이라고 정의
• 평행사변형에서 두 쌍의 대변은 길이가 각각 같다.
• 평행사변형에서 두 쌍의 대각은 크기가 각각 같다.
• 평행사변형에서 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

평행사변형이 되는 조건은 바로 위 성질을 거꾸로 하면 돼요. 위 성질의 역이 바로 조건이 되는 거죠.

변의 길이가 같거나 각의 크기가 같은 건 합동을 이용해서 증명했어요. 평행사변형이 되는 걸 증명하려면 네 변이 각각 평행하다는 것을 증명해야 하잖아요? 이때는 어떤 성질을 이용해야 할까요? 평행하다는 것을 증명하려면 평행선에서 동위각과 엇각에서 배웠던 것처럼 동위각과 엇각의 크기가 같다는 것을 보여주면 돼요.

두 쌍의 대변이 평행하다.

평행사변형이란?, 평행사변형의 성질에서 평행사변형은 두 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형이라고 정의했어요. 이 정의에 따라서 두 쌍의 대변이 평행한 사각형은 평행사변형이 되는 거예요.

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

□ABCD에서 점 A와 점 C에 선을 그어보세요. ∠BAC와 ∠DCA가 엇각의 위치에 있어요.

조건에서 두 쌍의 대변의 길이가 같다고 했으니까  = , = 에요. 거기에 는 공통이죠. 세 변의 길이가 같으니까 SSS합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응각인 ∠BAC와 ∠DCA의 크기는 같은 거죠. 즉, 엇각인 ∠BAC와 ∠DCA가 크기가 같으므로 와 는 평행이에요.

∠BCA와 ∠DAC도 같은 방법으로 증명하면 와 가 평행인 걸 알 수 있어요.

따라서 □ABCD에서 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으면 두 쌍의 대변이 평행하니까 그 사각형은 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

두 쌍의 대각의 크기가 같다고 했으니까 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2(∠A + ∠B) = 360°가 돼요. 즉 ∠A + ∠B = 180°죠. 다시 말해 이웃하는 두 각의 크기의 합은 180°라는 새로운(?) 성질을 알 수 있어요.

□ABCD에서 의 연장선을 긋고, 그 위에 임의의 점 E를 잡아요.

∠EAD와 ∠B는 동위각의 위치에 있어요. 그런데 이웃하는 두 각의 합에 따라 ∠BAD + ∠B = 180°이고, 평각인 ∠EAB = ∠BAD + ∠EAD = 180°에요. ∠BAD + ∠B = ∠BAD + ∠EAD에서 ∠EAD = ∠B임을 알 수 있죠.

∠EAD와 ∠B는 동위각의 위치에 있으면서 크기가 같으니까 와 는 서로 평행이에요.

의 연장선 위에 임의의 점 F를 잡아서 위와 같은 방법을 이용하면 와 도 평행인 걸 증명할 수 있어요.

따라서 □ABCD에서 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으면 두 쌍의 대변이 평행하니까 그 사각형은 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.

두 대각선의 교점을 점 O라고 할게요. △OAB와 △OCD를 보세요. 대각선이 서로를 이등분한다고 했으니  = ,  = 에요.

맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD죠. (맞꼭지각, 동위각, 엇각)

그러면 두 삼각형은 SAS 합동이에요. △OAB ≡ △OCD

대응변인  = 가 되죠.

△OAD와 △OCB에서도 같은 방법을 이용하면  = 임을 알 수 있어요.

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 □ABCD는 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

이건 평행사변형의 성질과 직접적인 관련은 없는 거예요. 일단, 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다고 했으니  = ,  //  라고 해보죠.

□ABCD에서 점 A와 점 C에 선을 그어요.

△ABC와 △CDA에서  // 이고 엇각이므로 ∠ACB와 ∠CAD는 크기가 같아요.

 = 이고 는 공통이므로 SAS 합동이죠. △ABC ≡ △CDA

대응변인  = 가 됩니다.

따라서 두 쌍의 대변의 길이가 같으므로 □ABCD는 평행사변형이 되는 거죠.     (증명 끝.)

평행사변형이 되는 조건
두 쌍의 대변이 평행하다. - 평행사변형의 정의
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
두 대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

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여러 가지 사각형 사이의 관계

삼각형의 성질에 이어 사각형의 성질입니다.

그 첫 번째로 평행사변형의 성질인데요. 평행사변형이 어떻게 생겼는지는 알고 있을 거예요.

이 글에서는 평행사변형을 어떻게 정의하는지 그리고 평행사변형은 어떤 성질을 가졌는지 알아보고, 그 성질들을 증명해볼 거예요. 증명은 어렵지 않아요. 모든 성질이 하나의 증명방법으로 증명되거든요.

여러 사각형이 나오고 사각형 별로 비슷하면서도 다른 성질을 가지고 있으니 잘 구별할 줄 알아야 합니다.

평행사변형이란?

평행사변형이라는 이름을 잘 들여다보세요. 평행은 두 직선이 서로 만나지 않은 걸 말하죠? 사변은 네 개의 변을 말해요. 즉 네 개의 변이 있는데 이게 평행하다는 거예요. 네 개가 다 평행한 게 아니고 이 중 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 말하는 거죠.

삼각형의 정의, 대변, 대각에서 대변과 대각의 정의에 대해서 공부했었어요. 대변은 마주 보는 변이고, 대각은 마주 보는 각이죠.

평행사변형의 성질

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그으면 △ABC와 △CDA가 생기죠?

평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
와 가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응각인 ∠B = ∠D이 되죠.
또 ∠A = ∠BAC + ∠DAC = ∠DCA + ∠BCA = ∠C가 됩니다.

따라서 ∠B = ∠D, ∠A = ∠C입니다.       (증명 끝.)

이 성질에서 나온 다른 성질이 하나 있는데, 알아두면 좋을 겁니다.

∠B = ∠D, ∠A = ∠C이므로 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2∠A + 2∠B = 360°가 돼요.

∠A + ∠B = 180°라는 결론이 나오죠. ∠A = ∠C니까 A와 C를 바꿔도 되겠죠? 또 ∠B = ∠D니까 B와 D를 바꿔도 되고요.

결국, 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°가 되는 겁니다.

아래 그림을 보고 x + y를 구하여라.

이웃한 두 각의 크기의 합은 180°에요. x° + 80° = 180°이므로 x = 100가 됩니다. 마주 보는 두 각, 즉 대각은 크기가 같으므로 2y° = 80°에서 y = 40이 되고요.

따라서 x + y = 100 + 40 = 140

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그어 △ABC와 △CDA를 만듭니다.

평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
와 가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

다음 그림을 보고 평행사변형 ABCD의 둘레의 길이를 구하여라.

두 대변의 길이는 같으므로 2x + 4 = 3x + 1이에요. x = 3이네요. x = 3을 대입하면,  = = 10cm이고요. = = 14cm죠.

따라서 평행사변형 ABCD의 둘레는 2 × (14 + 10) = 48(cm)입니다.

두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

대각선을 긋고 대각선의 교점을 점 O라고 하죠.

△OAB와 △OCD를 볼게요. 위 평행사변형의 성질 증명에서 = 임을 알 수 있어요. … (1)
평행사변형의 정의에 따르면 와 가 평행하므로 ∠OAB = ∠OCD (엇각) … (2)
와 가 평행하므로 ∠OBA = ∠ODC (엇각) … (3)
(1), (2), (3)에 의해서 △OAB ≡ △OCD (ASA 합동)

따라서 대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

점 O가 평행사변형 ABCD의 대각선의 교점일 때 △OAB의 둘레의 길이를 구하여라.

평행사변형에서 두 대변의 길이는 같으므로 = = 6cm

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로  =  =  × = 5cm

마찬가지로 =  =  × = 4cm

삼각형 △OAB의 둘레는 6 + 4 + 5 = 15(cm)

평행사변형의 성질
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

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