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로그의 밑 변환 공식이에요. 로그에서 밑은 log 옆에 작게 쓰는 걸 말하죠? 이걸 변환시킬 수 있는 공식이에요. 이름 그대로 공식이니까 외워야겠죠?

이 로그의 밑 변환 공식을 알고 있어야 다음에 공부할 로그의 성질 두 번째도 이해할 수 있어요. 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 로그의 성질 두 번째를 유도할 거니까요.

밑의 변환 공식을 잘 알아두면 로그의 계산을 할 때 조금 더 편리해져요. 어려운 공식은 아니고 두 개만 할 거니까 잘 봐두세요.

로그의 밑 변환 공식

로그의 밑 변환 공식은 원래 있던 로그의 밑을 새로운 밑으로 바꿀 때 원래 로그의 모양이 어떻게 바뀌는지를 공식으로 나타낸 거예요.

a^x = b를 로그로 변환해보죠.
a^x = b ⇔ log_ab = x …… ①

a^x = b의 양변을 c(c > 0, c ≠ 1)을 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 밑 변환 공식 1 증명

두 번째 줄에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요.

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 log_ca ≠ 0이에요. 따라서 양변을 log_ca로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 log_ab = x니까 식에 대입했어요.

어떤가요? 분수 꼴로 되었는데, 분모, 분자 모두 밑은 c라는 새로운 밑이에요. 분모에 있는 로그의 진수는 a, 분자에 있는 로그의 진수는 b고요. 원래 로그의 밑과 진수를 밑이 같은 새로운 로그의 나눗셈으로 바꿀 수 있다는 뜻이에요.

새로운 밑으로 사용할 숫자 c는 1이 아닌 양수라면 어떤 숫자도 괜찮아요. 가능하면 새로운 로그로 바꿨을 때 원래 로그의 밑과 진수를 없애고 실수로 바꿀 수 있는 수를 사용하면 좋지요. a, b가 거듭제곱일 때 c는 소인수를 사용하면 좋아요.

예를 들어, a = 4, b = 8이라면 a = 2², b = 2³이니까 c는 a, b의 소인수인 c = 2를 사용하는 거죠.

a = 27, b = 81이라면 a = 3³, b = 3⁴니까 c = 3을 사용하고요.

이번에는 a^x = b의 양변을 b(b > 0, b ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 밑 변환 공식 2 증명

두 번째 줄의 좌변에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요. 우변에서 밑과 진수가 같으면 1이죠? log_bb = 1

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 log_ba ≠ 0이에요. 따라서 양변을 log_ba로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 log_ab = x니까 식에 대입했어요.

원래 로그에서 밑과 진수를 바꾸고 역수를 취하면 원래 로그와 같다는 걸 알 수 있어요.

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때

첫 번째 밑 변환 공식에서 b = 1이 되어도 괜찮아요. 하지만 두 번째 역수를 취하는 공식에서는 b가 로그의 밑이 되어야 하니까 1이면 안 돼요. b ≠ 1

a는 두 공식 모두에서 로그의 밑이니까 a > 0, a ≠ 1이어야 하고요.

다음을 간단히 하여라.
(1) log₄2
(2) log₂3 × log₃4

(1) 밑이 4, 진수가 2니까 4, 2의 소인수인 2를 밑으로 하는 새로운 로그를 취해보죠.

(2) 앞의 로그는 진수가 3, 뒤의 로그는 밑이 3이니까 로그의 역수를 취해서 계산해 볼까요?

로그의 밑 변환 공식 예제 풀이 2

정리해볼까요

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때

로그의 성질

<< 수학 1 목차 >>

로그의 성질 두 번째

그리드형

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로그의 성질입니다. 이름이 성질이라고 해서 단순히 성질이 아니라 로그의 계산을 할 때 기본이 되는 계산 법칙이에요. 지수에 지수법칙이 있다면 로그에는 로그의 성질이 있어요.

로그의 성질에는 로그, 밑, 지수, 진수 등 나오는 게 많아서 헷갈리기 쉬워요. 그 모양을 정확하게 이해해야 해요. 비슷하게 생긴 모양의 식을 헷갈리면 안 돼요.

로그의 성질은 로그의 정의에서 로그와 거듭제곱의 관계를 이용해서 유도합니다. 따라서 이 내용도 알고 있어야 해요.

로그의 성질

a⁰ = 1, a¹ = a에요. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a⁰ = 1 ⇔ log_a1 = 0
a¹ = a ⇔ log_aa = 1

진수가 1이면 결과는 0이고 밑과 진수가 같으면 결과는 1이에요. 이게 로그의 성질 첫 번째예요.

a^x = M, a^y = N이라고 해보죠. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a^x = M ⇔ log_aM = x …… ①
a^y = N ⇔ log_aN = y …… ②

이 두 개를 곱한 다음 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a^x × a^y = a^{x + y} = MN ⇔ log_aMN = x + y

①, ②에서 log_aM = x, log_aN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면
log_aMN = log_aM + log_aN

이번에는 a^x = M을 a^y = N으로 나누고 로그로 변환해보죠.

a^x ÷ a^y = a^{x - y} = ⇔ = x - y

①, ②에서 log_aM = x, log_aN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면

진수가 두 양수의 곱으로 되어 있으면 로그의 합으로, 진수가 두 양수의 나눗셈으로 되어 있으면 로그의 차로 바꿀 수 있어요. 로그의 성질 두 번째와 세 번째입니다.

이번에는 새로운 성질을 유도해보죠.

a^x = M = L^k이라고 해보죠.

a^x = M ⇔ log_aM = x
a^x = L^k ⇔ log_aL^k = x …… ③

③에서 log_aL^k = x니까 위 식의 x에 대입하면 log_aL^k = klog_aL이 성립해요.

진수가 지수를 가지고 있을 때 지수를 로그 앞으로 가져올 수 있다는 얘기죠. 로그의 성질 네 번째예요.

로그의 성질에서 주의해야 할 건 밑이 같아야 한다는 거예요. 지수법칙에서도 밑이 같을 때만 성립했어요. 그리고 진수가 어떻게 구성되어 있는가에 따라서 계산이 달라져요.

아래 식처럼 모양이 비슷한 다른 식에서는 성립하지 않는 성질이에요. 잘 구별하세요.

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, L > 0, k가 실수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) log₂2 + log₂4 + log₂8
(2)
(3)

(1) log₂2 + log₂4 + log₂8
= 1 + log₂2² + log₂2³
= 1 + 2log₂2 + 3log₂2
= 1 + 2 + 3
= 6

하나씩 구해서 더해도 되고 밑이 같고 로그의 합으로 되어 있으니 곱으로 바꿔서 풀 수도 있어요.

log₂2 + log₂4 + log₂8
= log₂(2 × 4 × 8)
= log₂2⁶
= 6log₂2
= 6

(2) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.

log₃2는 더 계산할 수가 없으니 그냥 뒀어요.

(3) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니까 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.

log₄2는 (2)번의 log₃2와 달리 계산할 수 있으니까 계산을 끝까지 해야 해요.

정리해볼까요

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, L > 0, k가 실수일 때

로그의 정의

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로그 밑의 변환 공식

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로그입니다. 로그는 새로운 내용인데, 다행히도 거듭제곱과 거듭제곱근의 친구예요. 절친 중의 절친이죠. 셋이 서로 정말 닮아있어요.

로그는 거듭제곱과 거듭제곱근에 대해서 잘 이해하고 있다면 쉽게 할 수 있어요. 계산이 어렵지도 않고 지수에서 했던 내용이 많이 나오거든요. 거듭제곱의 다른 이름이 지수니까요.

첫 번째 시간이니까 로그의 정의에 대해서 확실히 이해하세요. 정의만 잘 이해하면 계산은 그냥 하나도 어렵지 않은 단지 귀찮은 지수법칙 계산일 뿐이에요.

로그의 정의

a^x = b라는 식이 있다고 해보죠?

만약에 a, x는 알고 있는데, b를 모른다고 해보죠. 그럼 b를 어떻게 구하나요? a를 x번 곱해서 b를 구하겠죠? 이걸 거듭제곱이라고 불러요. b = a^x 지수법칙, 지수함수도 같은 부류죠.

이번에는 x, b는 알고 있는데 a를 모른다고 해보죠. 여기서 a는 x제곱해서 b가 되는 수로 거듭제곱근을 이용해서 구할 수 있어요.

마지막으로 a, b는 알고 있는데 x를 모른다고 해보죠. x를 어떻게 구할까요? 바로 x를 구하는 방법이 로그에요. 영어로는 Logarithm이라고 하지요.

거듭제곱, 거듭제곱근, 로그는 사실 하나의 식이에요. 그 식에서 우리가 얻으려고 하는 게 무엇인지에 따라 부르는 이름이 달라지고 표시하는 방법이 달라지는 거죠.

거듭제곱근을 구할 때 식의 모양을 바꾸는 것처럼 로그를 구할 때도 식의 모양을 바꿔요. a와 b를 이용해서 x를 구하는 식이요.

로그 표시 방법 - 밑, 진수

먼저 Logarithm의 앞 세 글자 log를 쓰고 a는 아래 첨자로, b는 그냥 보통 글자로 써요. a를 log 글자의 오른쪽 아래에 조그맣게 쓰는 건 지수를 오른쪽 위에 조그맣게 쓰는 것과 비슷해요.

이렇게 나타낸 log_ab를 a를 밑으로 하는 b의 로그라고 해요. 아래에 조그맣게 쓰는 a를 밑, 보통 글자로 쓰는 b를 진수라고 하죠. a는 원래 지수에서도 밑이었죠?

지수함수 y = a^x에서 a > 0이고 a ≠ 1이어야 그 결과가 실수가 된다고 했어요. 로그에서도 마찬가지로 a > 0이어야 그 결과가 실수예요.

로그의 의미에서 생각해보면 a를 몇 제곱해야 b가 나오는지 구하는 거예요. 그런데 a = 1, b = 1이면 x가 어떤 수가 되더라도 식을 만족하니까 무수히 많은 x가 존재해요. 또 a = 1이고 b ≠ 1이라면 이걸 만족하는 x는 존재하지 않죠. 따라서 a ≠ 1이어야 해요.

결국, a > 0이고 a ≠ 1이어야 해요.

지수함수 y = a^x에서 a > 0이고 a ≠ 1일 때 y > 0이었어요. 여기서는 y 대신 b를 사용했으니 마찬가지로 b > 0이에요.

(a > 0, a ≠ 1, b > 0)