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지수법칙 마지막 지수가 실수일 때예요. 사실 지수법칙은 별거 없어요. 중학교 때 공부했던 지수법칙과 똑같아요. 단지 지수의 종류가 달라지는 것뿐이에요.

그렇다고 결과만 알아서는 안 되겠죠. 지수의 종류가 달라져도 어떻게 해서 지수법칙이 성립하는지도 알고 있어야 해요.

끝으로 이제까지 공부했던 지수법칙에서 지수의 종류에 따라 조건들이 어떻게 달라지는지도 비교해보죠.

지수법칙 - 실수 지수

이제 지수가 실수일 때를 알아보죠. 지수가 유리수일 때는 지수의 확장 - 유리수 지수에서 알아봤으니까 지수가 무리수일 때만 알아보면 되겠죠?

지수가 무리수인 을 구해볼까요?

 = 1.414… 예요. 에 가까워지는 유리수 1, 1.4, 1.41, 1.414, …가 3의 지수라고 해보죠.

3¹, 3^1.4, 3^1.41, 3^1.414, …처럼 될 텐데 이 값들은 일정한 값이 가까워지는데 이 일정할 값을  로 정의할 수 있어요.

이처럼 지수가 무리수일 때도 a^x을 정의할 수 있죠.

지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에서 밑이 양수고, 지수가 유리수일 때 지수법칙이 성립했어요. 여기서는 밑이 양수이고 지수가 실수일 때의 지수법칙이 성립해요.

a > 0, b > 0이고 x, y가 실수일 때
a^xa^y = a^{x + y}
a^x ÷ a^y = a^{x - y}
(a^x)^y = a^xy
(ab)^x = a^xb^x

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

지수법칙을 그대로 적용하면 돼요.

지수법칙 비교

이제까지 지수법칙에서 지수가 정수일 때, 유리수일 때, 실수일 때를 공부했어요. 지수법칙 자체만 보면 계산 방식은 같아요. 밑이 같고 곱하기면 지수끼리 합, 밑이 같고 나누기면 지수끼리 차, 거듭제곱은 지수끼리 곱이죠.

하지만 지수의 종류에 따라 밑이 달라요. 그 차이를 비교해보죠. 외워야 하는 건 아닌데 그래도 알아두세요.

왜 이런 조건들이 붙는지는 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수, 지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에 나와 있어요.

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중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙은 지수가 자연수였지요? 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수에서는 지수가 정수일 때의 지수법칙을 알아봤고요.

지수의 체계가 한 단계씩 확장되고 있죠? 이제는 지수가 유리수일 때를 알아볼 거예요. 지수가 유리수일 때도 지수법칙이 성립하는지 그리고 그때 지수의 조건은 무엇인지에 대해서 알아보죠.

단순히 지수법칙만 외우면 되는 게 아니라 어떤 경우에 지수법칙이 성립하는지도 알아두세요. 그리고 거듭제곱근과 어떤 관계가 있는지도 알아야 해요.

지수의 확장 - 유리수 지수

지수의 확장 - 정수 지수에서 공부했던 지수법칙 중에서 (a^m)ⁿ = a^mn가 있었어요. a ≠ 0이고, m, n은 정수죠.

이번에 유리수 p, q에 대해서도 (a^p)^q = a^pq가 성립하는지 알아볼까요?

정수 m, n에 대하여 p = , q = n을 대입해보죠.

을 n 제곱했더니 a^m이 되었어요. 반대로 말하면 은 a^m의 n 제곱근이라는 얘기죠.

모양을 보세요. a의 지수 에서 분자인 m은 제곱이 되고, 분모인 n은 제곱근이 되었어요.

실수인 거듭제곱근에서 제곱근호 안이 0보다 작고 n이 짝수일 때 실수인 거듭제곱근은 없다고 했어요. 따라서 여기서는 실수인 거듭제곱근이 나올 수 있게 a > 0인 경우만 다뤄요. a = 0이면 그냥 0이니까 굳이 다룰 필요가 없고요.

n이 제곱근의 의미를 가지려면 n ≥ 2인 정수여야 해요.

정리해보죠.

유리수인 지수
a > 0이고, m, n(≥ 0)이 정수일 때

유리수인 지수가 있다는 걸 알아봤으니 지수법칙이 성립하는지도 알아보죠. 이게 복잡하고 기니까 하나씩 주의해서 잘 보세요.

정수 m, n , p, q (n, q ≥ 2)에 대하여 라고 해보죠.

첫 줄과 마지막 줄만 보면 a^ra^s = a^{r + s}예요.

지수가 유리수라서 유도 과정이 복잡해서 그렇지 그냥 밑이 같고 곱하기이면 지수끼리 더한다는 원래의 지수법칙에 지나지 않아요.

이외에도 우리가 알고 있던 지수법칙이 모두 성립해요.

지수가 유리수일 때 지수법칙
a > 0, b > 0이고 r, s가 유리수일 때
a^ra^s = a^{r + s}
a^r ÷ a^s = a^{r - s}
(a^r)^s = a^rs
(ab)^r = a^rb^r

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)

지수가 유리수일 때의 지수법칙도 별반 다를 게 없어요. 그냥 지수끼리 더하고 빼고, 곱하면 되죠.

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