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집합에서 여러 가지를 공부했어요. 집합, 원소, 공집합, 유한집합, 무한집합, 부분집합, 진부분집합 등이요.

이 글에서 공부할 집합은 교집합과 합집합이에요.

교집합과 합집합은 집합에서 가장 중요한 내용이라고 할 수 있어요. 실제 집합에서 나오는 대부분 문제가 교집합과 합집합의 형태로 된 집합에 관한 문제거든요. 주의 깊게 보세요.

교집합

두 집합 A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}가 있어요.

여기에서 2는 A의 원소이니까 기호로 2 ∈ A라고 표시할 수 있겠네요. 마찬가지로 2는 B의 원소이니까 2 ∈ B로 표시할 수도 있겠죠. 그럼, 2는 A의 원소이면서 동시에 B의 원소도 됩니다. 2 ∈ A이고 2 ∈ B

4도 2와 마찬가지로 A의 원소이면서 동시에 B의 원소네요.

두 개 이상의 집합에 모두 포함된 원소들로 이루어진 집합을 교집합이라고 해요. A에도 속하고, B에도 속하는 원소들로 이루어진 집합이요.

위의 예에서는 2, 4가 A, B 양쪽에 모두 들어있으니까 이 두 원소로 이루어진 {2, 4}가 A와 B의 교집합이죠.

주의해야 할 건 양쪽에 들어있는 원소를 전부 포함하는 집합을 교집합이라고 하는 거예요. 2가 양쪽에 들어있다고 해서 {2}이라는 집합을 교집합이라고 하지 않아요. 마찬가지로 {4}라는 집합을 교집합이라고 하지도 않지요. 양쪽에 들어있는 원소가 모두 다 포함된 {2, 4}만 교집합이라고 합니다.

교집합은 기호로 ∩라고 표시해요. 그러니까 집합 A와 집합 B의 교집합은 A ∩ B로 표시하죠.

위 예에서 집합 A와 집합 B의 교집합은 A ∩ B = {2, 4}가 되겠네요. 벤다이어그램으로 그려보면 아래 그림처럼 그릴 수 있어요.

벤다이어그램에서 A와 B가 겹치는 부분이 바로 교집합입니다.

원소 x가 집합 A에 포함되고, 집합 B에도 포함되니까 기호로 표시하면 x ∈ A, x ∈ B가 되겠죠. 교집합을 조건제시법으로 나타낼 때 A ∩ B = {x|x ∈ A이고 x ∈ B}라고 합니다. 무슨 뜻인지 이해할 수 있죠?

합집합

합집합은 집합 A에 속하거나 집합 B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합이에요. A, B 둘 중 아무 데나 속하면 돼요. A에만 속해도 되고, B에만 속해도 되고 A와 B 양쪽 모두에 속해도 상관없어요. 기호로는 ∪로 표시합니다. 집합 A와 집합 B의 합집합은 A ∪ B로 표시하죠. 알파벳 대문자 U가 아니에요.

집합의 표현 방법을 공부할 때 원소나열법에서 중복되는 원소는 한 번만 쓰기로 했죠. {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5}가 아니라 {1, 2, 3, 4, 5}로 말이죠.

합집합을 구할 때는 일단 두 집합의 원소를 모두 쓰는데 대신 중복되는 원소는 한 번만 써요. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}니까 A와 B의 합집합은 {1, 2, 3, 4, 5}입니다.

위 벤다이어그램에서 A와 B의 영역을 모두 합한 것이 A와 B의 합집합이에요.

합집합을 조건제시법으로 나타내면 A ∪ B = {x|x ∈ A 또는 x ∈ B}로 쓸 수 있죠.

A = {x|x는 6의 약수}, B = {x|x는 12의 약수}, C = {x|x는 10 이하의 홀수}, D = {x|x는 10 이하의 짝수}일 때, 다음을 구하여라.
(1) A ∩ B
(2) B ∪ C
(3) C ∩ D

조건제시법으로 나와 있는데 원소나열법으로 바꿔서 표시해보죠.

A = {1, 2, 3, 6}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
C = {1, 3, 5, 7, 9}
D = {2, 4, 6, 8, 10}

교집합(∩)은 양쪽 집합 모두에 포함된 원소로 이루어진 집합, 합집합(∪)은 어느 한쪽에라도 포함된 원소로 이루어진 집합이에요.

(1) A ∩ B는 A에도 속하고, B에도 속한 원소들로 이루어진 집합을 구해야겠네요.
A ∩ B = {1, 2, 3, 6}

(2) B ∪ C는 B나 C 둘 중 어느 하나에 속하거나 양쪽 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이에요. 대신 중복되는 건 한 번만 쓰고요.
B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12}

(3) C ∩ D는 집합 C와 집합 D 양쪽 모두에 공통으로 속하는 원소들로 이루어진 집합이에요. 근데, C는 홀수의 집합이고, D는 짝수의 집합이므로 공통으로 속하는 원소가 없죠? 원소가 아무것도 없는 집합이니까 공집합이네요.
C ∩ D = {   } = 

서로 다른 두 집합이 있을 때 두 집합 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼까요?

태티서라는 유닛 그룹이 있죠? 태연, 티파니, 서현으로 구성된 그룹이에요. 다시 말해 태티서라는 집합은 태연, 티파니, 서현이라는 원소로 되어 있어요. 그런데 이 세 명은 모두 소녀시대의 멤버이기도 하니까 소녀시대라는 집합의 원소라고 할 수도 있어요. 그럼 태티서라는 집합과 소녀시대라는 집합은 어떤 관계가 있을까요?

부분집합

어떤 집합 A의 모든 원소가 다른 집합 B의 원소일 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 합니다.

따라서 태티서라는 집합의 모든 원소(태연, 티파니, 서현)가 소녀시대라는 집합의 원소이므로 집합 태티서는 집합 소녀시대의 부분집합이에요.

만약, 집합의 원소 중 단 한 개라도 다른 집합에 포함되지 않을 때는 부분집합이라고 할 수 없어요.

슈펴주니어-M이라는 유닛을 보죠. 슈퍼주니어-M을 집합이라고 한다면 멤버인 시원, 려욱, 규현, 동해, 헨리, 조미, 은혁, 성민은 원소라고 할 수 있어요. 그런데 이중 헨리와 조미는 슈퍼주니어의 멤버(원소)가 아니죠? 그래서 슈퍼주니어-M은 슈퍼주니어의 부분집합이라고 할 수 없어요.

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, C = {6, 7, 8, 9, 10, 11}

위 처럼 세 개의 집합이 있다고 해보죠.

집합 B의 원소인 0, 1, 2, 3, 4, 5는 집합 A에 모두 포함되어 있어요. 그래서 집합 B는 집합 A의 부분집합이라고 할 수 있어요. 집합 C의 원소 중 6, 7, 8, 9, 10은 집합 A에 다 들어있는데, 11이 들어있지 않아요. 집합 A에 포함되지 않은 11 때문에 집합 C는 집합 A의 부분집합이라고 할 수 없는 거죠.

위 내용을 벤다이어그램으로 표시하면 아래처럼 되겠군요.

부분집합의 표현

부분집합은 "포함하다. 들어있다."는 뜻을 가진 Contain이라는 단어의 첫 글자 C를 따서 ⊂라는 기호로 표시해요.

⊂의 벌어진 쪽에 더 큰 집합을 쓰고 닫힌 쪽에 작은 집합(포함되는 집합)을 써요.

"B는 A의 부분집합이다"는 B ⊂ A로 표시하죠.

위에서 C는 A의 부분집합이 아니었죠? 그럼 이건 기호로 어떻게 나타낼까요? 원소의 표시방법에서 원소가 아니다는 ∈에 선하나 그어서 로 나타낸다고 했죠. 여기서도 마찬가지로 ⊂에 선하나 그어서 로 나타내요.

따라서 "C는 A의 부분집합이 아니다"는 C  A로 나타내요.

원소의 개수에 따라 집합을 나눌 수 있어요. 무한집합, 유한집합, 공집합 이렇게요. 공집합은 유한집합의 한 종류죠.

그럼 집합의 원소의 개수를 어떻게 표시하는지 알아볼까요?

당연한 얘기지만 원소의 개수를 표시하려면 원소의 개수를 정확히 알아야 해요. 따라서 여기서 말하는 집합은 바로 유한집합이에요. 무한집합은 원소의 개수가 몇 개인지 모르니까 원소의 개수를 표시할 수 없잖아요.

집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)

집합의 원소의 개수 표시법

원소의 개수를 나타낼 때는 알파벳 소문자 n을 이용해요.

집합 A의 원소 개수는 n(A)이라는 기호로 나타냅니다. 앞에 n을 쓰고, 괄호 사이에 집합을 쓰는 거죠.

n(A) = 5 는 "집합 A의 원소는 다섯 개입니다."는 뜻이에요.

A 자리에는 집합이 들어가는 자리니까 집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램에 나온 것처럼 집합을 표현하는 거라면 어떤 것도 상관없어요. n({1, 2, 3, 4, 5})도 괜찮고, n({x|x는 5 이하의 자연수})도 괜찮아요.

B = {a, b, c}의 원소의 개수는 n(B) = 3으로 나타낼 수 있겠죠?

공집합 C의 원소의 개수를 나타내 볼까요? 공집합은 원소의 개수가 하나도 없잖아요. 원소의 개수가 0개니까 n(C) = 0으로 나타내요.

A = {x|x는 12의 약수}, B = {1. 2, 3, 4, 5}, C = 일 때, n(A) + n(B) + n(C)의 값은?

원소의 개수를 구하는 거니까 가능하면 원소나열법으로 표시하는 게 좋겠죠?

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}니까 n(A)= 6

n(B) = 5

C는 공집합 니까 n(C) = 0

따라서 n(A) + n(B) + n(C) = 6 + 5 + 0 = 11

이번 글에서는 집합의 종류에 대해서 알아보죠.

집합은 원소의 개수에 따라 유한집합, 무한집합으로 나눌 수 있어요. 중학교에서 유한소수와 무한소수를 공부한 적이 있죠? 이때 공부했던 유한, 무한이라는 용어와 뜻이 같으니까 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

그리고 조금 특별한 집합인 공집합에 대해서도 알아보죠.

유한집합

유한소수는 소수점 아래 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수를 말하죠? 여기서 유한은 끝이 있는, 셀 수 있는 걸 말해요. 유한집합에서의 유한도 같은 뜻이에요

원소의 개수를 셀 수 있으면 유한집합이라고 해요. 정확히 말하면 원소의 개수가 유한개인 것, 딱 정해진 거죠. 원소의 개수가 백 개든, 천 개든 상관없어요. 원소의 개수가 정해져 있으니까요.

{1, 2, 3, 4, 5}라는 집합의 원소 개수는 5개죠? 셀 수 있으니까 이 집합은 유한집합이에요.

{1, 2, 3, 4, 5, …, 9999, 10000}이라는 집합의 원소 개수를 알 수 있나요? 줄임표를 사용하긴 했지만, 원소는 1부터 10000까지의 자연수이므로 원소의 개수는 10,000개군요. 이 집합 역시 유한집합이네요

무한집합

유한집합과는 반대로 원소가 무수히 많아서 개수를 셀 수 없을 때, 그 집합을 무한집합이라고 해요.

{1, 2, 3, 4, 5, …}라는 집합의 원소는 끝이 없이 계속돼요. 1억에서 끝나는지 10억에서 끝나는지 모르잖아요. 그러니 당연히 원소를 개수를 셀 수 없겠죠.

줄임표가 있다고 해서 반드시 무한집합인 건 아니에요. 줄임표가 마지막에 있으면 무한집합이지만 원소의 사이에 있다면 유한집합이에요. {1, 2, 3, 4, 5, …, 9999, 10000}

공집합

좀 특이한 집합인데요.

공집합은 원소의 개수가 0인 집합이에요. 원소가 하나도 없다는 뜻이지요. 그럼 이 집합은 무한집합일까요? 유한집합일까요?

유한집합이에요. 원소의 개수가 0으로 유한개니까요. 원소의 개수를 정확히 알 수 있잖아요.

A = {x|x는 1보다 작은 자연수}라는 집합이 있다고 해보죠. 1보다 작은 자연수는 없으니까 집합 A의 원소는 하나도 없어요. 이때 이 집합 A를 공집합이라고 해요. 집합 A를 조건제시법으로 나타냈는데, 원소나열법으로 나타내면 어떻게 될까요? 원소가 없으니까 그냥 빈 칸인 A = {  }로 나타낼 수 있겠네요.

일반적으로 공집합은 원소나열법으로 표시하지 않아요. 원소나열법은 원소를 직접 적어서 표현하는 방법인데, 공집합은 표시할 원소가 없잖아요.

대신 공집합은 기호 로 표시하고 파이라고 읽습니다.

참고로 우리말로 하면 모두 파이라고 읽는데, [중등수학/중1 수학] - 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에서 썼던 원주율을 나타내는 π는 pi이고, 공집합을 나타내는 기호 는 phi예요.

정리해볼까요?

집합의 원소 개수에 따라 분류

유한집합: 원소의 개수가 유한개인 집합

무한집합: 원소의 개수가 무한히 많은 집합

공집합: 원소의 개수가 0인 집합 즉, 원소가 하나도 없는 집합. (파이)

지난 글에서 집합이란 무엇인지(집합의 뜻), 집합의 원소가 무얼 말하는지(집합에서 원소란?) 공부했죠? 이번 글에서는 집합을 표현하는 방법에 대해서 알아보죠.

먼저 약속할 게 하나 있는데요. 집합과 원소는 대게 로마자 알파벳으로 표시하는데 집합은 알파벳 대문자로, 원소는 알파벳 소문자로 표시해요.

집합을 표시할 때는 중괄호를 이용해요. 중괄호 표시가 있으면 따로 얘기하지 않아도 "아! 집합이구나"하고 알아야 해요.

집합의 표현방법은 크게 세 가지가 있는데요. 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램이에요.

집합의 표현방법 - 조건제시법

집합에서 조건은 아주 객관적이고 명확해야 한다고 했죠? 이렇게 객관적인고 명확한 조건을 적어서 집합을 나타내는 방법이 조건제시법이에요.

보기. A = {x|x는 12의 양의 약수}

"집합 A는 엑스 바 엑스는 12의 양의 약수다."고 읽어요.

알파벳 대문자 A는 집합의 이름이고, 중괄호를 양쪽에 표시해서 집합이라는 것을 나타냈어요.

중괄호 안은 바(|)를 기준으로 두 부분으로 나눌 수 있는데요. 앞부분의 x는 "집합 A는 x라는 원소로 되어있다."는 뜻이고요. 바 뒤에는 바 앞에 나왔던 원소 x의 조건을 적는데, 여기서는 "x는 12의 양의 약수"라는 조건을 적었지요. 종합해보면 "집합 A는 원소 x로 이루어진 집합인데, 이 x는 12의 양의 약수입니다."는 뜻이지요.

위를 종합해보면 "집합 A는 원소 x로 이루어진 집합인데, 이 x는 12의 양의 약수입니다."는 뜻이지요.

보통 조건 제시법에서는 x|x를 많이 써요. 그 외에도 a|a라고 할 수도 있고, b|b라고 할 수도 있지만 빼먹으면 안 돼요.
A = {12의 양의 약수}라고 쓰지 않아요.

B = {x|a는 20의 양의 약수}처럼 바 앞의 문자와 뒤의 문자가 다르게 적어도 안 돼요. 집합 B가 x라는 원소로 되어 있으면 x의 조건을 알려줘야 하는데 느닷없이 a의 조건을 알려주니까 집합 B의 원소를 알 수 없잖아요.

보통 조건제시법은 원소들의 공통된 특징이 있을 때 사용해요.

집합의 표현방법 - 원소나열법

원소는 집합을 구성하는 각각의 항목들이죠. 집합을 표시할 때 이 원소들을 죽 적어서 표현하는 것을 원소나열법이라고 해요.

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 이렇게요.

위 조건제시법과 달리 x|x 이 부분이 없이, 그냥 원소만 적어요.

이때 같은 원소를 여러 번 쓰지 않아요. 하나의 원소는 한 번만 씁니다. {1, 1, 2, 3, 4, 6, 12} 이렇게 쓰지 않아요.

또, 원소의 순서는 상관없어요. 그냥 막 쓰면 됩니다. {1, 12, 2, 6, 3, 4}처럼 써도 괜찮아요. 하지만 크기순처럼 일정한 규칙에 맞게 쓰는 게 알아보기 쉬우니까 가능하면 크기순대로 쓰는 게 좋겠지요.

때로 원소의 개수가 너무 많을 때는 줄임표를 사용하기도 해요.

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ……}
C = {1, 2, 3, 4, 5, …… , 99, 100}

원소나열법은 원소를 직접 쓰니까 원소를 파악하기 쉬운 장점이 있어요. 대신 원소의 개수가 많으면 원소를 일일이 다 쓰기 곤란하겠죠.

집합의 표현방법 - 벤다이어그램

쉽게 말하면 집합을 그림으로 표현하는 방법인데, 이 그림을 벤다이어그램이라고 불러요.

글로 표현된 원소나열법을 그림으로 표시하는 거예요. 동그라미나 네모 같은 도형을 그리고 그 안에 원소를 적는 적는 거죠.

어떤 내용을 그림으로 나타내면 내용을 이해하고 파악하기 쉬워요. 나중에 공부할 부분집합, 교집합, 합집합 등을 나타낼 때 아주 편리한 방법이에요.

A = {x|x는 12의 양의 약수}
A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

세 가지 모두 같은 집합을 서로 다른 표현법으로 나타낸 거예요. 다 같은 집합이라는 얘기죠.

그러니까 여러분은 하나의 집합을 세 가지 방법 표현할 줄 알아야 해요. 그리고 하나의 표현방법을 보고 다른 표현방법으로 나타낼 줄도 알아야 하고요.

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집합에서 원소란?

집합의 뜻에서 집합이라는 것에 대해서 알아봤어요. 집합이 뭐였죠? 객관적이고 명확한 기준이 있고, 그 기준에 맞는 분명한 대상의 모임이 바로 집합이라고 했어요.

이 글에서는 원소라는 걸 공부할 거예요. 원소가 무엇인지 그리고 집합과 어떤 관계가 있는지요. 또 집합과 원소의 관계를 기호를 이용해서 수학적으로 표현하는 방법도 알아볼 거고요. 집합과 원소의 관계를 기호로 표시할 줄 알아야 하고, 기호를 보고 둘 사이의 관계를 파악할 줄도 알아야 해요.

집합의 원소

집합에서 모임에 속한 기준에 맞는 대상들 하나하나를 바로 원소라고 합니다. 쉽게 말하면 집합을 구성하고 있는 구성원들이죠.

자, 레드벨벳이라는 집합이 있습니다. 레드벨벳이라는 집합은 아주 객관적이고 명확한 기준에 의해 정의할 수 있죠. 이 레드벨벳의 멤버는 아이린, 슬기, 웬디, 조이, 예리 총 5명이네요. 이 각 멤버가 레드벨벳이라는 집합의 원소인 거죠.

쯔위는 레드벨벳의 멤버가 아니죠. 그래서 쯔위는 레드벨벳이라는 집합의 원소가 아닙니다.

그럼 방탄소년단이라는 집합의 원소를 말해볼까요? 리더 RM, 슈가, 진, 제이홉, 지민, 뷔, 정국이군요.

실제 집합에서 가장 많이 사용하는 것 중 하나가 약수와 배수의 집합인데요. 예를 들어 12의 약수의 집합이 있다고 해보죠. 그럼 원소는 뭐가 될까요? 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 10은 12의 약수가 아니니까 이 집합의 원소가 아니군요.

2의 배수의 집합의 원소는 2, 4, 6, 8, 10, …… 이고요. 3과 5는 이 집합의 원소가 아니네요.

집합과 원소의 관계 표현

수학은 문장이나 성질 들을 기호로 표시해요. 집합은 알파벳 대문자로 표시하고 원소는 알파벳 소문자로 표시하죠.

집합과 원소의 관계를 표현하는 수학기호는 영어 알파벳 E와 비슷하게 생긴 ∈예요. ∈에서 벌어진 쪽에 집합을 쓰고, 닫힌 쪽에 원소를 적어요.

"숫자 2는 집합 A의 원소입니다."를 기호로 나타내면 2 ∈ A인 거죠. 물론 거꾸로 A ∋ 2로도 써도 돼요.

반대로 "원소가 아닙니다." 표시는 어떻게 할까요?

"2 + 3은 5와 같습니다."를 기호로 어떻게 표시하나요? 2 + 3 = 5죠? 그럼 "2 + 3은 6과 같지 않습니다."는요? 2 + 3 ≠ 6으로 표시하죠.

같다는 뜻을 가진 수학기호(등호, =)에 선을 그어서 "같지 않다"는 뜻을 나타내는 것처럼 집합과 원소에서도 같은 방법을 사용해요.

∈가 "원소입니다."는 뜻이라면 거기에 선 하나를 그어서 로 "원소가 아닙니다."고 하는 거죠.

5 A는 "5는 집합 A의 원소가 아닙니다."는 뜻이에요.

2 ∈ A, 5  A는 "2는 집합 A의 원소이고, 5는 집합 A의 원소가 아닙니다."라는 뜻이죠.

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