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중학교 2학년 때 공부했던 삼각형의 외심 기억하죠? 이번에는 삼각형 외심의 좌표를 구해볼까요?

삼각형 외심의 좌표는 2가지 방법으로 구할 수 있어요.

첫번째는 외심의 정의를 이용하는 방법이에요. 두번째는 외심의 성질을 이용하는 방법이고요.

삼각형 외심의 좌표 구하기 - 외심의 정의 이용

첫번째 외심의 정의를 이용해서 외심의 좌표를 구해보죠.

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이에요. 물론, 세 변의 수직이등분선을 다 구하지 않고, 두 변의 수직이등분선의 교점만 구해도 돼요.

여기서는 변의 수직이등분선이라는 게 결정적인 힌트에요. 일단 삼각형에서 두 변의 방정식을 각각 구하고, 이 두 변과 수직이등분선의 방정식을 구해서 이 두 방정식의 교점을 찾는 거예요. 어려워보이죠? 하지만 생각보다 더 어려울 거예요.

좌표 위에 세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 외심의 좌표를 구해보죠.

1단계, 두 변의 방정식을 각각 구해야하는데, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 공식을 이용해서 구할 수 있어요.

$$ \overline{AB}의 방정식: y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})\\ 중점: \left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \right)$$ $$ \overline{BC}의 방정식: y - y_{2} = \frac{y_{3} - y_{2}}{x_{3} - x_{2}} (x - x_{2})\\ 중점: \left( \frac{x_{2} + x_{3}}{2}, \frac{y_{2} + y_{3}}{2} \right)$$

2단계, 각 변의 수직이등분선의 방정식을 구해보죠.

$\overline{AB}$의 방정식과 중점을 구했으니, 여기에 수직이등분선의 직선의 방정식을 구할 수 있죠? 두 직선이 서로 수직이면 기울의 곱 = -1이에요. $$ \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \times 기울기 = -1\\ 기울기 = - \frac{x_{2} - x_{1}}{y_{2} - y_{1}}$$

이 직선은 $\overline{AB}$의 중점을 지나니까 기울기와 한 점의 좌표를 알 때 직선의 방정식 구하는 공식으로 구할 수 있어요.

$$ y - \frac{y_{1} + y_{2}}{2} = - \frac{x_{2} - x_{1}}{y_{2} - y_{1}} \left( x - \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)$$

같은 방법으로 $\overline{BC}$의 수직이등분선의 방정식을 구할 수 있죠?

$$ \frac{y_{3} - y_{2}}{x_{3} - x_{2}} \times 기울기 = -1\\ 기울기 = - \frac{x_{3} - x_{2}}{y_{3} - y_{2}}$$

이 직선은 $\overline{BC}$의 중점을 지나요.

$$ y - \frac{y_{2} + y_{3}}{2} = - \frac{x_{3} - x_{2}}{y_{3} - y_{2}} \left( x - \frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)$$

3단계, 연립방정식을 이용해서 이 두 직선의 교점을 구하면 바로 외심의 좌표예요.

이 이후의 과정은 너무 복잡하니까 그냥 구하지 말죠. 아무튼 순서를 잘 기억하세요.

1. 삼각형의 두 꼭짓점을 이용해서 변의 방정식과 중점을 구한다. × 2
2. 각 변의 수직이등분선의 방정식을 구한다.
3. 연립방정식을 이용하여 ②에서 구한 수직이등분선의 교점의 좌표를 구한다.

삼각형 외심의 자표구하기 - 외심의 성질 이용

두 번째 방법은 삼각형 외심의 성질을 이용하는 방법이에요.

삼각형 외심의 성질은 무엇이었나요? 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같잖아요. 그러니까 외심의 좌표를 점O(x, y)라고 놓고, 좌표평면에서 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$ 를 구하는 거죠.

A = B = C꼴의 연립방정식이니까 A = B or B = C or C = A 중 2개를 골라서 연립방정식을 만들고 풀면 돼요.

진짜로 풀지는 말고, 그 방법만 알고 있으면 돼요.

결과는 이거예요. 심심하면 외워보세요.

$$x = \frac{ (x_1^2 + y_1^2)(y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2)(y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2)(y_1 - y_2) }{ 2 \cdot (x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))}\\\\ y = \frac{ (x_1^2 + y_1^2)(x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2)(x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2)(x_2 - x_1) }{ 2 \cdot (x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))}$$

하나의 삼각형을 작도할 수 있는 경우가 세 가지 있어요. 특정한 조건이 주어지면 다른 삼각형은 그릴 수 없고 단 하나의 삼각형만 그릴 수 있는 경우요.

삼각형을 작도할 수 있는 조건은 삼각형을 그리는 데 뿐 아니라 다음에 공부할 삼각형의 합동에서도 아주 중요하니까 꼭 기억해야 해요.

삼각형은 변이 3개, 각이 3개예요. 그래서 변의 길이와 각의 크기 중 섞어서 3개를 알면 삼각형을 그릴 수 있어요.

• 변의 길이 3개
• 변의 길이 2개와 각의 크기 1개
• 변의 길이 1개와 각의 크기 2개

각의 크기 3개를 알 때도 삼각형을 그릴 수는 있는데, 딱 하나의 삼각형을 그리는 게 아니라 여러 삼각형을 그릴 수 있어서 이건 제외해요.

• 세 변의 길이를 알 때
• 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때
• 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때

세 가지 중에 첫 번째는 세 변의 길이를 알 때예요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 삼각형을 그릴 수 있어요. 세 변의 길이만큼 컴퍼스를 벌려서 원을 그리고 그 교점들을 연결하면 돼요.

주의해야 할 건 세 변의 길이를 알고 있다고 해서 무조건 삼각형을 그릴 수 있는 게 아니에요.

가장 긴 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형을 그릴 수 없어요. 예를 들어 세 변의 길이가 1cm, 2cm, 100cm라면 삼각형을 그릴 수 없는 거죠. 마찬가지로 1cm, 2cm, 3cm면 삼각형을 그릴 수 없어요.

세 변의 길이를 줬을 때 길이가 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변 길이의 합보다 작아야 삼각형을 그릴 수 있어요. 이거 중요하니까 잊으면 안돼요. 1cm, 2cm, 2.999cm는 삼각형을 그릴 수 있어요.

두 번째는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때예요. 두 변의 길이를 알려준다고 했잖아요. 끼인각은 그 두 변이 만나서 생기는 각이에요. 다른 각은 안돼요. 꼭 길이를 알려준 두 변이 만나서 생기는 각이어야 해요. 이때는 끼인각을 먼저 그려요. 그다음 각 변의 길이만큼만 남기는 거예요.

마지막은 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때예요. 한 변을 긋고 양쪽에 주어진 각과 크기가 같은 각을 넣으면 삼각형을 그릴 수 있어요.

삼각형의 작도

세 변의 길이를 알 때

삼각형을 작도하는 첫 번째는 세 변의 길이를 알 때예요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 그릴 수 있어요.

1. 길이가 같은 선분의 작도에 나온 방법대로 한 변을 그려요. $\overline{AB}$라고 할게요.
2. $\overline{AB}$의 한쪽 끝 점 A에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
3. $\overline{AB}$의 반대쪽 끝 점 B에 바늘을 놓고 마지막 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
4. ②와 ③의 교점 점 C에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 돼요.

두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때

삼각형을 작도하는 두 번째는 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때예요.

끼인각을 먼저 그려야 하는데, 크기가 같은 각의 작도에 있는 방법대로 알려준 각과 크기가 같은 각을 그려요. ∠POQ라고 해보죠.
1. 점 O에 바늘을 놓고 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이때 원과 $\overline{OQ}$가 만나는 교점을 점 B라고 할게요.
2. 다시 점 O에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이 원과 $\overline{OP}$가 만나는 교점을 점 A라고 할게요.
3. 점 A와 점 B를 연결하면 △AOB가 생겨요.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

삼각형의 작도 마지막은 한 변의 길이와 양 끝각를 알 때예요.

1. 길이가 같은 선분의 작도에 나온 방법대로 한 변을 그려요. $\overline{AB}$라고 해보죠.
2. $\overline{AB}$의 한쪽 끝 점 A에 미리 알려준 크기의 각을 크기가 같은 각의 작도의 방법으로 그려요. 이때 선분을 충분히 길게 그려요. 이 선분을 $\overline{AP}$라고 하죠.
3. $\overline{AB}$의 반대쪽 끝 점 B에 알려준 다른 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 $\overline{BQ}$라고 하고 $\overline{BQ}$와 $\overline{AP}$의 교점을 점 C라고 해보죠.
4. ②와 ③의 교점 C에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 생겨요.

삼각형의 중선에 이어서 삼각형의 무게중심이라는 걸 공부합니다. 삼각형의 내심, 외심과 달리 삼각형의 중선이 한 점에서 만나는 이유에 대한 내용이 빠져있어서 이 글에서 추가로 설명합니다. 삼각형의 외심, 내심은 합동인 삼각형을 이용해서 증명했는데, 삼각형의 중선이 한 점에서 만나 삼각형의 무게중심이 되는 이유는 닮음인 삼각형을 이용해서 증명합니다.

이 글에는 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유만 설명되어 있으므로 삼각형의 중선과 삼각형의 무게중심에 대한 더 자세한 내용은 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선을 참고하세요.

삼각형의 중선이 한 점에서 만나는 이유를 이해하려면 삼각형의 중점 연결 정리에 대해 알고 있어야 합니다. 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유를 증명하는 내용은 무게중심의 성질을 설명하는 내용과 거의 비슷하니까 잘 이해할 수 있을 거예요.

삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유

△ABC에서 의 중점을 점 F, 의 중점을 점 E라고 해보죠. 점 B와 점 E를 연결한 와 점 C와 점 F를 연결한 가 만나는 점을 점 M이라고 하고요.

와 는 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 따라 가 됩니다.

△MEF와 △MBC를 보세요.

∠MEF = ∠MBC (이므로 평행선에서 엇각)
∠MFE = ∠MCB (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △MEF ∽와 △MBC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠. 따라서 점 M은 를 2 : 1로 나누는 점이에요. (※ 고등학교에 가면 선분의 내분점이라는 걸 공부하는데, 여기서는 그냥 선분을 나누는 점이라는 정도만 알고 있으면 됩니다.)

이번에는 △ABC에서 의 중점을 점 F, 의 중점을 점 D라고 해보죠. 점 A와 점 D를 연결한 와 점 C와 점 F를 연결한 가 만나는 점을 점 N이라고 하고요.

와 는 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 따라 가 됩니다.

△NDF와 △NAC를 보세요.

∠NDF = ∠NAC (이므로 평행선에서 엇각)
∠NFD = ∠NCA (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △NDF ∽와 △NAC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠. 따라서 점 N은 를 2 : 1로 나누는 점이에요.

를 2 : 1로 나누는 점이 점 M과 점 N 두 개가 있죠? 이 두 점 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

중점은 선분의 두 점 사이의 거리를 절반으로 나누는 점이에요. 이때 두 점과 중점 사이의 거리의 비는 1 : 1이죠? 한 선분에서 중점은 하나밖에 없죠? 그럼 선분의 두 점 사이의 거리를 2 : 1로 나누는 점은 몇 개가 있을까요? 이것도 마찬가지로 하나밖에 없어요. 따라서 를 2 : 1로 나누는 점인 점 M과 점 N은 같은 점이죠.

와 가 한 점 M에서 만나고, 와 가 한 점 N에서 만나는 데 이 두 점 M과 N이 서로 같은 점이므로 삼각형 △ABC의 세 중선 , , 는 한 점에서 만나요.

그리고 삼각형의 세 중선이 만나는 점을 삼각형의 무게중심 G라고 하는데, 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선에 더 자세히 소개되어 있습니다.

삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다.

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사인법칙, 제1 코사인법칙, 제2 코사인법칙을 서로 비교해서 특징과 차이를 총정리하는 시간을 가져볼게요.

공식을 외우는 건 어쩌면 그리 어려운 건 아닐 거예요. 그런데 어떤 조건이 있을 때 어떤 공식을 사용해야 하는지는 무척 헷갈리죠. 어차피 삼각형이야 변의 길이, 각의 크기를 알려주고 알려주지 않은 나머지 변의 길이와 각의 크기를 구하는 거라서 문제에서 주는 정보가 다 거기서 거기거든요.

이 글에서는 세 가지 공식을 한 번 더 정리해보고 어떤 경우에 어떤 공식을 사용해야 하는지까지 알아보죠.

사인법칙, 코사인법칙 총정리

일단 각 법칙을 다시 한 번 써보고 어떤 특징이 있는지 알아봐요.

사인법칙

△ABC의 외접원의 반지름을 R, 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때

를 보죠. 두 각의 크기(A, B)와 두 변의 길이(a, b) 총 네 가지 항목으로 되어 있어요. 두 각 A, B의 크기를 알면 다른 한 각 C의 크기도 구할 수 있죠?

a, B, C를 알 때 삼각형 내각의 합은 180°니까 A를 알 수 있고 이를 이용해서 b를 구할 수 있어요. b, A, C를 알 때는 B를 알 수 있고 이를 이용해서 a를 구할 수 있고요. 이건 한 변의 길이와 그 양 끝각을 알 때로 정리할 수 있죠.

또, a, b와 A를 알 때 B를 구할 수 있어요. a, b, B를 알 때 A를 구할 수도 있죠. 이건 두 변의 길이와 끼인각이 아닌 다른 각의 크기를 알 때로 정리할 수 있어요.

제1 코사인법칙

△ABC의 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때

• a = bcosC + ccosB
• b = ccosA + acosC
• c = acosB + bcosA

첫 번째 a = bcosC + ccosB를 보죠. 두 각의 크기(B, C)와 세 변의 길이(a, b, c) 총 다섯 가지 항목으로 되어 있어요.

기본적으로 b, c, B, C를 알 때 a를 구할 수 있어요. 두 변의 길이와 두 대각의 크기를 알 때에요.

a, b, c, B를 알 때 C를 구할 수 있어요. 세 변의 길이와 한 각의 크기를 알 때죠.

제2 코사인법칙

• a² = b² + c² - 2bccosA
• b² = c² + a² - 2cacosB
• c² = a² + b² - 2abcosC

첫 번째 a² = b² + c² - 2bccosA를 보죠. 한 각의 크기(A)와 세 변의 길이(a, b, c) 총 네 가지 항목으로 되어 있어요.

b, c, A를 알면 a를 구할 수도 있죠. 이건 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때로 정리할 수 있죠.

a, b, c를 알면 A를 구할 수 있어요. 세 변의 길이를 알 때로 정리할 수 있어요.

사인법칙, 코사인법칙의 비교

세 가지 법칙을 봤는데 그 공식만 봐도 어떤 경우에 어떤 값을 구할 수 있는지 알 수 있어요. 이걸 다시 한 번 정리해보죠.

사인법칙, 코사인법칙 정리

	공식	사용
사인법칙		한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때 두 변의 길이와 끼인각이 아닌 각의 크기를 알 때
제1 코사인법칙	a = bcosC + ccosB b = ccosA + acosC c = acosB + bcosA	두 각의 크기와 두 대변의 길이를 알 때 세 변의 길이와 한 각의 크기를 알 때
제2 코사인법칙	a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = c2 + a2 - 2cacosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC	두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 세 변의 길이를 알 때

삼각형의 합동조건과 비교해서 외우면 좋아요. SSS, SAS, ASA

SSS, SAS → 제2 코사인법칙
ASA, SSA → 사인법칙 (∵ SSA는 합동조건은 아니고 두 변과 끼인각이 아닌 각을 외우기 위한 팁정도로 생각하세요.)
ASSA, SSSA → 제1 코사인법칙

사인법칙과 제2 코사인법칙은 세 가지만 알고 있으면 다른 하나를 구할 수 있어요. 제1 코사인법칙은 네 가지 조건을 알고 있을 때 다른 하나를 구할 수 있고요. 문제에서 조건을 충분히 알려주는 경우는 많지 않으니까 사인법칙, 제2 코사인법칙보다 제1 코사인법칙을 사용하는 경우는 더 적죠. 그래서 제1 코사인법칙을 사용하는 조건은 굳이 외우지 않아도 상관없어요.

다음을 구하여라.
(1) △ABC에서 A = 30°, B = 60°, c = 3cm일 때, a, b, C를 구하여라.
(2) △ABC에서 a = 2cm, b = 3cm, C = 60°일 때, c를 구하여라.

(1)번은 한 변의 길이와 양끝각의 크기를 알려줬어요. 사인법칙을 이용해서 구할 수 있다는 뜻이죠.

삼각형에서 두 내각의 크기를 알면 나머지 한 내각의 크기도 구할 수 있죠? C = 180° - (30° + 60°) = 90°

(2)번은 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알려줬어요. 제2 코사인법칙을 이용해서 구할 수 있다는 얘기에요.

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내접원은 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질에서 공부했어요. 여기서는 내접원의 성질이나 내심과 관련된 내용이 중요한 건 아니니까 내심이 잘 기억나지 않는다고 해서 겁내지 마세요. 이 글에서 필요한 건 내접원은 그냥 삼각형의 안쪽에 접한다는 것과 내심에서 각 변에 이르는 거리가 같다는 정도니까요.

하지만 삼각형의 외심과 내심은 아주 중요한 내용이니까 나중에라도 꼭 확인하고 이해할 수 있도록 하세요.

삼각형의 내접원과 접선의 길이를 이용해서 삼각형 둘레의 길이와 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 알아보죠.

삼각형의 내접원

삼각형의 내접원을 이용해서 삼각형 둘레의 길이와 넓이를 구할 수 있어요.

삼각형의 둘레의 길이 = a + b + c = 2(x + y + z)

삼각형 세 변의 길이가 a, b, c라면 둘레의 길이는 a + b + c에요.

원의 접선의 길이에서 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다고 했죠? 위 그림에서는 삼각형의 각 꼭짓점이 원 밖의 한 점에 해당해요. 각 꼭짓점에서 원에 접선을 그었을 때 접점이 바로 점 D, 점 E, 점 F가 되는 거죠.

접선의 길이를 각각 x, y, z라고 했을 때
a = y + z
b = z + x
c = x + y
a + b + c = 2(x + y + z)입니다.

삼각형의 넓이 = r(a + b + c)

원의 중심 O에서 세 꼭짓점으로 선을 그으면 세 개의 삼각형으로 나뉘어요. △OAB, △OBC, △OCA

△ABC = △OAB + △OBC + △OCA

각각의 삼각형 넓이는 각 변을 밑변으로 하고, 내접원의 반지름을 높이로 하면 구할 수 있죠? 원의 중심에서 접점에 내린 반지름은 각 변에 수직이니까요. (원의 접선의 성질)

△OAB = cr

△OBC = ar

△OCA = br

△ABC = △OAB + △OBC + △OCA
        = cr + ar + br

        = r(a + b + c)

다음 그림에서 △ABC는 ∠B = 90°인 직각삼각형이고, 원 O는 △ABC의 내접원, 각 변의 접점이 D, E, F일 때 물음에 답하여라.
(1) 의 길이를 구하여라.
(2) 원의 넓이를 구하여라.

(1)  = x라고 해보죠. 원 밖의 한 점에서 내린 두 접선의 길이는 같기 때문에, 꼭짓점과 접점 사이의 거리는 아래처럼 표현할 수 있어요.

빗변 = (12 - x) + (9 - x) = 15
2x = 6
x = 3(cm)

(2) □ODBE를 보세요(원의 중심이 O입니다.) 이 사각형은 이웃한 두 각의 크기의 합이 180° (∠DBE + ∠OEB)이므로 평행사변형이에요. 평행사변형은 대변의 길이가 같으니까 x = 3cm이면 대변인 반지름 r = 3cm가 되지요.

사실 이 □ODBE는 정사각형이에요. 자세한 건 사각형의 정의와 성질, 조건를 참고하세요.

내접원의 반지름의 길이가 3cm이니까 넓이는 πr² = 9π(cm²)

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삼각형의 중점 연결 정리입니다.

중점이 뭔지는 알죠? 정리가 뭔지도 알고요. (수학에서의 정의, 정리, 증명)

삼각형의 중점 연결 정리는 이름 그대로 삼각형에서 각 변의 중점을 연결했더니 어떤 특징이 있는데, 그 특징을 다른 여러 곳에 쓸 수 있는 거지요.

다른 내용과 달리 두세 개의 삼각형에 선을 여러 개 그어서 문제가 좀 복잡하게 나오기 때문에 기본을 잘 알고 있어야 하는 내용입니다.

삼각형의 중점 연결 정리

삼각형의 중점 연결 정리를 말로 표현하면 삼각형의 두 변의 길이의 중점을 연결한 직선은 나머지 한 변과 평행하고, 길이는 그 절반이라는 거예요.

그림으로 표현하면 훨씬 더 이해하기 쉬울 거예요.

왼쪽 그림을 보세요.

점 M은 의 중점, 점 N은 의 중점이에요.

△ABC와 △AMN에서 의 비가 성립하고, ∠A는 공통이에요. 따라서 두 삼각형은 SAS 닮음이에요. △ABC ∽ △AMN

두 삼각형이 닮음이면 대응각의 크기가 같죠? (닮은 도형의 성질) ∠ABC = ∠AMN, ∠ACB = ∠ANM으로 동위각의 크기가 같으므로 평행선의 성질에 의해 예요. 또 다른 한 대응변에서도 2 : 1의 비가 성립하죠.

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

삼각형의 양쪽 변의 중점을 연결한 선분은 다른 한 변과 평행하고, 길이는 그 절반이죠. 따라는 x는 16cm입니다.

삼각형의 중점 연결 정리의 역

이번에는 위 정리의 역이에요. 명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역에서 역은 명제의 가정과 결론의 자리를 바꾸는 거라고 했어요.

명제: 삼각형에서 두 변의 중점을 연결한 직선은 나머지 한 변과 평행하고 길이는 그 절반이다.
역 : 삼각형에서 한 변과 평행하고 길이가 절반인 직선은 다른 두 변의 중점을 연결한 선이다

명제와 역이 위처럼 되어야 맞지요? 그런데, 이 삼각형의 중점 연결 정리의 역은 좀 달라요. 내용은 같지만 표현을 다르게 해요. 삼각형에서 한 변의 중점을 지나고 다른 한 변과 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.

두 역 사이에 어떤 차이가 있나요? 한 변의 중점을 지난다는 얘기가 추가되었고, 길이가 절반이라는 내용이 빠졌어요. 잘 이해하셔야 해요.

왼쪽 그림을 보세요.

△ABC와 △AMN에서 이므로 ∠ABC = ∠AMN, ∠ACB = ∠ANM이에요. 두 대응각의 크기가 같으니까 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △ABC ∽ △AMN

두 삼각형이 닮음이면 대응변의 길이의 비가 같아요. 이므로 이죠. 따라서 이 됩니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2의 내용을 이용해도 이 증명되죠.

다음 그림을 보고 x, y를 구하여라.

△ABC에서 이에요. 한 변의 중점을 지나고 다른 변과 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지나므로 입니다. y = 10cm네요.

∠ABC = ∠DNC = 90° →
→ N이 의 중점

한 변의 중점을 지나는 선이 다른 변과 평행이므로 삼각형 중점 연결정리의 역에 의해 점 D도 의 중점이에요. 그런데 그림에서 이죠.

따라서 중점 연결정리에 의해 이죠. 따라서 x = 10cm입니다.

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삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 두 번째입니다. 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서는 평행선을 그었을 때 생기는 새로운 삼각형과 원래 삼각형이 닮았다는 걸 중심으로 해서 각 길이의 관계를 알아봤는데요.

이 글에서는 새로운 삼각형과의 관계가 아니라 다른 내용의 길이의 비에 관한 내용이에요.

두 내용에 차이가 있으니까 잘 구별하세요.

이 글의 내용도 마찬가지로 공식으로 외우기보다는 그림으로 외워야 합니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2

△ABC에서 밑변에 평행한 선을 그어요. 그러면 두 부분으로 나뉘죠? 보라색 변의 길이 비는 파란색 변의 길이 비와 같아요.

증명해볼까요?

△ABC에서 와 평행한 선을 그어서 와 만나는 점을 점 D, 와 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고 와 평행하고, 점 E를 지나는 선을 그어요. 와 만나는 점을 점 F라고 하면 △EFC가 생기죠? 이 삼각형과 △ADE의 관계를 알아봐요.

∠ADE = ∠ABC = ∠EFC (평행선에서 동위각)

∠AED = ∠ECF (평행선에서 동위각)

두 각의 크기가 같으므로 △ADE ∽ △EFC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이니까 길이의 비에 관한 식을 세울 수 있어요. 

□DBFE는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이에요. 평행사변형의 성질에 따라 대변의 길이는 같으므로 죠. 이걸 위 비례식에 대입하면 가 성립함을 알 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

6 : 3 = 8 : x이므로
x = 4 (cm)

이번에는 △ABC에서 밑변의 평행선을 꼭짓점보다 더 위에 그렸을 때에요. 삼각형 한 변의 길이와 연장선 길이의 비 사이의 관계죠. 이 그림에서도 마찬가지로 파란색 선과 보라색 선 사이에 길이의 비가 성립해요.

증명해 볼까요?

△ABC에서 점 A위에 와 평행한 선을 그어서 의 연장선과 만나는 점을 점 D, 의 연장선과 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고 점 D를 지나고 에 평행한 선을 긋고, 의 연장선과 만나는 점을 점 F라고 해보죠. △ADE와 △DBF의 관계를 알아볼 거예요.

∠ADE = ∠DBF (평행선에서 엇각)
∠AED = ∠DFB (평행사변형에서 대각)

두 각의 크기가 같으므로 △ADE와 △DBF는 AA 닮음이에요. △ADE ∽ △DBF

변의 길이를 이용해서 비례식을 세워보죠.

□EDFC는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이에요. 평행사변형의 성질에 따라 대변의 길이는 같으므로 죠. 이걸 위 비례식에 대입하면 가 성립함을 알 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

삼각형의 한 변의 길이와 그 연장선 사이의 비가 같으므로,

x : 12 = 6 : 9
x = 8 (cm)

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직각삼각형에서의 닮음에서는 직각삼각형에 수선을 내려서 각 직각삼각형의 관계를 알아봤어요. 이제는 삼각형에 평행선을 그어서 생기는 두 삼각형의 관계에 대해서 알아볼 거예요.

여기서도 마찬가지로 공식이 나올 건데, 그림으로 외우세요. 증명하고, 선분 이름 쓰고 하는 것 보면 정말 어려워 보이지만 그림으로 보면 별거 아니에요.

문제도 그다지 어렵게 나오는 부분은 아니니 크게 걱정할 필요도 없고요.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비는 두 부분으로 나눠서 올립니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

△ABC에서 에 평행한 선을 그어요. 그러면 아래 세 경우처럼 삼각형 안과 밖, 그리고 점 A의 위쪽에 그을 수 있죠.

에 평행한 선과 (또는 의 연장선)이 만나는 점을 점 D, 평행선과 (또는 의 연장선)이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.

△ABC와 △ADE가 생기는데, 이 두 삼각형 사이의 관계를 알아볼 거예요. 세 경우 모두에서 똑같으니까 한꺼번에 설명할게요.

첫 번째, 두 번째 그림에서  // 이므로 ∠ADE = ∠ABC(동위각), ∠AED = ∠ACB(동위각 - 평행선에서 동위각과 엇각), ∠A는 공통이에요. AA 닮음이죠.

세 번째 그림에서는  // 이므로 ∠ADE = ∠ABC(엇각), ∠AED = ∠ACB(엇각), ∠A는 맞꼭지각이라서 마찬가지로 AA 닮음이에요.

△ABC ∽ △ADE (AA 닮음)

닮음인 도형에서 각 길이의 비는 모두 같으므로 인 관계가 성립합니다.

여기서 가운데 항인 밑변 부분을 빼면 아래 그림처럼 나타낼 수 있어요. 식으로 외우기보다는 그림으로 외우세요. 알파벳으로 외우는 건 안돼요. 파란색 부분끼리, 보라색 부분끼리 변의 길이의 비가 같아요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

삼각형의 밑변에 평행한 선을 그어서 생기는 삼각형과 원래 삼각형은 닮음이에요.

△ABC ∽ △ADE (AA 닮음)

6cm : 9cm = 8cm : xcm
6x = 72
x = 12 (cm)

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닮은 도형에 대해서 공부하고 있어요. 어떤 도형을 닮은 도형이라고 하는지, 어떤 성질이 있는지, 어떤 위치에 있는지요. 이 글에서는 닮음비를 알려주지 않았을 때, 두 삼각형이 닮은 도형이 되려면 어떤 조건을 갖춰야 하는지 알아보죠.

먼저, 삼각형의 닮음 조건은 삼각형의 합동조건과 같아요. 아주 작은 차이만 있어요. 이 차이는 쉽게 이해할 수 있을 겁니다. 참고로 삼각형의 합동조건은 삼각형의 작도 조건과도 같으니까 꼭 알고 있어야 하는 조건이에요. 앞으로도 계속 나와요.

삼각형의 닮음 조건

먼저 삼각형의 합동 조건부터 얘기해볼까요? 세 가지가 있죠?

• SSS 합동: 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때
• SAS 합동: 두 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때
• ASA 합동: 한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 양 끝각의 크기가 같을 때

합동은 두 도형의 닮음비가 1 : 1일 때에요. 비가 1 : 1이니까 대응변의 길이가 같겠죠? 그런데 닮음은 1 : 1이 아닌 경우도 있으니까 대응변의 길이가 달라요. 대신 대응변의 길이의 비가 같죠. 따라서 삼각형의 닮음 조건은 삼각형의 합동조건에서 "길이가 같다."를 "길이의 비가 같다."로 바꾸면 돼요.

또 한 가지 차이가 있는데요. 삼각형은 각이 세 개고 내각의 합은 180°죠? 두 삼각형에서 두 쌍의 대응각 크기가 같으면 자동으로 나머지 한 쌍의 대응각 크기도 같아서 결국 세 쌍의 대응각 크기가 다 같아요. 세 쌍의 대응각의 크기가 같으면 닮은 도형이잖아요. 따라서 세 번째 ASA에서 두 쌍의 대응각의 크기만 같으면 돼요. 한 쌍의 대응변의 길이의 비가 같은지는 굳이 확인하지 않아도 된다는 거죠. 두 쌍의 대응각의 크기만 같으면 되니까 ASA 닮음이 아니라 AA 닮음이라고 해요.

다음 그림에서 이다. 보기와 같은 조건이 추가될 때 두 삼각형은 어떤 닮음인지 닮음 조건을 말하여라.
(1)
(2) ∠C = ∠F

문제에서 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 한 쌍의 대응각의 크기가 같다고 했네요. 그런데 이 대응각이 길이의 비가 같은 대응변 사이의 끼인각은 아니네요.

(1) 번에서 한 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다는 조건이 추가된다면 결국 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같아지므로 두 삼각형은 SSS 닮음이 됩니다.

또, 이고 ∠A = ∠D로 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로 SAS 닮음도 되네요.

(2) 번에서 한 쌍의 대응각의 크기가 같다는 조건이 나왔어요. 이 대응각은 길이의 비가 같은 두 쌍의 대응변 사이의 끼인 각이 아니죠. 따라서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로 AA 닮음입니다.

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일반삼각형에서 세 변의 길이를 구하는 방법을 알아보죠.

그런데 아무 삼각형이나 세 변의 길이를 구할 수 있는 게 아니에요. 몇 가지 조건이 있어야 해요. 삼각형의 세 가지 합동조건 알고 있죠?. 세 변의 길이가 같을 때, 두 변과 그 끼인 각이 같을 때, 한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때지요.

일반삼각형에서 세 변의 길이를 구할 수 있는 조건도 같아요. 그중 하나인 세 변의 길이를 알 때는 문제의 목적에 맞지 않으니까 나머지 두 개의 조건만 있으면 되겠죠? 두 변의 길이와 끼인 각을 알 때, 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때요.

직각삼각형 변의 길이를 구할 때와 마찬가지로 각의 크기를 안다는 건 그 각의 삼각비를 안다는 거에요.

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

두 변의 길이를 알고 있으니까 나머지 의 길이만 구하면 되겠네요.

삼각형의 높이와 넓이에서 했던 방법과 비슷해요. 제일 먼저 삼각형의 한 점에서 수선을 내려서 두 개의 직각삼각형으로 나누어야 해요.

이때 어떤 점에서 수선을 내릴 것인지가 중요한데요. 여러 가지로 표현할 수 있겠지만, 길이를 아는 한 변과 크기를 아는 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내리면 돼요. 여기서는 점 A와 점 C 둘 중 아무 데서나 대변으로 수선을 내려도 되는 거지요.

점 A에서 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 할게요. ∠B와 가 한 삼각형 안에 포함되었죠?

△ABH와 △ACH가 생겼어요.

△ABH에서

△ACH에서
 가 됩니다.

△ACH에서 높이와 밑변의 길이를 구했으므로 빗변인 의 길이는 피타고라스의 정리로 구할 수 있어요.

이거는 공식 아니에요. 외울 필요가 없어요. 구하는 과정만 잘 이해하면 됩니다.

1. 길이를 아는 한 변과 크기를 아는 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그어 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
2. 삼각비를 이용하여 작은 직각삼각형의 높이와 밑변의 길이를 구한다.
3. 다른 작은 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용하여 빗변의 길이를 구한다.

다음 △ABC에서 a = 8cm, c = 5cm, ∠B = 60°일 때 의 길이를 구하여라.

두 변의 길이와 그 사이의 끼인각의 크기를 알려줬네요.

길이를 알려준 변과 크기를 알려준 각이 한 직각삼각형이 되도록 수선을 그어보죠. 점 A에서 대변으로 그었더니 아래 그림처럼 되었어요.

△ABH에서
 

의 길이를 구했으니까 △ACH에 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때에요. 길이를 구해야하는 변이 두 개네요.

여기서 제일 먼저 해야 할 게 있어요. 두 개의 각의 크기를 알려줬어요. 삼각형 내각의 합은 180°에요. 이 걸 이용하면 다른 한 내각의 크기도 알 수 있겠죠? ∠A = 180° - (∠B + ∠C)이죠. 결국, 두 개의 각의 크기를 알려줬다는 건 세 개 모두 알려준 거나 마찬가지에요.

이번에도 마찬가지로 보조선을 그어서 두 개의 직각삼각형으로 나눠야해요. 방법은 위와 같아요. 길이를 아는 변과 크기를 아는 한 각이 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그으면 됩니다.

점 C에서 대변으로 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. ∠B와 가 한 직각삼각형안에 포함되었네요.

△BCH와 △ACH가 생겼어요.

△BCH에서

△ACH에서
 

일단, 한 변의 길이를 구했어요.

이제 점 C가 아닌 점 B에서 대변으로 수선을 내려서 위와 같은 방법으로 구하면 다른 한 변의 길이도 구할 수 있어요.

1. 삼각형 내각의 합을 이용하여 알려주지 않는 한 내각의 크기를 계산한다.
2. 길이를 아는 변과 크기를 아는 한 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그어 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
3. 삼각비를 이용하여 삼각형에서 높이를 구한다.
4. 다른 작은 직각삼각형에서 삼각비를 적용하고 3에서 구한 높이를 대입하여 빗변의 길이를 구한다.
5. 2 ~ 4의 과정을 다시 반복

다음 △ABC에서 의 길이를 구하여라.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알려줬네요. 삼각형의 내각의 합을 이용해서 다른 한 각의 크기도 알 수 있죠? 180° - (75° + 45°) = 60°에요.

크기를 알려준 한 각과 길이를 알려준 한 변이 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내려보죠. 점 A에서 수선을 내려볼게요.

△ACH에서

△ABH에서

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평행사변형에 대해서 공부하고 있는데요. 이번에는 평행사변형의 넓이에 대해서 알아볼 거예요.

평행사변형도 사각형이니까 넓이를 구하는 건 알고 있을 거예요.

여기서는 평행사변형을 여러 개의 삼각형으로 나누고, 그 삼각형들의 넓이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 또 그 삼각형들의 넓이와 평행사변형의 넓이 사이의 관계도 알아볼 거고요.

삼각형의 넓이를 비교할 때, 평행사변형의 성질을 이용하니까 앞의 내용에 대한 이해가 있어야 해요.

평행사변형과 넓이

대각선을 하나만 그었을 때

평행사변형 □ABCD에 대각선을 하나 그으면 아래 그림처럼 두 개의 삼각형으로 나뉘어요. 두 삼각형의 넓이를 알아보죠.

평행사변형의 성질에서 두 대변의 길이가 각각 같다고 했으니,  = 입니다. △ABC에서 밑변은 , 높이는 점 A에서 까지의 거리죠. △CDA에서 밑변은 , 높이는 점 C에서 까지의 거리에요.

두 삼각형 △ABC와 △CDA에서 밑변의 길이와 높이가 같으므로 두 삼각형의 넓이는 같아요. S₁ = S₂. 두 삼각형 넓이의 합이 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 두 삼각형은 서로 넓이가 같으므로 삼각형 한 개의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이죠.

대각선을 두 개 그었을 때

이번에는 □ABCD에 대각선을 두 개 그었어요. 네 개의 삼각형이 생겼네요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠. 평행사변형의 성질에서 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다고 했어요. 따라서  = ,  = 입니다.

△OAB와 △OCD를 볼까요?  = ,  = 이고, 맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD에요. 두 삼각형은 SAS합동이죠. 합동이니까 넓이가 같아요. S₁ = S₃

△OAD와 △OCB도 SAS 합동이므로 넓이가 같죠. S₂ = S₄

△OAB와 △OAD를 보세요. 두 삼각형은 밑변의 길이가 같고( = ), 높이도 점 A에서 까지의 거리로 같아요. 따라서 넓이도 같죠. S₁ = S₄

결국 S₁ = S₂ = S₃= S₄가 됩니다. 네 삼각형 넓이의 합은 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 네 삼각형의 넓이가 서로 모두 같으니 삼각형 하나의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이 되겠죠?

평행사변형 □ABCD의 넓이가 60cm²일 때 색칠한 △OAB의 넓이를 구하여라.

평행사변형에 대각선을 그어서 생기는 네 개의 삼각형은 모두 넓이가 같아요. 또 전체 평행사변형의 넓이의 입니다.

△OAB =  × 60

△OAB = 15(cm²)

임의의 점에서 꼭짓점으로 선을 그었을 때

이번에는 평행사변형 □ABCD 내부에 대각선의 교점이 아닌 임의의 점 P를 잡아요. 점 P에서 네 꼭짓점에 선을 그으면 네 개의 삼각형이 생기죠. 이 네 삼각형의 넓이 관계에 대해서 알아볼까요?

, 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그어보죠. 또 , 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그려보죠.

두 직선 때문에 □ABCD에 총 네 개의 평행사변형이 만들어졌어요. 이 글 처음에 나온 것처럼 평행사변형을 구성하는 두 개의 삼각형은 넓이가 같잖아요. 작은 평행사변형에서 넓이가 같은 삼각형끼리 번호를 붙였어요.

그림에서 같은 색으로 칠해진 삼각형의 넓이를 구해보죠. 노란색으로 된 부분은 (△PAB의 넓이) + (△PCD의 넓이) = S₁ + S₃  = ① + ② + ③ + ④에요. 연두색으로 된 부분은 (△PAD의 넓이) + (△PBC의 넓이) = S₂ + S₄ = ① + ② + ③ + ④죠. 따라서 S₁ + S₃ = S₂ + S₄가 성립하죠.

평행사변형 내부에 임의의 점 P에서 네 꼭짓점으로 선을 그었을 때, 마주 보는 삼각형의 넓이의 합이 서로 같아요. 이 두 부분의 넓이가 같으므로 각 영역은 전체 사각형 넓이의 절반이 되죠.

여기는 S₁, S₂, S₃, S₄의 넓이가 같지 않아요. 이 점에 주의하세요.

평행사변형 □ABCD의 내부에 임의의 점 P를 잡고, 꼭짓점에 선을 그었더니 네 개의 사각형이 생겼다. 평행사변형 □ABCD의 넓이가 100cm²이고, △PAB의 넓이가 30cm²일 때, △PCD의 넓이를 구하여라.

위 그림에서 △PAB + △PCD = □ABCD이므로

30 + △PCD =  × 100

△PCD = 20(cm²)

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삼각형의 내심과 외심은 상당히 비슷하지만 달라요. 헷갈리는 부분이 많아서 따로따로 공부하더라도 같이 보면 도움이 될 거예요.

그래서 이 글에서 내심과 외심의 차이를 좀 더 명확하게 알 수 있게 둘을 비교해 볼까 합니다.

표만 보지 말고, 삼각형의 외심과 내심에 대하여 설명한 다음 글들까지 보고, 완벽히 정리하세요. 아랫글들을 읽지 않으면 표를 봐도 이해할 수 없어요.

삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용
삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
삼각형 내심의 활용

글 마지막에는 이등변삼각형과 정삼각형의 내심과 외심에 관한 내용도 있으니까 한 번 보세요.

삼각형의 외심과 내심 비교, 삼각형의 내심과 외심의 차이

삼각형의 외심	삼각형의 내심
세 변의 수직이등분선의 교점	세 각의 이등분선의 교점
외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같다.  =  =	내심에서 세 변에 이르는 거리가 같다.  =  =
이등변 삼각형 세 개 △OAB △OBC △OCA	없음.
세 쌍의 합동인 삼각형(SAS 합동) △ODA ≡ △ODB △OEB ≡ △OEC △OFC ≡ △OFA	세 쌍의 합동인 삼각형(RHA 합동) △IAD ≡ △IAF △IBD ≡ △IBE △ICE ≡ △ICF
외접원: 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 삼각형 바깥의 원 외접원의 반지름: 외심에서 꼭짓점까지의 거리	내접원: 삼각형의 세 변에 접하는 삼각형 안의 원 내접원의 반지름: 내심에서 변까지의 거리
예각삼각형: 내부 둔각삼각형: 외부 직각삼각형: 빗변의 중점	삼각형의 내부
∠x + ∠y + ∠z = 90°	∠x + ∠y + ∠z = 90°
∠BOC = 2∠A	∠BIC = 90° + ½∠A
	△ABC 넓이 = ½r(△ABC 둘레 길이)

이등변삼각형과 정삼각형의 내심과 외심

이등변삼각형의 내심과 외심

이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따르면 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다고 했어요. 즉 (꼭지각의 이등분선) = (밑변의 수직이등분선)이 되는 거죠. 내심은 꼭지각의 이등분선 위에 있고, 외심은 밑변의 수직이등분선 위에 있어요. 따라서 이등변삼각형의 내심과 외심은 같은 선위에 있다는 걸 알 수 있어요.

정삼각형의 내심과 외심

정삼각형은 세 각의 크기가 모두 같고, 세 변의 길이도 같아요. 기본적으로 이등변삼각형의 성질을 가지고 있어요. 이등변삼각형에서와 마찬가지로 (꼭지각의 이등분선) = (밑변의 수직이등분선)에요. 정삼각형은 따지고 보면 세 개의 꼭지각이 있는 것과 같죠? 세 꼭지각의 이등분선의 교점은 세 밑변의 수직이등분선의 교점이므로 외심과 내심이 같아요.

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다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 내각과 외각이 무엇인지 알아봤어요. 내각은 이웃하는 두 변으로 이루어진 각으로 다각형의 안쪽에 있고, 외각은 한 변의 연장선과 이웃한 변이 이루는 각으로 다각형의 바깥쪽에 있어요.

항상 하는 거지만 기본적인 도형의 용어에 대해서 공부하고, 그다음은 삼각형을 공부해요. 이 삼각형의 내용을 확장해서 사각형, 오각형……… 등의 다각형으로 넓히는 거고요.

이 글에서는 내각과 외각 중에서 삼각형의 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 크기의 합을 알아볼 거예요. 공식 아닌 공식이니까 꼭 외워두세요.

삼각형의 내각의 합

삼각형 내각의 크기의 합은 180°

△ABC가 있어요. 점 A를 지나고 변BC에 평행한 직선 DE를 그었어요.

그랬더니 ∠DAB와 ∠EAC가 생겼죠?

평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각에서 평행선과 한 직선이 만나서 생기는 동위각의 크기는 같다고 했어요. 물론 엇각도 서로 크기가 같고요.

∠DAB는 ∠B와 엇각이에요. 그리고 ∠EAC는 ∠C와 엇각이지요. ∠DAB = ∠B, ∠EAC = ∠C예요.

△ABC의 내각의 크기의 합을 구해보죠.

∠A + ∠B + ∠C = ∠A + ∠DAB + ∠EAC = ∠DAE = 180° (평각)

∠A + ∠B + ∠C = 180°

삼각형 세 내각의 크기의 합 = 180°

삼각형의 모양이 어떤 것이든 상관없어요. 직삼각형이든 정삼각형이든 그냥 삼각형이든 모두 내각의 크기의 합은 180°에요.

삼각형 외각의 크기, 외각의 합

삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다.

이번에는 조금 복잡하니까 그림을 잘 보세요.

△ABC가 있어요. 우선 변 AB와 변 BC의 연장선을 그어요. 그리고 변 AB와 평행하고 점 C를 지나는 직선을 그렸어요. 직선 CE라고 할게요.

마찬가지로 변 AB의 연장선과 직선 CE는 평행선이니까 동위각과 엇각의 크기가 같겠죠?

∠ACE는 ∠A와 엇각이고요, ∠ECD는 ∠B와 동위각이에요. ∠ACE = ∠A, ∠ECD = ∠B

점 C의 외각의 크기는 ∠ACE + ∠ECD = ∠A + ∠B가 되지요. 점 C의 외각의 크기는 삼각형의 세 내각 중 ∠C를 뺀 나머지 두 내각의 합인 걸 알 수 있어요.

한 꼭짓점에서 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다고 할 수 있어요.

여기에 다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 공부했던 내용을 하나 더 붙여서 (외각의 크기) = 180° - (내각의 크기)라는 것까지 알아두세요.

삼각형의 외각의 크기의 합은 360°

삼각형의 한 외각의 크기를 알아봤으니 이제 외각을 모두 더하면 얼마가 되는지 알아볼까요? 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합이니까 아래처럼 쓸 수 있어요.

∠A의 외각의 크기 = ∠B + ∠C
∠B의 외각의 크기 = ∠A + ∠C
∠C의 외각의 크기 = ∠A + ∠B

외각의 크기의 합은 위 세 개를 다 더하면 되겠죠?

외각의 크기 합 = ∠B + ∠C + ∠A + ∠C + ∠A + ∠B
                    = ∠A + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B + ∠C
                    = 180° × 2           (∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°, 삼각형 내각의 합)
                    = 360°

외각의 크기의 합은 360°인 걸 알 수 있어요.

삼각형 한 외각의 크기 = 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합
삼각형 세 외각의 크기의 합 = 360°

다음 그림을 보고 x의 크기를 구하여라.

(1)은 삼각형의 내각의 크기가 적혀있는데, x로 표현되어 있어요. 삼각형 내각의 크기의 합은 180°이므로 세 각을 모두 더하면 180°가 되어야겠죠?
x + x + 20° + 2x = 180°
4x = 160°
x = 40°
x는 40°네요.

(2)에서는 x가 내각에도 표시되어 있지만 외각에도 표시되어있어요. 내각이 하나는 x이고 다른 하나는 직각표시가 있으니 90°네요. 외각이 하나 표시되어 있으니까 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같은 성질을 이용해보죠.
x + 90° = 3x
2x = 90°
x = 45°
x는 45°네요. 직각이등변삼각형이었군요.

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직선과 각에 이어서 이번에는 직선과 각들로 이루어진 도형에 대해서 알아볼 거예요.

도형 중에 가장 먼저 배우는 건 역시 가장 간단한 삼각형이죠.

삼각형에서 적용되는 성질 대부분이 사각형, 오각형에도 그대로 적용되니까 첫 단계인 삼각형에 대해서 제대로 공부해야 해요.

이 글에서는 삼각형의 의미와 삼각형에서 사용하는 용어들에 대해서 알아보죠.

삼각형의 정의, 대변, 대각

삼각형은 이름 그대로 각이 세 개 있는 도형이죠? 각이 세 개인 것은 꼭짓점이 세 개라는 말과 같아요. 삼각형을 좀 더 멋있게 정의해 볼까요? 세 점 A, B, C를 선분으로 연결한 도형을 삼각형 ABC라고 정의해요. 기호로는 △ABC로 표시하고요. △ 기호 뒤에 세 점을 모두 쓰는 거죠.

삼각형은 꼭짓점과 변, 각으로 이루어져 있어요.

꼭짓점: 점 A, 점 B, 점 C
변: 변 AB, 변 BC, 변 CA
각: ∠ABC (= ∠B), ∠BCA (= ∠C), ∠CAB (= ∠A)

변 AB는 점 A와 점 B를 연결하는 선이잖아요. 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분에서 알아봤던 것처럼 변 AB는 선분 AB니까 기호로 로 나타낼 수 있어요. 변 BC와 변 CA도 마찬가지로 로 나타낼 수 있고요.

삼각형에 대변과 대각이라는 게 있어요. 똥 아니에요. 대변은 한 각과 마주보고 있는 변을 말하고, 대각은 한 변과 마주보는 각을 말해요.

△ABC에서 ∠A와 마주 보는 변은 변 BC죠? 그래서 ∠A의 대변은 변 BC입니다. 대변의 길이는 각의 알파벳을 소문자로 쓴 것으로 표현해요. 그러니까 ∠A의 대변의 길이는 a로, ∠B의 대변의 길이는 b로 나타내는 거지요.

삼각형의 대변은 찾기 쉬워요. 이름에 그 각의 알파벳이 들어있지 않은 변이 대변이에요. ∠B의 대변은 이름에 B가 없는 변, 즉 변 CA가 되는 거죠.

∠A의 대변: 변 BC = a
∠B의 대변: 변 CA = b
∠C의 대변: 변 AB = c

대각은 마주 보는 각인데, 변이 마주 보는 각이에요. 대변과 대각은 서로 반대겠죠? 대각도 마찬가지로 이름에 변에 있는 알파벳이 없는 각이 대각이에요. 변 AB의 대각은 A, B가 없는 ∠C가 되는 거죠.

변 AB의 대각: ∠C
변 BC의 대각: ∠A
변 CA의 대각: ∠B

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