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절댓값 기호를 포함한 부등식은 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나누어서 계산해요.

이 글에서는 절댓값 기호가 두 개 있을 때의 풀이법이에요. 한 개 있을 때와 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 작을 때로 나눠서 푸는데, 절댓값 기호가 두 개가 있으니까 총 네 가지 경우의 수가 생기겠죠?

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 해봤던 내용이에요. 등호만 부등호로 바뀐 거니까 잘 이해하길 바라요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질의 성질에서 절댓값 기호가 있을 때는 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나눠서 한다고 했죠?

절댓값 기호가 두 개인 부등식에서는 조건의 개수만 많아진 것일 뿐 원리는 같아요.

절댓값 기호를 포함한 부등식은 아래와 같은 순서대로 문제를 풀어요.

1. 절댓값안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
2. ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
3. 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
4. 부등식의 해를 구한다.
5. 부등식의 해가 ③에서 적용한 x의 범위 조건에 맞는지 확인
6. 해가 조건을 만족시키는 경우에만 부등식의 해
7. 각 범위에서 구한 모든 해가 문제의 답

|2x - 6| - |x - 6| > 0를 한 번 풀어보죠.

먼저 |2x - 6|부터 보죠.
2x - 6 ≥ 0 → x ≥ 3
2x - 6 < 0 → x < 3

이번에는 |x - 6|을 볼까요?
x - 6 ≥ 0 → x ≥ 6
x - 6 < 0 → x < 6

총 네 가지 경우가 생기는데, 이걸 수직선에 그려보면 아래처럼 돼요.

3과 6 사이에 겹치는 부분이 생기죠? 이 부분은 하나로 합치는 거예요. 원래는 범위가 네 개였는데, 세 개로 줄어든 거죠.

절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 거 기억나나요? 절댓값 안이 0이 되게 하는 숫자들을 경계로 해서 범위를 나누면 돼요. 절댓값 안이 0이 되는 숫자는 3, 6이니까 이 두 수를 이용해서 범위를 구한 것과 같은 거죠.

x < 3, 3 ≤ x < 6, 6 ≤ x의 세 가지 경우의 해를 구해볼까요

1. x < 3일 때 (2x - 6 < 0, x - 6 < 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   -(2x - 6) + (x - 6) > 0
   -2x + 6 + x - 6 > 0
   -x > 0
   x < 0
   조건에서 x < 3이므로 ∴ x < 0
2. 3 ≤ x < 6일 때 (2x - 6 ≥ 0, x - 6 < 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   2x - 6 + (x - 6) > 0
   2x - 6 + x - 6 > 0
   3x - 12 > 0
   3x > 12
   x > 4
   조건에서 3 ≤ x < 6이므로 ∴ 4 < x < 6
3. x ≥ 6 일 때 (2x - 6 > 0, x - 6 ≥ 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   2x - 6 - (x - 6) > 0
   2x - 6 - x + 6 > 0
   x > 0
   조건에서 x ≥ 6이므로 ∴ x ≥ 6
   

세 가지 경우를 나눠서 각 조건에 맞는 해를 구했어요. 이 세 가지 해 모두가 문제의 답이에요. x < 0 or 4 < x < 6 or x ≥ 6이에요. 그런데 4 < x < 6과 x ≥ 6은 합칠 수 있겠죠?

따라서 답은 x < 0 or x > 4예요.

|x + 1| + |3 - x| - 6 > 0의 해를 구하여라.

|x + 1|부터 보죠.
x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
x + 1 < 0 → x < -1

이번에는 |3 - x|을 볼까요?
3 - x ≥ 0 → x ≤ 3
3 - x< 0 → x > 3

총 네 개의 범위가 생기는데, 겹치는 걸 하나로 합치면 x < -1, -1 ≤ x ≤ 3, 3 < x 세 가지 범위가 생겨요.

1. x < -1 일 때 (x + 1 < 0, 3 - x > 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   -(x + 1) + 3 - x - 6 > 0
   -x - 1 + 3 - x - 6 > 0
   -2x - 4 > 0
   2x < -4
   x < -2
   조건에서 x < -1이므로 ∴ x < -2
2. -1 ≤ x ≤ 3 일 때 (x + 1 ≥ 0, 3 - x ≥ 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   x + 1 + 3 - x - 6 > 0
   -2 > 0
   해 없음.
3. x > 3일 때 (x + 1 > 0, 3 - x < 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   x + 1 - (3 - x) - 6 > 0
   x + 1 - 3 + x - 6 > 0
   2x - 8 > 0
   2x > 8
   x > 4
   조건에서 x > 3이므로 ∴ x > 4

세 가지 해가 모두 해이므로 x < -2 or x > 4가 답입니다.

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그냥 부등식이라고만 되어 있다면 이 부등식의 계수가 0일 수도 있고, 아닐 수도 있어요. 그래서 일반적인 부등식의 풀이 방법으로는 풀면 안 돼요. 우리가 공부한 부등식은 일차부등식이었으니까요.

여기서 공부할 부등식 ax > b의 풀이에는 일차부등식일 때와 일차부등식이 아닐 때의 풀이를 모두 함께 적용해야 해서 아주 까다롭죠. 하지만 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능에서 했던 것과 비슷하니까 아주 생소한 내용은 아니에요. 여기에서도 부정과 불능이라는 용어도 그대로 사용해요. 두 가지를 비교하면서 공부하는 것도 좋을 것 같군요.

부등식 ax > b의 풀이

부등식의 해를 구할 때 양변을 미지수의 계수로 나누죠? 그런데 부등식 ax > b에서는 a = 0일 수도 있고 a ≠ 0일 수도 있어요. a ≠ 0이면 알고 있던 대로 양변을 a로 나눠서 풀면 되는데, a = 0이면 양변을 a로 나눠서 계산하면 안 돼요. 그래서 a = 0일 때와 a ≠ 0일 때를 나눠서 구해야 해요

a ≠ 0일 때

ax > 0에서 a ≠ 0이면 그냥 일차부등식이므로 일차부등식의 풀이에 따라 양변을 a로 나눠서 해를 구하면 돼요. 부등식의 성질에서 부등식의 양변을 어떤 수로 나눌 때 양수인지 음수인지에 따라 부등호의 방향이 바뀐다고 했어요. 그래서 a > 0, a < 0일 때 두 가지 경우를 모두 구해야 하죠.

• a > 0이면
  ax > b
  x >
• a < 0이면
  ax > b
  x <

a = 0일 때

a = 0이면 양변을 a로 나눌 수 없어요. 이때는 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능에서 했던 것처럼 b의 부호를 따져서 구해요. 다만 부등식이니까 b > 0, b = 0, b < 0일 때로 나눠요.

• b > 0일 때
  ax > b
  0x > b
  좌변 ax = 0인데, 우변 b > 0이므로 우변이 더 커요. 그런데 좌변이 더 크다고 되어 있으므로 만족하는 해가 없죠. (불능)
• b = 0일 때
  ax > b
  0x > b
  좌변 ax = 0인데, 우변 b = 0이므로 양변이 같아요. 그런데 좌변이 더 크다고 되어 있으므로 만족하는 해가 없어요. (불능)
• b < 0일 때
  ax > b
  0x > b
  좌변 ax = 0이고, 우변 b < 0이므로 x와 상관없이 좌변이 더 커요. 따라서 해는 모든 실수(부정)

b > 0일 때와 b = 0일 때가 해가 모두 불능으로 같네요.

x에 대한 부등식 ax + 9 < a² + 3x를 풀어라.

먼저 Ax > B의 꼴로 정리한 다음에 A ≠ 0일 때(A > 0, A < 0)와 A = 0일 때(B > 0, B = 0, B < 0)를 나누어 구해야 해요.

ax + 9 < a² + 3x
(a - 3)x < a² - 9
(a - 3)x < (a + 3)(a - 3)

1. a - 3 ≠ 0일 때 → a ≠ 3일 때
   • a - 3 > 0이면 a > 3
     (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
     x < a + 3
   • a - 3 < 0이면 a < 3
     (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
     x > a + 3
2. a - 3 = 0일 때 → a = 3일 때
   a = 3이면 우변 (a + 3)(a - 3) = 0으로 양수, 음수일 때는 해보지 않아도 되네요.
   (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
   0x < 0
   해가 없다.(불능)

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