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이번 글에서는 등차수열의 각 항을 더한 등차수열의 합을 구할 거예요.

아주 간단히 생각만 살짝 바꾸면 등차수열의 합 공식을 유도할 수 있어요. 방법은 어렵지 않으니까 그 원리를 금방 이해할 수 있을 거예요. 등차수열의 합 공식은 두 가지예요. 사실은 한 가지인데, 등차수열에서 어떤 조건을 알려주느냐에 따라 모양이 다르니까 둘의 차이를 잘 비교하세요.

문제를 활용하기에 따라서 쉬운 문제와 어려운 문제의 수준 차이가 많이 나니까 문제를 풀 때 집중해서 잘 봐야 해요.

등차수열의 합

등차수열 1, 2, 3, 4, 5, …, 10을 이루는 항들의 합을 구해볼까요?

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 …… ①

바로 계산할 수도 있는데 우변의 순서를 거꾸로 해보죠.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 …… ②

순서를 바꿔놓고 봤더니
①식의 제1항 1과 ②식의 제1항 10을 더하면 11
①식의 제2항 2와 ②식의 제2항 9를 더하면 11
①식의 제3항 3과 ②식의 제3항 8을 더하면 11
①식의 제10항 10과 ②식의 제10항 1을 더하면 11

①과 ②식은 총 열 개의 항으로 되어 있는데 같은 순서에 있는 항끼리 더하면 모두 11로 같아요. 11인 항이 10개 있으니까 그 합은 11 × 10이에요. 그런데 이건 S가 아니라 2S죠. 2로 나눠주면 S = 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 + 10을 구할 수 있어요.

식으로 정리해보죠. ①과 ② 두 식을 더해요.

① + ②
2S = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + … + (8 + 3) + (9 + 2) + (10 + 1)
2S = 11 + 11 + 11 + … + 11 + 11 + 11
2S = 11 × 10
S = 55

1부터 10까지 자연수를 모두 더하면 55가 나와요.

더해야 하는 항의 순서를 거꾸로 해서 한 번 더 더하면 그냥 더하는 것보다 훨씬 더 계산이 쉬워져요.

이번에는 등차수열 a_n의 제1항부터 제n항까지 합을 구하는데 그 합을 S_n이라고 해보죠.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n - 1} + a_n

첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d이죠? 그리고 합을 구하는 마지막 제n항 a_n을 l이라고 해보죠.

a₁ = a
a₂ = a + d
a₃ = a + 2d
a₄ = a + 3d
a_{n - 1} = a + (n - 2)d = l - d
a_n = a + (n - 1)d = l

위 내용을 S_n에 대입해요.

S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (l - 2d) + (l - d) + l …… ③

우변은 a₁부터 a_n까지 순서대로 더하는 건데 이 순서를 거꾸로 해볼까요?

S_n = l + (l - d) + (l - 2d) +  … + (a + 2d) + (a + d) + a …… ④

두 식을 더해보죠.

제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요.

원래 마지막 항 l = a_n = a + (n - 1)d니까 대입해보면,

등차수열의 합 공식을 두 개 얻었어요. 처음 공식은 n, a, l로 이루어져 있죠? 첫째항과 마지막 항을 알 때 사용하는 공식이에요. 두 번째 공식은 n, a, d로 이루어져 있으니까 첫째항과 공차를 알 때 사용하는 공식이에요.

등차수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n
첫째항이 a, 마지막 항이 l일 때:
첫째항이 a, 공차가 d일 때:

다음을 구하여라.
(1) 제10항이 17, 제20항이 37인 등차수열의 제1항부터 제20항까지의 합
(2) 두 자리 자연수 중에서 2의 배수 또는 5의 배수의 합
(3) 제1항부터 제10항까지의 합이 120, 제11항부터 제20항까지의 합이 320인 등차수열의 제21항부터 제30항까지의 합

(1)번에서 합을 구하는 끝항을 알려줬어요. 첫 항만 구하면 되겠네요.

a₁₀ = a + 9d = 17
a₂₀ = a + 19d = 37

연립해서 풀어보면 d = 2, a = -1이 나와요.

합을 구하는 등차수열의 첫 항과 끝항을 알았으니까 공식에 대입해보죠.

답은 360이네요.

(2) 두 자리 자연수니까 10 ~ 99까지의 자연수예요.

2의 배수인 수열: 10, 12, 14, …, 96, 98
5의 배수인 수열: 10, 15, 20, …, 90, 95
2의 배수이면서 5의 배수인 수열: 10, 20, 30, …, 80, 90

(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)

집합으로 표시하면 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)이에요.

2의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 98, 공차는 2예요. 등차수열의 합 공식을 이용하려면 항이 몇 개인지 구해야겠네요.

a_n = a + (n - 1)d
98 = 10 + (n - 1) × 2
98 = 10 + 2n - 2
n = 45

2의 배수의 수열의 합 =

5의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 95, 공차는 5예요. 항의 수를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
95 = 10 + (n - 1) × 5
95 = 10 + 5n - 5
n = 18

5의 배수의 수열의 합 =

10의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 90, 공차는 10이에요. 항의 수를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
90 = 10 + (n - 1) × 10
90 = 10 + 10n - 10
n = 9

10의 배수의 수열의 합 =

(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)
= 2430 + 945 - 450
= 2925

(3)번은 어려운 문제니까 집중해서 잘 보세요.

제1항부터 제10항까지, 제11항부터 제20항까지, 제21항부터 제30항까지 세 개의 식을 세워야 해요.

제1항부터 제10항까지 합이 120이니까 이걸 이용해서 식을 세워보죠.

첫째항이 a, 공차가 d일 때 등차수열의 합:

제11항부터 제20항까지의 합은 제11항을 제1항으로 하고, 제20항을 제10항으로 하는 새로운 등차수열 b_n을 생각할 수 있겠죠?

b₁ = a₁₁ = a + 10d
b₁₀ = a₂₀ = a + 19d

(a₁₁ ~ a₂₀까지의 합) = (b₁ ~ b₁₀까지의 합)

a와 d에 대한 연립방정식이 되었어요.

a = 3, d = 2가 나오네요.

a₂₁ = c₁, a₃₀ = c₁₀인 새로운 수열 c_n을 이용해서 제21항부터 제30항까지의 합을 구해보죠.

(a₂₁ ~ a₃₀까지의 합) = (c₁ ~ c₁₀까지의 합)

c₁ = a₂₁ = a + 20d = 3 + 20 × 2 = 43
c₁₀ = a₃₀ = a + 29d = 3 + 29 × 2 = 61

제21항부터 제30항까지의 합은 520이네요.

이걸 새로운 수열 b_n, c_n를 생각하지 않고 조금 다르게 풀어볼까요? 합과 합의 관계를 이용하는 거예요.

제1항부터 제10항까지의 합은 위에서와 똑같이 구해요.

제11항부터 제20항까지의 합을 구하는 과정을 아래처럼 생각할 수 있겠죠?

(a₁₁ ~ a₂₀까지의 합) = (a₁ ~ a₂₀까지의 합) - (a₁ ~ a₁₀까지의 합)

마찬가지로 a와 d에 대한 연립방정식을 만들 수 있어요.

여기서도 a = 3, d = 2가 나와요.

마지막 제21항부터 제30항까지의 합을 구하는 과정도 위처럼 합을 이용해서 나타낼 수 있어요.

(a₂₁ ~ a₃₀까지의 합)
= (a₁ ~ a₃₀까지의 합) - (a₁ ~ a₂₀까지의 합)

답은 똑같이 520이 나와요.

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등차수열의 일반항에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.

등차수열의 일반항에서 식만 보고 별 계산 없이 곧바로 공차와 첫째항을 구할 수 있어요. 어떻게 이게 가능하지 알아볼 거예요. 어떤 일반항을 보고 이게 등차수열인지 아닌지 확인하는 방법도 알아볼 거고요.

그리고 등차중항이라는 것도 알아볼 건데, 등차중항의 뜻과 등차중항을 이용해서 등차수열을 구하는 방법까지 알아보죠.

등차수열 일반항의 성질

첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요. 전개해서 정리해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = dn + a - d
a_n = An + B

등차수열의 일반항은 a_n = An + B꼴로 쓸 수 있어요. 이게 무슨 말이냐면 n의 계수 A가 공차 d라는 거예요.

n = 1을 대입해서 제1항을 구해보죠.

a_n = An + B
a₁ = A + B

지금까지는 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항 a_n을 구했어요. 이제는 반대로 등차수열의 일반항을 알면 첫째항과 공차를 구할 수 있다는 뜻이에요.

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때
  공차 d = n의 계수
  a₁ = (n의 계수) + (상수항)

등차수열의 일반항 a_n = 2n + 3일 때 첫째항과 공차를 구하여라. (n은 자연수)

첫째항을 n = 1을 대입해서 구할 수 있어요.

a₁ = 2 × 1 + 3 = 5

원래대로 공차를 구하려면 어떻게 할까요? a₂를 구해서 d = a₂ - a₁로 구하겠죠?

d = a₂ - a₁ = 2 × 2 + 3 - (2 × 1 + 3) = 7 - 5 = 2

첫째항은 5, 공차는 2네요.

공식으로 바로 구해보죠. 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때 공차 d는 n의 계수, 첫째항은 (n의 계수) + (상수항)이에요.

a_n = 2n + 3 = An + B

공차 d = A = 2
첫째항 a₁ = A + B = 2 + 3 = 5

이런저런 계산할 필요없이 바로 구할 수 있죠?

등차수열 증명

등차수열이라는 말없이 그냥 일반항만 알려줬을 때 이 수열이 등차수열인지 아닌지 알 수 있을까요?

어떤 수열의 일반항이 a_n = 3n + 1일 때 이 수열은 등차수열일까요? 아닐까요?

등차수열인지 알아보는 가장 기본은 공차가 있는지 알아보는 거예요. 공차는 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이를 비교해보면 되죠? 등차수열은 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정한데 이걸 식으로 나타내면 a_{n + 1} - a_n = d에요. 이 d가 공차죠.

a_{n + 1} - a_n
3 × (n + 1) + 1 - (3 × n + 1)
= 3n + 3 + 1 - 3n - 1
= 3

n + 1항과 바로 앞 n항의 차이가 상수 3으로 일정해요. 따라서 이 수열은 등차수열이에요.

일반항 a_n이 주어졌을 때 등차수열인지 알아보는 방법
한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정하면 등차수열
a_{n + 1} - a_n = d

위에서 했던 등차수열 일반항의 성질과 묶어서 생각해보죠. 일반항이 a_n = 3n + 1로 자연수 n에 대한 1차식이에요. 그러니까 공차는 n의 계수인 3이고 첫째항은 (3 + 1) = 4인 등차수열인 거죠.

등차중항

세 수 a, b, c가 있다고 해보죠. 세 수가 이 순서대로 등차수열을 이룬다면 어떤 조건이 있어야 할까요?

한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 같아야 해요.

b - a = c - b
2b = a + c

가운데 있는 b가 앞과 뒤에 있는 a, c의 산술평균이면 세 수가 순서대로 등차수열을 이뤄요. 이때 b를 a와 c의 등차중항이라고 해요. 두 항의 가운데 있는 항이니까 중항이죠.

등차수열 1, 3, 5, 7, 9, …에서 1과 5의 등차중항은 3이고, 5와 9의 등차중항은 7이에요.

세 수 a, b, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때

b는 a, c의 등차중항 (a와 c의 산술평균)

다음 세 수가 순서대로 등차수열일 때, x를 구하여라.
(1) 5, x, 13
(2) 8, 3x, x²

숫자가 3개밖에 안되니까 그냥 구할 수도 있겠지만 등차중항을 이용해서 문제를 풀어보죠.

(1)에서는 x가 5와 13의 등차중항이에요. 등차중항은 산술평균이죠?

(2)에서는 3x가 8과 x²의 등차중항이에요.

x = 2 or 4

8, 6, 4 또는 8, 12, 16인 등차수열이네요.

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수열이 뭔지 알았으니까 이제 수열의 종류에는 무엇이 있는지 알아보죠.

첫 번째로 공부할 수열은 등차수열이에요. 등차수열에서는 공차라는 용어를 사용하는데 공차가 무엇을 의미하는지를 알고 공차를 구할 수만 있으면 등차수열 전부를 이해했다고 할 수 있어요. 그런데 공차를 구하는 건 매우 쉬워요.

수열에는 일반항이라는 게 있어요. 공차를 이용해서 등차수열의 일반항을 구하는 방법도 알아볼 거예요.

등차수열

1, 2, 3, 4, 5, 6, …는 자연수를 늘어놓은 수열이죠? 어떤 규칙이 있을까요? 제1항은 1이고 제2항부터는 바로 앞의 항보다 1이 더 크죠?

2, 4, 6, 8, 10, …은 짝수를 늘어놓은 수열인데 제1항은 2고 제2항부터는 바로 앞의 항보다 2가 커요.

이처럼 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열을 등차수열이라고 하고 더해지는 일정한 수를 공차라고 해요.

2, 4, 6, 8, 10, …을 보죠.

제1항 = 2
제2항 = 제1항 + 2 = 4
제3항 = 제2항 + 2 = 6
제4항 = 제3항 + 2 = 8

여기서는 각 항에 2를 더해서 새로운 항을 얻었으니까 공차는 2예요.

등차수열에서 등차(等差)는 차이가 같다는 말이에요. 제1항과 제2항의 차이, 제2항과 제3항의 차이, …, 제(n - 1)항과 제n항의 차이, …가 같아요. 이 차이가 바로 공차예요.

다시 2, 4, 6, 8, 10, …을 보죠.

제1항 = 2
제2항 - 제1항 = 4 - 2 = 2
제3항 - 제2항 = 6 - 4 = 2
제4항 - 제3항 = 8 - 6 = 2

각 항과 바로 앞의 항의 차이가 모두 2로 같아요. 그러니까 공차가 2인 거죠.

등차수열은 Arithmetic Progression을 줄여서 A.P라고 하고 공차(Common Difference)는 d라고 나타내요.

등차수열: 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻어진 항으로 이루어진 수열
공차(d): 각 항에 더해지는 일정한 수
a_n = a_{n - 1} + d
d = a_n - a_{n - 1}

등차수열의 일반항

수열의 일반항을 a_n으로 나타내니까 위 내용을 a_n으로 써보죠. d는 공차고, n은 항의 순서니까 자연수예요.

a₁ = a₁
a₂ = a₁ + d
a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d
a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) + d = a₁ + 4d
a_n = a_n-1 + d = {a₁ + (n - 2)d} + d = a₁ + (n - 1)d

마지막 줄을 보면 등차수열의 일반항 a_n = a₁ + (n - 1)d라는 걸 알 수 있어요. 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항을 구할 수 있다는 거예요.

첫째항이 a, 등차가 d인 등차수열의 일반항
a_n = a + (n - 1)d      (단, n은 자연수)

다음 등차수열의 일반항을 구하여라.
(1) a₁ = 20, d = -2
(2) a₂ = -10, a₆ = 10
(3) 3, 9, 15, 21, 27, …

제1항이 a이고 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요.

(1) 제1항과 공차를 알려줬네요. 공식에 바로 넣어보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = 20 + (n - 1) × (-2) = -2n + 22

(2)번은 공차를 알려주지 않았네요. 두 번째 항과 여섯 번째 항을 알려줬어요. 이 두 항을 일반항 공식에 넣어서 공차를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a₂ = a + (2 - 1)d = -10
a + d = -10

a_n = a + (n - 1)d
a₆ = a + (6 - 1)d = 10
a + 5d = 10

두 식을 연립해서 풀면 a = -15, d = 5가 나와요.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = -15 + (n - 1) × 5
a_n = 5n - 20

(3)번은 그냥 수열을 그대로 적어줬네요. 공차는 연속된 항 두 개를 아무거나 골라서 뒤의 항에서 앞의 항을 빼주면 구할 수 있어요.

d = a₂ - a₁ = 9 - 3 = 6

제1항이 3, 공차가 6이네요.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = 3 + (n - 1) × 6
a_n = 6n - 3

등차수열 4, 7, 10, 13, …에서 처음으로 100보다 커지는 항은 몇 번째 항인지 구하여라.

먼저 일반항을 구해야 겠네요.

d = a₂ - a₁ = 7 - 4 = 3

a_n = a + (n - 1)d = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1

a_n = 3n + 1 > 100
3n > 99
n > 33

n은 자연수니까 33보다 큰 34일 때 100보다 크네요. 따라서 답은 34항입니다.

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공식을 몰라도 열심히만 하면 풀 수 있는 수학 문제를 소개할께요.

경우의 수 문제 푸는 법에서 소개한 것과 비슷하게, 정말로 근성과 끈기만 있다면 누구든지 풀 수 있는 문제에요. 문제만 제대로 이해하고 그림만 제대로 그리고 숫자만 잘 세면 어렵지 않게(?) 풀 수 있으니까 한 번 도전해보세요.

그림의 주인공은 문제를 정말 정말 열심히 풀었는데, 아쉽게도 틀렸어요. 글자가 작아서 어디에서 잘못되었는지 확인할 수가 없네요.

근성으로 푸는 수학문제

조금 더 쉬운 방법으로 풀어보죠. 그림 속의 사각형을 보면서 둘레의 길이를 구해볼까요? 둘레의 길이니까 실선으로 표시된 부분의 길이만 구해야겠죠?

아랫부분의 정사각형이 1개 있을 때 둘레의 길이: 4
아랫부분의 정사각형이 2개 있을 때 둘레의 길이: 8
아랫부분의 정사각형이 3개 있을 때 둘레의 길이: 12

아랫부분의 정사각형의 개수가 1, 2, 3개로 늘어날 때 둘레의 길이는 4, 8, 12로 늘어나요. 정비례하는 규칙을 찾을 수 있겠죠?

(둘레의 길이) = 4 × (아랫부분의 정사각형의 개수)

x를 아랫부분의 정사각형의 개수, y를 둘레의 길이라고 놓으면 y = 4x라는 함수의 관계식으로 쓸 수 있어요.

문제에서 구하는 건 아랫부분의 정사각형의 개수가 50개일 때, 즉 x = 50일 때의 y니까 위 식에 넣어보면

사각형 둘레의 길이 = 4 × 50 = 200

200이네요.

원래 이 문제는 고등학교 수학의 등차수열 문제에요. 따라서 원래대로 수열을 이용해서 푼다면 a₁ = 4이고 공차 d = 4인 등차수열로 풀어야 해요. a_n = 4 + (n - 1) × 4 = 4n이라고 쓸 수 있지요.

a₅₀ = 4 × 50 = 200

어찌 됐든 답은 200이네요.

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