수학방

새로운 단원이에요.

이 글에서는 이제까지 우리가 알고 있던 각의 범위를 확장할 거예요. 단순히 각의 크기를 구하는 게 아니라 각의 개념을 다시 정의하고 각을 파악하는 새로운 방법에 대해서 공부할 거예요.

일반각, 시초선, 동경, 사분면 위의 각 등 몇 가지 용어들이 나오는데 그냥 이해만 하면 되고, 굳이 외울 필요는 없어요.

앞으로는 각을 볼 때, 각이 나타내는 여러 가지 의미들을 잘 파악할 수 있어야 해요.

일반각

일반적으로 각은 두 직선 사이의 벌어진 정도를 말해요. 0° ~ 360° 사이의 각으로 나타내죠.

아래 그림에서 의 위치에서 점 O를 중심으로 가 회전할 때, 회전한 정도를 각의 크기라고 하고, 시작하는 선인 를 시초선, 움직이는 선인 를 동경이라고 해요.

우리가 이제까지 봐왔던 각은 방향을 고려하지 않았어요. 하지만 동경이 회전하는 방향도 중요하게 고려해야 할 요소예요. 동경 가 시계 반대방향으로 회전하면 양의 방향으로 회전한다고 하고, 시계 방향으로 회전하면 음의 방향으로 회전한다고 해요. 동경 가 양의 방향으로 회전하여 생긴 각을 양의 각, 음의 방향으로 회전해서 생긴 각을 음의 각이라고 합니다.

방향뿐 아니라 회전횟수에 대해서도 고려해 보죠. 동경 가 어떤 위치에 있을 때 몇 번 회전해서 현재 위치에 있는 지도 중요하겠죠?

첫 번째 그림에서 한 바퀴도 돌지 않고 각을 만들었다면 각의 크기는 30°라고 할 수 있어요. 하지만 두 번째 그림처럼 한 바퀴 돌고 각을 이루었다면 360° + 30°가 되고, 두 바퀴 돌고 각을 이루었다면 720° + 30°가 되겠죠?

같은 위치에 있는 동경이라고 하더라도 회전한 방향과 회전한 수에 따라 각의 크기가 달라져요. 그래서 동경의 위치만 보고 각의 크기를 나타낼 때는 θ = 360° × n + a° (n은 정수)라고 쓰는데 이를 일반각이라고 합니다.

일반각에서 a°는 양의 최소각을 말하고 대게 0° ~ 360°의 각을 이용해요. 360° × 2 + 1000° 이렇게 나타내지 않고 360° × 4 + 280°로 나타냅니다.

일반각
θ = 360° × n + a° (n은 정수)
0° ≤ a° < 360°

다음을 양의 최소각을 이용하여 일반각으로 나타내어라.
(1) 500°
(2) -500°

일반각은 360° × n + a°로 나타내는 데, 이때 n은 정수이고 0° ≤ a° < 360°의 범위를 가져요.

(1) 500° = 360° × 1 + 140°

(2) 번은 각의 크기는 500°로 같은데 (-)로 음의 각이에요. 회전한 방향이 반대란 얘기죠. n이 음수가 되겠네요.
-500° = 360° × (-1) - 140°
        = 360° × (-2) + 220°

사분면 위의 각

좌표평면 위에서 x축의 양의 방향을 시초선으로 잡을 때 동경 가 있는 사분면의 위치에 따라 각을 제 1 사분면의 각, 제 2 사분면의 각, 제 3 사분면의 각, 제 4 사분면의 각이라고 불러요. 참고로 x, y축은 사분면에 포함되지 않아요.

위 그림에서 가 제 1 사분면에 있으니까 이 각은 제 1 사분면의 각이네요.

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이번 글에서는 각에 대해서 알아볼 거예요. 초등학교 다닐 때에는 두 직선이 만나서 생기는 게 각이라고 공부했어요

이제 중학생이니까 조금 다르게 그리고 조금 더 정확하게 각의 의미를 공부할 거예요.

각의 정의와 각을 기호로 어떻게 표시하는지 각의 종류에는 무엇이 있는지 알아보죠.

각의 정의, 각의 표시

각은 한 점 O에서 시작하는 두 반직선 OA, OB로 이루어지는 도형을 말하고 이것을 각 AOB라고 불러요.

각 rㄴㄷ과 각 ㄷㄴr은 같은 거잖아요. 각 AOB와 각 BOA는 같은 거예요.

각은 기호로 ∠ 로 표시해요. "니은"자 모양인데, 옆으로 약간 기울어져 있어요. 그래서 각 AOB는 ∠AOB로 쓰고, 각 BOA는 ∠BOA로 써요.

각은 세 알파벳을 모두 쓰지 않고, 각이 있는 부분의 꼭짓점의 알파벳을 이용해서 ∠O라고 하기도 하고, 각의 크기를 이용해서 ∠a로 나타내기도 해요. 똑같은 각을 나타내는 방법이 여러 가지인데 모두 다 알고 있어야 해요.

∠AOB = ∠BOA = ∠O = ∠a

각의 크기와 종류

각의 크기는 ∠AOB에서 반직선 OA가 점 O를 중심으로 반직선 OB까지 회전한 정도를 말하지요. 쉽게 말해서 두 반직선 사이의 벌어진 정도인데, 각의 크기를 알 때는 숫자로 표시하지만 정확한 값을 알 수 없을 때 대게 알파벳 소문자로 표시해요.

각은 그 크기에 따라 종류를 나눠요.

평각은 평평한 각이에요. 평평하다는 건 굴곡이 없이 고른 걸 말하잖아요. 그러니까 각을 이루는 두 반직선 OA와 OB가 직선을 이룰 때를 평각이라고 해요. 물론 점 O는 A와 B 사이에 있어야겠죠? 평각은 크기가 180°에요.

직각은 직각삼각형, 직사각형에서 볼 수 있어요. 직각은 평각의 인 90°를 말해요.

예각은 0°보다 크고 90°보다 작은 각을 말해요. 0°는 예각이 아니에요. 각을 나타내는 기호인 ∠은 예각의 모양을 작게 그린 거예요.

둔각은 90°보다 크고 180°보다 작은 각을 말해요.

각을 크기에 따라서 네 가지로 나눌 수 있겠죠?

다음 그림에서 예각을 모두 찾으시오.

예각은 0°보다 크고 90°보다 작은 각이에요. 그림에서 90°보다 작은 각을 찾아보죠.
먼저 점 A에서 생기는 각 중 90°보다 작은 각은 ∠CAF, ∠EAF(=∠BAF) 두 개네요.
점 B, C, D에는 직각밖에 없어서 넘어가고요.
점 E에서는 ∠BEF가 예각이고, ∠AEF는 둔각이네요.
점 F에서는 ∠AFC, ∠AFE, ∠EFC의 예각 세 개, ∠AFD, ∠DFE의 둔각이 두 개 있어요.
따라서 예각은 ∠CAF, ∠EAF, ∠BEF, ∠AFC, ∠AFE, ∠EFC의 총 여섯 개입니다.

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